Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ I

I. DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ
A. ANALİTİK DÜZLEM
2006 / ÖSS
Bir düzlem üzerinde, başlangıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-
nin oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-
nan düzleme analitik düzlem denir. K

y Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek- E D

senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçel B A
A(a,b) C L
b sayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-
•
na noktanın koordinatları denir.1 gerçel sayısı
a
Birim karelere bölünmüş bir kâğıt üzerinde A, B,

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ I

I. DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ
nan düzleme analitik düzlem denir.

y Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-
senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçel
A(a,b)
•
na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısı

• noktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-
x
O• a
natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.

x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-
2

nan düzleme analitik düzlem denir.

y Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-
senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçel
A(a,b)
•
na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısı

• noktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-
x
O• a
natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,

çimindedir.

O(0, 0) noktasına başlangıç noktası ya da orijin denir.

Koordinat sistemini oluşturan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-
ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil değildir.

y 3

5

Sayfa 7

y
en
A(–4, 6)

x
B O

ABO bir üçgen [BA] ⊥ [OA]

A(–4, 6)

Yukarıdaki verilere göre, |BO| uzunluğu kaç
birimdir?

zerinde olduğundan
13
4


çimindedir.
Sayfa 3
O(0, 0) noktasına başlangıç noktası ya da orijin denir.

Koordinat sistemini oluşturan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-
ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil değildir.

y
P(x, y) noktası;
II. bölge I. bölge
(–, +) (+, +) x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
III. bölge IV. bölge x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
(–, –) (+, –) x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.

ÖRNEK
Analitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası y
5

Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijini
gösterdiğine göre, P(n, m) noktası hangi böl-
gededir?

gesinde II

6

Sayfa 4

Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-
ni üzerinde olduğuna göre, B(1 + a2 , b + 4)
noktası hangi bölgededir?

I

edir.

7

r.

Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.
bölgede olduğuna göre, B(a , b) noktası ka-
çıncı bölgededir?

e, a nın IV

8

a > –6 ve a < 2 koşulunu sağlayan a değerleri –6 < a < 2 aralığındadır.
–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.

B. İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] doğ-
ru parçasının uzunluğudur.

y

y1 A
|AB|2 = |BC|2 + |AC|2
y1–y2
B |AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
y2 •
C
x1–x2 |AB| = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2
x
O • x2 x1

4
9

Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-
kaçtır? ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

13

10

Doğrunun Analitik İncelenmesi I

ve y ekseni

Analitik düzlemde; A(n – 3, 2 – m) ve
B(n + 1, –1 – m) noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?

5

11 y

birimdir?

ndan
Şekil hatalı çizilmiş doğrusunu biz çizelim.
13

y

B
ll

P

x
O
ll

A

Şekildeki analitik düzlemde

[PB] ⊥ [PA], |PA| = |PB|, A(–3, –5) ve P(0, –1) dir.

Buna göre, |AB| uzunluğu kaç birimdir?

ğun- 5 2

12

(–5,1)

Sayfa 10
2009 / ÖSS

A

B(0,4) D(x,y)

x
O C(3,0)

Dik koordinat düzlemi üzerine şekildeki gibi
ABCD karesi yerleştirilmiştir.

Buna göre, D noktasının koordinatlarının top-
lamı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
lur.

13


A(x1, y1) noktasının orijine uzaklığı,

y

A(x1, x2) 2 2
|OA| = x1+x2

y1 olur.

• x
O(0,0)
x1

A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
14

Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-
ları orijine eşit uzaklıkta olduğuna göre, a nın
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
1| dir.

–6

ç birimdir?

15

y

A(x1, x2) 2 2
|OA| = x1+x2

y1 olur.

• x
O(0,0)
x1

A
la
al
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.

ÖRNEK
Analitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

ÇÖZÜM
| AB | = (x1 – x2) 2 + (y1 – y2) 2 olduğundan

= (1–2) 2 + (5 + 3) 2
= 1 + 82 16

P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklığı 4 bi-
birim oldu-
rim olduğuna göre, k nin alabileceği değerler
toplamı kaçtır?

4

17

aralığındadır.

A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-
rine uzaklıkları eşit olduğuna göre, a'nın ala-

ık, [AB] doğ- bileceği değerlerin toplamı kaçtır?

3

18

x + 3y – 4 = 0 olur.

C. BİR DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTASININ
KOORDİNATLARI
A(x1,y1) B(x2,y2)
• • •
P(x0,y0)

[AB] doğru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.

x1 + x2 y1 + y2
x0 = , y0 = dir.
2 2
A
t
s
ÖRNEK
A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor. 19

A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.

[AB] doğru parçasının orta noktası orijin üze-
rinde olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

–8

IN
20

A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birleş-
tiren AB doğru parçasının orta noktası y ek-
seni üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?

8
−
3

dir?

21

n ABC üçgeninin [BC]

-5 + 7 y |OC| = 3 birim
=1
2 A(6, 0)

C B

1) 2 = 1 2 + 3 2 = 10

O A x

Yukarıdaki verilere göre, OABC dikdörtgeni-

nin köşegenlerinin kesim noktasının koordi-

natları toplamı kaçtır?

LARININ
9
2

enarının köşegenleri bir-

22

Sayfa 11

Köşelerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) ve
C(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına ait
kenarortayının uzunluğu kaç birimdir?

uğundan

=1 ß10

.
23

nat

D. PARALELKENARIN KÖŞE NOKTALARININ
KOORDİNATLARI
D(x4, y4) C(x3, y3) ABCD paralelkenarının köşegenleri bir-
birini ortalar.

|AK| = |KC| ve
K(x0,y0)
|BK| = |KD| dir.

A(x1, y1) B(x2, y2) Orta nokta formülünden

x1 + x 3 x2 + x 4
x0 = = & x1 + x 3 = x2 + x 4 Köş
2 2
y1 + y 3 y2 + y 4 şeg
y0 = = & y1 + y 3 = y2 + y 4 bulunur.
2 2 [BD
Yani, paralelkenarın karşılıklı köşelerinin apsisleri toplamı birbirine eşittir. Aynı şekil-
A) 1
de, karşılıklı köşelerinin ordinatları toplamı da birbirine eşittir.

Bu özellik; dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.

24

egenleri bir-

2010 / YGS

Köşeleri A(3, 1), B(5, 3) C(2, 5) ve D(a, b) kö-
şegenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın
[BD] köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
r. Aynı şekil-
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D(a, b) C(2, 5)
25

Sayfa 7

A

D E

B F C
Yandaki ﬂekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-
nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgenin
iki kenar›n›n orta noktalar›n› birleﬂtiren do¤ru
parças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,
DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenar
olur.

26


ÖRNEK
A

D(1,5)
D(1,5) E(3,2) E(3,2) Ke

F(5,9) E(
B F(5,9) C F(
G(
Şekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
H(
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
no
çiz

ÇÖZÜM
A [DE] ve [DF] çizildiğinde elde edilen DECF
dörtgeni
27 bir paralelkenardır.

2008 / ÖSS

Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
n orta noktalarıdır.
H(–1, 2)
?
noktaları olan bir ABCD dörtgeni aşağıdaki gibi
çiziliyor.
A H D

E
diğinde elde edilen DECF
elkenardır. B G
a =7
F
b=6
C
3 olur. Buna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

28

E. BİR DOĞRU PARÇASINI, VERİLEN BİR ORANDA
E.BÖLEN NOKTANIN KOORDİNATLARI ORANDA
BİR DOĞRU PARÇASINI, VERİLEN BİR
1
BÖLEN NOKTANIN2,y2)
P(x0,y0)
A(x1,y1) B(x KOORDİNATLARI
E(–2,–2)
1
|PA |
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
= k olsun. E(–2,–2)
|PB | B
|PA |
= k olsun.
|PBx|1 + kx2 y1 + ky2 B
F(0,
x0 = y0 = olur.
1+k 1+k
x1 + kx2 y1 + ky2 F(0
Kenar orta nokta
x0 = y0 = olur.
1+k k
1 +PA |
| dörtgeni paralelke
P noktası; [AB] doğru parçasını = k oranında içten bölen noktadır.
|PB | Kenar orta nokta
Bundan dolayı
2 |PA | dörtgeni paralelk
P noktası; [AB] doğru parçasını = k oranında içten bölen noktadır. (–2) + m = 0 + (–
P(x ,y ) A(x ,y ) B(x2,y|2) |
PB Bundan dolayı
0 0 1 1
2 (–2) + n = 0 + 2 ⇒
(–2) + m = 0 + (–
P(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2)
ve m + n = 5 olur
(–2) + n = 0 + 2
|PA |
= k olsun. ve m + n = 5 olu
|PB |
|PA |
= k olsun.
|PBx| - kx y1 - ky2
1 2
x0 = , y0 = olur.
1-k 1-k
x1 - kx2 y1 - ky2
x0 = , y0 = olur.
1-k 1-k
|PA |
P noktası; [AB] doğru parçasını = k oranında dıştan bölen noktadır.
|PB | Analitik düzlemde
|PA |
P noktası; [AB] doğru parçasını = k oranında dıştan bölen noktadır. veriliyor.
|PB | Analitik düzlemd
ÖRNEK 29 AB doğru parça
veriliyor.

A B C D E

oktadır.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktaları
veriliyor.

AB doğru parçasını 4 eşit parçaya bölen nok-
talardan B ye en yakın olanının koordinatla-
rını bulunuz.

ktasının ko-

(6, 1)

9
30


1
= dir.
2 A(1, –2) B(–3, 0) C(m,n)

Yukarıdaki şekilde A, B, C noktaları doğrusaldır.
| AB |
= 2 olduğuna göre,
| BC |

C noktasının koordinatları nedir?

(–5,1)

2009 / ÖSS
31

azalır.
olur.

A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB doğru par-
çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak şekilde içten bö-
len C noktasının koordinatlarını bulunuz.
ABC üçgeni-
larının kesim
lsun. (3,1)

32

3
Sayfa 12

D (–4, 2) C (9, 4)
E

duğundan ADFE dörtgeni paralel-

⇒x=3 A(3, – 8) B

⇒y=6 ABCD bir paralelkenar

|EB| = 3|ED|

A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)
2 + (4 – 6) 2
olur. Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-
natlarını bulunuz.

C(a, 4) olan ABC üçgeninin ağır- (1,0)
edir?

33

e C(a, 4) olan ABC üçgeninin ağır- (1,0)
nedir? Sayfa 12

y
= 3 & a + 9 = 6 , a =- 3
A
4
= 1 & b + 1 = 3 , b=2
2) olur. B(5, 3)

O x

AOB bir üçgen

|AB| = |OB|, B(5, 3)

Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-
rim karedir?

koordinatları
(x2, y2), C(x3, y3) 15

çgeninin alanı:

34

c + d = 11 + (–8) = 3 tür.

F. ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ A(–
ças
A(x1, y1) Köşelerinin koordinatları
len
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-
nin ağırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim
noktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
G(x0, y0)
x1 + x2 + x 3
x0 =
3
B(x2, y2) C(x3, y3)
y1 + y2 + y 3 olur.
y0 =
3

ÖRNEK
Köşelerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin ağırlık
merkezinin P(2, 1) noktasına uzaklığı kaç birimdir?

35
Kö

ninin ağırlık

Köşelerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) ve
C(5,n) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi
orijinde olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?

–8

çin

36

lundukları

Köşelerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) ve
C(–1, 3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi-
asına uzak- nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?

3

37
D (–4, 2) C (9, 4)

|AB

Yuk
G. ÜÇGENİN ALANI rim

A(x1, y1)
Köşelerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
olan ABC üçgeninin alanı:

B(x2, y2) C(x3, y3)


12
x1 y1
x2 y2
x2 y1 x1 y2
x3 y3
x3 y2 x1 y1 x2 y3

+ x1 y3 + x3 y1
b a

Köşelerinin koordina
1
Alan(ABC) = |a – b|
2
ve C(1, 10) olan ABC
1
= |(x y + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur. dir?
2 1 2
A) 6 B) 8 C)

ÖRNEK
38

2009 / ÖSS

Köşelerinin koordinatları A d , 0 n , B d , 0n
3 –3
5 5

ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2

dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24

n alanı

39

A B C D E

n› do¤ru üzerindedir.)
y

C B(4, 2)

na göre, a kaçtır?
x
O A

Şekildeki analitik düzlemde OABC eşkenar dört-
gen ve B(4, 2) dir.
= 0 olmalıdır.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?

| 3a + 4 - (- 4a + 17) | = 0

7a - 13 | = 0 5

13
olur.
7
40

2
=
= 1, 5 birim karedir.

Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
y

Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)

ÖRNEK
A(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
ÖRNEK
O
A(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
O
Şekildeki ana
ÇÖZÜM gen ve B(4, 2
Şekildeki a
A, B,ÇÖZÜM
C noktalarının doğrusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
Buna ve B(4A
gen göre,
A, B, C noktalarının doğrusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
1
–4 3 Alan (ABC) = | 3a + 4 - (- 4a + 17) | = 0 Buna göre
2
3 2 1
9 –4 3 –8 Alan (ABC) = | 3a + 4 - (- 4a + 17) | = 0
1
4 a | 72 - 13 | = 0
a
8 3 2 3a 2
9–4 3 –8 1
+ –4a 4 a + 12 13 a - 13 | = 0
|7
8 3a a =2 olur.
–4a + 17 –4 3 3a + 4 7
+ –4a + 12 13
–4a + 17 a= olur.
3a + 4 7

41

NELER ÖĞ
NELER ÖĞRENDİK?
NELER ÖĞRENDİK?
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve Nokta Arasındaki Uzaklık
İki B(x , y ) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
2 2
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| == (x(x-1,x- 1x 2) 2B(x-(,yy1))-noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB|
A(x y ) ve
) 2 + (y+ y 2 2 y 2)
2 2 2
1 1 2 1 2
|AB| = (x 1 - x 2) + (y 1 - y 2)
2

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Bir Doğru Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Bir Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

A(x1,y1) A(x1,y1) B(x2,y2B(x2,y2)
) x x+ + x 2
1 x2 y + yy
y +
•
A(x1,y1) • • • B(x2,y2)
• • x 0 =1
x0 = , y 0 =+ x
, 0 x 1 1 22 2 2
y = 1 y1 + y2
22
• •
P(x0,y0) P(x0,y0) • x0 =
2
2 , y0 =
2
P(x0,y0)
Paralelkenarın Köşe Noktalarının Koordinatları
Paralelkenarın Köşe Noktalarının Koordinatları
Paralelkenarın4,Köşe Noktalarının Koordinatları
D(x , y )
D(x y4) C(x3, y3)
C(x , y )
4 4 3 3

D(x4, y4) K(xC(x3,
0,y0)
y3) x1 + x3 x2 + x4
x0 = = & x1 + x3 = x2 + x4
2 2
K(x0,y0) x1 + x3 x2 + x4
x 0 = = y 1 + y= = y 2 + y 4 & y 1 + x= = x 2y+ x 4
y0 2
3 & x +y 3 y +
A(x1, y1) B(x2, y2) 2 22 1 3 2 4
y 1 + y 3 x 1 + y 43
y2 + x x2 + x
K(x0,y0) y0 = = & y 1 + y 3 4 y 2 +x 4 + x = x + x
= y
A(x1, y1) Bir Doğru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen =
B(x2, y2) x 2
2
=
2 0 Noktanın Koordinatları & 1
2 3 2 4

P(x0,y0)
|PA |
B(x2,y2)
y + y3 y2 + y4
= k olsun. 1
A(x ,y )
Bir Doğru Parçasını, Verilen Bir
A(x , y )
1 1
B(x , y ) Oranda BölenyNoktanın Koordinatları
|PB | 0= =
2
&
2
y1 + y3 = y2 + y4
1 1 2 2
x 1 + kx 2 y 1 + ky 2 |PA |
x0 = y0 = = k olsun.
A(x1,y1) P(x01 +)k
,y0 B(x1 ,y2)
2+ k |PB | 42
Bir Doğru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Bir Doğru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
|PA |
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2) = k olsun.
|PB |
x 1 + kx 2 y 1 + ky 2
x0 = y0 =
1+k 1+k

|PA |
P noktası; [AB] doğru parçasını = k oranında içten bölen noktadır.
|PB |

P(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2) |PA |
= k olsun.
|PB |
x 1 - kx 2 y 1 - ky 2
x0 = , y0 =
1-k 1-k
|PA |
|PB |
Üçgenin Ağırlık Merkezi
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-
sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
x1 + x2 + x3
x0 =
3
y1 + y2 + y3
y0 =
3

Üçgenin Alanı
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:

x1 y1
1
x2 y2 Alan(ABC) = 43 – b|
|a
x y x y 2

P(x0,y0) A(x1,y1) 2 2 = k olsun.
|PB |
x 1 - kx 2 y 1 - ky 2
x0 = , y0 =
1-k 1-k
|PA |
|PB |
Üçgenin Ağırlık Merkezi
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-
sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
x1 + x2 + x3
x0 =
3
y1 + y2 + y3
y0 =
3

Üçgenin Alanı
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:

x1 y1
1
x2 y2 Alan(ABC) = |a – b|
x2 y1 x 1 y2 2
x3 y3
x3 y2 x1 y1 x 2 y3 1
= |(x y + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|
2 1 2
+ x1 y3 + x 3 y1
b a

4
44

Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (15)

Similaire à Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1

Similaire à Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1 (8)

Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1