1. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 02. Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Giải phương trình: sin3 os3 2 2 os( ) 1 0 (1)
4
x c x c x

    
Phương trình (1)
3 3
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos 2(cos sinx) 1 0
4(cos sin ) 5(cos sin ) 1 0
4(cos sin )(1 sin x cos ) 5(cos sin ) 1 0 (1)
x x x x x
x x x x
x x x x x
       
     
      
Đặt cos sin 2 os(x+ )
4
t x x c

   với đk: 2 2t  
2
1
sin x cos
2
t
x

  phương trình (1) trở thành:
2
3
2
1
4 (1 ) 5 1 0
2
2 1 0
( 1)(2 2 1) 0
t
t t
t t
t t t

   
   
    
Do 2
2 2 1 0t t t    nên có 1 0 1t t   
2 os(x+ ) 1
4
2
1
os(x+ )
4 2 ,2
2
c
x k
c
x k k Z





 

  
    

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm:
2x k  và 2 ,
2
x k k Z

   
Bài 2. Tìm x thuộc  0; thỏa mãn phương trình: 2os2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
c x
x x x
x
   

Điều kiện:
sin 2 0
tan 1
x
x


 
Phương trình 2cos sin os2 .cos
sin sin cos
sin cos sin
x x c x x
x x x
x x x

   

2 2cos sin
os sin cos in sin cos
sin
x x
c x x x s x x x
x

    
BÀI 3. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PHẦN 02)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Các dạng phương trình lượng giác (Phần 02)
thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng
cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Các dạng phương trình lượng giác (Phần 02). Để
sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

2. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 02. Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
2
2
cos sin sin (cosx sinx)
(cos sin )(sin cos sin 1) 0
x x x
x x x x x
   
    
(cos sin )(sin 2 cos2 3) 0
(cos sin ) 2 sin 2 3 0
4
cos sin 0
2 sin 2 3 ( )
4
x x x x
x x x
x x
x loai


    
  
      
  
 
       
cos sin ( )
4
x x x k k z

      (thỏa mãn điều kiện)
Do  0; 0
4
x k x

     .
Bài 3. Giải phương trình: tan tan .sin3 sin sin 2
6 3
x x x x x
    
      
   
.
Điều kiện: os . os 0
6 3
c x c x
    
     
   
Ta có: tan .tan 1
6 3
x x
    
      
   
Nên phương trình: sin3 sin sin2x x x   
sin3 sin 2 0
2sin 2 cos sin 2 0 sin 2 (2cos 1) 0
x sinx x
x x x x x
   
     
 
2
2
2 ( )
3
2
2
3
x k
x k L k Z
x k








   


   

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
, 2 ( )
2 3
x k x k k Z
 
    
Bài 4. Giải phương trình :
2 5x x
4 3sin x cos x 2cos cos 3sin 2x 3cos x 2
2 2 0
2sin x 3
   


Điều kiện :
3 2
sin x x k2 ,x k2
2 3 3
 
       
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
     
   
  2 2
2 3sin 2x cos x cos3x cos2x 3sin 2x 3cos x 2 0
3sin 2x 2cos x 1 cos3x cos x cos2x 1 2cos x 1 0
3sin 2x 2cos x 1 2sin 2x.sinx cos2x 1 2cos x 1 0
3sin 2x 2cos x 1 4cos x.sin x 2sin x 2cos x 1 0
     
        
       
      

3. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 02. Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
     2
3sin2x 2cosx 1 2sin x 2cosx 1 2cosx 1 0      
  2
2cosx 1 3sin 2x 2sin x 1 0    
  2cosx 1 3sin 2x cos2x 2 0    
 
1 2
cosx x 2k2cosx 1 0 2 3
k
3sin 2x cos2x 2 0 cos 2x 1 x k
3 6
       
   
              
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
2
x k2 ;x k (k Z)
3 6
  
      
Bài 5. Giải phương trình:  3sin2x 2cosx 1 2 cos3x cos2x 3cosx     .
Phương trình )1cos2()12(cos)cos3(cos)1cos2(2sin3  xxxxxx
)1cos2(sin2cossin4)1cos2(2sin3 22
 xxxxxx
0)1sin22sin3)(1cos2( 2
 xxx
*) 1)
6
2sin(22cos2sin301sin22sin3 2


xxxxx
 ;
6
x k k

    
*) )(
2
3
2
2
3
2
01cos2 Zk
kx
kx
x 













Vậy phương trình có nghiệm: 

2
3
2
kx  ; 

2
3
2
kx  và 

kx 
6
(k )Z
Bài 6. Giải phương trình: 2 24 5 1 9
cos x cos x cos x 1
3 3 2 2
         
           
      
8 10
1 cos 2x 1 cos 2x cos x 1
3 3 2
       
             
     
2
2 2cos2x.cos sin x 1
3
2 cos2x sin x 1 0

   
    
2
2sin x sin x 0
x ksin x 0
51
x k2 ;x k2sin x
6 62
  
  
         
 
 k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
5
x k ;x k2 ;x k2
6 6
 
        ,  k
Bài 7. Giải phương trình: 2 3(cot 1) 7
3cot 4 2 os 1
sinx 4
x
x c x
  
    
 
Điều kiện  sin 0x x k k Z   

4. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 02. Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
 
 
   
2
2 2
2 2 2
3 sinx cos3cos
4 sinx cos 1
sin sin
3cos 3 sinx cos 4 sinx cos sin sin
xx
PT x
x x
x x x x x

    
     
  
  
2 2 2
2
sinx cos 3 4sin 3cos sin 0
sinx cos 1
sinx cos 1 3 4sin 0 3
sinx
2
x x x x
x
x x
     
  
     
  

+)
2
sinx cos 1
2
2
x k
x
x k
 


 
   
   

+)
3 3
sinx
2
3
x k
x k





 
   
   

Kết hợp điều kiện ta được các nghiệm 2 ; ;
2 3 3
x k x k x k
  
         
Bài 8. Giải phương trình: sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
 sin2x - sinx = 1 – 4cosx – 2(2cos2
x – 1)
 sinx(2cosx – 1) = – 4cos2
x – 4cosx + 3
 sinx(2cosx – 1) = (1 – 2cosx)(3 + 2cosx)
 (1 – 2cosx)(3 + 2cosx + sinx) = 0  




0sinx2cosx3
02cosx-1
+/ cosx =
2
1
 x = 

k2
3

+/ 2cosx + sinx = –3 vô nghiệm (22
+ 12
< (- 3)2
)
Bài 9. Giải phương trình: 2coscos2)sin2(sin3 2
 xxxx .
Phương trình đã cho tương đương với 3cossin32cos2sin3  xxxx
2
5
)
6
sin()
6
(sin2
2
3
)
6
sin()
3
2cos( 2


xxxx
1 21
sin( ) ( )
6 4
1 21
sin( ) ( )
6 4
x l
x tm


    

    
1 21
arcsin 2
6 4
7 1 21
arcsin 2
6 4
x k
x k




     

     
Bài 10. Giải phương trình: 2( os4 os2 ) 3(1 os2 ) sin 2c x c x c x x    
2
4cos3 cos 2 3 os 2sin cos
2cos (2cos3 3cos sinx) 0.
x x c x x x
x x x
  
   

5. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 02. Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
2
cos 0 2
23cos sinx 2cos3 os os3
6
24 2
x k
x k
x
x k
x x c x c x
x k







 

 
                     

Giáo viên: Lê Anh Tuấn
Nguồn : Hocmai.vn