1. Signatur
Algebren
Erweiterterung
Ende
P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alexander Rein, Helko Glathe
01.11.2006
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

2. Signatur
Algebren
Erweiterterung
Ende
Inhaltsverzeichnis
Signatur
1
Algebren
2
Algebra PT1
Algebra PT2
Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2
Algebra PT3
Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3
Erweiterterung
3
Erweiterte Signatur
Algebra zur erweiterten Signatur
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

3. Signatur
Algebren
Erweiterterung
Ende
Unsere Signatur f¨r ein Petrinetz
u
Σ-P/T Netz:
sorts: nat
Stelle
Transition
KanteVor
KanteNach
getKapazit¨t: Stelle → nat
opns: a
getGewichtVor: KanteVor → nat
getGewichtNach: KanteNach → nat
getToken: Stelle → nat
targetVor: KanteVor → Transition
targetNach: KanteNach → Stelle
sourceVor: KanteVor → Stelle
sourceNach: KanteNach → Transition
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

4. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1
s1 k=2
f3 f4
e1 w=2
t2 t3
t1
e2 e3
f2
f1
s2 k=1 s3 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

5. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Sorten
PT1nat = N
{s1,s2,s3}
PT1Stelle =
{t1,t2,t3}
PT1Transition =
{e1,e2,e3}
PT1KanteVor =
{f1,f2,f3,f4}
PT1KanteNach =
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

6. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
(
| x=s1
2,
getKapazit¨tPT1 (x)
a =
| sonst
1,
(
| x=e1
2,
getGewichtVorPT1 (x) =
| sonst
1,
getGewichtNachPT1 (x) = 1
(
| x=s1
2,
getTokenPT1 (x) =
| sonst
0,
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

7. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
8
| x=e1
>t1,
<
| x=e2
targetVorPT1 (x) = t2,
>
| x=e3
t3,
:
8
| x=f1
>s2,
<
| x=f2
targetNachPT1 (x) = s3,
>
| sonst
s1,
:
8
| x=e1
>s1,
<
| x=e2
sourceVorPT1 (x) = s2,
>
| x=e3
s3,
:
8
|
>t1, x=f1
>
>
|
<t1, x=f2
sourceNachPT1 (x) =
|
>t2, x=f3
>
>
|
t3, x=f4
:
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

8. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Petrinetz zur gesuchten Algebra PT2
g1 k=4
i3 w=2 i4 w=2
h1 w=4
u2 u3
u1
h2 w=2 h3 w=2
i2 w=2
i1 w=2
h4 h5
g2 k=2 u4 g3 k=2
i5
i6 i7
h6 h7
u5 u6
g4 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

9. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Sorten
PT2nat = N
{g1,g2,g3,g4}
PT2Stelle =
{u1,u2,u3,u4,u5,u6}
PT2Transition =
{h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7}
PT2KanteVor =
{i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7}
PT2KanteNach =
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

10. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
8
| x=g1
>4,
<
| (x=g2)∨(x=g3)
getKapazit¨tPT2 (x)
a = 2,
>
| sonst
1,
:
8
| x=h1
>4,
<
| (x=h2)∨(x=h3)
getGewichtVorPT2 (x) = 2,
>
| sonst
1,
:
(
| (x=i1)∨(x=i2)∨(x=i3)∨(x=i4)
2,
getGewichtNachPT2 (x) =
| sonst
1,
(
| x=g1
4,
getTokenPT2 (x) =
| sonst
0,
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

11. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
8
|
>u1, x=h1
>
>
|
>u2, x=h2
>
>
>
|
>
>u3, x=h3
>
<
|
targetVorPT2 (x) = u4, x=h4
>
|
>u4, x=h5
>
>
>
>
|
>u5, x=h6
>
>
>
|
:
u6, x=h7
8
|
>g 2, x=i1
>
>
|
>g 3, x=i2
>
>
>
|
>
>g 1, x=i3
>
<
|
targetNachPT2 (x) = g 1, x=i4
>
|
>g 4, x=i5
>
>
>
>
|
>g 2, x=i6
>
>
>
|
:
g 3, x=i7
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

12. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
8
|
>g 1, x=h1
>
>
|
>g 2, x=h2
>
>
>
|
>
>g 3, x=h3
>
<
|
sourceVorPT2 (x) = g 2, x=h4
>
|
>g 3, x=h5
>
>
>
>
|
>g 4, x=h6
>
>
>
|
:
g 4, x=h7
8
|
>u1, x=i1
>
>
|
>u1, x=i2
>
>
>
|
>
>u2, x=i3
>
<
|
sourceNachPT2 (x) = u3, x=i4
>
|
>u4, x=i5
>
>
>
>
|
>u5, x=i6
>
>
>
|
:
u6, x=i7
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

13. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Allgemein
Definition
Homomorphismus h: PT1 → PT2
h=(hs :PT1s → PT2s )s S mit hs (fPT1 (x))=fPT2 (hs (x))
Definition ist vereinfacht und gilt nur f¨r einelementige Operationen!
u
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

14. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2
s1 k=2
g1 k=4
f3 f4
e1 w=2
i3 w=2 i4 w=2
t2 t3
h1 w=4
t1
u2 u3
e2 e3
f2
f1 u1
h2 w=2 h3 w=2
i2 w=2
i1 w=2
s2 k=1 s3 k=1
h4 h5
g2 k=2 u4 g3 k=2
i5
i6 i7
h6 h7
u5 u6
g4 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

15. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Konkret
hnat (x) = x∗2
8
| x=s1
>g 1,
<
| x=s2
hStelle (x) = g 2,
>
| x=s3
g 3,
:
8
| x=t1
>u1,
<
| x=t2
hTransition (x) = u2,
>
| x=t3
u3,
:
8
| x=e1
>h1,
<
| x=e2
hKanteVor (x) = h2,
>
| x=e3
h3,
:
8
|
>i1, x=f1
>
>
|
<i2, x=f2
hKanteNach (x) =
|
>i3, x=f3
>
>
|
i4, x=f4
:
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

16. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Beweisansatz von h
Beweis.
sourceVor: KanteVor → Stelle
hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1
x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x
e1 s1 g1 = g1 h1 e1
e2 s2 g2 = g2 h2 e2
e3 s3 g3 = g3 h3 e3
Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach!
u
hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) , x
a a StellePT1
x getKapazit¨tPT1 (x)
a hnat (getKapazit¨tPT1 (x))
a getKapazit¨tPT2 (hStelle (x))
a hStelle (x) x
s1 2 4 = 4 g1 s1
g2 ∨ g3
sonst 1 2 = 2 sonst
Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken!
u
Homomorphismus ist injektiv, aber nicht surjektiv!
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

17. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Petrinetz zur gesuchten Algebra PT3
g1 k=2
i2
h1 w=2
u2
u1
h2
i1
g2 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

18. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Sorten
PT3nat = N
{g1,g2}
PT3Stelle =
{u1,u2}
PT3Transition =
{h1,h2}
PT3KanteVor =
{i1,i2}
PT3KanteNach =
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

19. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
(
| x=g1
2,
getKapazit¨tPT3 (x)
a =
| x=g2
1,
(
| x=h1
2,
getGewichtVorPT3 (x) =
| x=h2
1,
getGewichtNachPT3 (x) = 1
(
| x=g1
2,
getTokenPT3 (x) =
| sonst
0,
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

20. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Operationen
(
| x=h1
u1,
targetVorPT3 (x) =
| x=h2
u2,
(
| x=i1
g 2,
targetNachPT3 (x) =
| x=i2
g 1,
(
| x=h1
g 1,
sourceVorPT3 (x) =
| x=h2
g 2,
(
| x=i1
u1,
sourceNachPT3 (x) =
| x=i2
u2,
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

21. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3
s1 k=2
g1 k=2
f3 f4
i2
e1 w=2
h1 w=2
t2 t3
u2
t1
u1
e2 e3
f2
f1
h2
i1
s2 k=1 s3 k=1
g2 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

22. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Konkret
hnat (x) = x
(
| x=s1
g 1,
hStelle (x) =
| sonst
g 2,
(
| x=t1
u1,
hTransition (x) =
| sonst
u2,
(
| x=e1
h1,
hKanteVor (x) =
| sonst
h2,
(
| (x=f1)∨(x=f2)
i1,
hKanteNach (x) =
| sonst
i2,
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

23. Alg PT1
Signatur
Alg PT2
Algebren
Homo Alg PT1 → Alg PT2
Erweiterterung
Alg PT3
Ende
Homo Alg PT1 → Alg PT3
Beweisansatz von h
Beweis.
sourceVor: KanteVor → Stelle
hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1
x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x
e1 s1 g1 = g1 h1 e1
e2 s2 g2 = g2 h2 e2
e3 s3 g2 = g2 h2 e3
Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach!
u
hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) , x
a a StellePT1
x getKapazit¨tPT1 (x)
a hnat (getKapazit¨tPT1 (x))
a getKapazit¨tPT3 (hStelle (x))
a hStelle (x) x
s1 2 2 = 2 g1 s1
sonst 1 1 = 1 g2 sonst
Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken!
u
Homomorphismus ist surjektiv aber nicht injektiv! Jedoch bewahrt dieser
Homomorphismus NICHT das Schaltverhalten!
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

24. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Suche nach einer Signatur, die auch das Schalten erm¨glicht
o
Σ-P/T Netz Enhanced:
sorts: nat
Stelle
Transition
KanteVor
KanteNach
Markierung
getKapazit¨t: Stelle → nat
opns: a
getGewichtVor: KanteVor → nat
getGewichtNach: KanteNach → nat
getToken: Stelle Markierung → nat
targetVor: KanteVor → Transition
targetNach: KanteNach → Stelle
sourceVor: KanteVor → Stelle
sourceNach: KanteNach → Transition
schalte: Transition Markierung → Markierung
iniMarkierung: → Markierung
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

25. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1Enhanced
1 k=2
f3 f4
e1 w=2
t2 t3
t1
e2 e3
f2
f1
2 k=1 3 k=1
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

26. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Sorten
PT1Enhancednat = N
{1,2,3} ⊆ N
PT1EnhancedStelle =
{t1,t2,t3}
PT1EnhancedTransition =
{e1,e2,e3}
PT1EnhancedKanteVor =
{f1,f2,f3,f4}
PT1EnhancedKanteNach =
(N ◦ N ◦ N) Wort der L¨nge 3!
PT1EnhancedMarkierung = a
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

27. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Operationen
(
| x=s1
2,
getKapazit¨tPT1Enhanced (x)
a =
| sonst
1,
(
| x=e1
2,
getGewichtVorPT1Enhanced (x) =
| sonst
1,
getGewichtNachPT1Enhanced (x) = 1
getTokenPT1Enhanced (s,m) = ms (Buchstabe s des Wortes m)
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

28. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Operationen
8
| x=e1
>t1,
<
| x=e2
targetVorPT1Enhanced (x) = t2,
>
| x=e3
t3,
:
8
| x=f1
>s2,
<
| x=f2
targetNachPT1Enhanced (x) = s3,
>
| sonst
s1,
:
8
| x=e1
>s1,
<
| x=e2
sourceVorPT1Enhanced (x) = s2,
>
| x=e3
s3,
:
8
|
>t1, x=f1
>
>
|
<t1, x=f2
sourceNachPT1Enhanced (x) =
|
>t2, x=f3
>
>
|
t3, x=f4
:
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

29. Signatur
Algebren Erw. Signatur
Erweiterterung Erw. Alg
Ende
Operationen
iniMarkierungPT1Enhanced = 200
8
>(m1 − 2, m2 + 1, m3 + 1), | (t = t1) ∧ (m1 = 2)∧
>
| (m2 = 0) ∧ (m3 = 0)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>(m1 + 1, m2 − 1, m3 ), | (t = t2) ∧ (m2 = 1)∧
>
>
>
>
| (m1 < 2)
<
schaltePT1Enhanced (t,m) =
>
>
>
>(m1 + 1, m2 , m3 − 1), | (t = t3) ∧ (m3 = 1)∧
>
>
>
>
| (m1 < 2)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
| sonst
:
m,
Anmerkung: Man kann evtl. nicht feststellen, ob t geschaltet hat oder nicht!
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert

30. Signatur
Algebren
Erweiterterung
Ende
Wir bedanken uns f¨r Eure Aufmerksamkeit.
u
Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert