Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II

IDZ DO
PRZYK£ADOWY ROZDZIA£

SPIS TREŒCI
Teoria sygna³ów. Wstêp.
Wydanie II poprawione
KATALOG KSI¥¯EK i uzupe³nione
Autorzy: Jacek Izydorczyk, Grzegorz P³onka, Grzegorz Tyma
KATALOG ONLINE ISBN: 83-246-0401-4
Format: B5, stron: 304
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG

TWÓJ KOSZYK Kompendium wiedzy na temat sygna³ów i metod ich przetwarzania
DODAJ DO KOSZYKA • Modulacja sygna³ów
• Transformaty Fouriera i Laplace’a
• Filtry analogowe i cyfrowe
CENNIK I INFORMACJE Teoria sygna³ów to jedna z fundamentalnych dziedzin wiedzy technicznej.
Jej znajomoœæ jest niezbêdna nie tylko projektantom urz¹dzeñ elektronicznych,
ZAMÓW INFORMACJE ale równie¿ automatykom, informatykom, elektrotechnikom i specjalistom od
O NOWOŒCIACH telekomunikacji. Rozwój techniki cyfrowej zrewolucjonizowa³ metody przetwarzania
sygna³ów, lecz podstawy tych mechanizmów s¹ niezmienne — nadal wykorzystywane
ZAMÓW CENNIK s¹ transformaty Fouriera i Laplace’a, klasyczne algorytmy modulacji oraz regu³y
projektowania urz¹dzeñ.
Ksi¹¿ka „Teoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II” to kolejne wydanie publikacji
CZYTELNIA poœwiêconej sygna³om i ich przetwarzaniu. Zawiera zbiór najwa¿niejszych informacji
zwi¹zanych z przekszta³caniem i modulowaniem sygna³ów metodami analogowymi
FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE i cyfrowymi oraz projektowaniem filtrów aktywnych i pasywnych. Ka¿dy jej rozdzia³
stanowi osobny wyk³ad uzupe³niony przyk³adami i zadaniami do samodzielnego
rozwi¹zania, który mo¿na przeczytaæ bez odwo³ywania siê do pozosta³ych wyk³adów.
• Szeregi i transformaty Fouriera
• Modulacja sygna³ów
• Przekszta³cenie Laplace’a
• Projektowanie filtrów analogowych
• Sygna³y dyskretne i cyfrowe
• Modulacja impulsowa
• Dyskretna transformata Fouriera
• Liniowe uk³ady cyfrowe
Wydawnictwo Helion • Projektowanie filtrów cyfrowych
ul. Chopina 6 Opanuj podstawy technologii cyfrowej
44-100 Gliwice
tel. (32)230-98-63
e-mail: helion@helion.pl

Spis treści

Rozdział 1. Szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ . . . . . . . . . 9
1.2. Definicja rozwiniecia w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ . . . . . . . . . 10
1.3. Warunki Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Wybrane własnoći szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s . . . . . . . . . 18
1.5. Stan ustalony w obwodach liniowych z wymuszeniami okresowymi . . . . . . . . . 20
1.6. ´
Przykłady zastosowan szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rozdział 2. Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1. Definicja przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Wybrane własnoći przekształcenia Fouriera . . . . . . .
s . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. ˛ s´
Gestoć widmowa sygnału na wyjćiu układu liniowego
s . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Rozdział 3. Modulacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Modulacja w pa´mie podstawowym
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Modulacja sygnału sinusoidalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1. Modulacja amplitudowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2. Przemiana czestotliwoći .
˛ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3. Modulacja katowa . . . . . .
˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.4. Modulacja kwadraturowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Spis treści

Rozdział 4. Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1. Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Odwrotna transformacja Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1. Wzór Riemanna-Mellina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2. Funkcje wymierne, residua i rozkład na ułamki proste . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Własnoći przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s . . . . . . . . . . 81
s´
4.3.1. Liniowoć transformaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.2. Transformata pochodnej sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . 81
4.3.3. Transformata całki sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.4. Granica sygnału w zerze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.5. Pochodna transformaty sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . 82
4.3.6. Opó´ nienie sygnału L -transformowalnego . . . . . . . .
z . . . . . . . . . . 83
4.3.7. Przesuniecie argumentu obrazu L -transformowalnego .
˛ . . . . . . . . . . 83
4.3.8. Transformata sygnału okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.9. Transformata splotu sygnałów L -transformowalnych . . . . . . . . . . . . 84
4.4. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.1. Równania ró˙ niczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . .
z . . . . . . . . . . 84
4.4.2. Równania ró˙ niczkowe czastkowe . . . . . . . . . . . . . .
z ˛ . . . . . . . . . . 88
4.4.3. Równania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.1. Odpowied´ impulsowa układu . . . . . . . . . . . . . . . .
z . . . . . . . . . . 94
4.5.2. Badanie stabilnoći układu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s . . . . . . . . . . 95
4.5.3. Transmitancja operatorowa a transmitancja symboliczna . . . . . . . . . . 100
4.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Rozdział 5. Filtry analogowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1. Filtr idealny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Aproksymacja charakterystyki amplitudowej filtru idealnego . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1. Filtr Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.2. Aproksymacja Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.3. Przekształcenia czestotliwoći . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ s 122
5.3. Synteza pasywnych filtrów LC o charakterystyce Butterwortha i Czebyszewa . . . . 132
´ ´
5.3.1. Obwód łancuchowy otwarty na koncu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
˛z ´
5.3.2. Obcia˙ ony obwód łancuchowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.3. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha — symetryczny obwód łancuchowy ´ 143
5.3.4. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.5. Wzory dla syntezy filtrów Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.6. Przekształcenia czestotliwoći raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ s 148
5.3.7. Kilka słów o projektowaniu filtrów pasywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4. Synteza filtrów aktywnych RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4.1. Idealny wzmacniacz operacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4.2. Kaskadowy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.3. Równoległy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.4. Transmitancje rzedu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ 158
5.4.5. Układy z wielokrotnym sprze˙ eniem zwrotnym . . . . . . . . . . . . . . . .
˛z 160
5.5. Charakterystyka opó´ nienia grupowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 164
5.5.1. Opó´ nienie grupowe filtru o stałych skupionych . . . . . . . . . . . . . . . .
z 164

Spis treści 7

5.5.2. Wyrównywanie charakterystyki fazowej filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5.3. Meandry przyczynowoći . . . . . . . . . . . .
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Rozdział 6. Modulacja impulsowa, sygnały dyskretne i cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1. Transformata Fouriera dystrybucji delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.1. Transformaty Fouriera funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.2. Transformata Fouriera skoku jednostkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.1.3. Transformata Fouriera całki sygnału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.1.4. Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.1.5. Transformata Fouriera funkcji okresowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.1.6. Reguła sumacyjna Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2. Sygnał o ograniczonym pa´mie czestotliwoći i sygnał o ograniczonym czasie
s ˛ s
trwania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
s´
6.2.1. Nierównoć Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.2. Własnoći sygnałów o ograniczonym czasie trwania . . . . . . . . . . . . .
s 184
6.2.3. Własnoći sygnałów o ograniczonym pa´mie czestotliwoći . . . . . . . . .
s s ˛ s 185
6.3. Sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3.1. Modulacja impulsowa — sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3.2. Widmo sygnału dyskretnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3.3. Odtwarzanie sygnału analogowego na podstawie sygnału dyskretnego . . 191
6.3.4. Twierdzenie Kotelnikowa-Shannona-Nyquista . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3.5. Wpływ kształtu sygnałów próbkujacych na widmo sygnału zmodulowanego
˛ 195
6.3.6. Decymacja i interpolacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.7. Dowód twierdzenia o próbkowaniu bez teorii dystrybucji . . . . . . . . . . 198
6.3.8. Próbkowanie sygnałów pasmowych — obwiednia sygnału . . . . . . . . . . 200
6.4. Sygnał cyfrowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4.1. Stałoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4.2. Zmiennoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . 207
6.4.3. Podział kanału w dziedzinie czasu (TDM — time division multiplexing) . 209
6.4.4. Szumy kwantowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4.5. Przetwarzanie ∆Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.4.6. Wzór Shannona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Rozdział 7. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.1. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
´
7.1.1. Sygnał dyskretny o skonczonym czasie trwania i jego widmo . . . . . . . . 227
7.1.2. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.1.3. Własnoći DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s . . . 231
7.2. Szybki algorytm obliczania dyskretnej transformaty Fouriera (FFT) . . . . . . . . . 240
7.2.1. Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.2.2. Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie czestotliwoći . . . . . . . . .
˛ s . . . 242
7.2.3. O dodawaniu i mno˙ eniu liczb przez komputery . . . . . . . . . . . .
z . . . 244
´
7.2.4. Przykłady zastosowan DFT poza cyfrowym przetwarzaniem sygnałów . . . 249
7.3. ´
Algorytm swiergotowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7.4. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Rozdział 8. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.2. Definicja transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.3. Transformacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.4. Transformacja Z sygnału przyczynowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.5. Transformacja sygnału stabilnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.6. Własnoći transformacji Z . . . . . . . .
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.7. Zwiazek z transformacja Fouriera . . . .
˛ ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.8. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Rozdział 9. Liniowe układy dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ 269
9.2. Równania ró˙ nicowe i równania stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 269
9.3. Odpowied´ impulsowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z 272
9.4. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.5. s´ s´
Przyczynowoć i stabilnoć układów cyfrowych a obszar zbie˙ noći transmitancji
z s 276
9.6. Charakterystyka czestotliwoćiowa a zera i bieguny transmitancji . . . . . . . . . .
˛ s 276
9.7. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Rozdział 10. Filtry cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.1. Filtry SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.1.1. Metoda okien czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.2. Filtry NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.2.1. Projektowanie filtrów NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.3. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Transformacja Fouriera
Grzegorz Tyma 2
2.1. De nicja przekształcenia Fouriera
z´
Spróbujmy znale´ c wzory na transformacje Fouriera sygnałów aperiodycznych, korzy-
˛
stajac z wyników otrzymanych dla szeregów Fouriera. Pomysł jest nastepujacy: niech
˛ ˛ ˛
analizowany sygnał aperiodyczny zostanie na chwile zamieniony na okresowy przez
˛
z´
jego powielenie z okresem T . Dla takiego sygnału potrafimy znale´ c rozwiniecie. Na-
˛
stepnie sprawdzimy, jak beda sie zachowywały współczynniki rozwiniecia w przypad-
˛ ˛ ˛ ˛ ˛
˛z c ´
ku, gdy z okresem bedziemy zda˙ a´ do nieskonczonoći. Zabieg ten spowoduje, i˙ nasz
˛ s z
sztucznie powielony, okresowy przebieg znów zamieni sie w sygnał aperiodyczny.
˛
Rozpatrzmy przypadek sygnału okresowego, którego rozwiniecie zostało znalezione
˛
w przykładzie 1.8, w rozdziale po´wieconym szeregom Fouriera. Sygnał ten, o okre-
s ˛
sie T , mo˙ e by´ opisany wzorem
z c

1, gdy |t |< T1 ,
x(t ) = (2.1)
0, gdy T1 < |t |< T /2 .

Znalezione współczynniki rozwiniecia maja posta´
˛ ˛ c

2 sin(kω0 T1 ) 2π
ck = , gdzie ω0 = . (2.2)
kω0 T T

s´
Zdefiniujmy nowa wielkoć w postaci
˛

2 sin(ωT1 )
T ck = (2.3)
ω ω=kω0

i nazwijmy funkcje stojaca po prawej stronie równoći obwiednia. Współczynniki roz-
˛ ˛ ˛ s ˛
winiecia moga by´ traktowane jako próbki obwiedni pobierane w równych odstepach
˛ ˛ c ˛

32 2. Transformacja Fouriera

(rysunek 2.1). Dla ustalonej warto´ci T1 obwiednia jest niezale˙ na od T . Wraz ze wzro-
s z
stem T maleja odstepy pomiedzy pobieranymi próbkami obwiedni. W granicznym
˛ ˛ ˛
˛z ´
przypadku, gdy T da˙ y do nieskonczono´ci, sygnał okresowy staje sie sygnałem ape-
s ˛
riodycznym, a próbki T c k tworza obwiednie.
˛ ˛

a) T = 4 × T1
Tck

2 × w0

w

b) T = 8 × T1 Tck

4 × w0

w

Rysunek 2.1. Obwiednia T c k i próbki pobierane z niej z okresem próbkowania (a) T = 4T1
i (b) T = 8T1

Oznaczmy sztucznie utworzony sygnał okresowy przez x 1 (t ) (rysunek 2.2). Mo˙ emy
z
dla niego napisa´ znane wzory rozwiniecia w szereg Fouriera:
c ˛
∞
x 1 (t ) = c k ejkω0 t , (2.4a)
k=−∞
1 T /2
ck = x 1 (t ) e−jkω0 t dt , (2.4b)
T −T /2

gdzie ω0 = 2π/T . Sygnał okresowy x 1 (t ) powstał przez powielenie z okresem T sygnału
x(t ), zatem x 1 (t ) = x(t ) dla |t | < T /2, ponadto x(t ) = 0 poza tym przedziałem. Korzysta-
jac z tych informacji mo˙ emy poprzedni wzór zapisa´ w postaci
˛ z c

1 T /2 1 ∞
ck = x(t ) e−jkω0 t dt = x(t ) e−jkω0 t dt . (2.5)
T −T /2 T −∞

x(t )

-T1 T1 t
x1 (t )

-T -T1 T1 T t

Rysunek 2.2. Sygnał aperiodyczny x (t ) i sztucznie utworzony sygnał okresowy x 1 (t )

2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera 33

Zatem obwiednie X (jω) z T c k mo˙ na przedstawi´ jako
˛ z c
∞
X (jω) = x(t ) e−jωt dt . (2.6)
−∞

Współczynniki rozwiniecia wyliczamy:
˛
1
ck = X (jkω0 ) . (2.7)
T
Korzystajac z tego, otrzymujemy
˛
∞ 1 1 ∞
x 1 (t ) = X (jkω0 ) ejkω0 t = X (jkω0 ) ejkω0 t ω0 . (2.8)
k=−∞ T 2π k=−∞

Gdy okres T da˙ y do nieskonczonoći, to x 1 (t ) da˙ y do x(t ), a ω0 da˙ y do zera. W efek-
˛z ´ s ˛z ˛z
cie w ostatnim wzorze x(t ) zastapi x 1 (t ), a po prawej stronie suma zostanie zastapiona
˛ ˛
całka˛
1 ∞
x(t ) = X (jω) ejωt dω . (2.9)
2π −∞
Ostatecznie otrzymali´my par˛ wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera:
s e
∞
X (jω) = x(t ) e−jωt dt , (2.10a)
−∞
1 ∞
x(t ) = X (jω) ejωt dω . (2.10b)
2π −∞

Funkcja po transformacji mo˙ e by´ zapisana we współrzednych biegunowych:
z c ˛

X (jω) = |X (jω)| ej arg[ X (jω)] . (2.11)

Moduł X (ω) = |X (jω)| nosi nazwe gestoći widmowej amplitudy, natomiast faza ϕ(ω) =
˛ ˛ s
arg X (jω) nazywana jest gestoćia widmowa fazy (czesto zamiennie mówi sie o wid-
˛ s ˛ ˛ ˛ ˛
mie amplitudowym i fazowym).
Podane zostana teraz warunki, jakie musi spełnia´ funkcja x(t ), aby mo˙ na było
˛ c z
z´
znale´ c jej transformate Fouriera.
˛

2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera
Podobnie jak dla sygnałów okresowych podaje sie trzy warunki, zwane warunkami Di-
˛
richleta, na istnienie transformacji Fouriera funkcji x(t ).
Warunek 1. Funkcja x(t ) jest bezwzgl˛ dnie całkowalna, tzn.
e
∞
|x(t )| dt < ∞ . (2.12)
−∞

Warunek 2. Funkcja x(t ) ma skonczona liczb˛ maksimów i minimów w dowolnym
´ ˛ e
skonczonym przedziale.
´


Warunek 3. Funkcja x(t ) ma skonczona liczb˛ punktów nieciagłoći w dowolnym
´ ˛ e ˛ s
skonczonym przedziale. Ponadto wartoći funkcji w tych punktach musza by´ ogra-
´ s ˛ c
niczone.

W kolejnym podrozdziale przedstawiono wybrane własnoći przekształcenia Fouriera.
s

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera
Liniowość
Je˙ eli
z
x(t ) = X (jω)
ˆ oraz y(t ) = Y (jω),
ˆ (2.13a)

to
a x(t ) + b y(t ) = a X (jω) + b Y (jω) .
ˆ (2.13b)

Dowód twierdzenia o liniowoći przekształcenia Fouriera jest łatwy i wynika wprost ze
s
wzoru na proste przekształcenie Fouriera.

Przesunięcie w czasie
Je˙ eli x(t ) = X (jω), to x(t − t 0 ) = e−jωt0 X (jω). Udowodnijmy to. Wiemy, i˙
z ˆ ˆ z

1 ∞
x(t ) = X (jω) ejωt dω . (2.14)
2π −∞

Wprowadzajac przesuniecie w czasie, otrzymujemy
˛ ˛

1 ∞ 1 ∞
x(t − t 0 ) = X (jω) ejω(t −t0 ) dω = e−jωt0 X (jω) ejωt dω . (2.15)
2π −∞ 2π −∞

Dostajemy zatem
F x(t − t 0 ) = e−jωt0 X (jω) . (2.16)

z c ˙
Warto zauwa˙ y´ , ze przesuniecie oryginału powoduje zmiane jedynie gestoći widmo-
˛ ˛ ˛ s
˛ s´
wej fazy, natomiast bez zmiany pozostaje gestoć widmowa amplitudy.

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
Je˙ eli x(t ) = X (jω), to ejω0 t x(t ) = X [j(ω − ω0 )]. Udowodnijmy to. Wiemy, i˙
z ˆ ˆ z

1 ∞
x(t ) = X (jω) ejωt dω . (2.17)
2π −∞

Wprowadzajac przesuniecie w czestotliwoći, otrzymujemy
˛ ˛ ˛ s

1 ∞
F −1 X [j(ω − ω0 )] = X [j(ω − ω0 )] ejωt dω =
2π −∞
jω0 t ∞
(2.18)
e
= X (v) ejv t dv = ejω0 t x(t ) .
2π −∞

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 35

Różniczkowanie i całkowanie oryginału
1 ∞ jωt
Zró˙ niczkujmy wzór x(t ) =
z 2π −∞ X (jω) e dω po czasie; w efekcie otrzymamy

dx(t )
= jωX (jω)
ˆ (2.19)
dt
Twierdzenie powy˙ sze jest prawdziwe, gdy funkcja x(t ) jest bezwzglednie całkowalna
z ˛
w przedziale (−∞, +∞), ciagła i da˙ y do zera dla t → ±∞ oraz ma prawie wszedzie
˛ ˛z ˛
pochodna x(t ), która jest bezwzglednie całkowalna w przedziale (−∞, +∞).
˛˙ ˛
Niestety wzór na transformate Fouriera całki nie jest tak prosty, jak w przypadku
˛
transformaty Laplace’a:
t X (jω)
x(ζ) dζ =
ˆ + π X (0) δ(ω) . (2.20)
−∞ jω
t
z c ˙
Aby go udowodni´ , trzeba zauwa˙ y´ , ze sygnał
c −∞ x(ζ) dζ jest splotem sygnału x(t )
z jedynka Heaviside’a
˛
1 dla t 0,
1(t ) = (2.21)
0 dla t < 0,

i zastosowa´ twierdzenie o transformacie Fouriera splotu sygnałów1 .
c

Skalowanie w czasie i częstotliwości (podobieństwo)
Je˙ eli x(t ) = X (jω), to dla dowolnej stałej a > 0 zachodzi
z ˆ

1 jω
x(at ) =
ˆ X . (2.22)
a a

Dowód:
∞ ∞ ω dτ 1 jω
F [x(at )] = x(at ) e−jωt dt = x(τ) e−j a τ = X . (2.23)
−∞ −∞ a a a

Twierdzenie o transformacie splotu
Je˙ eli
z
x(t ) = X (jω)
ˆ oraz y(t ) = Y (jω) ,
ˆ (2.24a)

to
∞
x(t − τ)y(τ) dτ = X (jω)Y (jω) .
ˆ (2.24b)
−∞

Udowodnijmy to:
∞ ∞ ∞
F x(t − τ)y(τ) dτ = x(t − τ)y(τ) dτ e−jωt dt =
−∞ −∞ −∞
∞ ∞ (2.25)
= y(τ) x(t − τ) e−jωt dt dτ .
−∞ −∞
1 Wiecej o transformacie Fouriera jedynki Heaviside’a napisano w podrozdziale 6.1.2 na stronie 176.
˛


Wprowadzajac nowa zmienna całkowania u = t −τ, mamy dt = du oraz t = u +τ, wobec
˛ ˛ ˛
tego
∞ ∞ ∞
F x(t − τ)y(τ)d τ = y(τ) x(u) e−jω(u+τ) dt dτ =
−∞ −∞ −∞
∞ ∞ (2.26)
= y(τ) e−jωτ dτ x(u) e−jωu du = X (jω)Y (jω) .
−∞ −∞

Wzór Parsevala
Je˙ eli
z
x(t ) = X (jω) ,
ˆ (2.27a)
to ∞ ∞
1
|x(t )|2 dt = |X (jω)|2 dω . (2.27b)
−∞ 2π −∞
Spróbujmy to wykaza´ :
c
∞ ∞ ∞ 1 ∞
|x(t )|2 dt = x(t ) x ∗ (t ) dt = x(t ) X ∗ (jω) e−jωt dω dt . (2.28)
−∞ −∞ −∞ 2π −∞

s´
Zmieniajac kolejnoć całkowania, otrzymujemy
˛
∞ 1 ∞ ∞
|x(t )|2 dt = X ∗ (jω) x(t ) e−jωt dt dω =
−∞ 2π −∞ −∞
1 ∞ 1 ∞
= X ∗ (jω) X (jω) dω = |X (jω)|2 dω .
2π −∞ 2π −∞
∞
Wzór Parsevala posiada interpretacje fizyczna. Wartoć całki −∞ |x(t )|2 dt mo˙ e by´
˛ ˛ s´ z c
traktowana jako energia zamieniona na ciepło na oporniku 1 Ω przy przepływie pradu ˛
´
i = x(t ) w nieskonczenie wielkim przedziale czasowym. Zgodnie ze wzorem Parsevala
całka z kwadratu gestoći widmowej amplitudy równie˙ przedstawia energie. Dlatego
˛ s z ˛
mówi sie o rozkładzie energii w funkcji pulsacji, a wielkoć |X (jω)|2 /(2π) nazywana jest
˛ s´
gestoćia widmowa energii2 .
˛ s ˛ ˛

Symetria dualna
´
Podobienstwo wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera pociaga za so-
˛
˛ s´
ba dualnoć oryginałów i ich obrazów. Zilustrujmy to przykładem. Znajd´ my obraz
z
dla sygnału czasowego bedacego pojedynczym impulsem prostokatnym, a nastepnie
˛ ˛ ˛ ˛
znajd´ my oryginał dla pojedynczego impulsu prostokatnego w dziedzinie czestotliwo-
z ˛ ˛
´
sci:

1 dla |t | < T1 , 2 sin(ωT1 )
x 1 (t ) = ˆ
= X 1 (jω) = (2.29a)
0 dla T1 < |t | ω

sin(ω0 t ) 1 dla |ω| < ω0 ,
x 2 (t ) = ˆ
= X 2 (jω) = (2.29b)
πt 0 dla ω0 < |ω| .
2 Je˙ eli całkowanie we wzorze (2.27b) odbywa sie wzgledem czestotliwo´ ci f wyra˙ onej w hercach, a nie
z ˛ ˛ ˛ s z
wzgledem pulsacji ω wyra˙ onej w radianach na sekunde, to pomija sie współczynnik 1/(2π).
˛ z ˛ ˛

2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 37

Odpowiednie pary (oryginał i transformata) przedstawiono na rysunku 2.3. Łatwo za-
uwa˙ y´ symetrie, jaka wystepuje w tych dwóch przekształceniach. Bedzie ona wyste-
z c ˛ ˛ ˛ ˛
powała tak˙ e w przypadku innych funkcji. Je˙ eli tylko we´ miemy jedna funkcje i po-
z z z ˛ ˛
liczymy jej transformate, a nastepnie oryginał potraktujemy jako obraz i zastosujemy
˛ ˛
do niego odwrotne przekształcenie, to otrzymane w ten sposób obraz i oryginał beda˛ ˛
do siebie podobne. Mo˙ emy to zapisa´ w nastepujacej postaci:
z c ˛ ˛

x(t ) = X (jω)
ˆ ⇒ X (t ) = 2πx(−ω).
ˆ (2.30)

x1 (t ) 1 X 1 ( jw ) 2T1

p / T1
- T1 T1 t w

x2 (t ) w0 / p X 2 ( jw )
1
p / w0

t - w0 w0 w

Rysunek 2.3. Podobienstwo oryginałów i obrazów
´

Sprzężenie i symetria
Je˙ eli
z
x(t ) = X (jω) ,
ˆ (2.31a)
to
x ∗ (t ) = X ∗ (−jω) .
ˆ (2.31b)
c ˛ s´
Mo˙ na to w prosty sposób udowodni´ . Obliczajac warto´c sprze˙ ona X (jω), otrzymu-
z ˛z ˛
jemy
∞ ∗ ∞
X ∗ (jω) = x(t ) e−jωt dt = x ∗ (t ) ejωt dt . (2.32)
−∞ −∞
Zamieniajac ω na −ω, uzyskujemy
˛
∞
X ∗ (−jω) = x ∗ (t ) e−jωt dt = F x ∗ (t ) . (2.33)
−∞

Je´li x(t ) jest rzeczywiste i x ∗ (t ) = x(t ), to na podstawie dwóch poprzednich wzorów
s
c ˙
łatwo pokaza´ , ze
X (−jω) = X ∗ (jω) oraz X ∗ (−jω) = X (jω) . (2.34)
Je˙ eli przedstawimy X (jω) w postaci
z

X (jω) = Re{X (jω)} + j Im{X (jω)} , (2.35)


to korzystajac ze wzoru (2.34) otrzymujemy nastepujace zale˙ noći (cały czas zakłada-
˛ ˛ ˛ z s
˙
my, ze x(t ) jest rzeczywiste):

Re{X (jω)} = Re{X (−jω)} ,
(2.36)
Im{X (jω)} = − Im{X (−jω)} .

z ˙ ˛ s´
Ze wzorów tych wynika tak˙ e, ze gestoć widmowa amplitudy jest funkcja parzysta,
˛ ˛
˛ s´
a gestoć widmowa fazy — funkcja nieparzysta. Wynik ten mo˙ na tak˙ e otrzyma´ w in-
˛ ˛ z z c
ny sposób. Je´li zapiszemy e−jωt = cos(ωt ) − j sin(ωt ), to transformata Fouriera sygnału
s
x(t ) mo˙ e by´ zapisana w postaci
z c

F {x(t )} = X (jω) = X 1 (jω) − jX 2 (jω) , (2.37)

gdzie
∞
X 1 (jω) = x(t ) cos(ωt ) dt ,
−∞
∞ (2.38)
X 2 (jω) = x(t ) sin(ωt ) dt .
−∞

Wida´ , ze funkcja X 1 (jω) jest parzysta, za´ X 2 (jω) nieparzysta wzgledem ω. Zatem łatwo
c ˙ s ˛
c z ˛ s´ ˛ s´
pokaza´ , i˙ gestoć widmowa amplitudy jest funkcja parzysta, a gestoć widmowa fazy
˛ ˛
funkcja nieparzysta wzgledem ω.
˛ ˛ ˛
W tabeli 2.1 zebrano niektóre własnoći transformaty Fouriera. Natomiast w tabe-
s
li 2.2 znalazły sie wybrane pary transformat. Wyliczenia poszczególnych transformat
˛
z z´
Czytelnik mo˙ e znale´ c w podrozdziale zawierajacym przykłady.
˛

Tabela 2.1. Własnoći transformaty Fouriera
s

Sygnał aperiodyczny Transformata Fouriera
Własność
x ( t ), y ( t ) X (jω), Y (jω)

s´
Liniowoć a x (t ) + b y (t ) a X (jω) + b Y (jω)

Przesuniecie w czasie
˛ x (t − t 0 ) e−jωt 0 X (jω)

Przesuniecie w czestotliwoći
˛ ˛ s ejω0 t x (t ) X [j(ω − ω0 )]
dx (t )
Ró˙ niczkowanie oryginału
z jω X (jω)
dt
t X (jω)
Całkowanie oryginału x (ζ) dζ + π X (0) δ(ω)
−∞ jω
Skalowanie w czasie 1 jω
x (at ) , a > 0 X
s ´
i czestotliwoći (podobienstwo)
˛ a a
∞
Splot x ( t − τ) y (τ) dτ X (jω) Y (jω)
−∞
∞ 1 ∞
Wzór Parsevala |x (t )|2 dt = |X (jω)|2 dω
−∞ 2π −∞

2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39

Tabela 2.2. Wybrane pary transformat

Oryginał Obraz
∞ ∞
c k ejkω0 t 2π c k δ(ω − kω0 )
k=−∞ k=−∞

ejω0 t 2 π δ ( ω − ω0 )
cos(ω0 t ) π[δ(ω + ω0 ) + δ(ω − ω0 )]
sin(ω0 t ) jπ[δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )]
x (t ) = 1 2π δ(ω)
δ( t ) 1
1
1(t ) + π δ(ω)
jω
δ( t − t 0 ) e−jωt 0

sin(ω0 t ) π / ω0 dla |ω| < ω0 ,
X (jω) =
ω0 t 0 dla |ω| > ω0

2 2 π ω2
e−ω0 t exp − 2
|ω0 | 4 ω0
2|ω0 |
e−|ω0 t |
ω2 + ω2
0

2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego
˛ s ˙
Przedstawiajac własnoći przekształcenia Fouriera, pokazano, ze splot dwóch sygna-
łów równy jest iloczynowi transformat Fouriera tych sygnałów. Korzystajac z tej wła-
˛
snoći, mo˙ emy poda´ zwiazek pomiedzy transformata Fouriera X (jω) sygnału na wej-
s z c ˛ ˛ ˛
´
sciu układu liniowego a transformata Fouriera Y (jω) sygnału wyjćiowego. Dany jest
˛ s
on zale˙ noćia
z s ˛
Y (jω) = K (jω) X (jω) , (2.39)

gdzie K (jω) = |K (jω)| ej arg[K (jω)] jest charakterystyka czestotliwoćiowa obwodu. Zwiazki
˛ ˛ s ˛ ˛
pomiedzy gestoćiami widmowymi amplitudy i fazy sygnału wejćiowego i wyjćiowe-
˛ ˛ s s s
go dane sa wzorami
˛

|Y (jω)| = |K (jω)| |X (jω)| , (2.40a)
arg[Y (jω)] = arg[K (jω)] + arg[X (jω)] . (2.40b)

2.5. Przykłady
Przykład 2.1 . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera delty Diraca.
z ˛


Rozwiazanie. Korzystajac z definicji prostego przekształcenia Fouriera, otrzymujemy
˛ ˛

F {δ(t )} =
−∞
∞
δ(t ) e−jωt dt = 1 . .
Przykład 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera sygnału jednostkowego
z ˛

0, gdy −∞ < t < 0 ,
1(t ) =
1, gdy ∞ > t > 0.

Rozwiazanie. Niestety, w przypadku tej funkcji nie mo˙ emy skorzysta´ z twierdzenia
˛ z c
z ´
o obrazie pochodnej, gdy˙ nie spełnia ona zało˙ en. Wykorzystamy natomiast twier-
z
dzenie o obrazie całki. Skok jednostkowy mo˙ e by´ przedstawiony jako całka z delty
z c
t
Diraca, tj. 1(t ) = −∞ δ(ζ) dζ. W efekcie otrzymujemy

F {x(t )} =
1
jω
+ π δ(ω) . .
Przykład 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ oryginał X (jω) = δ(ω).
z

Rozwiazanie. Korzystajac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu-
˛ ˛
jemy
1 ∞ 1
x(t ) = δ(ω) ejωt dω = .
2π −∞ 2π
Dzieki temu wynikowi mo˙ emy zapisa´ , jak wyglada transformata Fouriera wartoći
˛ z c ˛ s
stałej:
F {1} = 2π δ(ω) . .
Przykład 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera sygnału okresowego x(t ) majacego rozwiniecie w wy-
z ˛ ˛ ˛
kładniczy szereg Fouriera.

Rozwiazanie. Sygnał x(t ) posiada rozwiniecie w szereg Fouriera, zatem
˛ ˛
∞
x(t ) = c k ejkω0 t .
k=−∞

Znajd´ my transformate Fouriera tego sygnału. Skorzystamy w tym przypadku z twier-
z ˛
dzenia o przesunieciu obrazu3 :
˛

F {x(t )} = F
∞

k=−∞
c k e−jkω0 t =
k=−∞
∞
2πc k δ(ω − kω0 ) . .
3 Chodzi tu o przesuniecie obrazu funkcji w dziedzinie czestotliwo´ ci.
˛ ˛ s

2.5. Przykłady 41

Przykład 2.5 . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera funkcji x(t ) = cos(ω0 t ).
z ˛
Rozwiazanie. Zapiszmy funkcje x(t ), korzystajac ze wzorów Eulera:
˛ ˛ ˛
e−jω0 t + ejω0 t
x(t ) = cos(ω0 t ) = .
2
Korzystajac teraz z twierdzenia o przesunieciu obrazu i wzoru na transformate wartoći
˛ ˛ ˛ s
´
stałej, otrzymujemy koncowy wzór:

F {cos(ω0 t )} = π δ(ω + ω0 ) + π δ(ω − ω0 ) .

c ˛ ˛ s´
W tym miejscu warto przeanalizowa´ , jak wyglada gestoć widmowa funkcji typu y(t ) =
x(t ) cos(ω0 t ), w przypadku gdy znamy obraz funkcji x(t ). Łatwo pokaza´ , korzystajac
c ˛
z twierdzenia o przesunieciu obrazu, z
˛ ˙ e je˙ eli
z

F {x(t )} = X (jω) ,

to
x(t ) −jω0 t x(t ) jω0 t 1 1
F {y(t )} = F
e + e = X [j(ω + ω0 )] + X [j(ω − ω0 )] .
2 2 2 2
˛ z z´
Wiecej informacji na ten temat mo˙ na znale´ c w rozdziale po´wieconym modulacji.
s ˛
.
Przykład 2.6 . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera funkcji x(t ) = sin(ω0 t ).
z ˛
Rozwiazanie. Zapiszmy funkcje x(t ) w innej postaci:
˛ ˛
ejω0 t − e−jω0 t
x(t ) = sin(ω0 t ) = .
2j
Korzystajac teraz z twierdzenia o przesunieciu obrazu i wzoru na transformate wartoći
˛ ˛ ˛ s
´
stałej, otrzymujemy koncowy wzór:

F {sin(ω0 t )} = πj δ(ω + ω0 ) − πj δ(ω − ω0 ) .

.
Przykład 2.7 . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ oryginał dla X (jω) danego wzorem
z
π
X (jω) = [1(ω + ω0 ) − 1(ω − ω0 )] .
ω0
Rozwiazanie. Korzystajac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu-
˛ ˛
jemy
ω0
1 ω0 π ejωt 1 2j sin(ω0 t ) sin(ω0 t )
x(t ) = dω = ejωt = = .
2π −ω0 ω0 2jt ω0 −ω0 2jω0 t ω0 t
Zatem
x(t ) =
sin(ω0 t )
ω0 t
. .


Przykład 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku 2.4.
z ˛

x(t )
A

-a -b b a t

Rysunek 2.4. Sygnał x (t ) z przykładu 2.8

z s z´
Rozwiazanie. Mo˙ na oczywićie znale´ c obraz zadanej funkcji, korzystajac ze wzoru
˛ ˛
definiujacego to przekształcenie. Spróbujmy jednak ułatwi´ sobie troche dojćie do
˛ c ˛ s
rozwiazania, wykorzystujac twierdzenie o obrazie zró˙ niczkowanej funkcji. Zró˙ nicz-
˛ ˛ z z
kujmy dwukrotnie funkcje x(t ). Zabieg ten został zilustrowany na rysunkach 2.5 i 2.6.
˛
Druga pochodna składa sie z czterech impulsów Diraca. W prosty sposób mo˙ emy
˛ z
z´
znale´ c obraz drugiej pochodnej.
A
F {x(t )} =
¨ F δ(t + a) − δ(t + b) − δ(t − b) + δ(t − a)
a −b
A A
= (ejωa − ejωb − e−jωb + e−jωa ) = [cos(ωa) − cos(ωb)] .
a −b a −b

A /(a - b) x(t )
&

b a t
-a -b

- A /(a - b)

Rysunek 2.5. Pierwsza pochodna sygnału x (t ) z przykładu 2.8

A /(a - b) x(t )
&& A /(a - b)
-b b
-a a t

- A /(a - b) - A /(a - b)

Rysunek 2.6. Druga pochodna sygnału x (t ) z przykładu 2.8

˛ ˛ ˙
Pamietajac, ze
F {x(t )} = (jω)2 F {x(t )} ,
¨
otrzymujemy
F {x(t )} = −
1 A
ω2 a − b
[cos(ωa) − cos(ωb)] . .

2.5. Przykłady 43

Przykład 2.9 . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera sygnału x(t ) przedstawionego na rysunku 2.7.
z ˛

x(t ) A

t
-e 0 e

Rysunek 2.7. Sygnał x (t ) z przykładu 2.9

Rozwiazanie. Zró˙ niczkujmy dwukrotnie funkcje x(t ). Zabieg ten został zilustrowany
˛ z ˛
na rysunku 2.8. Druga pochodna składa sie z trzech impulsów Diraca. W prosty sposób
˛
z´
mo˙ emy znale´ c obraz drugiej pochodnej:
z
A
F {x(t )} =
¨ F δ(t + ε) − 2δ(t ) + δ(t − ε)
ε
A 2A 4A ωε
= (ejωε −2 + e−jωε ) = [cos(ωε) − 1] = − sin2 .
ε ε ε 2

A/e x(t )
& x(t )
&&
A/e A/e
e t t
-e -e e
-2 A / e
-A / e

Rysunek 2.8. Pierwsza i druga pochodna sygnału x (t ) z przykładu 2.9

˛ ˛ ˙
Pamietajac, ze
F {x(t )} = (jω)2 F {x(t )} ,
¨
otrzymujemy
F {x(t )} = −
1
ω2
−
4A
ε
sin2
ωε
2
=
4A
εω2
sin2
ωε
2
. .
Przykład 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oblicz oryginalny sygnał x(t ), którego widmo przedstawione jest na rysunku 2.9.
Rozwiazanie. Korzystajac z deﬁnicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, mo˙ emy
˛ ˛ z
zapisa´
c
1 ∞
x(t ) = X (jω) ejωt dω =
2π −∞
1 0 π 1 1 2A π 1
= (2A + ω) ejωt dω + (2A − ω) ejωt dω .
2π −2A A 2A 2π 0 A 2A


X ( jw ) p / A

-2A 0 2A w

Rysunek 2.9. Widmo sygnału x (t ) z przykładu 2.10

s´
Obliczmy wartoć pierwszej całki:

1 0
I1 = (2A + ω) ejωt dω =
4A 2 −2A
0 0 0
1 2A jωt ω jωt 1 jωt 1 2A 1
= e + e + e = + 2 (1 − e−j2At )
4A 2 jt −2A jt −2A t2 −2A 4A 2 jt t

oraz drugiej:

1 2A
I2 = (2A − ω) ejωt dω =
4A 2 0
2A 2A 2A
1 2A jωt −ω jωt 1 jωt 1 −2A 1 j2At
= e + e − e = − 2 (e −1) .
4A 2 jt 0 jt 0 t2 0 4A 2 jt t

W efekcie otrzymujemy

1 1
x(t ) = I 1 + I 2 = (1 − e−jAt +1 − ejAt ) = [1 − cos(2At )] =
4(At )2 2(At )2
1
= [sin2 (At ) + cos2 (At ) − cos2 (At ) + sin2 (At )].
2(At )2
Zatem
x(t ) =
sin2 (At )
(At )2
=
sin(At )
At
2
. .
Przykład 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Okre´li´ pulsacje graniczna idealnego filtru dolnoprzepustowego o wzmocnieniu w pa-
s c ˛ ˛
´ ˙
smie przepuszczania równym 2, je˙ eli wiadomo, ze po pobudzeniu sygnałem
z

500 sin2 (500t )
x(t ) =
(500t )2
energia sygnału na wejćiu i wyjćiu filtru jest taka sama.
s s
˛ ˛ s´
Rozwiazanie. Na rysunku 2.10 przedstawiono gestoć widmowa sygnału na wejćiu
˛ s
filtru X (ω), wyjćiu Y (ω) oraz charakterystyke czestotliwoćiowa filtru K (ω). Obliczmy
s ˛ ˛ s ˛
energie sygnału na wejćiu filtru. Zgodnie ze wzorem Parsevala mo˙ emy zapisa´
˛ s z c
+∞ 1 +∞
Ex = |x(t )|2 dt = |X (ω)|2 dω .
−∞ 2π −∞

2.5. Przykłady 45

K (w )
p X (w ) 2p Y (w )

2

-1000 -w g 0 wg 1000 w -w g 0 wg w

Rysunek 2.10. Gestoći widmowe X (ω) i Y (ω) oraz charakterystyka czestotliwoćiowa filtru
˛ s ˛ s
K (ω)

W naszym przypadku
2 2
1 0 ω 1 1000 ω
Ex = π 1+ dω + π 1− dω =
2π −1000 1000 2π 0 1000
2 0
0 ω ω2 1 ω3 π103
=π 1+ dω = π ω + + = .
−1000 1000 103 3 106 −1000 3
Energia sygnału na wyjćiu filtru dana jest wzorem
s

1 0 ω 2
ω2 1 ω3 0 ω2
g 1 ωg
3
Ey = 2 2π 1 + dω = 4π ω + + = 4π ωg − + .
2π −ωg 1000 103 3 106 −ωg 103 3 106

Zgodnie z warunkami zadania E x = E y , zatem

ω2
g 1 ωg
3
1 3
ωg − + = 10 .
103 3 10 6 12
Rozwiazujac to równanie, otrzymujemy
˛ ˛

ωg ≈ 91,4 rad/s. .
Przykład 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Znajd´ transformate Fouriera sygnału
z ˛

x(t ) = e−a|t | , a > 0.

Rozwiazanie. Zgodnie z definicja prostego przekształcenia Fouriera mo˙ emy zapisa´
˛ ˛ z c
∞ 0 ∞
X (jω) = e−a|t | e−jωt dt = eat e−jωt dt + e−at e−jωt dt .
−∞ −∞ 0

Zatem

X (jω) =
1
a − jω
et (a−jω)
0

−∞
−
1
a + jω
e−t (a+jω)
∞

0
=
1
+
1
=
2a
a − jω a + jω a 2 + ω2
. .
Przykład 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ s´
Wyznacz gestoć widmowa impulsu prostokatnego przedstawionego na rysunku 2.11:
˛ ˛

f (t ) = A[1(t + ε) − 1(t − ε)] .


f (t ) A Ad (t + e ) f& (t )

e
-e e t -e t
- Ad (t - e )

Rysunek 2.11. Sygnał f (t ) z przykładu 2.13 oraz jego pierwsza pochodna

Rozwiazanie. Korzystajac z twierdzenia o transformacie funkcji przesunietej w czasie,
˛ ˛ ˛
znajdujemy transformate Fouriera f˙(t ):
˛

F { f˙(t )} = A[F {δ(t + ε)} − F {δ(t − ε)}] = A(ejωε − e−jωε ) .

Równoczeńie na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej funkcji czasowej
s
mamy
F { f˙(t )} = jω F (ω) .
Wobec tego
jω F (ω) = A(ejωε − e−jωε ) .
W efekcie otrzymujemy

F (ω) =
2A(ejωε − e−jωε ) 2A
2jω
=
ω
sin(ωε) . .
Przykład 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sygnał x(t ) = (πt )−1 sin(100t ) podano na dwa połaczone kaskadowo filtry, których cha-
˛
rakterystyki amplitudowe przedstawiono na rysunku 2.12, przy czym filtry te nie ob-
cia˙ aja sie wzajemnie. Oblicz energie sygnału y(t ) na wyjćiu układu.
˛z ˛ ˛ ˛ s

K A (w ) K B (w )
1

-100 -60 -20 20 60 100 w -100 -60 -20 20 60 100 w

Rysunek 2.12. Charakterystyki amplitudowe filtrów z przykładu 2.14

Rozwiazanie. Na rysunku 2.13 przedstawiono gestoći widmowe sygnałów na wejćiu
˛ ˛ s s
i wyjćiu układu. Korzystajac ze wzoru Parsevala oraz uwzgledniajac symetrie gestoći
s ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ s
widmowej sygnału na wyjćiu układu, mo˙ emy obliczy´ szukana energie:
s z c ˛ ˛

Ey = 8
1
2π 20
40 ω − 20
20
2
dω = 8
1
2π 0
20 ω
20
2
dω =
80
3π
. .

Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II

Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II

Similar to Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II (20)

More from Wydawnictwo Helion

More from Wydawnictwo Helion (20)

Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II