Razones y proporcionalidad, directa, indirecta y porcentajes

1. RAZONES Y PROPORCIONES

2. RAZÓN PROPORCION DIRECTA COMPUESTA INVERSA PORCENTAJE

3. Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen ¿Qué son las razones y proporciones? Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar

4. RAZÓN Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas Se puede escribir como ó a : b Se lee “aes a b” Antecedente Consecuente

5. APLICACIONES En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

6. APLICACIONES Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.

7. APLICACIONES La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

8. PROPORCIONES Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones Se escribe Se lee “a es a b como c es a d” o a : b = c : d En toda proporción: Medios Extremos

9. OBSERVACIÓN El producto de los medios es igual a los extremos. Dada la proporción: Se cumple:

10. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante. 4 es la constante de proporcionalidad

11. Observación Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Más kg de pescado más euros Menos kg de pescado menos euros

12. EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Se tiene: Formando la proporción Resolviendo para x, se tiene que: También: calculando la K de proporcionalidad (o reduciendo a la unidad) tendremos 12 : 3 = 4 personas/huevo, luego 20 personas : 4 pers/huevo = 5 huevos Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

13. Actividad Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

14. Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes. PROPORCIONALIDAD INVERSA Ejemplo: Número de pintores y tiempo en realizar un trabajo 1x48 = 2x24 = 4x12 = 8x6 = 16x3 = 48,, 48 es la K de proporcionalidad inversa

16. Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.Ejemplo: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra Más obreros menos tiempo Menos obreros más tiempo

17. EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? Se tiene: Se invierte la segunda razón Formando la proporción Resolviendo para x, se tiene que: 300x20 = K = 6000 400 · X = 6000 X = 15 Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

18. Actividad Un depósito de agua se llena en 2 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?

19. Actividad: Tipo de Proporcionalidad El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción... La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es... La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es... El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es... El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es... El número de kilos de manzana y el precio a pagar es …

20. PORCENTAJE

21. Introducción Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.

22. Ejemplo Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas. El 25% supondría que de cada 100 alumnos 25 son niñas.

23. CÁLCULO DE PORCENTAJE Para trabajar con tantos por cientos, se procede de igual manera que en las proporciones directas

24. Ejemplo Calcular el 32 % de 459. La proporción que se debe formar es: 100x = 32 · 459 = 14.688 X= 14.688/100 = 146,88 También como 32/100 = 0,32 El 32% de 459 sería O,32 x 459 = 146,88

25. Ejemplo ¿Qué porcentaje es 142 de 568? Solución: La proporción que se debe formar es:

26. Ejemplo De qué cantidad es 96 el 12%? Solución: La proporción que se debe formar es: