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Calcules des aires

  1. 1. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 1 LES AIRES « Ô Mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. » Lautréamonta.I. Unités d’aire (rappels 6ème)._________________________________________________________ 2 A. Choix de l’unité d’aire : __________________________________________________________ 2 B. Conversion des unités d’aires : ____________________________________________________ 3 1. Tableau de conversion : _________________________________________________________ 3 2. Conversions et opérations :_______________________________________________________ 3 3. Aires et opérations : ____________________________________________________________ 4II. Aire d’une surface : ______________________________________________________________ 5 A. Définition (rappel 6ème) :__________________________________________________________ 5III. 6 Formules d’aire pour les figures de base :___________________________________________ 6 A. Carré (rappel 6ème) : _____________________________________________________________ 6 B. Rectangle (rappel 6ème) : __________________________________________________________ 6 C. Triangle rectangle (rappel 6ème) : __________________________________________________ 6 D. Parallélogramme :_______________________________________________________________ 7 E. Triangle quelconque : ____________________________________________________________ 8 F. Losange : ______________________________________________________________________ 8 G. Disque : _____________________________________________________________________ 9 H. Exercices : ___________________________________________________________________ 9IV. Calcul d’aire pour les surfaces complexes.___________________________________________ 10 A. Calcul d’une aire complexe par addition d’aires simples. ______________________________ 11 B. Calcul d’une aire complexe par soustraction d’aires simples. __________________________ 11 C. Exercices récapitulatifs : ________________________________________________________ 12a Lautréamont (1846 – 1870) : Ecrivain français qui publia, à compte d’auteur « les chants de Maldoror » en 1868 à 22 ans, un dessommets du romantisme noir. Esprit tourmenté, brillant, précoce, il sera une source dinspiration pour les surréalistes 50 ans plustard. Il meurt à l’âge de 24 ans !
  2. 2. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 2 Introduction : Dans la vie , on est parfois confronté aux problèmes suivants : • Combien de dalles en mousse me faut il pour paver la salle de bain en forme de L ? • Combien va coûter cet appartement rectangulaire sachant que le m2 est à 2000 € ?Tous ces problèmes demandent de savoir mesurer une surface. Comme dans toute mesure, on doit d’abord définir une unité, si possible « simple ». Après coup, mesurer une surface reviendra à savoir combien de fois « on peut mettre » cette unité d’airedans cette surface.Dit autrement, mesurer une surface reviendra à comparer la surface en question avec la « surface de base »ou surface unité.I. UNITES D’AIRE (RAPPELS 6EME). A. Choix de l’unité d’aire : Il s’agit de choisir une unité simple et pratique !Voici un choix d’unité d’aire, entourez celle qui vous semble la plus pratique pour mesurer les surfacesusuelles (sols d’une maison, terrains, etc.) Evidemment, quoi de plus simple que de prendre comme unité : l’aire d’ un carré de 1 m de côté !Cette unité est parfaitement adaptée à notre environnement géométrique (maison, ville etc.). 1m 1m Cette unité d’aire s’écrit 1 m2 (lire 1 mètre carré). Le m² est l’unité que le Système International des Mesures a choisie pour les surfaces.3 Remarques : Le m² n’est pas toujours adapté pour mesurer certaines surfaces.On a donc besoin d’unités plus grandes (les multiples) ou plus petites (les sous multiples) dérivées du m². o des multiples : le kilomètre² (km²), l’hectomètre² (………), le décamètre² (………) etc.Que mesure-t-on habituellement en km² ? …………………………………………………………… o des sous multiples : le décimètre² (…...), le centimètre² (……..), le millimètre² (………), etc.Dessinez 1 mm² : Que peut-on mesurer en mm² ? ……………………………………………… Il existe d’autres unités de surface dans le monde utilisées : o soit par habitude dans un pays : exemple le miles² dans cette île où on roule à gauche alors que le monde entierb roule à droite ! L’ …..…………………. o soit par habitude dans un secteur d’activité comme l’agriculture : …………………………… o selon l’époque (cherchez d’autres unités d’aire utilisées auparavant) : ……………………….b Pas tout à fait ! En Nouvelle Zélande aussi on roule à gauche.
  3. 3. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 3 ème Ce cours a la même structure que le cours de 6 sur les mesures de longueur.En effet, les méthodes valables pour les Longueurs (dimension 1) vont s’étendre aux Aires (dimension 2) etmême aux Volumes (dimension 3).En particulier, les méthodes par addition ou par soustraction pour des calculs de périmètres complexesvont être pratiquement identiques pour les calculs de surfaces complexes (ou de volumes complexes). B. Conversion des unités d’aires : 1. Tableau de conversion :Particularité : Le tableau de conversion des surfaces est un tableau infini à colonnes doubles.A quoi correspondent les lettres d et u dans le tableau ? d =……………….. u = …..……………..A quoi correspondent les unités ha et a dans le tableau ? ha =……………….. a = …..…………….. ……………………………………… ………………………………………… km2 hm2 = ha dam2 = a m2 dm2 cm2 mm2 d u d u d u d u d u d u d uExercice : convertir à l’aide du tableau :0,2 hm² en dm² = 0,5 cm² en dam² =0,03 hm² en dizaines de mm² = 50,5 m² en ha = 2. Conversions et opérations : • Pour passer d’une unité à l’unité immédiatement inférieure à droite (ex : des m2 au dm2 ), on doit multiplier la mesure de l’aire par 100. • Inversement, pour passer d’une unité à l’unité immédiatement supérieure à gauche (ex : des m2 au dam2 ), on doit diviser la mesure de l’aire par 100.Autrement dit : Pour convertir vers une unité à droite, on « agrandit » la mesure en la multipliant par 100 ou 100 ×100 etc (suivant le nombre de doubles colonnes qu’on saute). Pour convertir vers une unité à gauche, on « diminue » la mesure en la divisant par 100 ou 100 × 100etc (suivant le nombre de doubles colonnes qu’on saute). Les erreurs fréquentes de conversion sont dues au fait que les élèves oublient qu’il s’agit de doublescolonnes et non de simples colonnes !
  4. 4. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 42 Exemples : • Pour convertir des km2 aux m2, il faudra multiplier la mesure de l’aire par 100 × 100 × 100, ce quicorrespond au schéma suivant : km2 → hm2 → dam2 → m2. Ex : 2 km² = 2 × 100 × 100 × 100 = 2 000 000 m². • Pour passer des cm² aux m², il faudra diviser la mesure de l’aire par 100 × 100, ce qui correspond auschéma suivant : m² ← dm² ← cm². 500 Ex : 500 cm² = = 0,05 m². 100 × 100Exercice :Sans utiliser le tableau mais en écrivant une opération, convertir :Méthode : 63 dam2 en dm² = 63 × 100 × 100 = 630 000 dm21,8 km2 en hm² = 2,325 m2 en dm² =0,0254 m2 en dam² = 2 ha en m² = 3. Aires et opérations :Le calcul suivant est il juste ? 2 km² + 1 hm² = (2+1) km² = 3 km² ...................Pourquoi ?Refaire le calcul, juste cette fois ci ! ……………………………………………………………. Attention : Avant d’additionner ou de soustraire des aires entre elles , il faut que les aires soient toutes converties dans la même …………………..Méthode : 2 m² + 3 cm² + 1 dm² = 20 000 cm² + 3 cm² + 100 cm² = 20 103 cm².Si rien n’est précisé, on convertit les aires dans la plus petites des unités présentes.On aurait pu tout convertir en m² ou en dm² mais cela aurait fait apparaître des virgules !Exercice : calculer :7 hm² − 0,04 km² =5 m² + 5 cm² =2 cm² + 350 mm² =0,06 dam² + 10 m² − 1500 dm² = R = 1 m²
  5. 5. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 5II. AIRE D’UNE SURFACE : A. Définition (rappel 6ème) : L’aire d’une surface est sa mesure dans une unité d’aire qui a été choisie au préalable. L’aire est donc un nombre positif ! Notation : l’aire d’une figure ABCD sera notée : (ABCD).Exemple : 1 unité d’aire ………..unités d’aireRemarque : Comme unité d’aire, on utilisera généralement les m2 ou cm2.Exercice :Trouver l’aire de la surface grisée en fonction de l’unité d’aire donnée.Unité d’aire : unité d’aire :Unité d’aire : unité d’aire :Exercice :Sur la figure ci contre, repassez en rose ce qui correspond au périmètre.Coloriez en bleu ce qui correspond à l’aire.L’aire d’une telle surface est elle facile à trouver ?Pourquoi ?Dessinez une bananoïde dont l’aire sera difficile à trouver. On se limitera donc, au collège, aux calculs d’aire de surfaces simples c-à-d géométriques.
  6. 6. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 6III. 6 FORMULES D’AIRE POUR LES FIGURES DE BASE :Attention : Dans ces 6 formules, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité ! A. Carré (rappel 6ème) :Pour un carré de longueur a : Carré) = côté × côté = a² a (Carré) = .....× ………Exemple : un carré de longueur 3 cm aura pour périmètre ……….cm et pour aire ………cm². B. Rectangle (rappel 6ème) :Pour un rectangle de largeur et de Longueur L : L Rectangle) = Longueur × largeur = ……..× ……. (Rectangle) = .....× …. + ….. × …...Exemple : un rectangle de Longueur 3 et de largeur 2 aura pour périmètre …… cm et pour aire ……. cm²Exercice : Soit un rectangle de 30 cm² d’aire et de 3 cm de large. En écrivant une équation, trouvez salongueur. C. Triangle rectangle (rappel 6ème) :2 Définitions : On appelle hauteur d’un triangle, un segment : qui passe par un sommet, et qui est perpendiculaire à la droite qui supporte le coté opposé (droite appelée alors base). Le pied de la hauteur est le point d’intersection de la base et de la hauteur.Application : Voici 4 triangles, tracer en rouge la hauteur issue du point A et appeler H le pied de cette hauteur. A A C A C B C B C B BCombien de hauteurs y a-t-il dans un triangle ? ………..
  7. 7. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 7En particulier, dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit constitue un couple base-hauteur. B Puisqu’un triangle rectangle est la « moitié » d’un rectangle, alors la surface d’un triangle rectangle sera la …………………. de celle d’un rectangle. h base × hauteur …….. × ……. Donc : (Triangle rectangle) = = 2 …….A b CExemple : pour un triangle rectangle de base 5 cm et de hauteur 4 cm, l’aire sera de …………. cm²Exercice : Soit un triangle rectangle de 30 cm² d’aire et de 3 cm de hauteur. En écrivant une équation,trouvez la longueur de la base correspondante. D. Parallélogramme :Par découpage et recollement, l’aire du parallélogramme ABCD ci dessous est la même que celle durectangle EFCD (de longueur b et de largeur h). D’où la formule pour l’aire du parallélogramme : D C (Parallélogramme ABCD) = base × hauteur = AB × ED h Exemple : pour un parallélogramme de base 5 cm et de hauteur 4 cm, l’aire sera de …………. cm². A E B F b Pour certains parallélogrammes, une des 2 hauteurs est à l’extérieur du parallélogramme. h bExercice : 1. Tracer la hauteur issue de B, relative au côté [AD]. D Appeler H le pied de cette hauteur. 2. Calculer la surface du parallélogramme ABCD. 3 4 3. En posant une équation, trouver BH. A E B 6
  8. 8. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 8 E. Triangle quelconque : C D Puisqu’un triangle quelconque est la « moitié » d’un parallélogramme, alors la surface d’un triangle quelconque sera la ……………………. de celle d’un parallélogramme. h base × hauteur ……..× ……. (Triangle) = = 2 ……. A E B Remarque : C’est la même formule que pour l’aire d’un b C triangle rectangle ! Evidemment car cette formule est générale et marche pour TOUS les triangles ! h Pour certains triangles, une des 3 hauteurs (voire 2) peut être à l’extérieur du triangle.A b BExercice : C 1. Tracer la hauteur issue de A. Appeler H le pied de cette hauteur. 2. Calculer la surface du triangle. 4 3 3. En posant une équation, trouver AH. A E B 5 F. Losange : A Par découpage du losange dans un rectangle, on voit que l’aire du losange est la ……………………….. de celle du rectangle (de largeur AC et de longueur DB). produit des diagonalesD B (Losange ABCD) = 2 × = 2 C ACExemple : pour un losange ABCD tel que AC = 2 cm et DB = , l’aire sera de …………. cm². 4Exercice : Un losange ABCD a 30 cm² d’aire et sa diagonale [AC] mesure 8 cm. En écrivant une équation,trouvez la longueur de [BD].
  9. 9. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 9 G. Disque : Disque) = π r² = π × OA² O (Disque) = 2π r = 2π OA r A Attention : lorsqu’on calcule l’aire ou le périmètre d’un disque, on donne d’abord la valeur exacte qui dépend de π. Puis, seulement si c’est demandé, on donne une valeur approchée en remplaçant π par une de ses valeurs approchées dans le calcul.Méthode : Calculer l’aire d’un disque de diamètre 6 cm (valeur exacte et valeur approchée à l’unité) Disque) = π × r² = π × 3² = 9 π cm² valeur exacte de l’aire. ≈ 9×3 on remplace π par sa valeur approchée à l’unité c-à-d 3. ≈ 27 cm² valeur approchée à l’unité de l’aire.Exercice : Calculer l’aire et le périmètre d’un disque de diamètre 4 cm (valeur exacte puis valeur approchée au dixième). Disque) = (Disque) = H. Exercices : Exercice rappels de sixième :Calculer les aires et le périmètre des surfaces de base suivantes : L 5 cm M A 2 cm40 mm C 40mm B N O
  10. 10. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 10 Exercice : Calculer l’aire des figures de base suivantes : Oe) Voici un triangle OAB tel que AI = 3 ; OA = 5 ; OI = 4Prouver que (OI) ⊥ (AB). A I BCalculer (OAB) = B Exercice: Calculer l’aire du losange suivant sachant que : 1AC = 6 cm ; BD = AC A C 3 D Exercice : Calculer l’aire et le périmètre d’un disque de rayon 4 cm (valeur exacte puis valeur approchée àl’unité).IV. CALCUL D’AIRE POUR LES SURFACES COMPLEXES. Hélas, la plupart des figures ne sont pas des figures simples ! On ne peut pas donc appliquer bêtementles 6 formules précédentes du II B] p.6.Définition : On appelle surface complexe toute surface qui n’est pas une des 6 surfaces de base.Heureusement, beaucoup de figures complexes sont en fait des assemblages de figures de base. Exemples : Dessiner 2 figures géométriques complexes en faisant apparaître en pointillé leurdécoupage en figures de base (en rectangle, carré, triangle, losange, parallélogramme, disque etc.).
  11. 11. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 11Lorsqu’une surface complexe est un assemblage de surfaces de base, on a 2 méthodes essentielles : A. Calcul d’une aire complexe par addition d’aires simples. Exemples : Grâce au découpage intérieur en pointillé, on voit que la figure totale est composée de deux aires simples d’où la formule pour l’aire de la figure : ( figure totale) = (rectangle )+ (trapèze )Voici une figure complexe, faites apparaître le découpage intérieur en pointillé puis calculer son aire. 2 ( figure) = 3 La méthode par addition marche bien quand on réalise un découpage intérieur de la surface complexe. B. Calcul d’une aire complexe par soustraction d’aires simples. 2 exemples Voici le plan très schématique d’une maison dans son terrain. Par soustraction d’aires, on peut écrire : 50 (jardin) = (terrain total) − (maison) 30 maison = 70Pour calculer (polygone ABCDE),on a fait apparaître par E D Gdécoupage « extérieur » le rectangle AFGE.Par soustraction d’aire, on peut écrire : C (ABCDE) = (…………..) − (………..) − (……….) A B F =La méthode par soustraction marche bien quand on réalise un découpage extérieur à la surface complexe.
  12. 12. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 12 C. Exercices récapitulatifs : 5 cm ème Exercice : contrôle 6 2004.Calculer l’aire en cm² de la figure symétrique suivante.(faites bien apparaître le découpage extérieur) 3 cm 0,5 cm R = 14 cm² Exercice : contrôle 6ème 2004.Voici une figure avec AB = 8 AD = 5 DE = 1 DG = 6 FB = 3 (figure inexacte) D G C 1) Prouver que ABCD est un rectangle. E 2) Calculer l’aire du polygone FBGDE. A F B R = 25 unités d’aire Exercice : Formule de l’Aire d’un trapèze :Pour trouver la formule de l’aire d’un trapèze (de petite base b et de grande base B et de hauteur h), on va ledécomposer en 2 triangles (ADE et DCE). bPar la méthode d’ad………………… d’aires, on a : D C trapèze) = triangle………..) + triangle………..) ……..× ……. ……..× ……. = + ……. ……. h B×h + b×h = 2 A H E (…….. + ……...) B trapèze) = h× 2L’aire d’un trapèze s’obtient en faisant le produit de la h………………… avec la moyenne des 2……………..
  13. 13. Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Cinquième contrat 7 page 13Application :Calculer l’aire en cm²d’un trapèze de longueurs de bases 6 cm et 2 cm et de hauteur 3cm. R = 12 cm² Exercice : Formule de l’Aire d’une couronne circulaire :Soit une couronne définie par 2 disques concentriques (l’un de rayon ret l’autre de rayon R).Par la méthode de s……………………….. d’aires, on a : r R couronne) = grand ………...) ….. petit …………...) O = ………….…………. − ………………….. couronne) = π (……. − ……) Application :calculer l’aire de la couronne pour r = 2cm et R = 3cm(valeur exacte et valeur approchée à l’unité) = 5π ≈ 15 cm² Exercice : contrôle 5ème 2004. A BSur la figure ci contre, ABCD est un carré.Sachant que AB = 2cm, calculer l’aire de la surface blanche.(vous donnerez la valeur exacte puis la valeur arrondie au 10ème). D C π R=4− ≈ 2,5 cm² 2 Exercice : contrôle 5ème 2004. D CMoundir et Armande achètent un terrain composé de 2 parties : un parallélogramme à 1000€ le m². un terrain à 500 000€ l’hectare. 50 mL’aire totale du terrain est de 4,5 ha.Déterminer le prix total du terrain. A 100 m B R = 7 000 000€

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