Semestre     :2Module       : Méthodes QuantitativesElément      : Mathématiques EconomiquesEnseignant   : Mr BENMOUSSA   ...
Professeur BENMOUSSA                                 Mathématiques Economiques                                        PROG...
Professeur BENMOUSSA                                                         Mathématiques Economiques                    ...
Professeur BENMOUSSA                                                        Mathématiques Economiques                   si...
Professeur BENMOUSSA                                                       Mathématiques Economiques       III-     Dérivé...
Professeur BENMOUSSA                                                  Mathématiques Economiques           4- Dérivée :    ...
Professeur BENMOUSSA                                                       Mathématiques Economiques                     x...
Professeur BENMOUSSA                                                  Mathématiques Economiques                           ...
Professeur BENMOUSSA                                                                          Mathématiques Economiques   ...
Professeur BENMOUSSA                                        Mathématiques Economiques                                 3   ...
Professeur BENMOUSSA                                                  Mathématiques Economiques                           ...
Professeur BENMOUSSA                                                                   Mathématiques Economiques          ...
Professeur BENMOUSSA                                                     Mathématiques Economiques       VI-      Equation...
Professeur BENMOUSSA                                               Mathématiques Economiques                              ...
Professeur BENMOUSSA                                      Mathématiques Economiques                                      y...
Professeur BENMOUSSA                                                                        Mathématiques Economiques     ...
Professeur BENMOUSSA                                               Mathématiques Economiques                              ...
Professeur BENMOUSSA                                                                                     Mathématiques Eco...
Professeur BENMOUSSA                                                                           Mathématiques Economiques  ...
Professeur BENMOUSSA                                                    Mathématiques Economiques                         ...
Professeur BENMOUSSA                                              Mathématiques Economiques                    15d = ∑ di ...
Professeur BENMOUSSA                                                         Mathématiques Economiques     2- Propriétés :...
Professeur BENMOUSSA                                                Mathématiques Economiques    Toute fonction f(x) conti...
Professeur BENMOUSSA                                                                   Mathématiques Economiques        V-...
Professeur BENMOUSSA                                                       Mathématiques Economiques                     1...
Professeur BENMOUSSA                                                  Mathématiques Economiques                       log ...
Professeur BENMOUSSA                                                                          Mathématiques Economiques   ...
Professeur BENMOUSSA                                                                         Mathématiques Economiques    ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Maths economiques s2

16 689 vues

Publié le

TELECHARGER:
http://www.tifawt.com/economie-et-gestion/cours-mathematiques-economiques

3 commentaires
8 j’aime
Statistiques
Remarques
  • TELECHARGER:
    http://www.tifawt.com/economie-et-gestion/cours-mathematiques-economiques
       Répondre 
    Voulez-vous vraiment ?  Oui  Non
    Votre message apparaîtra ici
  • ? où est l'application économique des intégrales ? où sont les intégrales doubles et les extrema de telles fonctions ? il manque visiblement une partie...
       Répondre 
    Voulez-vous vraiment ?  Oui  Non
    Votre message apparaîtra ici
  • merci pour votre aide c'est un tres bon cours
       Répondre 
    Voulez-vous vraiment ?  Oui  Non
    Votre message apparaîtra ici
Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
16 689
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
4
Actions
Partages
0
Téléchargements
112
Commentaires
3
J’aime
8
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Maths economiques s2

  1. 1. Semestre :2Module : Méthodes QuantitativesElément : Mathématiques EconomiquesEnseignant : Mr BENMOUSSA Eléments du cours Les Fonctions Les Intégrales simples Les Intégrales doubles Extrêmes de fonctions de deux variables Numérisation & Conception Mr Mohamed-Fadil ZIADI
  2. 2. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques PROGRAMME I- Les Fonctions : - Fonctions trigonométriques. - Fonctions ex. - Fonction log x. - Elasticité. II- Les Intégrales simples : - Par parties. - Par changement de variables. - Fractions rationnelles. - Fractions irrationnelles. - Intégrales impropres. III- Les Intégrales doubles. IV- Extrêmes de fonctions de deux variables.© -2-
  3. 3. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES. I- Définition : cercle trigonométrique : Sin tan π/2 + Sin α π α 2π Cos -1 cosα 1 3π 2 Rayon = 1. -1 ≤ cos α ≤ 1 R=1 ⇒ -1 ≤ sin α ≤ 1 - ∞ < tg α < + ∞ α 0 π π π π 4 2 6 3 Cos α 1 2 0 3 ½ 2 2 Sin α 0 2 1 1 3 2 2 2 Tg α 0 1 0 3 3 3 Sin (- α) = - sin α sin (π - α) = sin α -α cos (- α) = cos α π-α cos (π - α) = - cos α tg (- α) = - tg α tg (π - α) = - tg α© -3-
  4. 4. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques sin (π + α) = - sin απ+α cos (π + α) = - cos α tg (π + α) = tg α π sin ( + α) = cos α 2π π +α cos ( +α) = - sin α2 2 π 1 tg ( + α) = - = - cotg α. 2 tgα II- Formules trigonométriques:Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.Sin 2a = 2 sin a cos a.Cos 2a = cos2 a – sin2 a.Théorème de Pythagore : A B α OOA2 = AB2 + OB2⇒ 12 = sin2 α + cos2 α ⇒ cos2 α + cos2 α = 1 cos 2 α + sin 2 α 1⇒ = . cos α 2 cos 2 α 1 ⇒ 1 + tg2 α = cos 2 α sin 2α 2 sin α . cos α 2tgxtg 2α = = . = . cos 2α cos 2 α − sin 2 α 1 − tg 2α 2 sin α .2 cos α = cos 2 α cos 2 α − sin 2 α cos 2 α-2-
  5. 5. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques III- Dérivées des fonctions trigonométriques : f (x) f ′ (x) sin x cos x cos x - sin x tg x 1 = 1 + tg2 x cos (ax + b) 2 cos x sin (ax + b) - a . sin ( ax + b) a . cos (ax + b) IV- Fonctions réciproques : Y = cos x ⇔ x = arcos y Y = sin x ⇔ x = arc sin y Y = tg x ⇔ x = arc tg y V- Etude de la fonction (y = sin x) : 1- Domaine de définition : Df = ℜ. 2- Parité : Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire. Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire. Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire. 3- Périodicité : Une fonction est périodique de période T. ⇔ f (x + T) = f (x). sin y = sin (x) sin (α + 2π) = sin α. Sin (α + 4π) = sin α. Sin (α + kπ) = sinα. Sin α cos α Donc dans ce cas T = 2π cos αF -2-
  6. 6. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 4- Dérivée : π πy ′ = cos x ⇔ cos x ≥ 0 ⇔ - ≤ x ≤ 2 2 π 3π cos x ≤ 0 ⇔ ≤x≤ 2 2 5- Tableau de variation : x π 3π 2π 0 2 2 y′ + - + y 1 0 0 -1 6- La courbe : y 1 x π 3π 2π 2 2 -1 T=2π VI- Etude de la fonction (y = cos x) :La dérivée de cette fonction est la suivante : y ′ = - sin x.La table de variation se présente comme suit :-3-
  7. 7. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques x 0 π 2π y′ - + - y 1 1 -1 y 1 0          x π 3π π 2π 2 2 -1 VII- Etude de la fonction (y = tg x) : 1- Période : Tg (α + π) = tg α ⇒ tg α est périodique et T = π. 2- Parité : tg (-x) = -tg x ⇒ y = tg x est impaire. 3- Dérivée : 1 y′= ≠ 0. cos 2 x 4- Le tableau de variation :© -4-
  8. 8. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques x −π π 2 2 y′ + y +∞ -∞ 5- La courbe : y y = tg x x Remarque : les asymptotes : VIII- Exercices : 1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 - 2 . 2/ Résoudre dans RR les équations : a- 2 sin 3 x = 1. 3 b- cos 2 x = 2 Solution : 1- On sait que sin2x + cos2x = 1 ⇒ sin2x = 1- cos2x. On sait aussi que : cos x = 1- 2 .© -5-
  9. 9. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques ⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2. ⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2). ⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1). ⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ± 2 −1 × 2 • tg = ? 1 On sait que 1+ lg2 = . cos 2 x 1 ⇒ tg2 x = -1. cos 2 x 2 1 1 − (1 − 2 ) 2 2( 2 − 1) ⇒ tg x = 2 -1= 2 = . (1 − 2 ) (1 − 2 ) (1 − 2 ) 2 2 ⇒ tg2 x = - . (1 − 2 ) −2 2 ⇒ tg2 x = ± = ± . (1 − 2 ) ( 2 − 1) 2- a- 2 sin (3x) = 1 ⇒ sin 3x = 1 2 π ⇒ sin 3x = sin . 6 Observation: sin x = sin α ⇒ * x = α + 2kπ. * x = (π - α) + 2kπ. cos x = cos α ⇒ * x = α + 2kπ. * x = - α + 2kπ. π Donc : sin 3x = sin . 6 π ⇒ 3x = + 2kπ. ; (k∈Ζ) 6 π 3x = (π - ) + 2kπ. 6 π2kπ ⇒ x= + ; (k∈Ζ) 18 3 5π 2kπ x= + 18 3© -6-
  10. 10. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 3 b- cos 2x = . 2 π ⇒ cos 2x = cos 6 π ⇒ 2x = + 2kπ. ; (k∈Ζ) 6 π 2x = - + 2kπ. 6 π 2kπ ⇒ x= + ; (k∈Ζ) 12 2 π 2kπ x=- + 12 2 Consequences: Il existe quatre solutions : π • x1 = . 12 π • x2 = +π. 12 π • x3 = - . 12 π • x4 = - + π. 12© -7-
  11. 11. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques x Chapitre 2 : FONCTION « y = e » I- Définition : e0 = 1 e = 2,718. II- Propriétés : 1- y’ = ex. 2- ea+b = ea.eb 3- ea.b = (ea)b ea 4- = ea-b eb III- Etude de la fonction f(x) = ex : 1- ex est strictement croissante. 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ 3- lim ex = + ∞ . +∞ en −1 lim 0 = 1. h x lim e = 0. −∞ Exercice: 1- Simplifier les expressions suivantes: a- ex . e-2x b- (e2x)2 . (e-3x)4. c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2. ex −1 2- Soit la fonction : f(x) = . ex +1 a- Calculer lim f(x) −∞ et lim f(x). +∞ e −1x 3- Calculer lim ( ). 0 3x Solution: 1- a- ex.e-2x = e-x. b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x. c- (ex + e-x) – (ex – e-x) = 4.w -8-
  12. 12. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques ex −1 2- On considère que : f(x) = ex +1 lim f(x) = -1. −∞ 1− 1 ex lim f(x) = x [ ex ] = 1. +∞ e 1+ 1 ex 1 Car on sait que lim = 0. +∞ ex ex −1 1 ex −1 3- lim = lim . 0 3x 3 0 x 1 = . 3 IV- Tableau de variation: x -∞ 0 +∞ y’ + y 1 +∞ 0 Car on sait que : y’ = ex ≠ 0. La courbe : y y = ex 1 x 0 V- Autres limites : ex lim +∞ = +∞. x x lim x e = 0. −∞© -9-
  13. 13. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques VI- Equations et inéquations: * ea = eb ⇒ a = b. * ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante. VII- Exercices : 1- Calculer lim f(x) = lim (ex – x + 1). +∞ +∞ 2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex. Solution : ex 1 1- lim (ex – x + 1) = lim ( +∞ +∞ - 1 + ) = +∞. x x 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ . On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’ f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2) = ex (x – 1). x -∞ 1 +∞ f’(x) - 0 + f(x) 0 +∞ y 0 І 1 x -e© - 10 -
  14. 14. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES. I- Définition : On appelle logarithmes de base « a » : log( x) y= . log(a ) Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien). 1 y = log x = dx. x > 0. x ∫ 1 x 1 1 Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 = ∫ 1 dx. x + Pour : x = 0 ⇒ log x = - ∞. 1- Dérivée : 1 y = log x ⇒ y’ = . x 2- Propriétés: * log (a.b) = log a + log b. a * log = log a – log b. b 1 * log = - log a. a * log an = n. log a II- Etudier la fonction y = log x : * Df = ]0,+∞[ 1 * y’ = ≠0. x x 0+ 1 +∞ y’ + y 0 +∞ -∞© - 11 -
  15. 15. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques y y = log x 0 i x 1 Exercices : Etude des fonctions : a- y = 3 log x + 2. b- y = log (x – 2). Solutions : a- Df = ]0,+∞[ 3 f’(x) = . x x 0+ 1 +∞ f’(x) + f(x) 2 +∞ -∞ b- Df = ]2,+∞[ 1 f’(x) = x−2 x 2 3 +∞ f’(x) + f(x) 0 +∞ -∞© - 12 -
  16. 16. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques III- Limites : * lim ln x = +∞. +∞ * lim ln x = -∞. 0+ ln x * lim +∞ = 0- x * lim x lnx = 0- 0 ln x * lim =1 1 x −1 ln( x + 1) * lim 0 =1 x IV- Exercices: 1 1- Etude de la fonction : y = x2 e x . Et tracer le graphique. 2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x. 1 − 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x . Solution : 1 2 1- Etude de la fonction : y = x e . x * Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ car on a (x ≠ 1). 1 1 1 * y’ = 2x. e + x2 (- x ). e x x2 1 = (2x – 1). e x . 1 On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ou e x = 0. 1 1 1 ⇔ x= on sait que e > 0 donc : e ≠ 0. x x 2 Donc le tableau de variation est le suivant : x -∞ 0 1 +∞ 2 y’ - - + y +∞ +∞ +∞ 1 2 0 e 4© - 13 -
  17. 17. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 1 * lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞ −∞ −∞ 1 2 * lim f(x) = lim (x . e ) = +∞ +∞ +∞ x 1 2 * lim f(x) = lim (x . e ) = 0 x 0− 0− 1 2 * lim f(x) = lim (x . e ) = 1 0+ 0+ x y e2 4 0 1 x 2 2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x. * Df = ]0,+∞[ . * y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3 y’ = log x – 2. On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0. ⇔ x = e2 . * Tableau de variation : x 0 e2 +∞ y’ - 0 + y +∞ +∞ -2 e * lim f(x) = lim x.(log x – 3) = +∞. +∞ +∞ * lim f(x) = lim x. log x – 3x = 0 0+ 0+© - 14 -
  18. 18. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques * Représentation graphique: y y = x log x – 3x. e2 e3 x -e2 1 − 3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x : * Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ 1 1 − 1 − * f’ (x) = e x + (x – 2). 2 .e x x 1 1 − x − 2 −x =e x + .e x2 1 − x+2 =e x (1 + 2 ). x 1 2 − x + x+2 =e x ( ). x2 1 − x2 + x + 2 On a f’(x) = 0 ⇔ e x ( )=0 x2 1 − On sait que e ≠ 0 et x2 ≠ 0. x Donc x2 + x + 2 = 0 ∆ = 9 = 32. x1 = 1 et x2 = -2. * Tableau de variation : x -∞ -2 0 1 +∞ y’ + - - + y -4 2 0 +∞ -∞ -∞© - 15 -
  19. 19. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 1 −* lim f(x) = lim (x – 2) e x = -∞. −∞ −∞ 1 −* lim f(x) = lim (x – 2) e +∞ +∞ x = +∞. 1 −* lim f(x) = lim (x – 2) e x = -∞. 0− 0− 1 −* lim f(x) = lim (x – 2) e 0+ 0+ x = 0.* Asymptotes obliques: 1 − 1 f ( x) ( x − 2).e x x 2 −- lim +∞ = lim+∞ = lim . (1 - ) . e x . +∞ x x x x f ( x) ⇒ lim +∞ = 1. x 1 −- lim [f(x) – x] = lim (x – 2). e +∞ +∞ x - x. 1 1 − − = lim x e +∞ x -2 e x - x. 1 1 − − = lim x [ e +∞ x - 1] – 2 e x . 1 On met: X=- . x 1Donc : lim - +∞ [eX – 1] – 2 eX = -3. X* Représentation graphique : 1 - e -4 e- 16 -
  20. 20. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Chapitre 4 : INTEGRALES I- Principes : 1- 1er cas : Un train roule à la vitesse de v = 70 m s Durant un temps de t = 15 secondes. Quelle est la distance parcourue par le train ? On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m. v (ms ) v1 = 70 t (secondes) t1 = 15 d = v.t = aire du rectangle hachuré. 2- 2ème cas : La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t). On sait que : d = v.t. Donc : d(t) = v(t) . t. v (ms ) V(t) v1 = 70 S 0 t (secondes) t1 = 15© - 17 -
  21. 21. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 15d = ∑ di = ∫ f (t ) dt = S. 0C’est la somme des aires des petits rectangles. II- Intégrale d’une fonction sur un intervalle : 1- Définition : f(x) f(x) v1 = 70 S 0 x a b b I= ∫ f ( x) dx = aire S. a Remarque:L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif. v (ms ) 0 t (secondes) a b- 18 -
  22. 22. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 2- Propriétés : bSi « f » est constante ⇒ I = ∫ kf ( x) dx. a I = k (b – a). 3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) : 1 bM= ∫ f ( x) dx. (b − a ) a III- Propriétés générales d’une intégrale : 1- Théorème :Toute fonction continue sur un intervalle I = [a, b] admet un intégrale. 2- Propriétés : a* ∫ f ( x) dx = 0. a b a* ∫ f ( x) dx = - ∫ f ( x) dx. a b b c c* ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx. a b a b b* ∫ kf ( x) dx =k ∫ f ( x) dx. a a b b b* ∫ f ( f + g )( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx. a a a* Si f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ f (x) ≤ ∫ g (x) . IV- Primitives d’une fonction : 1- Théorème :Soit f(x) une fonction continue sur I = [a, b] .L’application : F : x → F(x) = ∫ f (t ) dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) =f(x). 2- Propriétés :- 19 -
  23. 23. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives. Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ». Avec « k » constante. L’intervalle « I » Fonction « f » Primitive « F » ℜ a ax + b ℜ x 1 2 x +c 2 ℜ xn ; n∈ ℵ 1 n+1 x +c n +1 + − ℜ * ou ℜ * 1 1 - +c x2 x + − ℜ * ou ℜ * 1 −1 +c xn (n − 1) x n −1 + ℜ* 1 2 x +c x ℜ + x r ; r∈( Q/ {− 1} ) 1 * xr+1 + c r +1 ℜ 1 Artan x + c 1+ x2 ℜ Cos x Sin x + c ℜ Sin x - cos x + c  π π  1 Tan x + c  − 2 + kπ ; 2 + kπ  1+ tan2x =   (cos) 2 ]kπ ; π + kπ [ 1+ cotan2x = 1 - cotan x + c (sin) 2 « u » est dérivable sur I et u’ × un ; n ∈(Q/ {− 1} ) 1 strictement positive sur I un+1 + c n +1 « u » est dérivable sur I et u 2 u +c strictement positive sur I u « u » est dérivable sur I u Arctan (u) + c 1+ u2 « v » est dérivable et ne v 1 s’annule pas sur I - +c v2 v « u et v » sont dérivables u’ + v’ u+v+c sur I « u et v » sont dérivables u’v + uv’ u.v + c sur I « u et v » sont dérivables u v − uv u +c sur I et v ≠ 0 v2 v « v » est dérivable sur I et u’(v(x)) × v’(x) (uov)(x) + c « u » est dérivable sur v(I) ℜ Cos (ax + b) ; a ≠ 0 ( 1 ) sin (ax + b) + c a ℜ sin (ax + b) ; a ≠ 0 - ( 1 ) cos (ax + b) + c a© - 20 -
  24. 24. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques V- Intégration par partie : ∫ U .V = U.V - ∫ U .V . Exemples : Calculer les intégrales suivantes : π 1- I = ∫ x. cos x .dx . 0 On pose: V=x V’ = 1 U’ = cos x U = sin x π I = [x. sin x]π0 - ∫ sin x .dx 0 = [x. sin x]π0 + [cos x]π0 = (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0). I = -2. 2 2- I = ∫ ( x 2 + ) dx. x 2 I = ∫ x 2 dx + ∫x dx. x3 I= + 2 log x + k. 3 4 3- I = ∫ x x 2 + 4 dx. 2 4 1 1 I= ∫ 2 x( x 2 + 4) 2 dx. 2 2 1 +1  2 1  x2 + 4  1 3 I=   dx . = ( x 2 + 4) 2 . 2  1  3  +1   2  U m +1 Car on sait que: ∫ U .U = m . m +1 4- I= ∫ 5x 3 x 4 + 1 dx. 1 I = ∫ 5 x 3 ( x 4 + 1) 2 dx.© - 21 -
  25. 25. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 1 +1 3 5 ( x 4 + 1) 2 15 3 = = ( x + 1) 2 . 4 1 16 +1 3 e 5- I = ∫ log x dx. 1 On pose : U’ = 1 U=x 1 V = log x V’ = x e I = [x log x]e1 - ∫ dx = [x log x –x]e1. 1 I = 1. π 2 π 6- I = ∫ sin(2 x + ) dx. 0 4 1 On sait que : dx = - cos (ax + b). ∫ sin(ax + b) a 1 π 1 π π Donc: I = [- cos (2x + )] = - [cos (π + ) – cos ]. 2 4 2 4 4 π π On sait que : cos (π + ) = -cos . 4 4 1 2 2 1 Donc : I = - [- - ] = . 2 2 2 2 2 1 7- I = ∫ (2t − 4)e t dt. 0 On pose : U = (2t – 4) U’ = 2 V’ = et V = et. 1 1 I = ∫ (2t − 4)e t dt = [et (2t – 4)]10 - ∫ 2e t dt. 0 0 = [e (-2) – (-4)] – 2 [et]10. = -4e + 6.© - 22 -
  26. 26. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques log x e 8- I= ∫ 2 dx. 1 x 1 On pose : V = log x V’ = x 1 1 U’ = U=- x2 x 1 1 e I = [- .log x]e1 + ∫ 2 dx. x 1 x 1 1 = [ - . Log e + 1. log 1] – [ - 1]. e e 2 =- + 1. e π 9- I = ∫ 2t sin t dt. 0 On pose : V = 2t V’ = 2 U’ = sin t U = -cos t. π I = - [2t.cos t]π0 + ∫ 2 cos t dt. 0 = - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π0. = 2 π. VI- Décomposition : 1+ x Décomposition de : R(x) = . ( x + 4) 2 ( x − 1) 1+ x A B C R(x) = 2 = + 2 + . ( x + 4) ( x − 1) ( x + 4) ( x + 4) ( x − 1) 3 * Calculer B : B = 5 2 * Calculer C : C = 25 2 * Calculer A : A = - 25 3- Lorsque d° P(x) ≥ d° Q(x) : La méthode des calcules est la division euclidienne.© - 23 -
  27. 27. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques P(x) Q(x) p(x) r(x) P( x) r ( x) = p(x) + avec d° r(x) < d° Q(x). Q( x) Q( x) Exemple : P( x) x4 = . On a d° P(x) > d° Q(x). Q( x) x( x + 1) 2 x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1). = x3 + 2x2 + x. x4 x3 + 2x2 + x x4 + 2x3 + x2 x-2 3 2 - 2x – x 2x + 4x2 + 2x 3 3x2 + 2x x4 x4 3x 2 + 2 x = 3 = (x – 2) + 3 . x( x + 1) 2 x + 2x x + 2x 2 + x 3x + 2 = (x – 2) + . ( x + 1) 2 x4 Calcul de I = ∫ x(x + 1) 2 dx. 3x + 2 I = ∫ x − 2 dx + ∫ dx. ( x + 1) 2 On pose: I1 = ∫ x − 2 dx. 3x + 2 I2 = ∫ ( x + 1) 2 dx. 3x + 2 x 2 I2 = ∫ ( x + 1) 2 dx. = 3 ∫ (x + 1) 2 dx + ∫ ( x + 1) 2 dx. 3 2x + 1 − 1 2 = ∫x 2 dx + ∫ ( x + 1) 2 dx 2 + 2x + 1©w - 24 -
  28. 28. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques 3 2x + 1 1 2 = [∫ 2 dx - ∫ dx] + ∫ ( x + 1) dx. 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 2 3 1 2 = [log (x + 1) + ]- . 2 x +1 x +1 Donc : I + I1 + I2. Exercice : 2x + 1 Calculer : ∫ ( x + 1)( x 2 dx + 1) P( x) 2x + 1 A Bx + C R(x) = = 2 = + 2 . Q( x) ( x + 1)( x + 1) x +1 ( x + 1) * Calculer A : 1 A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = - 2 * Calculer B : 2x 2 AxBx 2 3 = +=A+B=0 x x x2 1 ⇒B=-A= . 2 * Calculer C : C On donne à x = 0. Donc 1 = A + ⇒ A + C = 1. 1 ⇒ C = 1 – A. 3 ⇒C= . 2 1 3 −1  x+  I= ∫ 2 dx +  2 2 ( x + 1) ∫ ( x 2 + 1) dx. 1 I = - log x + 1 + I2 2 1 3  x+  2 2 1 x+3 I2 = ∫  2 dx = ∫ 2 dx. ( x + 1) 2 x +1 1 x 3 dx = ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx. 2 1 2x 3 dx = ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx. 4 1 3 = log (x2 + 1) + artang x. 4 2 1 1 3 I = - log x + 1 + log (x2 + 1) + artang x. 2 4 2© - 25 -

×