Suunnikkaaseen ja ympyrään liittyviä lauseita

1. Nelikulmioihin ja ympyrään liittyviä lauseita
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio

2. Suunnikas
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat
yhdensuuntaiset.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9

3. Suunnikas
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat
yhdensuuntaiset.
D C
A B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9

4. Suunnikas
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat
yhdensuuntaiset.
D C
A B
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9

5. Suunnikas
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat
yhdensuuntaiset.
D C
A B
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
2. Vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9

6. Suunnikas
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat
yhdensuuntaiset.
D C
E
A B
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
2. Vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät.
3. Lävistäjät puolittavat toisensa eli AE=EC ja BE=ED.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9

7. Neljäkäs
Määritelmä. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9

8. Neljäkäs
Määritelmä. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
Lause. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
D C
E
A
B
Todistus harjoitustehtävänä.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9

9. Nelikulmion sisäkulmien summa
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on ???
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9

10. Nelikulmion sisäkulmien summa
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦ .
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9

11. Nelikulmion sisäkulmien summa
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦ .
Lause. N-kulmion kulmien summa on ???, n ∈ N, n ≥ 3.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9

12. Nelikulmion sisäkulmien summa
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦ .
Lause. N-kulmion kulmien summa on (n − 2) · 180◦ , n ∈ N, n ≥ 3.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9

13. Kehäkulma
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9

14. Kehäkulma
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
O
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9

15. Kehäkulma
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
B
O
A
C
∢ABC on kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9

16. Kehäkulma
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
B
O
A
C
∢ABC on kehäkulma
∢AOC on kehäkulmaa vastaava keskuskulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9

17. Kehäkulma
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
B
a
O
A 2a
C
∢ABC on kehäkulma
∢AOC on kehäkulmaa vastaava keskuskulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9

18. Kehäkulma
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9

19. Kehäkulma
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
O
A
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9

20. Kehäkulma
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
O
A
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9

21. Kehäkulma
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
O
A
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9

22. Kehäkulma
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9

23. Kehäkulma
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
A
O
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9

24. Kehäkulma
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
P
A
O
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9

25. Tangenttikulma
A
O
P
B
∢APB on tangenttikulma
∢AOB on tangenttikulmaa vastaava keskuskulma
kaari AB on tangenttikulmaa vastaava kaari
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9

26. Tangenttikulma
A
O
P
B
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9

27. Tangenttikulma
A
O
P
B
∆OAP∼ ∆OBP (Miksi?)
=
Mitä seurauksia tästä on?
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9

28. Tangenttikulma
A
O
P
B
∆OAP∼ ∆OBP (Miksi?)
=
Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9

29. Tangenttikulma
A
O
P
B
∆OAP∼ ∆OBP (Miksi?)
=
Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.
2. Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa
tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9

30. Tangenttikulma
A
O
P
B
∆OAP∼ ∆OBP (Miksi?)
=
Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.
2. Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa
tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman.
Lisäksi tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa
supplementtikulmia.
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9