analyse numerique

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analyse numerique

  1. 1. Chapitre IV16/03/2013 INTTIC 1
  2. 2. Résolution de f(x)=0 Les méthodes analytiques de résolution des équations algébriques polynômiales sont limitées à certaines formes de faible degré telles que les équations quadratiques, cubiques, quartiques et des formes particulières du type: 2n n P ( x) ax bx n c 0 Pour les degrés > 4 il n’existe pas de méthodes exactes pour la résolution  utiliser les méthodes numériques pour trouver les racines approchées. Les méthodes présentées dans ce chapitre servent à approximer la racine de la fonction. Pour trouver toutes les racines il faut les séparer d’abord pour pouvoir appliquer ces méthodes. 16/03/2013 INTTIC 2
  3. 3. Résolution de f(x)=0  En étudiant les méthodes de résolution de f(x)=0, on pose souvent deux questions: 1. La méthode converge-t-elle vers la solution cherchée x*? (la suite x(1), x(2), …, x(n) converge-t-elle vers x*?) 2. Dans le cas affirmatif, quelle est sa rapidité?  La rapidité de convergence nous permet de comparer les méthodes entre elles.  Pour séparer les racines, on peut: 1. Étudier la fonction graphiquement 2. Utiliser la méthode de balayage: examiner un certain nombre de domaines [xi, xi+1] jusqu’à obtenir le changement de signe attendu.16/03/2013 INTTIC 3
  4. 4. Séparation des racines y y min x2 x3 x5 x x0 x1 x4 x Séparation Graphique Séparation des racines des racines par Balayage16/03/2013 INTTIC 4
  5. 5. Résolution de f(x)=0  Plusieurs méthodes existent  Méthode de dichotomie (bi-section)  Méthode de la sécante  Méthode du point fixe  Méthode de Newton  Problèmes ?  Convergence  Complexité16/03/2013 INTTIC 5
  6. 6. Méthode dichotomique a b f (a ) f (b) 0 c 2 si f (c) f(b) alors on a trouvé la solution : c sinon si f (a ) f (c) 0 alors a c sinon si f (b) f (c) 0 alors b cThéorème : a c=(a+b)/2 b soit pn n N la suite générée par l algorithme de recherche par dichotomie, f(c) soit p la solution du problème : f ( p ) 0 Alors pn n N converge vers p avec : b a f(a) pn p n n 1 2 On peut prendre c à l’intersection de la sécante et de l’axe des x 16/03/2013 INTTIC 6
  7. 7. Méthode de la sécante  Cette méthode est appelée aussi méthode de la corde, des fausses positions (régula falsi) ou aussi méthode de Lagrange.  Soient f(a)<0 et f(b)>0.  Relions par une droite les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).  Prenons comme approximation l’abscisse x1 du point d’intersection de la droite AB et l’axe Ox.  Cette valeur est donnée par: (b a) f (a) x1 a f (b) f (a)16/03/2013 INTTIC 7
  8. 8. Méthode de la sécante  Si f(x1)<0 alors le nouveau segment est [x1, b].  De la même façon, on a: (b x1 ) f ( x1 ) x x2 1 f (b) f ( x1 ) (b xn ) f ( xn )  Il vient que: x n 1 x n f (b) f ( xn ) y B B est fixe a x1 x2 O c b x A1 A16/03/2013 INTTIC 8
  9. 9. Méthode de la sécante  Si f(x1)>0 alors le nouveau segment est [a, x1].  La formule de récurrence devient: ( xn a ) f ( a ) x n 1 a f ( xn ) f ( a ) y B1 B A est fixe ac O x2 x1 b x A16/03/2013 INTTIC 9
  10. 10. Méthode de la sécante Test d’arrêt Le calcul continu jusqu’à ce que les décimales qu’on veut conserver cessent de varier. On peut prendre comme test d’arrêt: x x n n 1 eOù e est la borne d’erreur absolue donnée.16/03/2013 INTTIC 10
  11. 11. Méthode de la sécante Convergence L’avantage est d’opérer dans un intervalle qui entoure toujours y la racine qui se réduit à chaque itération. La convergence est donc assurée. Le taux de convergence peut a x1 b x s’avérer faible dans certains cas. Si la fonction est fortement convexe (concave), la convergence est lente.16/03/2013 INTTIC 11
  12. 12. Méthode du point fixe Principe  Si l’équation donnée est mise sous la forme x=g(x), avec g(x) est une fonction continue sur [a, b] et |g’(x)|≤L<1 (contractante) pour tout x de [a, b] sur lequel l’équation n’a qu’une seule racine alors:  En partant d’une valeur initiale x0∈[a, b], on peut construire la suite: x1 g ( x0), x2 g ( x1),..., xn 1 g ( xn)  La limite de cette suite est la racine unique de f(x)=0  On arrête les opération si: xn xn 116/03/2013 INTTIC 12
  13. 13. Méthode du point fixe Interprétation géométrique y yb y=x b y=x g(x) g(x) a x0 x1 x2 x* b x a x0 x2 x* x1 b x 0 g ( x) 1 1 g ( x) 0g(x) est contractante 16/03/2013 INTTIC 13
  14. 14. Méthode du point fixe Interprétation géométrique y b y=x g(x) x* a x0 x1 x2 b x g ( x) 1g(x) est décontractante16/03/2013 INTTIC 14
  15. 15. Méthode de Newton Principe  Remplacer l’arc de courbe (AB) par la droite tangente à la courbe aux points A ou B. L’intersection avec Ox détermine le prochain élément (x1). On forme la suite (xi) par itérations. y  Formule de récurrence: f ( xn ) x n 1 x n f ( xn ) n 0,1, 2, ... x* x 0 [ a, b] x2 x1 x0 x  If faut que f’(xn)≠0 au voisinage de x*.16/03/2013 INTTIC 15
  16. 16. Méthode de Newton Principe  Déterminer un intervalle [a, b] sur lequel il y a convergence de Newton n’est pas toujours facile. Il existe cependant un théorème qui donne une condition suffisante. Théorème (convergence globale de la méthode de Newton) Si la fonction f(x) définie sur [a, b] vérifie: 1. f (a) f (b) 0 2. x [a, b] f ( x) 0 (strictemonotonie de f ) 3. x [a, b] f ( x) 0 (concativité de f dans le même sens) Alors en choisissant x0 de [a, b] tel que f(x0)f’’(x0)>0, les itérations de Newton convergent vers l’unique solution x* de f(x)=0 dans [a, b]. De plus, la convergence est quadratique.16/03/2013 INTTIC 16

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