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Mécanique et rdm partie1
1. ROYAUME DU MAROC
OFPPT
Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail
DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMATION
SUPPORTS PEDAGOGIQUES
MECANIQUE ET RDM
DOMAINE : PARTIE I : COURS
SECTEUR : BTP
SPÉCIALITÉ : GROS ŒUVRE
NIVEAU : TECHNICIEN SPÉCIALISÉ.
Modules concernés : 8; 9
20 MAI 2004
2. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
REMERCIEMENT
La DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élaboration du présent document.
Pour la conception :
M. Alain BONHOMME Expert SFERE France
Pour la validation :
M. Khalid BAROUTI Chef projet BTP
Mme Najat IGGOUT Directeur du CDC BTP
M. Saïd MOURTAJI Formateur
M. Alain BONHOMME Expert SFERE France
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3. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
SOMMAIRE
1.NOTION DE FORCE................................................................................................................... 7
1.1.Notion de force et de vecteur-force................................................................................. 7
1.2.Composantes d’une force............................................................................................... 8
1.3.Coordonnées cartésiennes d’un force (Repésentation algébrique) ................................ 8
1.4.Exercices........................................................................................................................ 9
2.NOTION DE MOMENT.............................................................................................................. 11
2.1.Notion de moment........................................................................................................ 11
2.2.Moment d’une force par rapport à un point................................................................... 11
2.3.Notion de couple........................................................................................................... 13
2.4.Moment résultant de plusieurs forces........................................................................... 14
2.5.Exercices...................................................................................................................... 15
3.NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE................................................................................... 16
3.1.Définitions..................................................................................................................... 16
3.2.Les actions mécaniques ou charges............................................................................. 16
3.3.Exercices sur les actions mécaniques.......................................................................... 18
3.4.Exercice sur les unités :................................................................................................ 19
4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)............................... 21
4.1.Systèmes de forces équivalents................................................................................... 21
4.2.Réduction d’un système de forces (en 1 point)............................................................. 25
4.3.Notion de torseur.......................................................................................................... 26
4.4.Exercices : Notion de résultante................................................................................... 27
4.5.Exercices : Notions de forces/moments/résultantes..................................................... 28
5. ETUDE DES LIAISONS........................................................................................................... 30
5.1.PRESENTATION.......................................................................................................... 30
5.2.EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON ......................................................... 30
5.3.Nombre d’inconnues induites par les liaisons............................................................... 31
5.4.Exemples de differents types d’appuis de poutre......................................................... 32
6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE ..................................................................... 34
6.1.Hypothèses................................................................................................................... 34
6.2.But :.............................................................................................................................. 34
6.3.Notion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure
à un système donné :......................................................................................................... 34
6.4.Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S):.............................................. 35
6.5.Cas particuliers :........................................................................................................... 35
6.6.Résolution d'un problème de statique :......................................................................... 36
6.7.METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE............................. 39
6.8.Le Degré Hyperstatique................................................................................................ 40
6.9.Exercices : Degré Hyperstatique.................................................................................. 41
6.10.Exercices d’applications du PFS................................................................................. 42
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Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.11.Diaporama.................................................................................................................. 42
7.CENTRE DE GRAVITE............................................................................................................. 43
7.1.Cours élève.................................................................................................................. 43
7.2.Exercices d’Applications : élève.................................................................................... 47
7.3.Cours prof..................................................................................................................... 50
7.4.Exercices d’Applications : prof...................................................................................... 54
8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE............................................................................... 57
8.1.Définition....................................................................................................................... 57
8.2.Méthode des nœuds..................................................................................................... 59
8.3.Méthode de RITTER..................................................................................................... 60
8.4.Applications.................................................................................................................. 62
9.RDM : GÉNÉRALITÉS.................................................................................................................. 65
9.1.But de la RDM.............................................................................................................. 65
9.2.Hypothèses de la RDM................................................................................................. 65
9.3.Notion de contrainte...................................................................................................... 65
9.4.Répartition uniforme des contraintes (sur une section)................................................. 68
10.TRACTION SIMPLE ET COMPRESSION SIMPLE............................................................................... 70
10.1.Définitions................................................................................................................... 70
10.2.Essai de traction......................................................................................................... 70
10.3.Applications : traction simple...................................................................................... 75
10.4.Coefficient de Poisson : υ........................................................................................... 79
11.CISAILLEMENT SIMPLE............................................................................................................... 80
11.1.Définitions................................................................................................................... 80
11.2.Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple)................................................... 80
11.3.Equation de déformation............................................................................................. 82
11.4.Calcul pratique ........................................................................................................... 82
11.5.Exercice d’application................................................................................................. 83
11.6.Exercice Formatif........................................................................................................ 83
12.N, V, M..................................................................................................................................... 84
12.1.Généralités................................................................................................................. 84
12.2.Diagramme de N(x), V(x), M(x) Méthode de détermination........................................ 89
12.3.Exercices.................................................................................................................... 92
12.4.Diaporama.................................................................................................................. 93
13.CARACTÉRISTIQUES DES SESSIONS............................................................................................ 94
13.1.MOMENT STATIQUE................................................................................................. 94
13.2.Moment quadratique................................................................................................... 96
13.3.Changement de coordonnees ( th d’huygens)............................................................ 97
13.4.Exercices.................................................................................................................... 98
13.5.Moment quadratique polaire....................................................................................... 98
14.CONTRAINTES DES POUTRES FLÉCHIES.................................................................................... 100
14.1.Hypothèses............................................................................................................... 100
14.2.Contraintes normales σ (dues à M(x)....................................................................... 100
14.3.Déformations............................................................................................................ 102
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Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
14.4.Contraintes de cisaillement longitudinal τ(dues à V(x))............................................ 104
14.5.Applications.............................................................................................................. 108
15.FLEXION COMPOSÉE................................................................................................................ 115
15.1.Définition................................................................................................................... 115
15.2.Exemples.................................................................................................................. 115
15.3.Contraintes normales σ ........................................................................................... 115
15.4.Contraintes Tangentielles ........................................................................................ 116
15.5.Excentricité de charge ............................................................................................. 117
15.6.Remarque ................................................................................................................ 117
15.7.Exercices ................................................................................................................. 118
16.LES FLÈCHES.......................................................................................................................... 119
16.1.Définition................................................................................................................... 119
16.2.Formulaire ............................................................................................................... 119
16.3.Utilisation ................................................................................................................. 119
17.POUTRE CONTINUE EN BETON ARME.................................................................................... 125
17.1.Généralité................................................................................................................. 125
17.2.Méthode forfaitaire. Artb.6.2,21 page 149................................................................ 125
17.3.Méthode CAQUOT................................................................................................... 129
17.4.Méthode CAQUOT minorée...................................................................................... 136
17.5.Contrôle de beton .................................................................................................... 136
17.6.Diaporama................................................................................................................ 136
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6. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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1 - COURS ET APPLICATIONS
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
1. NOTION DE FORCE
1.1. NOTION DE FORCE ET DE VECTEUR-FORCE
En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et
des résultantes d’actions mécaniques très diverses ( poids, attraction magnétique, etc..).
Un vecteur force est défini par une intensité ou un module ( en Newton N ou unité dérivée daN, kN,
etc..), une direction, un sens et un point d’application.
Exemple 1 :
L’action de contact exercée par le câble(2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur force A2/1,
de point d’application A de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble
tire sur le support).
Exemple 2 :
Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est
schématisée par le vecteur force T2/1, point d’application T incliné de 40° par rapport à la verticale (y),
d’intensité 15 N, de sens T vers K ( vers l’intérieur du ballon ).
Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids P1, vertical (axe y), intensité 5N, sens du haut
vers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon.
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8. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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1.2. COMPOSANTES D’UNE FORCE
Une force F agissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou
composantes ( U et V ) agissant au même point et vérifiant la condition F = U + V
Les composantes sont les valeurs algébriques des projections de F sur un
1.3. COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN FORCE (REPÉSENTATION ALGÉBRIQUE)
On peut considérer les coordonnées cartésiennes Fx et Fy comme étant des composantes
orthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.⇒ (F(x) ) horizontale et (F(y)) verticale
Elles sont positives si elles sont orientées dans la même direction que ox et oy (négative dans le cas
contraire.
y F FA(x)
FA(y) FA
FA(y)
A
FA(x)
o
x
Exemple : coordonnées cartésiennes de la force A2/1.
Ax = A2/1cos30° = 1000 x 0.866 = 866daN
Ay = -A2/1sin30° = -1000 x 0.5 = -500daN
║A2/1║ = √ 866² + 500² = 1000
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9. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
1.4. EXERCICES
1. L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 20 N.
Déterminer les modules des forces F1, F2, F3. Ecrire ces modules en N, daN et kN.
2.
a) Déterminer les coordonnées T1x et T1y de la tension T1 de la barre (1).
b) Déterminer T3 et T3x si T3y = 100 daN.
c) Déterminer T2 si (T1x+T2x+T3x=0).
3. L’action exercée par la route 0 sur la motrice 1 est schématisée par la force F0/1.
Si l’effort normal N0/1 suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F0/1 et T0/1 (suivant t) sachant que
F0/1 = N0/1 + T0/1
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10. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4. Sachant que la composante Tx de la tension T du câble en A est de 90 daN, déterminer Ty et T.
5.
a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes ( x, y ) et (x’,y’).
6.Ecrire les coordonnées cartésiennes Fx et Fy des forces F indiquées en fonction du module F et des
angles α et β . F = 1000 N dans les quatre cas.
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11. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
2. NOTION DE MOMENT
2.1. NOTION DE MOMENT
Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce corps.
Exemple de la navette spatiale :
Si la Force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement
de translation de même direction que F.
Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un
mouvement de rotation ( orientation des moteurs).
Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de
faire intervenir la notion de moments.
2.2. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN POINT
2.2.1. Définition
Le moment de la force F par rapport au pont A, noté MA(F), est égal au produit de F par le bras de
levier d :
MA(F)= F.d (d : distance entre A et F)
Bras de levier : longueur du segment de droite issu du point de
calcul et joignant orthogonalement la droite d’action de F
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12. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Convention de signe
Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif.
sens trigo
+ -
Exemple 1 :
Déterminons F2 de façon que MA(F1) +MA(F2)=0
MA(F1) = F1 .d1= 240 x 0.1 = 24N.m
MA(F2) = -F2.d2 = -0.12F2
MA(F1)+ MA(F2)= -0.12F2+24 =0
Soit F2=200N
Exemple2 :
Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de
l’effort B3/2.
Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B3/2 :
MA(B3/2)= B3/2 . AB . sin α
Si AB est perpendiculaire à B3/2 (α=90°) :
MA= B3/2 . AB . sin 90= 100x0.2x1=20 N.m
Si α= 60° :
MA1= B3/2 . AB . sin 60° = 17.3 N.m
Si α= 45° :
MA2= B3/2 . AB . sin 45° =14.1 N.m
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13. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
2.2.2. Théorème de Varignon
Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V
par rapport au même point.
MA(F)= MA(U) + MA(V)
Pour notre cas: MA(F) = F.d = -U.dU + V.dV
Exemple :
Déterminons MA(F) de la Force F.
Fx = F cos60° = 1000 X 0.5 = 500 N
Fy = F sin60° = 1000 x 0.866 = 866 N
MA(F) = MA(Fx)+ MA(Fy)
= -500 x 0.1 + 866 x 0.16
= 88.6 N.m = F.d
Rq: Le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application directe à partir de
F.d (détermination de d plus difficile).
2.3. NOTION DE COUPLE
2.3.1. Définition
Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des
lignes d’action différentes constitue un couple (M).
L’intensité F.d du couple est indépendante du point O choisi ou de la
valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forces
et de l’intensité F.
M= MO(F) + MO(-F) = F(a+b) – F.a = F.d
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14. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Exemple:
Une clé à bougie se compose d’un
corps et d’une tige de manœuvre
coulissante et réglable.
F et –F schématisent les actions
exercées par les mains de
l’opérateur.
Si F = 100 N, déterminons le
couple de desserrage (M) exercé
par la clé sur l’écrou en E, pour les
positions indiquées.
Pour les quatre positions, on a :
M = ME(F) + ME(-F)= MO(F) + MO(-F)
= F x OB + F x OA = F.AB = 0,4 F= 40 N.m
Pour la position 1: M = 0.2F + 0.2F = 0.4F Pour la position 1: M = 0.15F + 0.25F = 0.4F
Pour la position 2: M = 0.3F + 0.1F = 0.4F Pour la position 1: M = 0 + 0.4F = 0.4F
2.4. MOMENT RÉSULTANT DE PLUSIEURS FORCES
Le moment résultant MA en un point A de n forces F1,F2,F3,…..,Fn est égal à la somme des moments
en A de chacune des forces.
MA = MA(F1) + MA(F2) +MA(F3) +.........+MA(Fn)
Exemple: la balance romaine
Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O sur un crochet 1 lié à un support fixe
et d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5daN.
La masse à peser, poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. si a = 70 cm,
déterminons la valeur de P.
Lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, le moment résultant en O des poids P et q est nul.
MO = MO(P) + MO(q) = P x 0.1 – q x 0.7 = 0
D’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN
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2.5. EXERCICES
2.5.1. EXERCICE N°1
La force F schématise l’action de serrage exercée par l’opérateur.
Calculer le moment en B (couple de serrage sur l’écrou) de la force F.
2.5.2. EXERCICE N°2
Déterminer le moment en O de la force F agissant sur le point B de la potence.
2.5.3. EXERCICE N°3
Calculer le moment en O de la force F agissant au point B.
2.5.4. EXERCICE N°4
a) Déterminer le moment résultant en (Mo) exercé par le couple de Force F et –F
b) Calculer le moment en A, B, C.
c) Quelle doit être la valeur de T pour que le couple T et (-T ) puisse équilibrer le couple
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3. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE
3.1. DÉFINITIONS
3.1.1. Buts de la Mécanique:
- Etudier l'équilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)
- Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M)
3.1.2. Définition du solide en statique.
En statique, un solide est un corps :
• Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume.
• Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation
du solide.
• Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort.
• Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions.
3.1.3. Principe des actions mutuelles
Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par
le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action
exercée par le solide 1 sur le solide 0.
3.2. LES ACTIONS MÉCANIQUES OU CHARGES.
Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actions
mécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments.
Il existe deux types d’actions mécaniques :
les actions à distance
les actions de contact
3.2.1. Les actions mécaniques à distance
On se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité).
Le poids est représenté par un vecteur P :
Point d’application : centre de gravité G
Direction : verticale
Sens : vers le bas
Intensité : P = Mg (N)
M : masse en Kg
P
g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur
ou attraction terrestre
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Dans le domaine du Génie Civil, on prendra :
o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m²
o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/m
Exemple :
Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur.
Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50x20 cm.
Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m3
3.2.2. Les actions mécaniques de contact
A Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)
Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact est
représentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact.
Exemple : Appui d’une poutre sur une poutre. F2/1
2
1
Unité : N
B Actions de contact linéiques (charges réparties)
Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force q
appliqué sur toute la ligne de contact.
Exemple : Cloison sur plancher.
q
Unité : N/ml
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18. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
C Actions de contact ou charges réparties sur une surface
Exemple : Vent sur mur.
schématiquement
Vent
Unité : N/m²
3.3. EXERCICES SUR LES ACTIONS MÉCANIQUES
Exercice n°1 :
Poutre AB :
• Caractéristiques géométriques :
Portée : 3.5 m
Appui de gauche A : articulation
Appui de droite B: appui simple
Repère (A ; x ; y )
• Actions mécaniques
Deux charges ponctuelles verticales vers le bas d’intensité F=3KN appliquées à x =1.00m et x
=2.50m.
Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1.5 KN/ml sur toute la
poutre.
Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
Calculer le moment en A engendrée par les forces F .
Calculer le moment en A engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment total en A.
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Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Poutre CD :
• Caractéristiques géométriques :
Portée : 5.60m
Appui de gauche C : encastrement
Appui de droite D: libre
Repère ( C ; x ;y )
• Actions mécaniques
Une charge ponctuelle verticale F vers le bas d’intensité 10KN appliquées à x =2.50m
Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1 KN/ml sur toute
la poutre.
Effectuer le schéma mécanique de la poutre CD.
Calculer le moment en C engendrée par les forces F .
Calculer le moment en C engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment engendrée par F + q
3.4. EXERCICE SUR LES UNITÉS :
10000cm² = m² 0.800MN/m = KN/m
10 000 000cm3= m3 10KN/mm² = KN/m²
25KN/mm = KN/m 1MN/cm² = KN/m²
300N/m = KN/m
3.4.1. Exercice N°2
Soit une poutre AB en béton armé de section 50 x 20cm et de portée 6.00m.
Appui A : articulation
Appui B : appui simple
Poids volumique du béton armé : 25 KN/m3
1. Déterminer le poids P en KN de la poutre considérée.
2. En déduire le poids linéaire p en KN/m de la poutre.
3. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
4. Calculer le moment en A engendré par le poids de la poutre.
3.4.2. Exercice N°3
Soit un plancher en béton armé d’épaisseur 18 cm et de surface 200m².
1. Déterminer le poids surfacique Ps du plancher (KN/m²) .
2. Déterminer le poids P du plancher (KN).
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20. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
3.4.3. Exercice N°4
Soit une poutre AB en béton armé supportant une partie d’un plancher béton armé.
Largeur de dalle reprise par la poutre : 5 m
Epaisseur du plancher : 16 cm
Section de la poutre : 30 x 60 cm
Portée de la poutre : 5.00 m
Poids volumique du béton armé : 25KN/m3
Appui A : appui simple
Appui B : articulation.
1. Déterminer le poids P1 du plancher en KN.
2. Déterminer le poids P2de la poutre en KN.
3. En déduire le poids total P : plancher + poutre.
4. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
5. Calculer le moment en A engendré par P.
Plancher BA
Poutre BA
SFERE – OFPPT Page 20 / 137
21. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)
4.1. SYSTÈMES DE FORCES ÉQUIVALENTS
4.1.1. Définitions.
Un système de forces est un ensemble de forces agissant simultanément sur un système matériel
(= solide ou ensemble de solide)
Des systèmes de forces différents sont dits équivalents si appliqués séparément à un solide ils
provoque les mêmes effets :
On dit également qu’ils ont les mêmes éléments de réductions.
C'est à dire :
Ils ont la même résultante et le même moment résultant en un point donné.
⇒ ∑ Forces = identique
∑ Moment = identique
Remarque : Il est toujours possible de remplacer un système de forces par un autre s'il est équivalent
au précédent.
4.1.2. Exemples
A Composantes d’une force
(= projections orthogonales de F sur ox ⇒F(x) et sur oy ⇒F(y), ayant la même origine que F).
y
y
F
F(y) F(y)
α
F(x) F(x)
1
1
o o
2 1 x 2 2 x
Exercice
Montrez le système 1 est équivalent au système 2 (prendre F = 20 kN et α = 40°)
Conséquence :
Le Mt F/o = F x OA est égal aussi à Mt Fx/o + Mt Fy/o
= -F(x) x A + F(y) x B
SFERE – OFPPT Page 21 / 137
22. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
En pratique :
Il sera plus simple de faire le moment d’une force en utilisant les valeurs de ses composantes,
placées à l’origine de F.
SFERE – OFPPT Page 22 / 137
23. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
B Résultante d’un système de forces.
• Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le système admet une résultante.
• En effet il sera possible de trouver un système de force à une force équivalent.
- Σ Forces identique ⇒ R = Σ Forces
- Σ Mt /même point ⇒ Position de R
Système à forces concourantes
R
F1
y
y
F2
o o
1 x 2 x
On veut que le système 2 soit équivalent au système 1
⇒ Σ Force identique ⇒ R = F1 + F2
Σ Moments identique⇒ or Σ Mt A (F1,F2) = 0 ⇒ R passe par A
Conclusion :
Soit un système de n forces F1,F2,…,Fn concourantes en un même point I.
La résultante R des n forces passe aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces : R=
F1+F2+....+Fn
Exemple:
pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câbles
T1,T2,T3 et T4
1. Méthode graphique
SFERE – OFPPT Page 23 / 137
24. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
2. Par le calcul :
R = T1+T2+T3+T4 donne en projection sur les axes x et y
Rx=
Ry=
║R║=
tanθ =
Système à forces parallèles
Soit le système 1 à deux forces : déterminer R dans le système 2 ( position et intensité)
Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN
A
A
B B
1.00 1.50 1.00 1.50
Exercice
Déterminer la résultante du système 1 (intensité, position)
Exemple
Pour l’exemple ci-contre :
Déterminons par le calcul la résultante de F1, F2 et F3
(intensité, position)
Résultante d’un système de forces planes quelconques
Si les forces connues ne sont pas toutes concourantes au même point, il est nécessaire de déterminer
graphiquement la ligne d’action de la résultante par approches successives, en combinant les forces
deux à deux.
SFERE – OFPPT Page 24 / 137
25. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Exemple :
Déterminons la résultante des actions F1,F2 et F3 exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer un
pétrolier.
Le pétrolier se comporte comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec une
poussée de 600 KN
4.2. RÉDUCTION D’UN SYSTÈME DE FORCES (EN 1 POINT)
Il s’agit de modifier un premier système de force pour que seul apparaisse un système de forces
appliqué en un point donné = Réduction de système en un point.
Le deuxième système ainsi obtenu devant être équivalent au premier.
-On obtient ainsi les éléments de réduction en un point.
C
Exemple:
d2
FA FB
A d1 C
B
Question :
Déterminer littéralement les éléments de réduction en C de FA et FB
a/ Algébriquement.
b/ Vectoriellement.
SFERE – OFPPT Page 25 / 137
26. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4.3. NOTION DE TORSEUR
4.3.1. Définition :
C’est une grandeur mathématique qui représente la réduction d’un système de force en un point.
A
⇒Un torseur d’action mécanique en un point est un ensemble constitué de deux grandeurs :
- une force S (somme des forces concernées), indépendante du point choisi ;
- un couple MA (ou moment résultant), fonction du point A choisi.
S
⇒ TORSEUR en A = TA = ensemble
M A
S et MA sont les éléments de réduction du torseur.
S1/2
Exemple de notation T1/2 = ensemble: est le torseur de actions de ½ en A
A
M1/2 A
4.3.2. Ecriture Algébrique :
4.3.3. Somme de torseur :
La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que s'ils sont tous écrits au même point; c’est
impératif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que s'ils sont calculés / même point).
4.3.4. Torseurs particuliers
Couple
Glisseur
Torseur nul
SFERE – OFPPT Page 26 / 137
27. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4.4. EXERCICES : NOTION DE RÉSULTANTE
4.4.1. Exercice N°1 :
Déterminer le résultante R de T1 et T2
agissant sur le palier en A.
4.4.2. Exercice N°2 :
Le palier à roulement est soumis aux actions A et B.
Calculer les composantes horizontale (x) et (y) des forces A et B.
En déduire la résultante des deux forces.
4.4.3. Exercice N°3 :
Pour les trois cas proposés, déterminer la résultante des trois forces
F,T et S.
4.4.4. Exercice N°4 :
F1,F2,F3 et F4 schématisent les actions exercées par les câbles sur la
tête de la vis.
Déterminer la résultante des quatre forces.
SFERE – OFPPT Page 27 / 137
28. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4.4.5. Exercice N°5 :
P1 (150 kN) schématise le poids de la partie camion, P2(90kN) le
poids du corps de la grue et P3(70kN) le poids de la flèche
télescopique.
Déterminer la résultante des trois forces.
4.5. EXERCICES : NOTIONS DE FORCES/MOMENTS/RÉSULTANTES
4.5.1. Exercice1
La force R schématise la résultante des forces de pression
dues au vent.
Calculer le moment en A de R, A étant la zone fragile du
panneau indicateur.
4.5.2. Exercice2
Calculer le moment en C de la force T et le moment en C
de la force S.
Déduire le moment résultant en C des deux forces.
4.5.3. Exercice3
Les forces F et T, appliquées en I et J, schématisent les
actions exercées par les roues dentées.
Calculer le moment en O de la force F
A partir de quelle valeur la force T équilibre-t-elle le couple
moteur engendré par F.
SFERE – OFPPT Page 28 / 137
29. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
4.5.4. Exercice 4
La tension du câble AB est T1 = 18.5 kN, celle du câble
AC est T2=13kN avec α=45°
Déterminer la résultante R de T1 et T2 en kN, daN et N.
4.5.5. Exercice 5
F1,F2 et F3 schématisent les forces exercées sur la structure en treillis.
Déterminer la résultante des trois forces.
SFERE – OFPPT Page 29 / 137
30. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
5. ETUDE DES LIAISONS
5.1. PRESENTATION
Dans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales :
Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.
Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents.
5.2. EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON
L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une
résultante S (coordonnées Sx et Sy ) et un moment éventuel M.
Type de Schématisation Actions de
liaison usuelle contact entre Exemples
0 et 1
Appui simple
(1 inconnue)
Articulation
ou Pivot
(2 inconnues)
Encastrement
(3 inconnues)
Plus généralement
Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ........Mz, du torseur
peuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).
⇒ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Par
conséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux
solides)
⇒ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé.
SFERE – OFPPT Page 30 / 137
31. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Remarques :
- La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dans
le plan (nombre de coordonnées du torseur).
- Si le nombre d’efforts transmissibles↑, le nombre des degrés de liberté↓.
- Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées en
statique = nombre d’inconnues de statique.
Mvt. relatifs Torseur des Exemples dans
Liaisons Schéma
de liberté interactions le bâtiment
0 Translation
Sx Mx
0 Rotation
Encastrement Sy My
Sz Mz
⇒ 0 °d de liberté
0 Translation
Sx 0
Articulation 1 Rotation
Sy My
(pivot)
Sz Mz
⇒ 1 °d de liberté
2 Translations
Appui simple 0 0
3 Rotations
(ponctuel) 0 0
(suivant z) Sz 0
⇒ 5 °d de liberté
2 Translations
0 Mx
1 Rotation
Appui plan 0 My
Sz 0
⇒ 3 °d de liberté
5.3. NOMBRE D’INCONNUES INDUITES PAR LES LIAISONS
A Dans l’espace :
Appui simple → 1 inconnue : Sz.
Intensité de Sz inconnue
direction connue ⊥ au plan de contact.
Articulation → 5 inconnues
Encastrement → 6 inconnues
B Dans le plan :
Appui simple → 1 inconnue : Sz.
Intensité de Sz inconnue
direction connue ⊥ au plan de contact.
Articulation → 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0)
Encastrement → 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de Mz
SFERE – OFPPT Page 31 / 137
32. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
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5.4. EXEMPLES DE DIFFERENTS TYPES D’APPUIS DE POUTRE
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34. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE
6.1. HYPOTHÈSES
Tous les corps étudiés sont indéformables.
Les coordonnées d'un point quelconque sont constantes.
Les supports des forces sont invariables.
6.2. BUT :
On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquer
la R.d.M.
Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides.
6.3. NOTION D’ACTION MÉCANIQUE DE LIAISON EXTÉRIEURE ET INTÉRIEURE
À UN SYSTÈME DONNÉ :
Généralités :
- A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison,
correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre au
niveau de cette liaison).
- Ces actions mécaniques sont dites :
Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper
pour isoler ce système.
Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée.
Exemple :
Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2)
Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol.
3 D E Donnez :
C
F a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3)
2 b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3)
B
c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1
1
b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3
A
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35. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.4. ENONCÉ DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S):
Pour qu'un solide soit en équilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun déplacement :
Pas de translation (dans n'importe quelle direction).
Pas de rotation
Donc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F1,F2,….,Fn) reste en
équilibre si :
• la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation)
∑Fext = F1 +F2+ …..+Fn =0
En projection sur x et y : 2équations
∑Fx = F1x+F2x+…….+Fnx=0 (1)
∑Fy = F1y+F2y+……..+Fny=0 (2)
• Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de
rotation).
∑MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+.......+ MI(Fn) =0 (3)
Dans le plan :
1/ ∑ F(x) = 0
2/ ∑ F(y) = 0
3/ ∑ M(z) = 0
3 équations de la statique ⇒ 3 inconnues.
Dans l'espace :
1/ ∑ F(x) = 0 4/ ∑ M(x) = 0
2/ ∑ F(y) = 0 5/ ∑ M(y) = 0
3/ ∑ F(z) = 0 6/ ∑ M(z) = 0
6 équations de la statique ⇒ 6 inconnues.
6.5. CAS PARTICULIERS :
F
-F
Solide soumis à l'action de 2 forces
Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces
sont directement opposées :
SFERE – OFPPT Page 35 / 137
36. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Solide soumis à l'action de 3 forces
(dans le plan:)
F1
F2
O
F2
F3
F1
dynamique fermé
F3
Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si :
Les 3 forces sont concourantes.
La dynamique des forces est fermée.
6.6. RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE STATIQUE :
Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires
6.6.1. Etablir le schéma mécanique
Un schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seules
apparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système.
Méthodologie :
A Modéliser le système :
Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en gardant statiquement équivalent :
- Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne.
- Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II)
B Isoler le système matériel à étudier :
- "couper "au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur
- remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées.
C Ajouter les actions extérieures :
- représenter les actions extérieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs
forces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments.
- indiquer toutes les cotes nécessaires.
SFERE – OFPPT Page 36 / 137
37. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.6.2. Faire le bilan
- Faire le bilan des inconnues (I)
- Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple :
si I ≤ E résoluble.
I > E non résoluble.
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38. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.6.3. Appliquer le principe fondamental de statique :
Dans le plan :
3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique.
Résoudre le système d'équations
Rappels et Remarques :
a/ Actions extérieures(à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) et
actions des liaisons coupées
b/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (⇒ choix de
l’élément à isoler).
c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces.
Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction des
forces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la
F( x )
statique de la forme : Tanα = .
F( y )
Exemple :
q = 2.5 KN/ml
F = 1 KN/ml
C
1,00 m
Μοδλισατιο
ν⇒
A
2,00 m B
encastrement
g = 6 KN/ml
Balcon à étudier
q = 2.5 KN/ml
F = 1 KN/ml
C
µA 1,00 m
schéma mécanique A
B
RA 2,00 m
g = 6 KN/ml
Dans notre exemple.
g charge permanente : poids propre.
q charge d'exploitation : poids des personnes.
F charge d'exploitation horizontale.
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39. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.7. METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE
OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer
complètement les actions mécaniques exercées sur un
solide appartenant à un ensemble de solides donnés.
Modaliser le système, en le schématisant et en
modalisant les différentes liaisons entre les éléments
Isoler un solide
Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau
et des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le
établir son
schéma seul dans la même position graphique.
solide
mécanique
C’est réaliser
Remplacer toutes les liaisons coupées par le système
ces deux
étapes de forces associées.
Ajouter les actions à distance (poids, charges sur
l’élément).
Faire le BILAN de toutes les actions inconnues
agissant sur le solide.
et le BILAN des équations possibles
TEST
Déterminer d'autres
éléments ( en isolant Résoudre
d’autres solides ) et La graphiquement ou
en faisant intervenir le NON Résolution est-elle OUI analytiquement.
possible à partir (Choisir la méthode
PRINCIPE des
du bilan précédent
la plus performante)
actions mutuelles.
en appliquant le
Exemple : éléments P.F.S.
biarticulés a
RESULTATS : Le problème est terminé lorsque
toutes les actions agissant sur le solide sont
entièrement connues.
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40. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.8. LE DEGRÉ HYPERSTATIQUE
Un solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes par
rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquement
indéterminable ou hyperstatique.
Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de la
statique.
Rappel :
Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations :
∑Fext =0
En projection sur x et y 2 équations
3 équations
∑M(Fext)=0 1 équation
notation : Ne : nombre d’équations fournies par le PFS
Ni : Nombre d’inconnues
Degré Hyperstatique DH : Ni -Ne
Exemple :
La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnues
statiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système est
dit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3).
Remarque :
Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement
3 cas sont envisagés :
• si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de
la statique.
• si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable.
• si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes
par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la
statique ne suffisent pas pour la résolution du problème.
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41. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.9. EXERCICES : DEGRÉ HYPERSTATIQUE
Déterminer le degré hyperstatique des structures proposées.
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42. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
6.10. EXERCICES D’APPLICATIONS DU PFS
Calculer les actions de liaisons des structures proposées :
a) f)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
6.11. DIAPORAMA
Voir dans la partie « ANNEXES » de ce document.
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43. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7. CENTRE DE GRAVITE
7.1. COURS ÉLÈVE
7.1.1. Définitions
• Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)
• Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une
verticale
• Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points
matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.
• ⇒ Détermination de la position de la résultante
7.1.2. Centre de gravité de 2 points matériels
x2
B
y2
x1
A B ×
y1
A× P2 ⇔ G×
P1 R
y2 y1 YG
x1 XG
x2
Système équivalent ⇔ ΣF ⇔
Σ M/O ⇔
XG =P1.x1+ 2.x2
P
P1+ 2
P
P1.y1+ 2.y2
P
YG =
P1+ 2
P
Remarque : si P1 = P2
XG
= ⇒ XG =
YG =
⇒ YG =
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44. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.1.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)
Exemple :
3 points
x2
B
y2
x1
A B × G×
y1
⇔
A× P2 R
P1 x3
C YG
y2 y3
y1 ×
C
y3
P3
XG
x1
x2
x3
Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3
Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3
yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3
XG =P1.x1+ 2.x2
P
P1+ 2
P
⇔
P1.y1+ 2.y2
P
YG =
P1+ 2
P
⇒ Formules du Barycentre:
n
∑ Pi.xi
XG= i→ 1
n
∑ i→ 1
Pi
n
∑ Pi.yi
YG= i→ 1
n
∑
i→ 1
Pi
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45. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.
⇒ Centre de gravité de section
n
∑ Si.xi
XG= i→ 1n
∑ i→1
Si
n
∑ Si.yi
YG= i→ 1n
∑
i→ 1
Si
7.1.4. Centre de gravité de formes simples
FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des G est au centre du cercle
diagonales)
G est à l’intersection des médianes
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46. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.1.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité
d’une section complexe
• Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du
centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)
• Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)
• Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la
section totale.
• Présenter les résultats dans un tableau
Surface
xGi yGi Si xGi Si yGi Si
élémentaire
Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si =
⇒ Formule du barycentre
Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on
déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.
⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.
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47. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.2. EXERCICES D’APPLICATIONS : ÉLÈVE
7.2.1. Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.
2. Poutrelle en I 5. profilé creux
6.
3. poutrelle en U
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48. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.2.2. Exercice 2
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49. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.2.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité
7.2.4. Exercice 2: vérification des caractéristiques d’un upn 300
A = 58.80 cm²
XG = 2.95 cm
YG = 15.00 cm
7.2.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère
a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ?
c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ?
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50. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.3. COURS PROF
7.3.1. Définitions
• Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)
• Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une
verticale
• Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points
matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.
• ⇒ Détermination de la position de la résultante
7.3.2. Centre de gravité de 2 points matériels
x2
B
y2
x1
A B ×
y1
A× P2 ⇔ G×
P1 R
y2 y1 YG
x1 XG
x2
Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2
Σ M/O ⇔ xG.R = x1P1+ x2 P2
yG.R = y1 P1 +y2 P2
XG =P1.x1+ 2.x2
P
P1+ 2
P
P1.y1+ 2.y2
P
YG =
P1+ 2
P
Remarque :
si P1 = P2
P1.(x1+x2)
. (x1+x2)
.
XG =
2P1
⇒ XG =
2
P1.(y1+y2)
G au milieu de A et B
. y1+y2
.
YG =
2P 1
⇒ YG =
2
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51. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.3.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)
Exemple :
3 points
x2
B
y2
x1
A B × G×
y1
⇔
A× P2 R
P1 x3
C YG
y2 y3
y1 ×
C
y3
P3
XG
x1
x2
x3
Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3
Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3
yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3
XG =P1.x1+ 2.x2
P
P1+ 2
P
⇔
P1.y1+ 2.y2
P
YG =
P1+ 2
P
⇒ Formules du Barycentre:
n
∑ Pi.xi
XG= i→ 1
n
∑
i→ 1
Pi
n
∑ Pi.yi
YG= i→ 1
n
∑
i→ 1
Pi
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52. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.
⇒ Centre de gravité de section
n
∑
i →1
Si.xi
XG = n
∑
i →1
Si
n
∑ Si.yi
YG= i→ 1
n
∑
i→ 1
Si
7.3.4. Centre de gravité de formes simples
FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des G est au centre du cercle
diagonales)
G est à l’intersection des médianes
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53. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.3.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité
d’une section complexe
Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre
de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)
Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)
Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section
totale.
Présenter les résultats dans un tableau
Surface
xGi yGi Si xGi Si yGi Si
élémentaire
Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si =
⇒ Formule du barycentre
Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on
déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.
⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.
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54. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
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7.4. EXERCICES D’APPLICATIONS : PROF
7.4.1. Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.
1. 4. tube
cornière
2. Poutrelle en I 5. profilé creux
6.
3. poutrelle en U
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Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.4.2. Exercice 2
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56. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
7.4.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité
7.4.4. Exercice 2: Vérification Des Caractéristiques D’un Upn 300
A = 58.80 cm²
XG = 2.95 cm
YG = 15.00 cm
7.4.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère
a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère
ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre
ainsi posé) ?
c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle
doit être sa valeur ?
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57. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence Gros Œuvre
Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE
8.1. DÉFINITION
On appelle système réticulé ou treillis, une structure formée d’un assemblage de barres rectilignes
reliées entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appelées des nœuds.
Exemples de systèmes réticulés
Détail d’un nœud :
8.1.1. Objectifs.
Déterminer les efforts exercés dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen
d’hypothèses simplificatrices.
8.1.2. Hypothèses simplificatrices :
o On considère les barres rectilignes et indéformables,
o Les efforts exercés sur la structure sont appliqués uniquement sur les nœuds,( pas de
charges sur les barres).
o On néglige le poids des barres,
Remarque :
Une barre articulée à ses deux extrémités est appelée biellette et n’est soumise qu’à de l’effort
normal.
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