Chapitre III: Calcul Diff´rentiel                                             e                              Prof. Said Had...
I.1. D´finitions et propri`t`s de bases                          e                  eeI. Calcul diff´rentiel dans R         ...
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I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R             eD´finition eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .  1   On dit q...
I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R             eD´finition  eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .On dit que f ...
I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R             eD´finition  eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x...
I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R             ePropositionSoient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extrem...
II. 1 Th´or`me des accroissements finis                          e eII. Th´or`me des accroissements finis et formules de Tay...
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  1. 1. Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e Prof. Said Hadd 21 novembre 2012Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 1 / 20
  2. 2. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition eSoient I un intervalle de R et x0 ∈ I. 1 Une fonction f : I → R est dite d´rivable en x0 si la limite suivante e f (t) − f (x0 ) L = lim t→x0 t − x0 t=x0 existe. On note L = f (x0 ) la d´riv´e de f au point x0 . e e 2 On dit que f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point e e x0 ∈ I. Dans ce cas, on a d´finit une fonction e f : I → R, x → f (x). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 2 / 20
  3. 3. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition eSoit f : I → R une fonction d´rivable. e 1 Si f est elle mˆme d´rivable, sa d´riv´e (f ) s’appelle la d´riv´e e e e e e e seconde et se note f ou f (2) . 2 On d´finie de mˆme la d´riv´e n-i`me (si elle existe, on la note f (2) e e e e e n ou d f ). dx n 3 On note f (0) (x) = f (x), f (1) (x) = f (x), f (n+1) (x) = f (n) (x). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 3 / 20
  4. 4. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eRemarqueOn aurait pu d´finir la d´riv´e d’une fonctions On d´finit la d´riv´e d’une e e e e e efonction f au point x0 par: f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = lim . h→0 h h=0Il suffit donc de faire le changement de variable h = t − x0 .donc t tend vers x0 ´quivalent ` dire que h tend vers 0. e a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 4 / 20
  5. 5. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eRemarque 1 On d´finit la d´riv´e ` gauche d’une fonction f au point x0 par: e e e a f (t) − f (x0 ) fg (x0 ) = lim . − t→x0 t − x0 2 On d´finit la d´riv´e ` droit d’une fonction f au point x0 par: e e e a f (t) − f (x0 ) fd (x0 ) = lim+ . t→x0 t − x0Th´or`me e eUne fonction f est d´rivable en x0 si et seulement si elle est d´rivable ` e e agauche et ` droite de x0 et fg (x0 ) = fd (x0 ). a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 5 / 20
  6. 6. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R ePropositionSi f est d´rivable en x0 alors f est continue en x0 eL’inverse de se r´sultat est faux en g´n´rale. En effet la fonction f (t) = |t| e e eest continue en 0, mais n’est pas d´rivable en 0. ePropositionSi f est d´rivable en x0 alors on a e f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + ε(h)h avec lim ε(h) = 0. h→0Exemplela fonction sinus est d´rivable en 0, sin(0) = 0 et sin (0) = cos(0) = 1, edonc sin(h) = h + ε(h)h. D’o` u sin(h) = 1 + ε(h) → 1, quand h → 0. h Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 6 / 20
  7. 7. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eTh´or`me e eSoient f et g deux fonctions d´rivables. Alors e 1 f + g et fg sont d´rivables et on a e (f + g ) = f + g , (fg ) = f g + fg . f 2 g et g ◦ f sont d´rivables l` o` elle sont d´finies et e a u e f f g − fg = , (g ◦ f ) = f g ◦ f . g g2 3 Si f −1 existe et si f (x0 ) = 0 alors f −1 est d´rivable en f (x0 ) et on a e 1 (f −1 ) (f (x0 )) = . f (x0 ) Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 7 / 20
  8. 8. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eExemple 1Par d´finition, la fonction logarithme est une fonction f :]0, +∞[→ R, e 1d´rivable telle que f (y ) = y , y ∈]0, +∞[. On note f (y ) = ln(y ). D’autre epart, ln(y ) est continue, strictement croissante, donc c’est une bijection.Sa bijection r´ciproque est appell´e fonction exponentielle et sera not´e e e eexp : R →]0, +∞[. On a aussi y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y ). 1On a ln (y ) = y = 0 pour tout y > 0. Donc exp est d´rivable sur R et si ex = ln(y ) ∈ R 1 1 exp (x) = exp (ln(y )) = = 1 = y = exp(x). ln (y ) yOn note aussi exp(x) = e x . Donc (e x ) = e x , ∀ x ∈ R. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 8 / 20
  9. 9. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eExemple 2La fonction sin : [− π , π ] → [−1, 1] est continue, strictement croissante. 2 2Donc sin est bijective et on note sin−1 = arcsin : [−1, 1] → [− π , π ]. La 2 2fonction arcsin est continue, croissante et on a π π y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y ), ∀ − ≤y ≤ . 2 2On sait que sin est d´rivable et que sin (y ) = cos(y ). Donc sin (x) = 0 e π πpour tout y ∈] − 2 , 2 [. Donc arcsin est d´rivable sur ] − 1, 1[ et si ex = sin(y ) ∈] − 1, 1[ 1 1 1 arcsin (x) = arcsin (sin(y )) = = = sin (y ) cos(y ) 1 − sin2 (y ) 1 =√ . 1 − x2 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 9 / 20
  10. 10. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition e 1 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 0 si f est continue. 2 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 1 si f est d´rivable et e que f est continue. 3 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C n si f est n fois d´rivable et que f (n) est continue. e 4 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C ∞ si f poss´de des e d´riv´es continues ` tout ordre. e e a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 10 / 20
  11. 11. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eExemples 1 Les fonctions polynˆmes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus o sont de classe C ∞ . 2 Soit f : R → R la fonction d´finie par e 1 t 2 sin t , t = 0, f (t) = 0, t = 0. • f est continue sur R, donc de classe C 0 . En effet f est continue sur R{0} car c’est le compos´ et le produit de fonctions continues. Il e reste ` verifier la continuit´ au point O. Pour t = 0 on a a e −t 2 ≤ f (t) ≤ t 2 donc le principe des gendarme implique lim f (t) = 0 = f (0), donc continue en 0. Ainsi f est continue sur R t→0 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 11 / 20
  12. 12. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eExemplesSoit f : R → R la fonction d´finie par e 1 t 2 sin t , t = 0, f (t) = 0, t = 0.• Montrons que f est d´rivable sur R. D´j` f est d´rivable sur R{0} car e ea ec’est le compos´ et le produit de fonctions d´rivables et pour tout e et ∈ R{0} on a 1 1 f (t) = 2t sin − cos . t tReste ` v´rifier la d´rivabilit´ de f en 0. a e e e f (t) − f (0) 1 lim = lim t sin = 0 = f (0). t→0 t −0 t→0 t t=0 t=0 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 12 / 20
  13. 13. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e eeI. Calcul diff´rentiel dans R eExemplesDonc f est d´rivable si R et la fonction d´riv´e f : R → R est donn´e par e e e e 1 1 2t sin t − cos t , t = 0, f (t) = 0, t = 0.• Est ce que f est de classe C 1 sur R. On remarque que f est de classe C 1sur R{0} car f (t) = 2t sin 1 − cos 1 est continue. Mais f n’est de t tclasse C 1 sur R car f n’est pas continue en 0 puisque 1 lim cos t→0 t t=0n’existe pas. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 13 / 20
  14. 14. I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . 1 On dit que f admet un maximun (resp. minimum) en x0 si pour tout x ∈ Df : f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 )) 2 On dit que f admet un maximun strict (resp. minimum strict) en x0 si pour tout x ∈ Df , x = x0 : f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 ))Exemple 1La fonction f :]0, 1] → R, f (x) = x admet un minimum en x0 = 1. En 1effet, on a f (1) = 1 et pour tout x ∈]0, 1] on a f (x) = x ≥ 1 = f (1). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 14 / 20
  15. 15. I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .On dit que f admet un maximun local (resp. minimum local) en x0 si ilexiste δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) (resp. x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≥ f (x0 ))D´finition eUn extremum signifiera maximum ou minimum. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 15 / 20
  16. 16. I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R eD´finition eSoit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x0 est un pointcritique pour f si f est d´rivable en x0 et que f (x0 ) = 0. eExemple 1 La f : R → R, f (x) = sin(x) est d´rivable sur R et que e f (x) = cos(x) pour tout x ∈ R. L’equation f (x0 ) = 0 ´quivalente ` e a cos(x0 ) = 0 ´quivalente ` x0 = (2k + 1) π avec k ∈ Z. Donc e a 2 l’ensemble des points critiques de f est {(2k + 1) π : k ∈ Z}. 2 3 2 La fonction f : R → R, f (x) = x3 − x est d´rivable sur R et que e f (x) = x 2 − 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est {−1, 1}. 3 3 La fonction f : R → R, f (x) = x3 + x est d´rivable sur R et que e f (x) = x 2 + 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est l’ensemble vide. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 16 / 20
  17. 17. I.2. ExtremumsI. Calcul diff´rentiel dans R ePropositionSoient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extremum local en x0alors x0 est un point critique de f .D´monstration: Supposons que f admet un maximun local en x0 . e• Si x < x0 alors on a f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ≥0 donc fg (x0 ) = lim ≥ 0. x − x0 x→x0 x − x0 x<x0• Si x > x0 alors on a f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ≤0 donc fd (x0 ) = lim ≤ 0. x − x0 x→x0 x − x0 x<x0Donc en peut conclure que f (x0 ) = 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 17 / 20
  18. 18. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e eII. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e eTh´or`me de Rolle e eSoit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[ telle que ef (a) = f (b) = 0. Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.Exemple 2Soit f : [0, 1] → R, f (x) = e x − e x . On a f est continue sur [0, 1] etd´rivable sur ]0, 1[. De plus f (0) = f (1) = 0. Donc d’apr`s le Th´or`me de e e e eRolle, il existe c ∈]0, 1[ tel que f (c) = 0. D’autre part, on a 2f (x) = 2xe x − e x . Donc on a 2 2ce c − e c = 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 18 / 20
  19. 19. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e eII. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e eTh´or`me des accroissements finis e eSoit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors il existe eun c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f (c)(b − a).PropositionSoit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors e 1 f est constante si et seulement si f = 0. 2 f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si f ≥ 0 (resp. f > 0). 3 f est d´croissante (resp. strictement d´croissante) si et seulement si e e f ≤ 0 (resp. f < 0). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 19 / 20
  20. 20. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e eII. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e eExemple 1 Montrer que e x ≥ x + 1 pour tout x ≥ 0. En effet, on pose f : [0, +∞[→ R, f (x) = e x − (x + 1). On a f (0) = 0. De plus f est d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = e x − 1 ≥ 0 pour tout x ≥ 0. Donc f e est croissante. Ainsi x ≥ 0 impique f (x) ≥ f (0) = 0, d’o` u e x − (x + 1) ≥ 0 et donc e x ≥ x + 1. 2 Montrons que sin(x) ≤ x pour tout x ∈ [0, +∞[. En effet, on pose f : [0, +∞[→ R, f (x) = sin(x) − x. On a f (0) = 0. De plus f est d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = cos(x) − 1 ≤ 0. Donc f est e d´croissante. D’o` x ≥ 0 implique f (x) ≥ f (0) = 0, et ainsi e u sin(x) − x ≤ 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 20 / 20

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