1. 1

2. 2

3. 3

4. ( / )
( / )
4

5. min. f (x)
s. t. x∈S
f X
S X
x∈S f
x
S=∅
S=∅
5

6. inf{f (x)|x ∈ S}
6

7. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7

8. 8

9. X n Rn f S
aij , bi , cj (i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n)
xj (j = 1, · · · , n)
min. c 1 x1 + · · · + c n xn
s. t. ai1 x1 + · · · + ain xn ≤ bi (i = 1, · · · , l)
ai1 x1 + · · · + ain xn = bi (i = l + 1, · · · , m)
9

10. aij , bi , cj (i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n)
min. c 1 x1 + · · · + c n xn
s. t. ai1 x1 + · · · + ain xn ≥ bi (i = 1, · · · , m)
xj ≥ 0(j = 1, · · · , n)
min. cT x
s. t. Ax ≥ b
x≥0
10

11. n n n
aj xj = b → aj xj ≤ b, aj xj ≥ b
j=1 j=1 j=1
n n
max. cj xj → min. − c j xj
j=1 j=1
n n
a j xj ≤ b → − aj xj ≥ −b
j=1 j=1
x → x = x1 − x2 , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
11

12. min. c 1 x1 + · · · + c n xn
s. t. ai1 x1 + · · · + ain xn = bi (i = 1, · · · , m)
xj ≥ 0(j = 1, · · · , n)
min. cT x
s. t. Ax = b
x≥0
12

13. min. c 1 x1 + · · · + c n xn
s. t. ai1 x1 + · · · + ain xn ≥ bi (i = 1, · · · , m)
xj ≥ 0(j = 1, · · · , n)
i xn+i
ai1 x1 + · · · + ain xn ≥ bi → ai1 x1 + · · · + ain xn − xn+i = bi , xn+i ≥ 0
13

14. 14

15. 15

16. min. cT x
s. t. Ax ≥ b
x≥0
z = cT x x = (xx+1 , · · · , xn+m )
min. z
s. t. z = 0 + cT x
x = −b + Ax
x, x ≥ 0
z z
16

17. min. cT x
s. t. Ax ≥ b
x≥0
z = cT x x = (xx+1 , · · · , xn+m )
min. z
s. t. z = 0 + cT x {n + 1, · · · , n + m}
x = −b + Ax
x, x ≥ 0
z z
16

18. z = 0 + cT x
x = −b + Ax
17

19. D B
z xs
xs
Dr0 /|Drs | = min{Di0 /|Dis ||Dis < 0, i ∈ B {z}}, Drs < 0
xr
r
(r, s)
18

20. D r s Drs = 0
D B N
D i Di (i = r) r Dr Dis /Drs
xs xr
Di
r Dr −1/Drs xs xr
Ds
B ← B {r} ∪ {s} N ← N {r} ∪ {s}
19

21. z = 0 − 2x1 − x2 − x3
x4 = 4 − 2x1 − 2x2 + x3
x5 = 4 − 2x1 − 4x3
x6 = 1 + 4x1 − 3x2 + x3
(4, 1)
z = −4 + x4 + x2 − 2x3
x1 = 2 − 1/2x4 − x2 + 1/2x3
x5 = 0 + x4 + 2x2 − 5x3
x6 = 0 − 2x4 − 7x2 + 3x3
20

22. min. −2x1 − x2 − x3
s. t. −2x1 − 2x2 + x3 ≥ −4
−2x1 − 4x3 ≥ −4
4x1 − 3x2 + x3 ≥ −1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
x4 , x5 , x6
z = 0 − 2x1 − x2 − x3
x4 = 4 − 2x1 − 2x2 + x3
x5 = 4 − 2x1 − 4x3
x6 = 1 + 4x1 − 3x2 + x3
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , z) = (0, 0, 0, 4, 4, 1, 0)
21

23. x1 = 1 x4 = 2, x5 = 2, x6 = 5, z = −2
x1 = 2 x4 = 0, x5 = 0, x6 = 9, z = −4
x1 = 3 x4 = −2, x5 = −2, x6 = 13, z = −6
x1 2
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , z) = (2, 0, 0, 0, 0, 9, −4)
x1
x1 x4
(4, 1)
z = −4 + x4 + x2 − 2x3
x1 = 2 − 1/2x4 − x2 + 1/2x3
x5 = 0 + x4 + 2x2 − 5x3
x6 = 0 − 2x4 − 7x2 + 3x3
22

24. x1 = 1 x4 = 2, x5 = 2, x6 = 5, z = −2
x1 = 2 x4 = 0, x5 = 0, x6 = 9, z = −4
x1 = 3 x4 = −2, x5 = −2, x6 = 13, z = −6
x1 2
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , z) = (2, 0, 0, 0, 0, 9, −4)
x1
x1 x4
(4, 1)
z = −4 + x4 + x2 − 2x3
x1 = 2 − 1/2x4 − x2 + 1/2x3
x5 = 0 + x4 + 2x2 − 5x3
x6 = 0 − 2x4 − 7x2 + 3x3
23

25. x3 x5
z = −4 + 3/5x4 + 1/52 + 2/5x5
x1 = 2 − 2/5x4 − 4/5x2 − 1/10x5
x3 = 0 + 1/5x4 + 2/5x2 − 1/5x5
x6 = 9 − 7/5x4 − 29/5x2 − 3/5x5
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , z) = (2, 0, 0, 0, 0, 9, −4)
24

26. D B
z xs
xs
Dr0 /|Drs | = min{Di0 /|Dis ||Dis < 0, i ∈ B {z}}, Drs < 0
xr
r
(r, s)
25

27. b≤0
26

28. min. cT x
s. t. Ax ≥ b
x≥0
xa e = (1, · · · , 1) ∈ Rm
min. xa
s. t. Ax + exa ≥ b
x ≥ 0, xa ≥ 0
xa
xa
27

29. za = x a
za = 0 + 0T x + x a
x = −b + Ax + exa
b≤0
xr
(r, a)
28

30. min. −x1 − 2x2
s. t. −x1 − x2 ≥ −1
x1 + x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
za = xa
z = −x1 − 2x2
x3 = 1 − x1 − x2 + xa
x4 = −1 + x1 + x2 + xa
(4, a)
za = 1 − x1 − x2 + x4
z = −x1 − 2x2
x3 = 2 − 2x1 − 2x2 + x4
xa = 1 − x1 − x2 + x4
29

31. (a, 1)
za = x a
z = −1 + xa − x2 − x4
x3 = 2xa − x4
x1 = 1 − xa − x2 + x4
30

32. xa
xr
(r, a)
31

33. 32

34. 33

35. solveLP(cvec, bvec, Amat, maximum = FALSE,
const.dir = rep( "<=", length( bvec ) ))
cvec b
bvec c min. cT x
Amat A s. t. Ax ≥ b
maximum x≥0
const.dir
34

36. min. −2x1 − x2 − x3
s. t. −2x1 − 2x2 + x3 ≥ −4
−2x1 − 4x3 ≥ −4
4x1 − 3x2 + x3 ≥ −1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
> cvec <- c(-2, -1, -1)
> bvec <- c(-4, -4, -1)
> Amat <- rbind(c(-2, -1, -1), c(-2, 0, -4),
c(4, -3, 1))
> result <-solveLP(cvec, bvec, Amat,
const.dir=rep(">=",length(bvec)))
35

37. > result$opt #
[1] -4
> result$solution #
1 2 3
2 0 0
> result$iter1 # 1
[1] 0
> result$iter2 # 1
[1] 1
36

38. 37

39. •
•
•
•
•
•
38

40. 39