1. 1
บทที่ 1
จํานวนจริง (Real Numbers)
1.1 จํานวนจริง
การศึกษาการวิเคราะหเชิงจริง เราตองมีความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนจริง ในที่นี้เราจะ
กําหนดใหสมบัติของจํานวนจริงบางประการเปนสัจพจน และพิสูจนสมบัติอื่นๆของจํานวนจริงโดยใช
สัจพจนเหลานี้
กอนที่จะใหสัจพจน ขอทบทวนเกี่ยวกับจํานวนธรรมชาติ จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และ
จํานวนจริงในสวนที่เราคุนเคยมาแลว
จํานวนธรรมชาติ (natural numbers)
ให N แทนเซตของจํานวนธรรมชาติ ซึ่งประกอบดวย
1, 2, 3, 4, …
ดังนั้น { },...3,2,1N = โดยที่ แตละ Nn∈ จะมี ตัวตามหลัง (successor) เปน 1n + เชนตัวตามหลัง
ของ 1 คือ 2 ตัวตามหลังของ 2 คือ 3 เปนตน
สมบัติที่เดนชัดของ N คือ สัจพจนเปอาโน (Peano’s Axiom or Peano’s Postulate) คิดโดย จู
เซปเป เปอาโน (Giuseppe Peano ค.ศ. 1858-1932) เปนนักคณิตศาสตรชาวอิตาเลียน สัจพจนเปอาโน
5 ขอ กลาวไวดังนี้
1N 1 เปนจํานวนธรรมชาติ
2N ถา n เปนจํานวนธรรมชาติแลว ตัวตามหลังของ n เปนจํานวนธรรมชาติ
3N ถา m และ n เปนจํานวนธรรมชาติที่มีตัวตามหลังเปนตัวเดียวกันแลว nm =
4N ถา n เปนจํานวนธรรมชาติ และ 1n ≠ แลว n เปนตัวตามหลังของจํานวนธรรมชาติ
จํานวนหนึ่ง นั่นคือ ถา Nn∈ และ 1n ≠ แลวจะมี Nm∈ ซึ่ง 1mn +=
5N ถา NS ⊂ ซึ่งมีสมบัติวา
ก. S1∈

2. 2
และ ข. ทุก Nk ∈ ถา Sk ∈ แลว S1k ∈+
แลว NS =
เราเรียกสัจพจน 5N วา หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร(principle of mathematical induction) ซึ่ง
นําไปใชพิสูจนขอความในแบบ ( )"nP,Nn" ∈∀ เมื่อ ( )nP แทนขอความเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ
n โดยให { }: ( )S n N P n= ∈ ถาแสดงไดวา
1. ( )1P เปนจริง และ
2. ทุก Nk ∈ ถา ( )kP เปนจริงแลว ( )1kP + เปนจริง
แลวสรุปไดวา ( )nP เปนจริงทุก n N∈
มีการดําเนินการทวิภาคบน N คือ การบวก “+” และการคูณ “ .” ของ m และn อยูใน N ซึ่งจะ
เขียน n m+ และ .m n (หรือ mn ) ตามลําดับ มีความสัมพันธอันดับ มากกวา “>” โดยเขียนแทน m n>
(อานวา เอ็มมากกวาเอ็น)
จํานวนเต็ม (integers)
จากเซตของจํานวนธรรมชาติ มีการสรางเซตของจํานวนเต็มเพื่อใหเกิดการลบ (นั่นคือมีคําตอบ
ของสมการในรูป mnx =+ เมื่อกําหนด ,n m N∈ )
ให Z (หรือ I ) แทนเซตของจํานวนเต็ม ซึ่งประกอบดวย
, 3 , 2 , 1 ,0 ,1 ,2 ,3,… − − − …
ดังนั้น { }, 3 , 2 , 1 ,0 ,1 ,2 ,3,Z =… − − − …
และเห็นไดชัดวา N Z⊂ ซึ่งบางครั้งเราจะเรียก N วาเซตของจํานวนเต็มบวก
มีการดําเนินการทวิภาคบน Z คือ การบวกและการคูณ มีความสัมพันธอันดับ “มากกวา” โดยที่
สมบัติการบวก การคูณ และความสัมพันธอันดับใน N ยังคงเปนจํานวนจริงใน Z
จํานวนตรรกยะ (rational numbers)
เพื่อทําใหเกิดการหาร (นั่นคือมีคําตอบของสมการในรูป mxn = เมื่อกําหนด ,n m N∈ ) จึงมี
การสรางเซตของจํานวนตรรกยะขึ้น

3. 3
ให Q แทนเซตของจํานวนตรรกยะ ไดวา : ,
m
Q m Z n N
n
 
= ∈ ∈ 
 
ซึ่ง จํานวนตรรกยะ คือจํานวนที่อยูในรูปเศษสวน
n
m
โดยที่ m Z∈ และ n N∈ และ N Z Q⊂ ⊂
การเทากันของสมาชิกของ N หรือ Z
กําหนดวา mn = หมายถึง m และ n เปนสิ่งเดียวกัน ขณะที่การเทากันของสมาชิกของ Q กําหนดวา
b
a
n
m
= ก็ตอเมื่อ anmb = สําหรับ ,m a Z∈ และ ,n b N∈
จํานวนจริง (real numbers)
ระบบจํานวนจริงสามารถสรางไดโดยเริ่มจากสัจพจนเปอาโน 5 ขอ สําหรับจํานวนธรรมชาติ แลว
สรางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนจริง การพัฒนาระบบจํานวนจริงจากจํานวนตรรกยะอยาง
เปนระบบที่สมบูรณ มีวิธีการซึ่งเปนที่ยอมรับกันโดยทั่วไปอยู 2 วิธี คิดคนโดยคณิตศาสตรชาวเยอรมันนี
2 คน คือ ริคารด เดเดคินด(Richard Dedekind) ค.ศ. 1845-1918) และเกอรก คันทอร (Gerog Cantor
ค.ศ. 1931-1916)รายละเอียดของการพัฒนาระบบจํานวนจริงศึกษาไดจาก [9] ซึ่งจะไมกลาวในหนังสือ
เลมนี้ จากการพัฒนามาจนถึงจํานวนตรรกยะ พบวาไมมีจํานวนตรรกยะ r ซึ่ง 2r2
= การพิสูจน
ขอความนี้ใชสมบัติของจํานวนเต็มและพิสูจนโดยขอขัดแยง ดังนี้
สมมติวามีจํานวนตรรกยะ
n
m
ซึ่ง 2
n
m
2
=





โดยที่ m Z∈ และ n N∈ และตัวหารรวมมาก
(greatest commom divisor) ของ n และ m เทากับ 1 ดังนั้น 22
n2m = ไดวา m เปนจํานวนคู ให
k2m = สําหรับบางคา k Z∈ จะได 22
n2k2 = ดังนั้น 22
k2n = ไดวา n เปนจํานวนคูเพราะฉะนั้น
m และn มี 2 เปนตัวประกอบ ทําใหไดวาตัวหารรวมมากของ n และ m ไมเทากับ 1 เกิดขอความ
ขัดแยงกัน ดังนั้นไมมีจํานวนตรรกยะ r ซึ่ง 2r2
= เพื่อใหไดจํานวนซึ่งเปนคําตอบของสมการ 2x2
=
จึงเกิดจํานวนอตรรกยะ (irrational numbers) ซึ่งไมเปนจํานวนตรรกยะ และยูเนียนของเซตของจํานวน
ตรรกยะ และเซตของจํานวนอตรรกยะเปน เซตของจํานวนจริงเขียนแทนดวย R
ตอไปเราจะศึกษาโครงสรางและสมบัติบางประการของจํานวนจริง โดยสมมติวาเซตของจํานวน
จริง R มีสมบัติสอดคลองกับสัจพจน 3 กลุม คือ สัจพจนฟลด สัจพจนการเปนบวก และสัจพจนความ
บริบูรณ

4. 4
สัจพจนฟลด (Field Axioms)
เซตของจํานวนจริงR มีการดําเนินการทวิภาคบน R ที่เรียกวา การบวกและการคูณ สําหรับ
จํานวนจริง a และ b การบวกของ a และ b เขียนแทนดวย ba + การคูณของ a และ b เขียนแทนดวย
ba ⋅ หรือ ab การบวกและการคูณสอดคลองกับสัจพจนฟลดดังนี้
1A แตละ a , Rb∈ abba +=+
2A แตละ a , Rb∈ ( ) ( )cbacba ++=++
3A มี R0 ∈ เพียงตัวเดียวเทานั้นที่ทําให aa00a =+=+ ทุก Ra ∈
4A แตละ Ra ∈ จะมี Rb∈ ซึ่งทําให 0ba =+ เขียนแทน b ดวย a− และเรียก a− วา
ตัวผกผันของ a ภายใตการบวก
1M แตละ a , Rb∈ baab =
2M แตละ a , Rb∈ ( ) ( )bcacab =
3M มี 1 R∈ เพียงตัวเดียวเทานั้นที่ทําให a1aa1 == ทุก Ra ∈
4M แตละ Ra ∈ และ 0a ≠ จะมี Rb∈ ซึ่งทําให 1ab = เขียนแทน b ดวย 1
a−
และ
เรียก 1
a−
วา ตัวผกผันของ a ภายใตการคูณ
1AM แตละ a , Rb∈ ( ) bcaccba +=+
ขอตกลง ให a , Rb∈ จะเขียน ba − แทน ( )ba −+ และเขียน
b
a
แทน 1
ab−
เมื่อ 0b ≠
จากสัจพจนฟลด เราสามารถพิสูจนสมบัติของจํานวนจริงภายใตการบวกและการคูณไดอีก
มากมาย เชน ( ) aa =−− , ( ) bb
11
=
−−
ถา 0b ≠ , ( ) ( )11
bb −−
−=− ถา 0b ≠ เปนตน
สัจพจนการบวก (Positivity Axiom)
สมมติวา R มีเซตยอย +
R เพียงเซตเดียวเทานั้นที่มีสมบัติ 2 ขอ ดังนี้
1P ถา +
∈ Ra และ +
∈ Rb แลว +
∈+ Rba และ +
∈ Rab

5. 5
2P แตละ Ra∈ ขอความตอไปนี้เปนจริงพียงขอเดียวเทานั้น
i) +
∈ Ra ii) 0a = iii) +
∈− Ra
เราเรียกจํานวนจริงที่เปนสมาชิกของ +
R วา จํานวนจริงบวก ดังนั้น +
R เปนเซตของจํานวนจริงบวก
จากสัจพจนการเปนบวก จะนิยามความสัมพันธอันดับ “มากกวา” บน R ไดดังนี้
ให Rb,a ∈ เรากลาววา
a มากกวา b (เขียน ba > ) ก็ตอเมื่อ ba − เปนจํานวนจริงบวก
a มากกวาหรือเทากับ b (เขียน ba ≥ ) ก็ตอเมื่อ ba > หรือ ba =
a นอยกวา b (เขียน ba < ) ก็ตอเมื่อ b มากกวา a
a นอยกวาหรือเทากับ b (เขียน ba ≤ ) ก็ตอเมื่อ ba < หรือ ba =
ขอสังเกต ให Ra∈ ไดวา 0a > ก็ตอเมื่อ +
∈−= R0aa ดังนั้น { }0x|RxR >∈=+
และไดวา
0a < ก็ตอเมื่อ 0 a> ก็ตอเมื่อ +
∈−=− Ra0a ถาให { }+−
∈−∈= Ra|RaR แลว
{ }0x|RxR <∈=−
เรียกจํานวนจริงที่เปนสมาชิกของ −
R วา จํานวนจริงลบ ดังนั้น
{ } −+
∪∪= R0RR
จากสัจพจนฟลดและสัจพจนการเปนบวก ทําใหไดสมบัติของจํานวนจริงตามมาอีกมาก ซึ่งจะ
กลาวไวเฉพาะที่สําคัญหรือที่จะนําไปใชโดยไมตองพิสูจน
1. แตละ Rb,a ∈ ขอความตอไปนี้เปนจริงเพียงขอความเดียว
i) ba > ii) ba = iii) ba <
เราเรียกกฎนี้วา กฎไตรวิภาค (trichotomy law) สําหรับจํานวนจริง
2. แตละ Rc,b,a ∈ ถา ba > และ cb > แลว ca >
3. แตละ Rb,a ∈ ถา ba > แลว cbca +>+ ทุก Rc∈
4. แตละ Rb,a ∈ ถา ba > แลว ac bc> ทุก +
∈ Rc และ ac bc< ทุก −
∈ Rc
5. แตละ +
∈ Ra และ 0a ≠ ไดวา 0a2
>
6. แตละ +
∈ Ra ไดวา +−
∈ Ra 1

6. 6
7. แตละ Rb,a ∈ ถา ba > แลวจะมี Rc∈ ซึ่ง bca >>
8. แตละ Ra ∈
8.1 ถา 1a > แลว 1aa2
>>
8.2 ถา 1a0 << แลว aa2
<
9. แตละ Rb,a ∈ ถา ba0 << แลว 22
ba <
แบบฝกหัด 1.1
1. จงหาคําตอบของ อสมการตอไปนี้
1.1 2
1 1
2 2 4x
<
+
1.2 2 3
4 2 1
x x
x x
+ −
>
+ −
1.3
2
2
4 7
3
1
x x
x
− −
≥
−
1.4 ( )
22
2 1x x≥ +
2. จงพิสูจนความสมเหตุสมผลของขอความพีชคณิตจํานวนตอไปนี้
สําหรับแตละจํานวนนับ n
2.1 ( ) 2
1 3 5 ... 2 1n n+ + + + − = 2.2
2
1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
2.3 2 2n
n ≤ 2.4 2 2n
n < เมื่อ 3n ≥
1.2 สัจพจนความบริบูรณ (Completeness Axiom)
ให RS ⊂ ถา { }1 2, ,..., nS x x x= เปนเซตจํากัด จะเห็นไดชัดวา S มี สมาชิก คาสูงสุด และ
สมาชิก คานอยสุดแตถา S เปนเซตอนันต อาจจะไมมี สมาชิก คาสูงสุด หรือ สมาชิก คานอยสุดก็ได
บทนิยาม 1.9 ให S Rφ ≠ ⊂ และ ,u l R∈ เรากลาววา
ก. u เปนขอบเขตบน (upper bound) ของ S ก็ตอเมื่อ x u≤ ทุก Sx∈
ข. l เปนขอบเขตลาง (lower bound) ของ S ก็ตอเมื่อ x l≥ ทุก Sx∈
ค. S เปนเซตมีขอบเขต(bounded set) ก็ตอเมื่อ S มีทั้งขอบเขตลางและขอบเขตบน
นั่นคือมี u R∈ ซึ่ง u เปนขอบเขตบน ของ S และมี l R∈ ซึ่ง l เปนขอบเขตลางของ S
ขอสังเกต จากนิยาม 1.9 ไดวา
S ไมมีขอบเขตบน ก็ตอเมื่อ ทุก u R∈ จะมี Sx∈ ซึ่ง x u>

7. 7
S ไมมีขอบเขตลาง ก็ตอเมื่อ ทุก l R∈ จะมี Sx∈ ซึ่ง x l<
S ไมมีขอบเขต ก็ตอเมื่อ S ไมมีขอบเขตบน หรือ S ไมมีขอบเขตลาง
บทนิยาม 1.10 ให S Rφ ≠ ⊂ เรากลาววา
ก. จํานวนจริง a เปนคาสูงสุด(maximum) ของ S ก็ตอเมื่อ a S∈ และ a เปนขอบเขต
บนของ S และเขียนแทนดวย maxa S=
ข. จํานวนจริง b เปนคาต่ําสุด(minimum) ของ S ก็ตอเมื่อ b S∈ และ b เปนขอบเขต
ลางของ S และเขียนแทนดวย minb S=
ขอสังเกต ถา c เปนขอบเขตบนของ A แลว ทุกๆจํานวน x ซึ่ง x c≥ จะเปนขอบเขตบนของ A
และ ถา d เปนขอบเขตลางของ A แลว ทุกๆจํานวน y ซึ่ง y c≤ จะเปนขอบเขตลางของ A ดังนั้น
ขอบเขตบนและขอบเขตลางของ A มีจํานวนมากมาย
บทนิยาม 1.11 ให RS ⊂ และ φ≠S เรากลาววา
ก. จํานวนจริงM เปนขอบเขตบนนอยสุด(least upper bound or supremum) ของ S
ถา M เปนคาต่ําสุดของเซตของขอบเขตบนทั้งหมดของ S และเขียน SsupM =
นั่นคือ SsupM = ก็ตอเมื่อ 1. M เปนขอบเขตบนของ S
2. ถา y เปนขอบเขตบนใดๆของ S แลว My ≥
ข. จํานวนจริงm เปนขอบเขตลางมากสุด(greatest lower bound or infimum) ของ S
ถา m เปนคาสูงสุดของเซตของขอบเขตลางทั้งหมดของ S และเขียน Sinfm =
นั่นคือ Sinfm = ก็ตอเมื่อ 1. m เปนขอบเขตลางของ S
2. ถา y เปนขอบเขตลางใดๆของ S แลว my ≤
ถา S ไมมีขอบเขตบน แลวกําหนดให ∞=Ssup ในทํานองเดียวกัน ถา S ไมมีขอบเขตลาง
แลวกําหนดให −∞=Sinf
ขอสังเกต ให AU แทนเซตของขอบเขตบนทั้งหมดของ A และ AL แทนเซตของขอบเขตลาง
ทั้งหมดของ A จะเห็นไดวา min supAU A= และ max infAL A=

8. 8
ตัวอยาง 1.1 ให { }[0,1) | 0 1A x R x= = ∈ ≤ < จงหาขอบเขตบน ขอบเขตลาง ขอบเขตบนคา
นอยสุดและขอบเขตลางคามากสุด ของ A
วิธีทํา ให x A∈ ไดวา 1x0 <≤
ดังนั้น x0 ≤ ทุก Ax∈ ไดวา 0 เปนขอบเขตลางของ A
และ 1x < ทุก Ax∈ ไดวา 1 เปนขอบเขตบนของ A
และไดวา ( ],0AL = −∞ และ [ )1,AU = ∞ ดังนั้น max 0 infAL A= = และ
min 1 supAU A= =
และไดวา 0 เปนคาต่ําสุดของ [0,1)A = เพราะวา A0 ∈ และ 0 เปนของเขตลางของ A
แต 1 ไมเปนคาสูงสุดของ Aเพราะวา 1 เปนขอบเขตบนของ A แต A1∉
สําหรับ S เปนเซตใดๆ ที่ φ≠S และ S มีขอบเขต แลว SU มีคาต่ําสุดเสมอ การพิสูจน
ขอความตอไปนี้ ไมสามารถทําไดโดยใชเพียงสัจพจนฟลดและสัจพจนการเปนบวก ดังนั้นเราจะให
ขอความดังกลาวเปนสัจพจน ซึ่งคือสัจพจนความบริบูรณ
สัจพจนความบริบูรณ กลาววา เซตยอยของ R ซึ่งไมเปนเซตวางและมีขอบเขตบน จะมีขอบเขตบน
นอยสุดเสมอ นั่นคือ ถา φ≠S และ S มีขอบเขตบนแลว S มีขอบเขตบนนอยสุดหรือ Ssup มีจริง
(exist)
ตัวอยาง 1.2 จงหา Ssup Sinf Smax และ Smin เมื่อกําหนดเซต S ดังตอไปนี้
ก. { }4x3|ZxS <<−∈=
ข. { }2x|RxS ≥∈=
วิธีทํา ก. ไดวา { }3,2,1,0,1,2S −−= ดังนั้น Smax3Ssup == และ Smin2Sinf =−=
ข. เนื่องจาก x2 ≤ ทุก Sx ∈ ดังนั้น 2 เปนขอบเขตลางของ S และถา y เปนขอบเขตลางของ
S แลว 2y ≤ ดังนั้น 2Sinf = และจาก S2 ∈ ดวย ดังนั้น 2Smin =
จะแสดงวา S ไมมีขอบเขตบนโดยพิสูจนแบบขัดแยง( Contradiction) สมมติวา S มีขอบเขต
บน ให RM ∈ ซึ่ง Mx ≤ ทุก Sx ∈ ดังนั้น 2M ≥ ไดวา 2M1M >>+ ดังนั้น

9. 9
S1M ∈+ เพราะฉะนั้น M1M ≤+ ซึ่งเปนไปไมได ดังนั้น ที่สมมติวา S มีขอบเขตบนนั้นเปนเท็จ
ไดวา S ไมมีขอบเขตบน นั่นคือ S ไมมีขอบเขตบนนอยสุด และ S ไมมีคาสูงสุด
ทฤษฎีบท 1.1 ให RS ⊂ และ φ≠S ถาS มีขอบเขตลางแลว S มีขอบเขตลางมากสุด
พิสูจน ให φ≠S และให b เปนขอบเขตลางของ S
ให { }St|RtT ∈−∈= ดังนั้น φ≠T (เพราะวา φ≠S ดังนั้น มี Sx ∈ และ
( ) Sxx ∈−−= ดังนั้น Tx ∈− ) จะแสดงวา b− เปนขอบเขตบนของ T
ให Tt ∈ ดังนั้น St ∈− ไดวา tb −≤ (เพราะวา b เปนขอบเขตลางของ S ) นั่นคือ tb ≥−
ดังนั้น b− เปนขอบเขตบนของ T โดยสัจพจนความบริบูรณไดวา T มีขอบเขตบนนอยสุด ให Tsupc =
จะแสดงวา c− เปนขอบเขตลางมากสุดของ S ให Sx ∈ ดังนั้น Tx ∈− ไดวา c x≥ −
(เพราะวา c เปนขอบเขตบนของ T ) ดังนั้น xc ≤− ไดวา c− เปนขอบเขตลางของ S
ให y เปนขอบเขตลางใดๆของ S จะได y− เปนขอบเขตบนของ T จาก Tsupc = ไดวา
yc −≤ นั่นคือ yc ≥− ดังนั้น c− เปนขอบเขตลางมากสุดของ S
ทฤษฎีบท 1.2 ให RS ⊂ และ φ≠S และ S มีขอบเขตบนแลว สําหรับทุกจํานวนจริง 0>ε จะมี
Sa ∈ ซึ่งทําให sup supS a Sε− < ≤
พิสูจน โดยใชขอขัดแยง สมมติวามี 00 >ε ซึ่งทําให ทุก Sa ∈ ไดวา a0Ssup ≥ε− ถาเกิดกรณี
a0Ssup ≥ε− ทุก Sa ∈ แลว 0supS ε− เปนขอบเขตบนของ S ซึ่ง Ssup0Ssup <ε− เกิดขอ
ขัดแยง (เพราะวา Ssup เปนขอบเขตบนนอยสุดของ S และ Ssupa ≤ ทุก Sa ∈ ) ดังนั้นทุก 0>ε
จะมี Sa ∈ ซึ่งทําให SsupaSsup <<ε−
แบบฝกหัด 1.2
1. จงพิสูจนวา ไมมีจํานวนตรรกยะ r ซึ่ง 3r2
=
2. ให ( )b,aS = หรือ ]b,a( หรือ [ ]b,a หรือ )b,a[ เมื่อ Rb,a ∈ และ ba < จงแสดงวา
Sinfa = และ Ssupb =
3. ให ]a,(A −∞= หรือ ( )a,∞− เมื่อ Ra ∈ จงแสดงวา Asupa = และ Aไมมีขอบเขตลาง
4. จงหา Ssup Sinf Smax และ Smin สําหรับเซตในแตละขอตอไปนี้

10. 10
4.1 ZS = 4.2 { }2x|RxS 2
<∈=
4.3 { }01x2x|xS 2
<−−= 4.4






∈= Nn|
n
1
S
4.5
( )








∈
−
−= Nn|
n
1
1S
n
5. ให RS ⊂ และ S เปนเซตมีขอบเขต จงพิสูจนวา
5.1 ถา SinfSsup = แลว S มีสมาชิกเพียงตัวเดียว
5.2 ถา a เปนขอบเขตลางของ S และ b เปนขอบเขตบนของ S แลว ba ≤
6. ให RS ⊂ และให { }Sx|xT ∈−= จงหาความสัมพันธระหวาง Ssup และ Tinf และ ระหวาง
Sinf และ Tsup
7. ให RBA ⊂⊂≠φ AและB เปนเซตมีขอบเขต จงแสดงวา
7.1 AinfBinf ≤ 7.2 BsupAsup ≤
8. ให RS ⊂≠φ และให { }Sx|xV 2
∈= จงแสดงความสัมพันธระหวาง Ssup และ Vsup และ
ระหวาง Sinf และ Tinf
9. ให { }9x1|RxA <<∈= และ { }8x0|RxB <<∈= กําหนดเซต
{ }BbRa|baBA ∈∈+=+ จงหา ( )inf A B+ และ ( )sup A B+
10. ให Aและ B เปนเซตมีขอบเขต กําหนดเซต BA + เชนเดียวกับขอ 9 จงพิสูจนวา
10.1 ( )sup A+ B = supA+supB
10.2 ( )inf A+ B = infA+infB
11. ให { } [ ]5,15x1|RxS −=<<−∈= กําหนดเซต { }Sx|axaS ∈= เมื่อ Ra ∈ จงหา
( )aSinf และ ( )aSsup เมื่อ
11.1 3a = 11.2 2a −=
12. ให S เปนเซตมีขอบเขต กําหนดเซต aS เมื่อ Ra ∈ เชนเดียวกับขอ 11 จงพิสูจนวา
12.1 ถา 0a > แลว ( ) SinfaaSinf = และ ( ) SsupaaSsup =
12.2 ถา 0a < แลว ( ) SsupaaSinf = และ ( ) SinfaaSsup =
และ

11. 11
13. ให S และ T เปนเซตมีขอบเขต จงพิสูจนวา ( ) { }Tsup,SsupmaxTSsup =∪
14. ให RS ⊂ และ b เปนขอบเขตบนนอยสุดของ S จงแสดงวา ทุก Ra ∈ ถา ba < แลว จะมี
Sx ∈ ซึ่ง bxa ≤≤
15. ให RS ⊂ และ φ≠S จงพิสูจนวา ถา S เปนขอบเขตลางแลว ทุกจํานวนจริง 0>ε ใดๆ จะมี
Sa ∈ ซึ่งทําให ε+<≤ SinfaSinf
1.3 สมบัติอารคิมีดีส ( Archimedean Property )
เราจะศึกษาสมบัติที่สําคัญของเซตของจํานวนธรรมชาติ
ทฤษฎีบท 1.3 N เปนเซตไมมีขอบเขตบน
พิสูจน โดยใชขอขัดแยง สมมติวา N เปนเซตมีขอบเขตบน ดังนั้น มี Rb∈ ซึ่ง Nsupb = ไดวา
bn ≤ ทุก Nn ∈ จาก 1b − ไมเปนขอบเขตบนของ N ดังนั้นมี Nm∈ ซึ่ง m1b <− หรือ
1mb +< เนื่องจาก N1m ∈+ ดังนั้น 1m b+ ≤ ( เพราะวา b เปนขอบเขตบนของ N ) เกิดขอความ
ขัดแยง ดังนั้น N ไมมีขอบเขตบน
ทฤษฎีบท 1.4 สมบัติการจัดอันดับดี (well-ordering property )
ทุกเซตยอยของ N ที่ไมเปนเซตวางจะมีคาต่ําสุดเสมอ
พิสูจน ให S N⊂ และ φ≠S จะแสดงวา S มีคาต่ําสุด เนื่องจาก 1 เปนขอบเขตลางของ S โดย
สัจพจนความบริบูรณไดวา S มีขอบเขตลางมากสุด ให Sinfa = ดังนั้น 1a + ไมเปนขอบเขตลางของ
S ไดวามี Sx ∈ ซึ่ง 1axa +<≤
สมมติวา Sa ∉ ไดวา 1axa +<< ดังนั้น x ไมเปนขอบเขตลางของ S ไดวามี Sy ∈ ซึ่ง
1axya +<<< ดังนั้น 1yx0 <−< ซึ่งเปนไปไมไดเพราะวา x และ y เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น
เปนเท็จ โดยบทนิยาม 1.10 ไดวา a เปนคาต่ําสุดของ S
ทฤษฎีบท 1.5 สมบัติอารคิมีดีส
ทุกจํานวนจริงบวก x และ y จะมี Nn∈ ซึ่งทําให ynx >

12. 12
พิสูจน ให 0x > และ 0y > และ { }|A nx n N= ∈ ไดวา φ≠A (เพราะวา Axx1 ∈=⋅ ) สมมติ
วา nx y≤ ทุก n N∈ ดังนั้น y เปนขอบเขตบนของ A โดยสัจพจนความบริบูรณไดวา A มีขอบเขตบน
นอยสุด ให Asupb = เนื่องจาก 0x > ดังนั้น bxb <− ไดวา xb − ไมเปนขอบเขตบนของ A
ดังนั้น มี Nk ∈ ซึ่งทําให xbkx −> หรือ ( ) bx1k >+
เนื่องจาก ( ) Ax1k ∈+ ดังนั้น ( ) bx1k ≤+ เกิดขอขัดแยงกัน ดังนั้น nx y≤ ทุก n N∈ เปนเท็จ
ไดวา มี Nn∈ ซึ่ง ynx >
หมายเหตุ ถา 0x > และ y เปนจํานวนจริงใดๆแลวจะมี Nn∈ ซึ่งทําให ynx > ทั้งนี้ เพราะวา
เมื่อ 0y > ใชทฤษฎีบท 1.5 เมื่อ 0y < เลือก 1n = จะได yx1 >⋅ เสมอ
บทแทรก 1.6 ก. ทุก Rx ∈ มี Nn∈ ซึ่งทําให xn >
ข. ทุก 0a > มี n N∈ ซึ่งทําให
1
a
n
<
พิสูจน ก. ให Rx ∈ ถา 0x ≤ แลวเราเลือก 1n = จะได xn > ถา 0x > โดยทฤษฎีบท 1.5 ไดวา
มี Nn∈ ซึ่ง x1nn >⋅=
ข.ให 0a > ดังนั้น 0
a
1
> โดยขอ ก. ไดวามี Nn∈ ซึ่ง
a
1
n > นั่นคือ a
n
1
<
ตัวอยาง 1.4 จงแสดงวา ก. ( )
1
( ,2) 0,2
n N n∈
= ข.
1
(0, )
n N n
φ
∈
=
พิสูจน ก. ให 
Nn
2,
n
1
x
∈






∈ ดังนั้น มี Nm∈ ซึ่ง
1
,2x
m
 
∈ 
 
นั่นคือ 2x
m
1
0 <<< ดังนั้น
( )2,0x ∈ ไดวา ( )2,02,
n
1
Nn
⊂





∈
 ให ( )2,0x ∈ หรือ 2x0 << โดยบทแทรก 1.6 ข. ไดวา มี
0n N∈ ซึ่ง x
0n
1
< ดังนั้น 





∈ 2,
0n
1
x ไดวา 
Nn
2,
n
1
x
∈






∈ นั่นคือ ( ) 
Nn
2,
n
1
2,0
∈






⊂ สรุป
ไดวา ( )2,02,
n
1
Nn
=





∈


13. 13
ข.สมมติวา φ≠





∈

Nn n
1
,0 ดังนั้นมี 
Nn n
1
,0x
∈






∈ นั่นคือ 







∈
n
1
,0x ทุก Nn ∈
โดยบทแทรก 1.6 ข. ไดวามี N0m ∈ ซึ่ง x
0m
1
< แต
0m
1
x < เกิดขอขัดแยงกัน
ดังนั้น φ=





∈

Nn n
1
,0
ทฤษฎีบท 1.7 ทุก Rx ∈ จะมีจํานวนเต็ม m ซึ่งทําให 1m x m≤ < +
พิสูจน ให Rx ∈ ดังนั้น 0x ≥ หรือ 0x <
กรณี 0x ≥ ให { }kx|NkA <∈= ดังนั้น NA ⊂ โดยใชบทแทรก 1.5 ก. ไดวามี Nn0 ∈
ซึ่ง 0nx0 <≤ ดังนั้น An0 ∈ นั่นคือ φ≠A โดยทฤษฎีบท 1.4 ไดวา A มีคาต่ําสุดให Aminn =
ดังนั้น n เปนจํานวนเต็มบวก ให 1nm −= ไดวา m เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น xm ≤ (เพราะวาถา
xm > แลว Am∈ ทําให m1nn =−≤ เกิดขอขัดแยง) ดังนั้น 1mxm +<≤
กรณี 0x < จะได 0x >− ดังนั้นมีจํานวนเต็ม p ซึ่งทําให 1pxp +<−≤ ไดวา
px1p ≤−<− ดังนั้น 1pxp +−<≤− ให pm −= ไดวา m เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น มี Zm∈ ซึ่ง
1mxm +<≤
ความสัมพันธระหวางเซตของจํานวนตรรกยะและเซตของจํานวนจริงคือ เซตของจํานวนตรรกยะ
เปนเซตหนาแนนของเซตในจํานวนจริง
บทนิยาม 1.12 ให RS ⊂ เรากลาววา S เปนเซตหนาแนน (dense set) ใน R ถาทุกชวง ( )b,a โดยที่
ba < บรรจุสมาชิกของ S อยางนอยหนึ่งตัว
ทฤษฎีบท 1.8 เซตของจํานวนตรรกยะ Q เปนเซตหนาแนนใน R
พิสูจน ให Rb,a ∈ และ ba < เราจะแสดงวามีจํานวนตรรกยะ r ใน ( )b,a
เนื่องจาก 0ba >− โดยสมบัติอารคิมีดีส ไดวา มี Nn∈ ซึ่งทําให
( ) 1abn >− ------ ( 1 )
พิจารณาจํานวนจริง 1na + โดยใชทฤษฎีบท 1.7 ไดวามี Zm∈ ซึ่งทําให

14. 14
1m1nam +<+≤ ------ ( 2 )
จาก (2) ไดวา mna1m <≤− ดังนั้น
n
m
a <
จาก (1) ไดวา 1nanb +> และใช (2) ไดวา nb1nam <+≤ ดังนั้น b
n
m
<
ให
n
m
r = จะได r เปนจํานวนตรรกยะ ซึ่ง ( )b,ar ∈ ดังนั้น Q เปนเซตหนาแนนใน R
หมายเหตุ จาก ทฤษฎีบท 1.8 กลาวไดวา ระหวางจํานวนจริงสองจํานวน จะมีจํานวนตรรกยะอยู
ระหวางจํานวนจริงทั้งสอง
ทฤษฎีบท 1.9 ระหวางจํานวนจริงสองจํานวน จะมีจํานวนอตรรกยะอยูระหวางจํานวนจริงทั้งสอง
พิสูจน ให Rb,a ∈ และ ba < ดังนั้น
2
b
2
a
< โดยทฤษฎีบท 1.8 ไดวามี Qr ∈ ซึ่งทําให
2
b
r
2
a
<< เราสามารถเลือก Qs ∈ ซึ่ง φ≠s ซึ่งทําให
2
b
s
2
a
<< ดังนั้น b2sa <<
เนื่องจาก Qs ∈ และ φ≠s และ 2 เปนจํานวนอตรรกยะ ดังนั้น 2s เปนจํานวนอตรรกยะไดวามี
จํานวนอตรรกยะ 2s อยูระหวาง a และ b
1.4 คาสมบูรณ ( Absolute Value)
ในบางครั้งเราจําเปนตองใชเฉพาะจํานวนจริงที่ไมเปนลบ ดังนั้นเราจึงนิยามคาสัมบูรณของ
จํานวนจริง
บทนิยาม 1.13 คาสัมบูรณของจํานวนจริง a เขียนแทนดวย a กําหนดโดย



−
=
a
a
a
จากบทนิยามของคาสัมบูรณไดวา 0a ≥ และไดสมบัติของคาสัมบูรณดังนี้
ทฤษฎีบท 1.10 ให Rb,a ∈ ไดวา
ก. aa =−
ข. aaa ≤≤−
ถา 0a ≥
ถา 0a <

15. 15
ค. baab =
ง. a b a b+ ≤ + (อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (triangle inequality))
จ. a b a b− ≤ −
พิสูจน ก. ถา 0=a แลว 000 ==−
ถา 0>a แลว 0<− a ดังนั้น ( ) aaaa ==−−=−
ถา 0<a แลว 0>− a ดังนั้น aaa =−=−
ข. ถา 0≥a แลว a a a= > −
ถา 0<a แลว aa −= หรือ aaa <=− ดังนั้น aaa ≤≤−
ค. ถา a หรือ b เทากับศูนยแลว baab == 0
ถา 0>a และ 0>b แลว baabab ==
ถา 0>a และ 0<b แลว ( ) babaabab =−=−=
ถา 0<a และ 0>b แลว ( ) babaabab =−=−=
ถา 0<a และ 0<b แลว ( )( )ab ab a b a b= =− − =
ง. เนื่องจาก aaa ≤≤− และ bbb ≤≤−
ดังนั้น ( ) babababa +≤+≤−−=+−
จากนิยาม 1.13 ไดวา
( )


+−
+
=+
ba
ba
ba
ถา 0≥+ ba แลว bababa +≤+=+
ถา 0<+ ba แลว ( ) bababa +≤+−=+
ดังนั้น baba +≤+
จ. bbabbaa +−≤+−= ดังนั้น baba −≤− และ
abaaabb +−≤+−= ดังนั้น baab −≤−
ถา 0≥− ba แลว bababa −≤−=−
ถา 0<− ba แลว baabba −≤−=−
ดังนั้น baba −≤−
ทฤษฎีบท 1.11 ให , ,a b c R∈ และ 0>c ถา ε<− cba ทุก 0>ε แลว ba =
ถา 0≥+ ba
ถา 0<+ ba

16. 16
พิสูจน ให ε<− cba ทุก 0>ε และ สมมติวา ba ≠ เลือก ba
c
−=ε
2
1
ดังนั้น 0>ε ไดวา
baba
c
cba −=−⋅<−
2
1
2
1
เกิดขอความที่เปนไปไมได ดังนั้น ba =
ในทางเรขาคณิตจุดบนเสนตรงเสนหนึ่งสามารถใชแทนจํานวนจริงได ในบางกรณีชวยใหการ
วิเคราะหเขาใจงายขึ้น เรากลาวไดวามีการสมนัยหนึ่งตอหนึ่ง ระหวางเซตของจํานวนจริงและเซตของจุด
บนเสนตรงเสนหนึ่ง ดังนั้นเราอาจเรียกจํานวนจริงวา จุด และเรียกเสนตรงที่ใชแทนจํานวนจริงวา เสน
จํานวนจริง ( real line )
โดยปกติระยะทางระหวางจุด x ที่ไมเทากับจุด y ใน R คือ yx − หรือ xy − เมื่อจํานวนนั้นเปนบวก
เราสามารถนิยามระยะทางระหวาง Ry,x ∈ โดยใชคาสัมบูรณ ไดวา ระยะทางระหวาง x และ y
เทากับ yx − ดังนั้น x คือระยะทางระหวาง Rx ∈ และ 0 นั่นเอง
ทฤษฎีบท 1.12 ให Rz,y,x ∈ ไดวา
ก. xyyx −=−
ข. 0=− yx ก็ตอเมื่อ yx =
ค. yzzxyx −+−≤− ทุก Rz ∈
พิสูจน ทําเปนแบบฝกหัด
1.5 อสมการและเอกลักษณที่สําคัญ
เราจะกลาวถึงอสมการและเอกลักษณที่สําคัญ ซึ่งจะนําไปใชในบทตอไป
อสมการของแบรนูลลี (Bernoulli’s Inequality)
ทุกจํานวนธรรมชาติ n และทุกจํานวนจริง a ซึ่ง 1−≥a ไดวา
รูป 1.1

17. 17
( ) naa n
+≥+ 11
พิสูจน โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ให 1−≥a แตละ Nn∈ ให ( )nP แทนอสมการ
( ) naa n
+≥+ 11 เห็นไดชัดวา เมื่อ 1=n ได ( ) a.a 111 1
+=+ ดังนั้น ( )1P เปนจริง
สมมติ ( ) kaa k
+≥+ 11 เมื่อ Nk ∈ จาก 01 ≥+ a ดังนั้น
( ) ( ) ( )( ) 2
1 1 1 1 1
k
a a ka a a ka ka+ + ≥ + + ≥ + + +
( ) ( )aka k
111 1
++≥+ +
(เพราะวา 02
≥ka )
ไดวา ( )1+kP เปนจริง ดังนั้น ( ) naa
n
+≥+ 11 เปนจริงทุก n N∈
สูตรผลตางยกกําลัง (Difference of Powers Formula)
ทุกจํานวนธรรมชาติ n ทุกจํานวนจริง a และ b ไดวา
( )( )1221 −−−−
++++−=− nnnnnn
bab...baababa
เมื่อให 1=a และ rb = สูตรผลตางยกกําลังกลายเปนสูตรผลรวมเรขาคณิต (geometric sum formula)
ดังนี้
r
r
r...rrr
n
n
−
−
=+++++ −
1
1
1 132
เมื่อ 1≠r
สูตรทวิภาค (Binomial Formula)
ทุกจํานวนธรรมชาติ n ทุกจํานวนจริง a และ b ไดวา
( ) nnnnnn
bab
n
n
...ba
n
ba
n
aba +





−
++





+





+=− −−− 1221
121
เมื่อ
( )
!
! !
n n
k k n k
 
= 
− 
โดยที่ 1321321 −== n,...,,,k,n.......!n
แบบฝกหัด 1.3

18. 18
1. จงหา Ssup Sinf Smax และ Smin ของเซตในแตละขอตอไปนี้ พรอมทั้งพิสูจน
1.1






∈
+
= Nn|
1n
n
S
1.2 )
n
1
,0[S
Nn

∈
=
1.3 )1n2,n2[S
Nn
+=
∈

1.4 { }ax|QxS <∈=
1.5 )
n
1
1,0(S
Nn

∈
+=
2. จงพิสูจนวา ถา
n
1
a ≤ ทุก Nn∈ แลว 0a ≤
3. จงพิสูจนวา ถา NA ⊂ และ A มีขอบเขตบน แลว A มีคาสูงสุด
4. ให RS ⊂ และ S มีขอบเขตบน จงแสดงวา ถา
n
1
a − ไมเปนขอบเขตลางของ S และ
n
1
a +
ไมเปนขอบเขตลางของ S ทุก Nn∈ แลว Asupa =
5. จงหาจํานวนตรรกยะที่อยูระหวาง 10 และ 13
6. จงแสดงวา เซต






∈∈= NnZm|
n
2m
E เปนเซตหนาแนนใน R
7. ให RS ⊂ จงพิสูจนวา S เปนเซตมีขอบเขต ก็ตอเมื่อ มี 0M > ซึ่งทําให Mx ≤ ทุก
Sx ∈
8. ให Rb,a ∈ จงพิสูจนวา
8.1 ab ≤ ก็ตอเมื่อ aba ≤≤−
8.2 ถา 1ba ≤+ แลว 1ba +≤
8.3 baba +=+ ก็ตอเมื่อ 0ab ≥
9. ให Ra ∈ จงแสดงวา { }Ra|a,amaxa ∈−=
10. จงแสดงวา ถา bxa << และ bya << แลว abyx −<−
11. ให Rc,b,a ∈ และ ca < จงแสดงวา cba << ก็ตอเมื่อ cacbba −=−+−
12. จงใชหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร พิสูจนวา !n2 1n
≤−
ทุก Nn∈
และ