Algebra Lineal

Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal
ALGEBRA LINEAL UNIDAD
4 -5
Espacios vectoriales, Transformaciones lineales
Maestro: Ing. En sistemas Pedro Pablo Cetina
22 DE JULIO DE 2013
HAROLD RODRÍGUEZ LUGO

Harold Rodríguez Lugo
1
Contenido
4.1 Definición de un espacio vectorial.......................................................................................... 2
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades........................................................ 3
4.3 Combinación lineal, independencia lineal............................................................................. 4
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. ............................................ 0
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades................................................ 3
4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt..................................... 3
Segundo paso.............................................................................................................................. 5
Obtener un vector U2 ortogonal a U1:....................................................................................... 5
Cuarto paso. ................................................................................................................................ 6
5.1 Introducción a las transformaciones lineales ....................................................................... 7
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.................................................................... 9

2
4.1 Definición de un espacio vectorial
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura
algebraica creada a partir de un conjunto no vacío,
una operación interna (llamada suma, definida para los
elementos del conjunto) y una operación
externa (llamada producto por un escalar, definida entre
dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ).
A los elementos de un espacio vectorial se les
llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Satisfacen diez axiomas donde X,Y,Z vectores:
1) Si X pertenece a V y Y, entonces X+Y pertenece a V
(Cerradura bajo la suma).
2) Para todo X,Y,Z en V, (X+Y)+Z=X+(Y+Z)
(Ley asociativa de la suma de vectores)
3) Existe un vector 0 pertenece a V tal que para todo x que
pertenece a V, X+0=0+X=X.
(Identico Aditivo)
4) Si X pertenece a V, Existe un vector -X en V tal que X+(-
X)=0
(Inverso Aditivo de X)
5) Si X y Yestan en V, entonces X+Y=Y+X
(Ley de conmutatividad)
6) Si X pertenece V y t es un escalar, entonces t*X tambien
pertenece a V

3
(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
7) Si X y Y pertenecen a V y k es un escalar, entonces
k*(X+Y)=k*X+k*Y
(Primera de distributiva)
8) Si X y Yestan en V y t y k son escalares entonces
(t+k)*X=tX+kX
(Segunda ley distributiva)
9) Si X pertenece y k y t son escalares,entonces
k*(t*X)=(k*t)*X
(Ley asociativa de multiplicacion por un escalar)
10) Para cada vector X que pertenece a V, 1X=X.
Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un
subconjuntono vacíoS de U es un subespacio vectorial de U si
y si olo si S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las
leyes de composición heredadas de U
Ejemplo:
Calcular bases de los subespacios de R
4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 =
0}
y T =< (1;1;2;1);(2;3; −1;1) >.
Solución. Tenemos
S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =<
(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1) >
luego un sistema generador de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}. Ahora,
(0;0;0;0) =α(1;1;0;0) + β(0;0;1;0)+ α=β= o sea que es
libre,resulta que B S = {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}es una base de S.
Un sistema generador de T es (1;1;2;1);(2;3; −1;1). Pero es también
libre, ya que(0;0;0;0) =
4.2Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

4
y la única solución al sistema anterior es , Por tanto, BT =
{(1;1;2;1);(2;3; −1;1)} es una base de T.
Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector au+
bv se dice que es una combinación lineal de y .
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que
se obtiene al sumaresos vectores multiplicados por
sendos escalares.
V= a1V1 + a2V2 …+ anVn
Ejemplo:
Sean x= (1,2) , y= (3,-1); halla el vector que sea la
combinación lineal de Z= 2X + 3Y
Z=2(1,2) + 3(3,-1)= (2,4) + (9,-3)= (11,1)
Independencia lineal:
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es
igual al vector cero, sin que sean cero todos los
coeficientes de la combinación lineal, de no ser linealmente
dependientes entonces son linealmente independientes.
4.3 Combinación lineal, independencia lineal

5
Varios vectores libres son linealmente independientes si
ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal
de los restantes, los vectores linealmente independientes
tienen distinta dirección y sus componentes no son
proporcionales, es decir:
≠ 0
Ejemplo:
Dado S = [(1,1,0), (0,2,3), (1,2,3)
(0,0,0)= a(1,1,0) + b(0,2,3) + y(1,2,3)
(0,0,0)= (a,a,0) + (0,2b,3b) + (y,2y,3y)
(0,0,0)= (a+y,a+2b+2y,3b+3y)
 a+y=0
 a+2b+2y=0
 3b+3y=0
F2-F1 F2/2 F3-3f2
2/3 F1
Como existe una sola solución S es independiente

Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal
¿A qué se le llama base?
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente
independiente.
Propiedades de las bases:
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño
posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más
grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como
combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases:
 La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn:
e1 = (1,0,…,0)
e2 = (0,1,…,0)
........
en = (0,0,… ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no
nulo. Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,…,an)∈ℜn
se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1, a2,…an)= a1(1,0…,0)+ a2(0,1,… ,0)+ . . . + an(0,0,… ,1)
¿A qué se le llama dimensión?
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo
número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

1
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores
independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras
palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de
vectoresde dicho espacio
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Ejemplo de dimensión:
P2 = {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión
3. Una base de P2es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios
siguientes:
(1+0x+0x2
), (0+x+0x2
), (0+0x+x2
)
(es decir, los polinomios 1, x, x2).
Otra base: 1+2x+3x2
, 4+x2
, 3–x–5x2
.
Propiedades de la dimensión:
 Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión
3, los planos dimensión 2,
 las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0}
es el único de dimensión 0.
 La dimensión de un subespacio en ℜn
 , coincide con el número de parámetros libres en
 su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros=plano…)
 Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S
≤ dim T.
 Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos
espacios han de coincidir.
 El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del
subespacio que generan.
 Es decir: si v1,v2,…vn generan un cierto subespacio S, y si el
rango de dicho conjunto es r,
 entonces dim S = r.
 (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces
generan un plano; etc.)
Cambio de base
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz
de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz
que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la
base B expresados en función de la base B’.

2
Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá
hallar las coordenadas de dicho vector en base B’. En efecto, sean
(a1, a2, …an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la
matriz de cambio de base de B a B’. Entonces:
P. = o lo que es lo mismo = P-1
Obteniéndose así (b1, b2, . . . bn) las coordenadas del vector en
base B’.
Ejemplo:
Consideremos en ℜ2 las dos bases siguientes:
B ={(2,3), (1, –1)}
B’ ={(1,0), (0,1)}
Construyendo la matriz de cambio de base de B a B´:
Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la
base canónica B’.
Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la
base canónica B’.
(2,3)= 2(1,0)+3(0,1)= (2,3)
(-1,1)= 1(1,0)-1(0,1)= (1,-1)
Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz,
tendremos la matriz de cambio de base de B a B’:
P=

3
El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con
producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V,
existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior
de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces
Propiedades:
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.
Ejemplo:
Dado los vectores P y R donde
P=8n+3m-5L y R= -3n-6m+2L
P.R= (8,3,-5).(3,-6,2)= (8)(3)+(3)(-6)+(-5)(2)
= 24-18-10=-4
Los vectores de unabasepueden ser mutuamente perpendiculares, o
pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es
unabase ortogonal.
Recuérdese que dos vectoresuyv en son ortogonales si y sólo siu·v=
0.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt.

4
Si se tiene un conjunto de tres vectoresu, vywen , y se quiere
verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas
las combinaciones de los productos punto:
(uv,uw,vw)
Ejemplo:
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1,
1), ¿son un conjunto ortogonal?
Al realizar los productos punto
u·v= 0,u·w= 0,v·w= 0
nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el
conjunto de vectores es ortogonal.
Proceso de ortonormalización de Gram-Sscmidt
Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo
tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso
deortonormalizaciónde Gram – Schmidt.
Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores
unitarios), así comoproyeccionesde un vector sobre otro para obtener
vectores ortogonales.
Fórmula:
Normalizar U3:
Primer paso:
Obtener un primer vector unitario U1:
Segundo paso.
Obtener un vector U2 ortogonal a U1:
Tercer paso.
Normalizar U2:

5
Cuarto paso.
Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2:
Quinto paso.
Normalizar U3:
Ejemplo
Considere los vectores V1 = (1, 0, 1), V1 = (0, 1, 1) y V1 = (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una
base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.
Primer paso.
Obtener un primer vector unitario U1:
Segundo paso.
Obtener un vector U2 ortogonal a U1:

6
Tercer paso.
Normalizar U2:
Cuarto paso.
Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2:
Quinto paso.
Normalizar U3:
Finalmente, el conjunto de vectores U1, U2, y U3 es una base ortonormalde .

7
¿Qué son las transformaciones lineales?
Una transformación lineal, TL, es una función, correspondencia,
asignación o transformación asociada a un sistema lineal de
ecuaciones por medio de una matriz, es decir, Sean V y W vectores
reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que
asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface,
para cada u y v en V y cada escalar α.
T(u+v)=Tu+Tv y T(αv)=αTv
Las transformaciones lineales tienen las siguientes propiedades:
Sea una transformación lineal T:V . W Entonces para todos los
vectores u,v,v1,v2…,vn en V y todos los escalares α1,α2,…,αn.
5.1 Introducción a las transformaciones lineales

8
 T(0)=0
 T(u-v)=Tu-Tv
 T(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 +…+ αnvn)= α1Tv1+ α2 Tv2 + … + αnTvn.
Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la
consecuencia es que la composición de las TL es otra TL. La
composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma
que el producto de dos matrices da una matriz que representa la
matriz de la TL compuesta. Existen dos tipos de transformaciones de
especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales
entre sí mismos y la transformación lineal de un espacio entre el
espacio unidimensional.
Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
3x + 4y= 7
5x + 3y=9
Rescribiendo el sistema de ecuaciones lineales:
=
Haciendo= ,Asignando a la matriz M una función con
propiedades especiales, llamada TL, transformación Lineal. Una
función T de clase TL, de la matriz M es.
T = =
T emplea la dupleta y la transforma enla dupleta , debido a
que las dupletas están en R2
, entonces:
T((x,y))=T(x,y)=(3x+4y,5x+3y)
El conjunto sobre el cual opera TL se le llama dominio y el conjunto
en el cual caen los resultados de la transformación se denomina como
codominio.

9
Resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales significa exigir encontrar
(x,y) tal que M(x,y)=(7,9)= B . Donde M es la matriz o TL asociada al
sistema de ecuaciones lineales.
Sea una transformación lineal T:Rn
Rm
El conjunto de vectores que se apachurran totalmente por T se llama
espacio nulo, núcleo o kernel de T , denominado nu T, y su
dimensión se denomina nulidad. El conjunto formado por todas las
imágenes de T se denomina el espacio imagen, denominado Im T, y su
dimensión se denomina rango. Esto es:
nulidad de T = v(T) = dimnu T
rango de T = p(T) = dimIm T
Sean V y W dos espacios vectoriales y seaT:V W
Una transformación lineal,entonces.
1.- El núcleo de T, denominado nuT, está dado por.
Un T = vE V: TV=0
2.-La imagen de T, denominadaIm T, está dado por.
Im T= wE W: w=Tv para alguna vE V
Adicionalmente, si: T:V W
Si A es una matriz de m x n y T:Rm
Rn
está definida por:
Tx=Ax
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal
5.3 Matriz de una transformación lineal

10
Entonces, T es una transformación lineal donde Para toda
transformación lineal de Rn
en Rm
una matriz A de m x n tal que:
Para todo x є Rn
, de esta manera, es posible determinar el núcleo, la
imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn
en
Rm
en Rm determinando el núcleo y la imagen de la matriz
correspondiente.
Además al conocer que Tx=Ax. Es posible evaluar T x para cualquier x
En Rn
en R mediante multiplicación de matrices.
Finalmente, cualquier transformación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una
matriz.
Teorema 1
T:Rm
Rn
Entonces existe una matriz única demxntal que:
T x = A x para toda v є Rn
.
Teorema 2
Sea AT. Entonces, la matriz de transformación correspondiente a la
transformación lineal T.
1.-Im T = Im A = CAT
2.- p(T) = p(AT)
3.- nu T = NA
4.- v(T) = v(AT)
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e
imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones
necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha
frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas,
tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las
transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la
ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Reflexión
5.2 aplicaciones de las transformaciones lineales reflexión dilatación contracción y rotación

11
Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no
pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se
consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven
reflejados en un plano.
Ejemplo:
En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación
T de R2 en R2 que cada vector U=(u1, u2) lo refleja sobre el eje x,
para obtener un vector T(U)=(v1,v2)
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos
dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda
definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es
lineal, ya que:
Rotación por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual
es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un
vector T(u)=(v1,v2) tenemos que :
v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө )
v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u||
sen α
tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө

12
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la
transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )
= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ
v1) sen Ө)
= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө
, v2 cos Ө + v1 sen Ө)
= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Rotación
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación
T de en qué cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un
vector.
Una contracción es unatransformación que decrece distancias. Bajo
una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a
distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

13
Bibliografía
http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/45-espacio-vectorial-con-
producto.html
http://sureyma.blogspot.com/2009/10/espacios-vectoriales.html
http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09-
10/MatI/05_Tema-04_09-10.pdf
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/aliciapr/apuntes/Algebra%20Lineal.pdf
http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/IV%20EspVect/al_vec
tores_09basesort_total.htm
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:gTRPTz3Yy0UJ:tamateco.desi
gn.officelive.com/Documents/TransformacionesLineales.ppt+Aplicaci%C3%
B3n+de+las+transformaciones+lineales:+reflexi%C3%B3n,+dilataci%C3%B3n
,+contracci%C3%B3n+y+rotaci%C3%B3n.&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjx
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