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  • 1. LYCEE ZAHROUNI-TUNIS- SCIENCES PHYSIQUES 4ème MATH Cours Boussada .A 2 www.physiqueweb2.c4.fr LE DIPÔLE RC I Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension 1 Dipôle RC C R Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un résistor (conducteur ohmique). 2 Echelon de tension u(V) U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on E ferme le circuit. Si :Pour t<0 ; u =0Pour t  0 ; u = E. On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC. t(s) 3 Relation entre i(t) et uc(t) dq En courant variable : i(t) = . dt C +q -q i dq d(Cuc ) du i avec q  C.uc donc i   C. c dt dt dt uC à retenir 4 Equation différentielle K(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équationdifférentielle). i R uR Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme uGl’interrupteur K. E id’après la loi des mailles : CuR + uc + uG= 0 avec uR =Ri et uG= - E uC ducRi + uc - E = 0 or i  C. dt ducRC  uc  E , on pose =RC dt duc duc uc E   uc  E ou   dt dt   5 Solution de l’équation différentielle a- Solution de l’équation différentielle : L’équation différentielle précédente a pour solution uC = A + Be-t.Avec A ; B et  sont des constantes positives. Déterminons A ; B et  :1ère étape : Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0. A + Be0 =0  A + B =0 donc B= - A. D’ou uC = A – Ae-t. ème2 étape : lorsque t  + ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC (∞) = E. A – Ae-∞ = E or e-∞ =0. A – 0 = E d’où A=E et B= - E. Donc uC = E – Ee-t. uC = E( 1 – e-t). /1
  • 2. duc3ème étape : Cette solution vérifie l’équation différentielle RC  uc  E dtDonc : RCE(0 – (-)e-t) + E( 1 – e-t) = E RCEe-t + E -E e-t = E  RCEe-t -E e-t = 0  Ee-t( RC - 1 ) = 0.Or Ee-t >0 d’où RC - 1 = 0  RC = 1   =  = . RC  uC = E(1- e-t/ ). 6 Expression de uR(t) et de i(t) t t t   Expression de uR(t) ; uR = E – uc = E - E(1  e  ) = E –E + E e  d’où uR =E e Expression de i(t) t u E  i  R donc i= e R R 7 Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) t t t   E  uc  E(1  e  ) uR =E e  i= e R uR(V) i(A) uc E E E=URmax Imax  R E t(s) t(s) 0 0 0 X t(s) 0 + t(s) 0 + t(s) 0 + E E uc(V) 0 E u (V) E 0 i(A) 0 R R R 8 La constante de temps  Ca- Définition : I La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapiditéavec laquelle s’effectue la charge ou laC décharge d’un condensateur.b- Unité de  : E uR V R donc R est en S  R C  a v e c { i A d où  est en V A.s .  s (seconde) donc  est un temps. C q D en o r q  I.t d o n c C e s t A.s A V uc Vc- Détermination de  : E S Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement (en s) ;  = RC . Y Graphiquement : 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est N l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+). T H u (V) R TangenteE E=u Rmax u (V ) c S Tangente E=Uc E max Asymptote Point Asymptote Ex t(s) d’intersection 0 er  cic e1 Point t(s)  E d’intersection 0 X E /2
  • 3. o 2ème méthode (lecture graphique) : er1 cas : à partir du graphe de uc(t)Pour t=, quelle est la valeur de uc ?  uc()  E(1  e )  E(1  e 1)  0, 63.E car e 1 0, 37Exemple :On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à  uc(V) 4 2,52 t(s) 02ème cas : à partir du graphe de uR(t)  uR(V)Pour t=, quelle est la valeur de uR ?  4 uR()  E.e   E.e 1 0, 37.EExemple :On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du pointd’ordonnée 1,48 V est égale à . 1,48 9 Durée de charge d’un condensateur t(s) 0  On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé lorsquesa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t  5 = 5RC Le temps de charge augmente avec R et avec C. Pour t < 5, on a le régime transitoire. Pour t  5, on a le régime permanent.Remarque : la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un phénomène transitoire. Charge d’un condensateur par une tension créneaux. K Voie YA i R G.B.F Voie YB A i C uG uc B TPour 5 < , pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les 2courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) : u(V) Um uc uG t(s) T 5 2 T T Pour 5 > , pendant une demi-période la tension uc 2ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes : /3
  • 4. u(V) uG uc t(s) 0 T 5 2 T II La décharge d’un condensateur 1- Equation différentielle :(on doit garder la même orientation du circuit). K Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.d’après la loi des mailles : uRuR + uc = 0 avec uR =Ri i R ducRi + uc = 0 avec i  C. i dt C duc uCRC + uc = 0 , =RC dt duc duc uc   uc  0 ou  0 dt dt  2- Solution de l’équation différentielle : t  L’équation différentielle précédente a pour solution uc  Ee  .Avec =RC. 3- Expression de uR(t) et de i(t) : Expression de uR(t) t t  uR = 0 – uc =  Ee  d’où uR =  E e  t uR -E   Expression de i(t) : i  donc i= e R R 4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) : t t t   -E   uc  Ee  uR =  E e  i= e R uc(V) uR(V) i(A) t(s) t(s) E=Ucmax 0 0 t(s) URmax  E E Imax   R 0 /4