1. Sistema binario
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el
que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el
que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje,
por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado
0).
2 1 0 1 2
136 , 42 10 1 10 3 10 6 10 4 10 2 10
1.2. SISTEMA BINARIO
Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2
Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así,
podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como
se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica
dará su equivalente en el sistema decimal:
CONVERSION
sumar los números que nos den el numero a convertir
128 64 32 16 8 4 2 1
0 1 0 0 0 1 1 0
binario 01000110
decimal 70

2. La forma para comprobar si el ejercicio esta bien realizado,
procedemos a multiplicar cada lugar de los ejercicios con exponentes:
Se multiplica el
resultado del número
del exponente por el
binomio
01000110
20 = 0 x 0 0
21 = 2 x 1 2
22 = 4 x 1 4
23 = 8 x 0 0
24 = 16 x 0 0
25 = 32 x 0 0
26 = 64 x 1 64
27 = 128 x 0 0
total 70
Decimal a binario
Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a
dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este
será el número binario que buscamos.
Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido por 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido por 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido por 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido por 2 da 8 y el resto es igual a 0

3. 8 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1
-> Ordenamos los restos, del último al
primero: 10000011
en sistema binario, 131 se escribe 10000011
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario:
100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1 |_2
10 -> (100)10 = (1100100)2
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números
primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste
también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,
colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos
uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar
el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la
columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
Ejemplo
100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1|1 --> (100)10 = (1100100)2
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos
necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número
decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8
primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir.
Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151 - 128 = 23, para
llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma
de el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las
potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.
Ejemplo
20= 1|1
21= 2|1
22= 4|1
23= 8|0

4. 24= 16|1
25= 32|0
26= 64|0
27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2
Ejemplo:
102 1 0 10
052 ↑↑↑↑
↓ 1 22 ↑↑↑↑
↓ ↓ 01 2 ↑↑ ↑↑
↓↓↓10 ↑↑↑↑
↓↓↓↓ ↑↑↑↑
↓ ↓ ↓ ↓ →→ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ →→→→ ↑ ↑
↓ ↓ →→→→→→ ↑
↓ →→→→→→→→
Ejemplo:
↑→→→ →→→
0.828125*2=1.65625 ↓
0.65625*2=1.3125 ↓
0.3125*2=0.625 ↓
0.625*2=1.25 ↓
0.25*2=0.5 ↓
0.5*2=1.0 0 . 1 1 01 01
Sistema de numeración octal
El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una
base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que
la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

5. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el
número 3452.32q tenemos: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83 + 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64
+ 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 +
40625d
Entonces, 3452.32q = 1834.40625d
El sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra
y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la
hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de
los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la
decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los
pulgares.
4 3 2 1 0
10011 1 10 0 10 0 10 1 10 1 10 19 10
2
1.3. SISTEMA OCTAL
Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.
Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al
3
sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 2 . Así, para convertir un número de base 8 a
binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. Conversiones se
estudiará esta conversión.
Sistema de numeración hexadecimal
El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, (es común abreviar
hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciséis) es compacto
y proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario. Debido a
esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal.
Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto
hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el
número 1234 es igual a:
1*16^3 + 2*16^2 + 3*16^1 + 4*16^0
Lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = 4660
Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y 1510.
Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos
adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos
símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre
hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla: Su uso actual está muy
vinculado a la informática y ciencias de la computación. Esto se debe a que un dígito
hexadecimal representa cuatro dígitos binarios: 4 bits = 1 nibble; por tanto, dos dígitos
hexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte que, como es sabido, es
la unidad básica de almacenamiento de información).

6. Dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone
de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto
latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F
= 15. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada
dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando
multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por
ejemplo: 3E0,A(16) = 3×16^2 + E×16^1 + 0×16^0 + A×16^-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1
+ 10×0,0625 = 992,625. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de
la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9
y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15 y algunas computadoras
modernas.
1.4. SISTEMA HEXADECIMAL.
Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es
uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de
los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios
4
al ser 16 = 2 . La conversión de un número hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual
que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.
Tabla de conversión entre decimal, binario,
hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado
Decimal Binario Hexadecimal [[Octadecimal
0 0000 0 0 0000 0011 0000
1 0001 1 1 0001 0100 0001
2 0010 2 2 0010 0101 0011
3 0011 3 3 0011 0110 0010
4 0100 4 4 0100 0111 0110
5 0101 5 5 0101 1000 0111
6 0110 6 6 0110 1001 0101
7 0111 7 7 0111 1010 0100

7. 8 1000 8 10 1000 1011 1100
9 1001 9 11 1001 1100 1101
10 1010 A 12 0001 0000 1111
11 1011 B 13 0001 0001 1110
12 1100 C 14 0001 0010 1010
13 1101 D 15 0001 0011 1011
14 1110 E 16 0001 0100 1001
15 1111 F 17 0001 0101 1000