Chapitre IIIRelations–Fonctions–Applications
Table des mati`res              eChapitre III Relations–Fonctions–Applications                                            ...
Chapitre IIIRelations–Fonctions–ApplicationsIntroduction   L’objectif de ce chapitre est de maˆ                           ...
12       Professeure : Amale LAHLOU                                                      Chapitre III : Relations–Fonction...
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14    Professeure : Amale LAHLOU                                               Chapitre III : Relations–Fonctions–Applicat...
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  1. 1. Chapitre IIIRelations–Fonctions–Applications
  2. 2. Table des mati`res eChapitre III Relations–Fonctions–Applications 11 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.1.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 a/ D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 b/ Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.1.2 Relation d’´quivalence . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 a/ D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 b/ Classe d’´quivalence . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii) Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 c/ Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.1.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a/ D´finition d’une relation de pr´ordre . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 b/ D´finition d’une relation d’ordre . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 c/ Ordre total ou Ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2.2 Domaine de d´finition . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2.3 Ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.2.4 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3.1 D´finition d’une application . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3.2 Application identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3.3 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ´ III.3.4 Egalit´ de deux applications . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.3.5 Composition de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.3.6 Application surjective, injective, bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a/ Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 b/ Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 c/ Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.3.7 Application r´ciproque d’une bijection . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i
  3. 3. Chapitre IIIRelations–Fonctions–ApplicationsIntroduction L’objectif de ce chapitre est de maˆ ıtriser aussi bien les notions de relations (binaires, d’´quivalence eet d’ordre) que celles d’applications (injectives, surjectives et bijectives) dont il sera fait un usageconstant.III.1 RelationsIII.1.1 Relation binairea/ D´finition d’une relation binaire e On appelle relation binaire 1 , not´ R 2 d’un ensemble E vers un ensemble F , une proposition qui eest vraie pour certains couples de l’ensemble produit E × F , et fausse pour d’autres. E est appel´ eensemble de d´part, et F ensemble d’arriv´e. Si E = F , on dit simplement que R est une relation e ebinaire d´finie dans E. eNotation : Pour exprimer que le couple (x, y) ∈ E × F v´rifie la relation binaire R, on note x R y. eSi x R y, on dit que y est une image de x par la relation R et que x est un ant´c´dent de y par cette e emˆme relation. eExemples : 1. Soit E = F = N et la relation R d´finie dans E par : e xRy ⇐⇒ x divise y est une relation binaire dans N. Le couple (2, 6) v´rifie la relation donc 2 R 6, tandis que le couple e (3, 4) ne v´rifie pas la relation. e 2. Soit E = F = R et la relation C d´finie dans E par : e xC y ⇐⇒ x est le carr´ de y e est une relation binaire dans R. On a 9 C 3, mais la proposition 7 C 2 est fausse. 1 dite binaire car elle fait intervenir deux ´l´ments. ee 2 Il est fr´quent de remplacer la lettre R par un sumbole sp´cial. e e 11
  4. 4. 12 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applicationsb/ Graphe d’une relation binaireD´finition III.1.1 Soit R une relation binaire de l’ensemble E vers l’ensemble F . On appelle graphe ede R (ou ensemble repr´sentant de R) l’ensemble des couples (x, y) ´l´ments de E × F v´rifiant cette e ee erelation. On note GR et on ´crit : e GR = {(x, y) ∈ E × F / x R y}.Exemples : 1. Soient E = Z, F = N et la relation R d´finie de E dans F par : e xRy ⇐⇒ y = x2 . Les couples du GR sont repr´sent´s dans un rep`re (O, Ox, Oy). On parle de repr´sentation gra- e e e e phique de la relation R. On remarque que 4 est l’unique image de 2, mais 4 est aussi l’image de (−2). Le nombre 4 admet deux ant´c´dents qui sont (−2) et 2. e e GR = {(x, y) ∈ Z × N / y = x2 }. Si on prend maintenant E = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} et E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, alors ; GR = {(−3, 9), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}. On peut repr´senter GR ` l’aide d’un diagramme sagittal e a 3 : 2. Soit E = F = {0, 1, 2, 3, 5} et GR = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 3), (5, 2), (5, 5)}. La relation binaire R d´finie dans E peut ˆtre repr´senter par un diagramme sagittal du type : e e e 3 du latin : sagitta =fl`che e
  5. 5. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 13 3. Soient E = {1, 2} et F = {1, 2, 3, 4}. La relation binaire R d´finie dans E vers F par : e (x, y) ∈ E × F, xRy ⇐⇒ x divise y. On a : GR = {(x, y) ∈ E × F / y = kx, k ∈ N}. Explicitement, GR = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}. 4. Soit E = F = [−1, 1] et la relation binaire R d´finie dans E par : e (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1], xRy ⇐⇒ x + y < 0. Alors, GR = {(x, y) ∈ E 2 / x + y < 0} qu’on peut le repr´senter par la partie hachur´e : e eIII.1.2 Relation d’´quivalence ea/ D´finition d’une relation d’´quivalence e e On appelle relation d’´quivalence sur un ensemble E, une relation binaire d´finie dans E et e eposs´dant les propri´t´s suivantes : e ee 1. R´flexivit´ : pour tout x ∈ E, x R x e e 2. Sym´trie : pour tous x, y ∈ E on a, e (x R y =⇒ y R x) 3. Transitivit´ : pour tous x, y et z ∈ E on a, e [x R y et y R z] =⇒ xRzNotation : Soit R est une relation d’´quivalence. Au lieu de x R y on note x ∼ y [R] e (lire : x´quivalent ` y modulo R) ou encore, x ≡ y [R] (lire : x congru ` y modulo R).e a aExemples : 1. Soient E = Z et R, la congruence arithm´tique modulo p d´finie dans Z par : e e (x, y) ∈ Z2 , xRy ⇐⇒ x − y = kp, k ∈ Z, o` p est un entier naturel donn´. R est une relation d’´quivalence dans Z et on note x ≡ y [p] u e e au lieu de x R y. En effet, – R est r´flexive : soit x ∈ Z, x − x = 0 = 0.p donc, e ∀x ∈ Z, xRx.
  6. 6. 14 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications – R est sym´trique : soient x, y ∈ Z, e x R y =⇒ ∃k ∈ Z, x − y = kp =⇒ ∃k = −k ∈ Z, y−x=kp =⇒ x R y Donc, ∀x, y ∈ Z, (x R y =⇒ x R y). – R est transitive : soient x, y, z ∈ Z, xRy x − y = kp =⇒ ∃k, k ∈ Z, yRz y−z =kp =⇒ ∃k, k ∈ Z, x − y + y − z = (k + k )p =⇒ ∃k” = k + k ∈ Z, x − z = k”p =⇒ x R z Donc, ∀x, y, z ∈ Z, (x R y et y R z) =⇒ x R z. 2. Soient E = N et R, la relation binaire d´finie dans E par : e (x, y) ∈ E 2 , xRy ⇐⇒ x est un multiple de y. La relation R est r´flexive et transitive mais non sym´trique. D’o`, la relation n’est pas une e e u relation d’´quivalence dans E. eRemarque : Dans un diagramme sagittal d’une relation binaire d´finie dans E : e – le bouclage de chaque ´l´ment montre une relation r´flexive, ee e – la pr´sence syst´matique d’une fl`che retour indique une relation sym´trique. e e e eb/ Classe d’´quivalence ei)/ D´finition d’une classe d’´quivalence e e Soit R une relation d’´quivalence d´finie dans un ensemble E. e eD´finition III.1.2 On appelle classe d’´quivalence d’un ´l´ment a de E, l’ensemble de tous les e e ee´l’ements x de E qui sont en relation avec a.eOn note : Cl(a), a. ¯On ´crit : e a = {x ∈ E / ¯ x R a}. Chaque ´l´ment de a est appel´ repr´sentant de la classe. ee ¯ e eExemples : Reprenons les exemples des relations d’´quivalence cit´es plus haut : e e a = {x ∈ Z / x − a = kp, ¯ k ∈ Z} = {a + kp / k ∈ Z}
  7. 7. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 15ii)/ Propri´t´s e eTh´or`me III.1.3 Etant donn´e une relation d’´quivalence dans un ensemble E. e e e e 1. pour tout x ∈ E, x ∈ x; ¯ 2. pour toux x, y ∈ E, si y ∈ x alors x = y ; ¯ ¯ ¯ 3. pour toux x, y ∈ E, ou bien x = y ou bien x ∩ y = ∅. ¯ ¯ ¯ ¯Preuve : 1. Comme R est r´flexive alors, pour tout x ∈ E, x R x. Donc x ∈ x ; e ¯ 2. Soient x, y ∈ E. Supposons que y ∈ x, c’est-`-dire, y R x et montrons que x = y . ¯ a ¯ ¯ z∈x ¯ ⇐⇒ zRx ⇐⇒ zRy ⇐⇒ z∈y ¯ (en utilisant la sym´trie et la transitivit´ de R). D’o` x = y . e e u¯ ¯ 3. Soient x et y deux classes distinctes. Supposons qu’il existe z ∈ E tel que z ∈ x ∩ y . ¯ ¯ ¯ ¯ z ∈ x ∩ y =⇒ z ∈ x ¯ ¯ ¯ et z∈y¯ =⇒ z = x ¯ ¯ et z = y (d’apr`s (2)) ¯ ¯ e =⇒ x = y ¯ ¯ ce qui est absurde avec le fait que x = y . D’o` x ∩ y = ∅. ¯ ¯ u¯ ¯Th´or`me III.1.4 Les classes d’´quivalences relatives ` une relation d’´quivalence d´finie dans un e e e a e eensemble E, forment une partition de E.Exemple : Soit la relation de la congruence arithm´tique modulo 3, d´finie dans Z par : e e (x, y) ∈ Z2 , x ≡ y [3] ⇐⇒ x − y = 3k, k ∈ Z,D’apr`s ce qui pr´c`de, e e e a = {a + 3k / k ∈ Z}. ¯Ainsi, ¯ = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . .}, 0 ¯ = {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, . . .}, 1 ¯ = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .}. 2Ces trois classes forment une partition de Z.c/ Ensemble quotient Soit R une relation d’´quivalence d´dinie dans un ensemble E. e eD´finition III.1.5 On appelle ensemble quotient de E par R, not´ E/R, l’ensemble de toutes les e eclasses d’´quivalences. eExemple : Soit la relation de la congruence arithm´tique modulo p, d´finie dans Z par : e e (x, y) ∈ Z2 , x ≡ y [p] ⇐⇒ x − y = kp, k ∈ Z,D’apr`s ce qui pr´c`de, e e e a = {a + kp / k ∈ Z}. ¯
  8. 8. 16 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–ApplicationsAinsi, ¯ 0 = {. . . , −3p, −2p, −p, 0, p, 2p, 3p, . . .}, ¯ 1 = {. . . , 1 − 3p, 1 − 2p, 1 − p, 1, 1 + p, 1 + 2p, 1 + 3p, . . .}, ¯ 2 = {. . . , 2 − 3p, 2 − 2p, 1 − p, 2, 2 + p, 2 + 2p, 2 + 3p, . . .}, . . . p−1 = {. . . , −p − 1, −1, p − 1, 2p − 1, 3p − 1, . . .}.Ces p classes forment une partition de Z. Ainsi, l’ensemble quotient not´ Z/pZ est donn´ par : e e Z/pZ = {¯ ¯ ¯ ¯ . . . , p − 1}. 0, 1, 2, 3,III.1.3 Relation d’ordrea/ D´finition d’une relation de pr´ordre e e On appelle une relation de pr´ordre dans E toute relation binaire d´finie dans E qui est ` la fois e e ar´flexive et transitive. eExemples : 1. Toutes les relations d’´quivalence sont des relations de pr´ordre ; e e 2. La relation binaire d´finie dans Z par : e (x, y) ∈ Z2 , x/y ⇐⇒ y = kx, k∈Z est un pr´ordre. eb/ D´finition d’une relation d’ordre e On appelle une relation d’ordre dans E toute relation de pr´ordre d´finie dans E qui v´rifie la e e epropri´t´ d’antisym´trie, c’est-`-dire : pour tous x, y ∈ E, ee e a (x R y et y R x) =⇒ x = y.dans ce cas, E est dit ensemble ordonn´ par R, et l’on note (E, R) (E ensemble muni de la relation ed’ordre R).Exemples : 1. l’in´galit´ des nombres r´els est une relation d’ordre : e e e (x, y) ∈ R2 , xRy ⇐⇒ x ≤ y. 2. La relation binaire d´finie dans N par : e (x, y) ∈ N2 , xRy ⇐⇒ x divise y est une relation d’ordre. 3. La relation binaire d´finie dans P(E) par : e A, B ∈ P(E), ARB ⇐⇒ A⊆B est une relation d’ordre.
  9. 9. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 17c/ Ordre total ou ordre partiel Soit R une relation d’ordre dans un ensemble E. Deux ´l´ments x et y de E sont comparables si eel’on a : ou bien x R y ou bien y R x.D´finition III.1.6 On dit que : e - E est dit totalement ordonn´ par R (ou encore R est une relation d’ordre total dans E) si pour e tous x et y de E, x et y sont comparables ; - E est dit partiellement ordonn´ par R (ou encore R est une relation d’ordre partiel dans E) si e il existe au moins x, y de E tels que x et y ne sont pas comparables, c’est-`-dire, ni x R y ni a y R x.III.2 FonctionsIII.2.1 D´finition d’une fonction e Soient E et F deux ensembles distincts ou non. On donne le nom de fonction, f , de E dans F ` atoute relation binaire R associant ` chaque ´l´ment x de E au plus un ´l´ment y de F tel que x R y. a ee eeOn ´crit : e f : E −→ F x −→ y = f (x)L’ensemble des fonctions d´finies de E dans F est not´ F(E, F ). e e On appelle E l’ensemble de d´part de f , F l’ensemble d’arriv´e de f , y = f (x) l’image de x par e ef , et x l’ant´c´dent de y = f (x). e e Si l’ensemble d’arriv´e F = R, alors f est dite une fonction num´rique. e eExemples : f : R −→ R+ g : R −→ R √ x −→ f (x) = x x −→ g(x) = |x|III.2.2 Domaine de d´finition d’une fonction e On appelle domaine de d´finition d’une fonction f , l’ensemble des ´l´ments de E poss´dant une e ee eimage dans F . On note, Df = {x ∈ E / ∃y ∈ F tel que y = f (x)}.Si Df = E, on dit que f est partout d´finie. eExemple : Soit la fonction num´rique f d´finie pour tout r´el x de R par : e e e 1 f (x) = x−1On Df = R − {1}.
  10. 10. 18 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–ApplicationsIII.2.3 Ensemble image d’une fonction L’image f (A) d’une partie A de E est, par d´finition, l’ensemble des images des ´l´ments de A, e ee f (A) = {f (x) / x ∈ A}.On appelle ensemble image d’une fonction f , le sous ensemble f (E) de F form´ par des ´l´ments de e eeF qui poss´dent un ant´c´dent dans E. On le note encore Imf et on ´crit, e e e e Imf = {y ∈ F / ∃x ∈ E tel que y = f (x)}.Exemples : √- f (x) = x, Df = R+ et Imf = R+ ;- g(x) = |x|, Df = R et Imf = R+ .III.2.4 Graphe d’une fonction On appelle graphe d’une fonction f (ou ensemble repr´sentatif de f ) la partie de l’ensemble produit eE × F , not´ Gf et d´finie par : e e Gf = {(x, y) ∈ E × F / y = f (x)}.Si le plan est rapport´ ` deux axes concourantes ; tout couple de deux nombres (x, y) repr´sente un ea epoint du plan. x sera l’abscisse de ? et y en sera l’ordonn´e. La courbe d’´quation y = f (x) est l’en- e esemble des points dont les coordonn´es x et y sont li´es par la relation y = f (x). e eExemples : √ √- Pour f (x) = x, Gf = {(x, y) ∈ R × R+ / y = x} ;- Pour g(x) = |x|, Gg = {(x, y) ∈ R2 / y = |x|}.III.3 ApplicationsIII.3.1 D´finition d’une application e On appelle f une application d´finie de E dans F toute correspondance fonctionnelle qui ` tout e a´l´ment x de E associe une et une seule image dans F .eeIII.3.2 Application identique L’application de E dans E qui ` tout x de E associe x lui mˆme est appel´e application identique a e ede E et est not´e idE : e idE : E −→ E x −→ idE (x) = x
  11. 11. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 19III.3.3 Restriction et prolongement d’une application Si f est une application de E dans F , et A une partie de E, on appelle restriction de f ` A et on anote fA , l’application de A dans F qui co¨ ıncide avec f pour tout ´l´ment de A : ee fA : A −→ F x −→ fA (x) = f (x) Inversement, consid´rons f : A → F et g : E → F avec A ⊆ E. Si, pour tout x de A, on a eg(x) = f (x), on dit que g est un prolongement de f ` E. aExemple :Posons, pour tout x de Z, f (x) = |x|. La restriction de f ` N est l’application identique de N : pour atout x de N, fN (x) = x.III.3.4 ´ Egalit´ de deux applications eIII.3.5 Composition de deux applications Soient E, F et G trois ensembles distints ou non et f , g deux applications de E dans F et de Fdans G respectivement. A un ´l´ment x de E, f associe comme image unique dans F l’´l´ment f (x), ee eeauquel g associe comme image unique dans G l’´l´ment g(f (x)). ee x ∈ E −→ g(f (x)) ∈ G.On a ainsi une application, appel´e produit de f par g (ou encore application compos´e de f et g), e eassociant ` tout ´l´ment x de E un ´l´ment unique g(f (x)) de G. Cette application sera not´e par a ee ee eg ◦ f et on ´crit : e g ◦ f : E −→ F x −→ g ◦ f = g(f (x))Exemples :III.3.6 Application surjective, injective, bijectivea/ Surjection On dit qu’une application f de E dans F est surjective si f (E) = F (normalement f (E) ⊆ F ),c’est-`-dire : a ∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x).
  12. 12. 20 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications Autrement dit, pour une application surjective de E dans F , il n’y a aucun ´l´ment y de F qui ne eesoit l’image d’un ´l´ment x de E. eeExemple : Soit l’application suivante : f : R+ −→ R+ x −→ f (x) = x2f est une application surjective de R+ dans R+ car tout ´l´ment de R+ est le carr´ d’un nombre r´el ee e epositif.b/ Injection On dit qu’une application f de E dans F est injective si pour tous x1 , x2 ∈ E, l’on ait : x1 = x2 =⇒ f (x1 ) = f (x2 )ou bien (par contrapos´e) e f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 Autrement dit, pour une application injective de E dans F , il n’arrive jamais que deux ´l´ments eedistincts de E aient la mˆme image dans F . eExemple : Soit l’application suivante : f : R+ −→ R+ x −→ f (x) = x2f est une application injective de R+ dans R+ car pour toux ´l´ments x)1, x2 de R+ , ee f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x2 = x2 1 2 =⇒ (x1 − x2 )(x1 + x2 ) = 0 =⇒ x1 = x2c/ Bijection On dit qu’une application f de E dans F est bijective si elle est ` la fois surjective et injective, ac’est-`-dire : a ∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x).
  13. 13. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 21 Autrement dit, pour une application surjective de E dans F , il n’y a aucun ´l´ment y de F qui ne eesoit l’image d’un et un seul ´l´ment x de E. eeExemple : Soit l’application suivante : f : R+ −→ R+ x −→ f (x) = x2f est une application bijective de R+ dans R+ .Remarque : Toujours bien pr´ciser les ensembles de d´part et d’arriv´e lorsqu’on parle d’injection, e e ede surjection ou de bijection. En effet : f : R −→ R – n’est ni surjective ni injective, x −→ f (x) = x2 f : R −→ R+ – est une surjection et non une injection de R dans R+, x −→ f (x) = x2 f : R+ −→ R – est une injection et non une surjection de R+ dans R, x −→ f (x) = x2 f : R+ −→ R+ – est une bijection de R+ dans R+ . x −→ f (x) = x2III.3.7 Application r´ciproque d’une bijection e Soit f une application bijective de E dans F . Ainsi f associe ` tout x unique de E un y unique ade F . R´ciproquement, ` tout y unique de F une autre application, dite application r´ciproque, fait e a ecorrespondre un ´l´ment x unique de E. Cette application r´ciproque s’´crit f ee e e −1 : f −1 : F −→ E y −→ x = f −1 (y)Remarque : Il est clair que f −1 est bijective et que (f −1 )−1 = f.Exemple : Soit l’application bijective : f : R+ −→ R+ x −→ f (x) = x2Son application r´ciproque est d´finie comme suit : e e f −1 : R+ −→ R+ y=x 2 −→ x = f −1 (y) = √yRemarque : S’il existe une bijection entre E et F , on dit que E et F sont ´quipotents. On note : eE F . Cette relation est d’´quivalence dans l’ensemble des parties de E. e

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