deret aritmetika

1. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
B. 4. DERET ARITMETIKA
Pada bagian sebelumnya tentang deret telah disebutkan bahwa penjumlahan beruntun
suku-suku suatu barisan dinamakan sebagai deret. Jika suku-suku itu adalah suku-suku
barisan aritmetika, maka deret yang terbentuk disebut sebagai deret aritmetika.
Sebagai contoh :
Dari barisan aritmetika : 1, 3, 5, 7, . . , 99 dapat dibentuk deret aritmetika, yaitu :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 99.
Dari barisan aritmetika : 2, 4, 6, 8, 10, . . . 2n dapat dibentuk deret aritmetika,
yaitu :
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . + 2n.
Dengan demikian deret aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut :
Oleh karena deret merupakan penjumlahan suku-suku, tentu saja jumlah dari suku-suku
deret mempunyai nilai tertentu. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dilambangkan
dengan Sn, dan rumus Sn ditentukan oleh :
nnnn UUUUUUS ++++++= −− 12321 ...
Substitusi U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, . . . Un-2 = Un – 2b, dan Un-1 = Un –b ,
diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn UbUbUbabaaS +−+−++++++= 2...2 ……………..(1)
Jika urutan suku-suku pada persamaan (1) dibalik, maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( ) abababUbUUS nnnn ++++++−+−+= 2...2 …………………………(2)
Jumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2), sehingga menjadi :
( ) ( ) ( ) ( ) nnnn UbUbUbabaaS +−+−++++++= 2...2
( ) ( ) ( ) ( ) abababUbUUS nnnn ++++++−+−+= 2...2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnn UaUaUaUaUaUaS ++++++++++++= ...2
( )
( )nn
nn
Ua
n
S
UanS
+=
+=
2
2
Jika U1, U2, U3, . . . Un, merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka
U1 + U2 + U3 + . . . Un dinamakan sebagai deret aritmetika.
+
Penjumlahan n suku dengan masing-masing sukunya (a + Un)

2. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
Rumus : Jumlah n suku pertama deret aritmetika.
Contoh Soal 1
Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + . . .
a. Tentukan rumus umum suku ke-n pada deret aritmetika tersebut
b. Tentukan rumus umum jumlah n suku pertamanya
c. Hitunglah jumlah 30 suku pertama
Jawab :
a. Barisan aritmetika yang bersesuaian dengan deret tersebut adalah 3, 7, 11, 15, . .
dengan suku pertama, a = 3, dan beda, b = 4
Rumus umum suku ke-n : ( )bnaUn 1−+=
( )413 −+= nUn
14 −= nUn
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah : 14 −= nUn
b. Rumus umum jumlah n suku pertama
( )nn Ua
n
S +=
2
, dengan menggunakan jawaban bagian a), diperoleh
( )143
2
−+= n
n
Sn
nnSn += 2
2
Jadi rumus umum jumlah n suku peratama adalah : nnSn += 2
2
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika
nnn UUUUUU ++++++ −− 12`321 ...
Ditentukan dengan menggunakan hubungan :
( )nn Ua
n
S +=
2
,
Dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama dan Un = suku ke-n

3. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
c. Jumlah 30 suku pertama
nnSn += 2
2
30)30.(2 2
30 +=S
830.130 =S
Jadi, jumlah 30 suku pertama adalah 1.830
Contoh Soal 2
Tentukan nilai deret dari 3 + 10 + 17 + . . . + 262
Jawab :
Dari deret 3 + 10 + 17 + . . . + 262, dapat diketahui suku peratama, a = 3, beda tiap suku, b
= 7 dan suku terakhir Un = 262. Untuk menentukan jumlah semua sukunya, terlebih
dahulu mencari banyaknya suku dengan cara sebagai berikut :
( )
38
47262
7)1(3262
1
=
−=
−+=
−+=
n
n
n
bnaUn
Untuk menentukan jumlah 38 suku pertamanya dapat menggunakan cara :
Cara I : Cara II
( )( )
( )( )
( )
5035
2596.19
7.1383.2
2
38
12
2
38
38
38
=
+=
−+=
−+=
S
S
S
bna
n
S n ( )
( )
503538
38
38
)265.(19
2623
2
38
2
=
=
+=
+=
S
S
S
Ua
n
S nn

4. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
Contoh Soal 3
Tentukan jumlah semua bilangan antara 40 sampai 350 yang habis dibagi 6 :
Jawab :
Kita cari dulu bilangan setelah 40 yang habis dibagi 6, yaitu :
Kita bagi 40 dengan 6 menghasilkan 6,67 (tidak habis dibagi 6). Jadi bilangan setelah 40
yang habis dibagi 6 adalah 6 x 7 = 42, setelah itu adalah 6 x 8 = 48 dan seterusnya.
Kemudian kita bagi 350 dengan 6 menghasilkan 58,33 (tidak habis dibagi 6). Jadi
bilangan sebelum 350 yang habis dibagi 6 adalah 6 x 58 = 348. Sehingga akan terbentuk
deret aritmetika yaitu : 42 + 48 + 54 + . . . 348. Dari deret tersebut dapat diketahui suku
pertama, a= 42, beda tiap suku, b = 6 dan suku terakhir, Un = 348.
Untuk menentukan jumlah semua sukunya harus ditentukan dulu banyaknya suku dengan
cara sebagai berikut :
52
366348
6).1(42348
)1(
=
+=
−+=
−+=
n
n
n
bnaUn
Jadi, jumlah 52 suku pertamanya adalah sebagai berikut :
( )
( )
0140.1
)390.(26
34842
2
52
2
52
52
52
=
=
+=
+=
S
S
S
Ua
n
S nn
Contoh Soal 4
Produksi barang suatu pabrik bertambah setiap minggu dengan jumlah yang sama. Bila
jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah 1425 unit dan jumlah produksi sampai
minggu ke-10 adalah 2875. Tentukan jumlah produksi sampai minggu ke-52.

5. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
Jawab :
Jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah S6 dan jumlah produksi sampai minggu ke-10
adalah S10.
( )( )
( )( )
( )
ba
ba
baS
bna
n
Sn
52475
5231425
162
2
6
12
2
6
+=
+=
−+=
−+=
2a + 5b = 475………………….(1) 2a + 9b = 575 ………………(2)
Dengan metode eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 175 dan b = 25.
Jumlah produksi sampai minggu ke-52 adalah
( )
( )( )
250.42
)1275350(26
25.`152175.2
2
52
)1(2
2
52
52
52
=
+=
−+=
−+=
S
S
S
bna
n
Sn
Contoh Soal 5
Tutik meminjam uang di koperasi karyawan sebesar Rp. 5.000.000,- dan akan dibayar
setiap bulan dengan pembayaran yang sama sebesar Rp. 500.000,- (tiap bulannya). Jika
koperasi membebankan bunga sebesar 2 % dari sisa pinjaman. Tentukan jumlah total
bunga yang dibayarkan Tuti.
Jawab :
Pinjaman sebesar Rp. 5.000.000,- akan diayar setiap bulan dengan jumlah yang sama
sebesar Rp. 500.000,-. Dengan demikian Tutik akan mencicil selama 10 bulan, dengan
besarnya masing-masing bunga sebagai berikut :
Bulan ke-1, bunga = 2% x Rp. 5.000.000,- = Rp. 100.000,-
Bulan ke-2, bunga = 2% x Rp. 4.500.000,- = Rp. 90.000,-
Bulan ke-3, bunga = 2% x Rp. 4.000.000,- = Rp. 80.000,- dan seterusnya, ternyata suku
pertama, a = 100.000,- dan bedanya, b = - 10.000. Maka jumlah semua bunganya adalah :
( )( )
( )( )
ba
ba
baS
bna
n
Sn
92575
)92(52875
1102
2
10
12
2
10
+=
+=
−+=
−+=

6. Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
( )( )
( )( )[ ]
000.550.
)000.90000.200(5
000.10.110000.100.2
2
10
12
2
10
10
10
RpS
S
S
bna
n
Sn
=
−=
−−+=
−+=
Contoh Soal 6
Tentukan nilai dari : ( )∑=
−
50
6
3100
n
n
Jawab :
Sesuai definisi notasi sigma bahwa :
( )∑=
−
50
6
3100
n
n = (100 – 3.6) + (100 – 3.7) + (100 – 3.8) + . . . (100 – 3.50)
= 82 +79 + 76 + . . . (-50)
Banyaknya suku (n) = 50 – 6 +1 =45, sesuai dengan deret aritmetika, maka
jumlahnya adalah
( )
( )
720
)32.(5,22
)50(82
2
45
2
45
45
45
=
=
−+=
+=
S
S
S
Ua
n
S nn
Contoh Soal 7
Nyatakan dalam bentuk notasi sigma dengan batas bawah 1 dari penjumlahan berikut : 2 +
5 + 8 + 11 + . . . + 233
Jawab :
Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama, a = 5, beda tiap suku, b = 3
suku suku terakhir 233. Kita tentukan dulu banyaknya suku dari deret tersebut dengan
cara sebagai berikut :
( )
78
13233
3).1(2233
1
=
−=
−+=
−+=
n
n
n
bnaUn
Jadi, notasi sigmanya adalah ( )∑=
−
78
1
13
n
n