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ROYAUME DU MAROC
OFPPT
        Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail
                  DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMATION




               SUPPORTS PEDAGOGIQUES


                                      MECANIQUE ET RDM
         DOMAINE :                     PARTIE I : COURS


             SECTEUR : BTP

             SPÉCIALITÉ : GROS ŒUVRE

             NIVEAU : TECHNICIEN SPÉCIALISÉ.


             Modules concernés : 8; 9




                                                  20 MAI 2004
OP4 Finalisation des supports pédagogiques                                  Technicien spécialisé
Selon l’approche par compétence                                                      Gros Œuvre
                                                              Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



                              REMERCIEMENT

La DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élaboration du présent document.




Pour la conception :
M. Alain BONHOMME                Expert SFERE France




Pour la validation :
M. Khalid BAROUTI                Chef projet BTP
Mme Najat IGGOUT                 Directeur du CDC BTP
M. Saïd MOURTAJI                 Formateur
M. Alain BONHOMME                Expert SFERE France




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Selon l’approche par compétence                                                                                          Gros Œuvre
                                                                                                  Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours




                                                             SOMMAIRE

     1.NOTION DE FORCE................................................................................................................... 7
          1.1.Notion de force et de vecteur-force................................................................................. 7
          1.2.Composantes d’une force............................................................................................... 8
          1.3.Coordonnées cartésiennes d’un force (Repésentation algébrique) ................................ 8
          1.4.Exercices........................................................................................................................ 9

     2.NOTION DE MOMENT.............................................................................................................. 11
          2.1.Notion de moment........................................................................................................ 11
          2.2.Moment d’une force par rapport à un point................................................................... 11
          2.3.Notion de couple........................................................................................................... 13
          2.4.Moment résultant de plusieurs forces........................................................................... 14
          2.5.Exercices...................................................................................................................... 15

     3.NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE................................................................................... 16
           3.1.Définitions..................................................................................................................... 16
           3.2.Les actions mécaniques ou charges............................................................................. 16
           3.3.Exercices sur les actions mécaniques.......................................................................... 18
           3.4.Exercice sur les unités :................................................................................................ 19

     4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)............................... 21
           4.1.Systèmes de forces équivalents................................................................................... 21
           4.2.Réduction d’un système de forces (en 1 point)............................................................. 25
           4.3.Notion de torseur.......................................................................................................... 26
           4.4.Exercices : Notion de résultante................................................................................... 27
           4.5.Exercices : Notions de forces/moments/résultantes..................................................... 28

     5. ETUDE DES LIAISONS........................................................................................................... 30
           5.1.PRESENTATION.......................................................................................................... 30
           5.2.EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON ......................................................... 30
           5.3.Nombre d’inconnues induites par les liaisons............................................................... 31
           5.4.Exemples de differents types d’appuis de poutre......................................................... 32

     6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE ..................................................................... 34
          6.1.Hypothèses................................................................................................................... 34
          6.2.But :.............................................................................................................................. 34
          6.3.Notion        d’action           mécanique               de        liaison         extérieure             et       intérieure
          à un système donné :......................................................................................................... 34
          6.4.Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S):.............................................. 35
          6.5.Cas particuliers :........................................................................................................... 35
          6.6.Résolution d'un problème de statique :......................................................................... 36
          6.7.METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE............................. 39
          6.8.Le Degré Hyperstatique................................................................................................ 40
          6.9.Exercices : Degré Hyperstatique.................................................................................. 41
          6.10.Exercices d’applications du PFS................................................................................. 42



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Selon l’approche par compétence                                                                                            Gros Œuvre
                                                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

              6.11.Diaporama.................................................................................................................. 42

     7.CENTRE DE GRAVITE............................................................................................................. 43
          7.1.Cours élève.................................................................................................................. 43
          7.2.Exercices d’Applications : élève.................................................................................... 47
          7.3.Cours prof..................................................................................................................... 50
          7.4.Exercices d’Applications : prof...................................................................................... 54

     8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE............................................................................... 57
          8.1.Définition....................................................................................................................... 57
          8.2.Méthode des nœuds..................................................................................................... 59
          8.3.Méthode de RITTER..................................................................................................... 60
          8.4.Applications.................................................................................................................. 62

     9.RDM : GÉNÉRALITÉS.................................................................................................................. 65
          9.1.But de la RDM.............................................................................................................. 65
          9.2.Hypothèses de la RDM................................................................................................. 65
          9.3.Notion de contrainte...................................................................................................... 65
          9.4.Répartition uniforme des contraintes (sur une section)................................................. 68

     10.TRACTION SIMPLE ET COMPRESSION SIMPLE............................................................................... 70
          10.1.Définitions................................................................................................................... 70
          10.2.Essai de traction......................................................................................................... 70
          10.3.Applications : traction simple...................................................................................... 75
          10.4.Coefficient de Poisson : υ........................................................................................... 79

     11.CISAILLEMENT SIMPLE............................................................................................................... 80
           11.1.Définitions................................................................................................................... 80
           11.2.Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple)................................................... 80
           11.3.Equation de déformation............................................................................................. 82
           11.4.Calcul pratique ........................................................................................................... 82
           11.5.Exercice d’application................................................................................................. 83
           11.6.Exercice Formatif........................................................................................................ 83

     12.N, V, M..................................................................................................................................... 84
           12.1.Généralités................................................................................................................. 84
           12.2.Diagramme de N(x), V(x), M(x) Méthode de détermination........................................ 89
           12.3.Exercices.................................................................................................................... 92
           12.4.Diaporama.................................................................................................................. 93

     13.CARACTÉRISTIQUES DES SESSIONS............................................................................................ 94
          13.1.MOMENT STATIQUE................................................................................................. 94
          13.2.Moment quadratique................................................................................................... 96
          13.3.Changement de coordonnees ( th d’huygens)............................................................ 97
          13.4.Exercices.................................................................................................................... 98
          13.5.Moment quadratique polaire....................................................................................... 98

     14.CONTRAINTES DES POUTRES FLÉCHIES.................................................................................... 100
          14.1.Hypothèses............................................................................................................... 100
          14.2.Contraintes normales σ (dues à M(x)....................................................................... 100
              14.3.Déformations............................................................................................................ 102



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Selon l’approche par compétence                                                                                         Gros Œuvre
                                                                                                 Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
              14.4.Contraintes de cisaillement longitudinal τ(dues à V(x))............................................ 104
              14.5.Applications.............................................................................................................. 108

     15.FLEXION COMPOSÉE................................................................................................................ 115
           15.1.Définition................................................................................................................... 115
           15.2.Exemples.................................................................................................................. 115
           15.3.Contraintes normales σ ........................................................................................... 115
              15.4.Contraintes Tangentielles ........................................................................................ 116
              15.5.Excentricité de charge ............................................................................................. 117
              15.6.Remarque ................................................................................................................ 117
              15.7.Exercices ................................................................................................................. 118

     16.LES FLÈCHES.......................................................................................................................... 119
          16.1.Définition................................................................................................................... 119
          16.2.Formulaire ............................................................................................................... 119
          16.3.Utilisation ................................................................................................................. 119

     17.POUTRE CONTINUE EN BETON ARME.................................................................................... 125
          17.1.Généralité................................................................................................................. 125
              17.2.Méthode forfaitaire. Artb.6.2,21 page 149................................................................ 125
              17.3.Méthode CAQUOT................................................................................................... 129
              17.4.Méthode CAQUOT minorée...................................................................................... 136
              17.5.Contrôle de beton .................................................................................................... 136
              17.6.Diaporama................................................................................................................ 136




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            1 - COURS ET APPLICATIONS




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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

   1. NOTION DE FORCE


   1.1.          NOTION DE FORCE ET DE VECTEUR-FORCE

En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et
des résultantes d’actions mécaniques très diverses ( poids, attraction magnétique, etc..).


Un vecteur force est défini par une intensité ou un module ( en Newton N ou unité dérivée daN, kN,
etc..), une direction, un sens et un point d’application.


Exemple 1 :




L’action de contact exercée par le câble(2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur force A2/1,
de point d’application A de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble
tire sur le support).



Exemple 2 :




Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est
schématisée par le vecteur force T2/1, point d’application T incliné de 40° par rapport à la verticale (y),
d’intensité 15 N, de sens T vers K ( vers l’intérieur du ballon ).
Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids P1, vertical (axe y), intensité 5N, sens du haut
vers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon.




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                                                                         Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   1.2.          COMPOSANTES D’UNE FORCE

Une force F agissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou
composantes ( U et V ) agissant au même point et vérifiant la condition F = U + V




Les composantes sont les valeurs algébriques des projections de F sur un


   1.3.          COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN FORCE (REPÉSENTATION ALGÉBRIQUE)

On peut considérer les coordonnées cartésiennes Fx et Fy comme étant des composantes
orthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.⇒ (F(x) ) horizontale et (F(y)) verticale
Elles sont positives si elles sont orientées dans la même direction que ox et oy (négative dans le cas
contraire.




                      y              F                                    FA(x)
                            FA(y)                                   FA
                                                                          FA(y)
                                A
                                    FA(x)
                      o
                                                    x



Exemple : coordonnées cartésiennes de la force A2/1.


Ax = A2/1cos30° = 1000 x 0.866 = 866daN
Ay = -A2/1sin30° = -1000 x 0.5 = -500daN
║A2/1║ = √ 866² + 500² = 1000




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   1.4.          EXERCICES

1. L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 20 N.
Déterminer les modules des forces F1, F2, F3. Ecrire ces modules en N, daN et kN.




2.
a) Déterminer les coordonnées T1x et T1y de la tension T1 de la barre (1).
b) Déterminer T3 et T3x si T3y = 100 daN.
c) Déterminer T2 si (T1x+T2x+T3x=0).




3. L’action exercée par la route 0 sur la motrice 1 est schématisée par la force F0/1.
Si l’effort normal N0/1 suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F0/1 et T0/1 (suivant t) sachant que
F0/1 = N0/1 + T0/1




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Selon l’approche par compétence                                                              Gros Œuvre
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4. Sachant que la composante Tx de la tension T du câble en A est de 90 daN, déterminer Ty et T.




5.
a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes ( x, y ) et (x’,y’).




6.Ecrire les coordonnées cartésiennes Fx et Fy des forces F indiquées en fonction du module F et des
angles α et β . F = 1000 N dans les quatre cas.




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   2. NOTION DE MOMENT


   2.1.            NOTION DE MOMENT

Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce corps.


Exemple de la navette spatiale :




Si la Force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement
de translation de même direction que F.


Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un
mouvement de rotation ( orientation des moteurs).


Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de
faire intervenir la notion de moments.


   2.2.            MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN POINT


          2.2.1.           Définition
Le moment de la force F par rapport au pont A, noté MA(F), est égal au produit de F par le bras de
levier d :
MA(F)= F.d (d : distance entre A et F)


Bras de levier : longueur du segment de droite issu du point de
calcul et joignant orthogonalement la droite d’action de F




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Convention de signe
Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif.


        sens trigo


                     +                -




Exemple 1 :


Déterminons F2 de façon que MA(F1) +MA(F2)=0
MA(F1) = F1 .d1= 240 x 0.1 = 24N.m
MA(F2) = -F2.d2 = -0.12F2
MA(F1)+ MA(F2)= -0.12F2+24 =0
Soit F2=200N



Exemple2 :


Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de
l’effort B3/2.
Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B3/2 :
MA(B3/2)= B3/2 . AB . sin α
Si AB est perpendiculaire à B3/2 (α=90°) :
MA= B3/2 . AB . sin 90= 100x0.2x1=20 N.m
Si α= 60° :
MA1= B3/2 . AB . sin 60° = 17.3 N.m
Si α= 45° :
MA2= B3/2 . AB . sin 45° =14.1 N.m




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          2.2.2.           Théorème de Varignon




Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V
par rapport au même point.


MA(F)= MA(U) + MA(V)


Pour notre cas: MA(F) = F.d = -U.dU + V.dV


Exemple :
Déterminons MA(F) de la Force F.


Fx = F cos60° = 1000 X 0.5 = 500 N
Fy = F sin60° = 1000 x 0.866 = 866 N
MA(F) = MA(Fx)+ MA(Fy)
        = -500 x 0.1 + 866 x 0.16
        = 88.6 N.m = F.d


Rq: Le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application directe à partir de
F.d (détermination de d plus difficile).


   2.3.            NOTION DE COUPLE


          2.3.1.           Définition
Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des
lignes d’action différentes constitue un couple (M).
L’intensité F.d du couple est indépendante du point O choisi ou de la
valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forces
et de l’intensité F.



M= MO(F) + MO(-F) = F(a+b) – F.a = F.d




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Exemple:


Une clé à bougie se compose d’un
corps et d’une tige de manœuvre
coulissante et réglable.
F et –F schématisent les actions
exercées par les mains de
l’opérateur.
Si F = 100 N, déterminons le
couple de desserrage (M) exercé
par la clé sur l’écrou en E, pour les
positions indiquées.


Pour les quatre positions, on a :
M = ME(F) + ME(-F)= MO(F) + MO(-F)
  = F x OB + F x OA = F.AB = 0,4 F= 40 N.m


Pour la position 1: M = 0.2F + 0.2F = 0.4F             Pour la position 1: M = 0.15F + 0.25F = 0.4F
Pour la position 2: M = 0.3F + 0.1F = 0.4F             Pour la position 1: M = 0 + 0.4F = 0.4F


   2.4.          MOMENT RÉSULTANT DE PLUSIEURS FORCES

Le moment résultant MA en un point A de n forces F1,F2,F3,…..,Fn est égal à la somme des moments
en A de chacune des forces.
MA = MA(F1) + MA(F2) +MA(F3) +.........+MA(Fn)


Exemple: la balance romaine


Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O sur un crochet 1 lié à un support fixe
et d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5daN.
La masse à peser, poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. si a = 70 cm,
déterminons la valeur de P.




Lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, le moment résultant en O des poids P et q est nul.
MO = MO(P) + MO(q) = P x 0.1 – q x 0.7 = 0
D’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN




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   2.5.            EXERCICES


          2.5.1.           EXERCICE N°1
La force F schématise l’action de serrage exercée par l’opérateur.
Calculer le moment en B (couple de serrage sur l’écrou) de la force F.




          2.5.2.           EXERCICE N°2
Déterminer le moment en O de la force F agissant sur le point B de la potence.




          2.5.3.           EXERCICE N°3
Calculer le moment en O de la force F agissant au point B.




          2.5.4.           EXERCICE N°4
    a) Déterminer le moment résultant en (Mo) exercé par le couple de Force F et –F
    b) Calculer le moment en A, B, C.
    c) Quelle doit être la valeur de T pour que le couple T et (-T ) puisse équilibrer le couple
       précédent ?




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   3. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE


   3.1.            DÉFINITIONS


          3.1.1.            Buts de la Mécanique:
- Etudier l'équilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)
- Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M)

          3.1.2.            Définition du solide en statique.
En statique, un solide est un corps :
• Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume.

• Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation
   du solide.

• Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort.

• Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions.


          3.1.3.            Principe des actions mutuelles
Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par
le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action
exercée par le solide 1 sur le solide 0.


   3.2.            LES ACTIONS MÉCANIQUES OU CHARGES.

Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actions
mécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments.

Il existe deux types d’actions mécaniques :
                         les actions à distance
                         les actions de contact

          3.2.1.            Les actions mécaniques à distance
On se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité).


Le poids est représenté par un vecteur P :
                Point d’application : centre de gravité G
                Direction : verticale
                Sens : vers le bas
                Intensité : P = Mg (N)
                M : masse en Kg
                                                                    P
                g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur
                ou attraction terrestre




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Dans le domaine du Génie Civil, on prendra :
   o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m²
   o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/m


Exemple :
Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur.
Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50x20 cm.
Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m3

        3.2.2.             Les actions mécaniques de contact


      A   Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)

Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact est
représentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact.


Exemple : Appui d’une poutre sur une poutre.                                  F2/1




                   2


                                1


                                                                                     Unité : N

      B   Actions de contact linéiques (charges réparties)

Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force q
appliqué sur toute la ligne de contact.


Exemple : Cloison sur plancher.




                                                                                                        q




                                                                                                  Unité : N/ml




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                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


      C     Actions de contact ou charges réparties sur une surface

Exemple : Vent sur mur.




                                              schématiquement
          Vent




                                                                                           Unité : N/m²


   3.3.          EXERCICES SUR LES ACTIONS MÉCANIQUES

Exercice n°1 :
Poutre AB :
• Caractéristiques géométriques :

   Portée : 3.5 m
   Appui de gauche A : articulation
   Appui de droite B: appui simple
   Repère (A ; x ; y )

• Actions mécaniques

   Deux charges ponctuelles verticales vers le bas d’intensité F=3KN appliquées à x =1.00m et         x
   =2.50m.
   Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1.5 KN/ml sur toute la
   poutre.


Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
Calculer le moment en A engendrée par les forces F .
Calculer le moment en A engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment total en A.




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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

Poutre CD :
• Caractéristiques géométriques :

   Portée : 5.60m
   Appui de gauche C : encastrement
   Appui de droite D: libre
   Repère ( C ; x ;y )

• Actions mécaniques

          Une charge ponctuelle verticale F vers le bas d’intensité 10KN appliquées à x =2.50m
          Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1 KN/ml sur toute
          la poutre.


Effectuer le schéma mécanique de la poutre CD.
Calculer le moment en C engendrée par les forces F .
Calculer le moment en C engendrée par la charge linéaire q.
En déduire le moment engendrée par F + q


   3.4.            EXERCICE SUR LES UNITÉS :

10000cm² =            m²                 0.800MN/m =             KN/m
10 000 000cm3=              m3            10KN/mm² =             KN/m²
25KN/mm =            KN/m                1MN/cm² =              KN/m²
300N/m =             KN/m

          3.4.1.            Exercice N°2
Soit une poutre AB en béton armé de section 50 x 20cm et de portée 6.00m.
Appui A : articulation
Appui B : appui simple
Poids volumique du béton armé : 25 KN/m3


          1. Déterminer le poids P en KN de la poutre considérée.
          2. En déduire le poids linéaire p en KN/m de la poutre.
          3. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
          4. Calculer le moment en A engendré par le poids de la poutre.

          3.4.2.            Exercice N°3
Soit un plancher en béton armé d’épaisseur 18 cm et de surface 200m².


          1. Déterminer le poids surfacique Ps du plancher (KN/m²) .
          2. Déterminer le poids P du plancher (KN).




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          3.4.3.             Exercice N°4
  Soit une poutre AB en béton armé supportant une partie d’un plancher béton armé.
  Largeur de dalle reprise par la poutre : 5 m
  Epaisseur du plancher : 16 cm
  Section de la poutre : 30 x 60 cm
  Portée de la poutre : 5.00 m
  Poids volumique du béton armé : 25KN/m3
  Appui A : appui simple
  Appui B : articulation.


                   1. Déterminer le poids P1 du plancher en KN.
                   2. Déterminer le poids P2de la poutre en KN.
                   3. En déduire le poids total P : plancher + poutre.
                   4. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.
                   5. Calculer le moment en A engendré par P.




Plancher BA
                                                              Poutre BA




  SFERE – OFPPT                                                                                Page 20 / 137
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               Selon l’approche par compétence                                                             Gros Œuvre
                                                                                   Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

                      4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)


                      4.1.            SYSTÈMES DE FORCES ÉQUIVALENTS


                             4.1.1.          Définitions.
               Un système de forces est un ensemble de forces agissant simultanément sur un système matériel
               (= solide ou ensemble de solide)


               Des systèmes de forces différents sont dits équivalents si appliqués séparément à un solide ils
               provoque les mêmes effets :
               On dit également qu’ils ont les mêmes éléments de réductions.
               C'est à dire :
               Ils ont la même résultante et le même moment résultant en un point donné.
               ⇒         ∑ Forces      = identique
                         ∑ Moment      = identique


               Remarque : Il est toujours possible de remplacer un système de forces par un autre s'il est équivalent
               au précédent.

                             4.1.2.          Exemples


                         A     Composantes d’une force

               (= projections orthogonales de F sur ox ⇒F(x) et sur oy ⇒F(y), ayant la même origine que F).



                                                   y
y
           F
    F(y)                                                 F(y)
                  α
           F(x)                                                 F(x)
    1




                                                       1




o                                                  o
    2          1                x                        2      2             x




               Exercice
               Montrez le système 1 est équivalent au système 2 (prendre F = 20 kN et α = 40°)


               Conséquence :
               Le Mt F/o = F x OA est égal aussi à Mt Fx/o + Mt Fy/o
               = -F(x) x A + F(y) x B




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En pratique :
Il sera plus simple de faire le moment d’une force en utilisant les valeurs de ses composantes,
placées à l’origine de F.




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      B   Résultante d’un système de forces.

• Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le système admet une résultante.

• En effet il sera possible de trouver un système de force à une force équivalent.

                - Σ Forces identique ⇒ R = Σ Forces
                - Σ Mt /même point ⇒ Position de R

Système à forces concourantes

                                                                                R
                                 F1
                                                           y
                 y
                                         F2


                 o                                         o
                                 1            x                             2         x
On veut que le système 2 soit équivalent au système 1
⇒ Σ Force identique ⇒ R = F1 + F2
   Σ Moments identique⇒ or Σ Mt A (F1,F2) = 0 ⇒ R passe par A


Conclusion :
Soit un système de n forces F1,F2,…,Fn concourantes en un même point I.
La résultante R des n forces passe aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces :    R=
F1+F2+....+Fn


Exemple:
pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câbles
T1,T2,T3 et T4

                         1. Méthode graphique




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                                                                         Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours
                         2. Par le calcul :
R = T1+T2+T3+T4 donne en projection sur les axes x et y


Rx=


Ry=


║R║=

tanθ =


Système à forces parallèles
Soit le système 1 à deux forces : déterminer R dans le système 2 ( position et intensité)
Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN



                                                                     A
                         A
                                 B                                            B


                  1.00   1.50                                 1.00   1.50



Exercice
Déterminer la résultante du système 1 (intensité, position)




Exemple
Pour l’exemple ci-contre :
Déterminons par le calcul la résultante de F1, F2 et F3
(intensité, position)




Résultante d’un système de forces planes quelconques
Si les forces connues ne sont pas toutes concourantes au même point, il est nécessaire de déterminer
graphiquement la ligne d’action de la résultante par approches successives, en combinant les forces
deux à deux.




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                                                                   Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

Exemple :
Déterminons la résultante des actions F1,F2 et F3 exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer un
pétrolier.




Le pétrolier se comporte comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec une
poussée de 600 KN


   4.2.          RÉDUCTION D’UN SYSTÈME DE FORCES (EN 1 POINT)

Il s’agit de modifier un premier système de force pour que seul apparaisse un système de forces
appliqué en un point donné = Réduction de système en un point.
Le deuxième système ainsi obtenu devant être équivalent au premier.
-On obtient ainsi les éléments de réduction en un point.




                                                                                  C



Exemple:

                                     d2
                 FA         FB
                        A            d1      C
                                 B


Question :
Déterminer littéralement les éléments de réduction en C de FA et FB
                        a/ Algébriquement.
                        b/ Vectoriellement.




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                                                                          Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   4.3.              NOTION DE TORSEUR


          4.3.1.             Définition :
C’est une grandeur mathématique qui représente la réduction d’un système de force en un point.


                                                                      A




⇒Un torseur d’action mécanique en un point est un ensemble constitué de deux grandeurs :
          - une force S (somme des forces concernées), indépendante du point choisi ;
          - un couple MA (ou moment résultant), fonction du point A choisi.

                                                    S
⇒ TORSEUR en A = TA = ensemble

                                                    M   A


                   S et MA sont les éléments de réduction du torseur.


                                                        S1/2
          Exemple de notation    T1/2 = ensemble:                  est le torseur de actions de ½ en A
                                        A
                                                        M1/2   A


          4.3.2.             Ecriture Algébrique :




          4.3.3.             Somme de torseur :
La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que s'ils sont tous écrits au même point; c’est
impératif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que s'ils sont calculés / même point).

          4.3.4.             Torseurs particuliers
          Couple



          Glisseur



          Torseur nul




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                                                                     Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   4.4.            EXERCICES : NOTION DE RÉSULTANTE


          4.4.1.           Exercice N°1 :
Déterminer le résultante R de T1 et T2
agissant sur le palier en A.




          4.4.2.           Exercice N°2 :
Le palier à roulement est soumis aux actions A et B.
Calculer les composantes horizontale (x) et (y) des forces A et B.
En déduire la résultante des deux forces.




          4.4.3.           Exercice N°3 :
Pour les trois cas proposés, déterminer la résultante des trois forces
F,T et S.

          4.4.4.           Exercice N°4 :
F1,F2,F3 et F4 schématisent les actions exercées par les câbles sur la
tête de la vis.
Déterminer la résultante des quatre forces.




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                                                                   Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


          4.4.5.            Exercice N°5 :
    P1 (150 kN) schématise le poids de la partie camion, P2(90kN) le
    poids du corps de la grue et P3(70kN) le poids de la flèche
    télescopique.
    Déterminer la résultante des trois forces.




   4.5.            EXERCICES : NOTIONS DE FORCES/MOMENTS/RÉSULTANTES


          4.5.1.            Exercice1
La force R schématise la résultante des forces de pression
dues au vent.
Calculer le moment en A de R, A étant la zone fragile du
panneau indicateur.



          4.5.2.            Exercice2
Calculer le moment en C de la force T et le moment en C
de la force S.
Déduire le moment résultant en C des deux forces.




          4.5.3.            Exercice3
Les forces F et T, appliquées en I et J, schématisent les
actions exercées par les roues dentées.


Calculer le moment en O de la force F
A partir de quelle valeur la force T équilibre-t-elle le couple
moteur engendré par F.




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        4.5.4.              Exercice 4
La tension du câble AB est T1 = 18.5 kN, celle du câble
AC est T2=13kN avec α=45°
Déterminer la résultante R de T1 et T2 en kN, daN et N.




        4.5.5.              Exercice 5
F1,F2 et F3 schématisent les forces exercées sur la structure en treillis.
Déterminer la résultante des trois forces.




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Selon l’approche par compétence                                                                Gros Œuvre
                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

   5. ETUDE DES LIAISONS


   5.1.           PRESENTATION

Dans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales :
Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.


Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents.


   5.2.           EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON

L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une
résultante S (coordonnées Sx et Sy ) et un moment éventuel M.


     Type de       Schématisation     Actions de
      liaison         usuelle        contact entre                     Exemples
                                         0 et 1


  Appui simple
  (1 inconnue)




  Articulation
  ou Pivot
  (2 inconnues)




  Encastrement
  (3 inconnues)




Plus généralement
Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ........Mz, du torseur
peuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).

⇒ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Par
conséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux
solides)

⇒ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé.




SFERE – OFPPT                                                                                Page 30 / 137
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Selon l’approche par compétence                                                              Gros Œuvre
                                                                     Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

Remarques :
- La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dans
le plan (nombre de coordonnées du torseur).
- Si le nombre d’efforts transmissibles↑, le nombre des degrés de liberté↓.
- Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées en
statique = nombre d’inconnues de statique.
                                               Mvt. relatifs       Torseur des        Exemples dans
     Liaisons                Schéma
                                                de liberté         interactions         le bâtiment
                                              0 Translation
                                                                     Sx Mx
                                               0 Rotation
  Encastrement                                                       Sy My
                                                                     Sz Mz
                                             ⇒ 0 °d de liberté
                                              0 Translation
                                                                      Sx 0
    Articulation                               1 Rotation
                                                                     Sy My
      (pivot)
                                                                     Sz Mz
                                             ⇒ 1 °d de liberté
                                              2 Translations
   Appui simple                                                       0 0
                                               3 Rotations
    (ponctuel)                                                        0 0
    (suivant z)                                                       Sz 0
                                             ⇒ 5 °d de liberté
                                              2 Translations
                                                                      0 Mx
                                                1 Rotation
    Appui plan                                                        0 My
                                                                      Sz 0
                                             ⇒ 3 °d de liberté


   5.3.            NOMBRE D’INCONNUES INDUITES PAR LES LIAISONS


      A     Dans l’espace :

Appui simple → 1 inconnue : Sz.
          Intensité de Sz inconnue
          direction connue ⊥ au plan de contact.


Articulation → 5 inconnues


Encastrement → 6 inconnues

      B     Dans le plan :

   Appui simple → 1 inconnue : Sz.
          Intensité de Sz inconnue
          direction connue ⊥ au plan de contact.


   Articulation → 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0)


   Encastrement → 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de Mz



SFERE – OFPPT                                                                              Page 31 / 137
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   5.4.          EXEMPLES DE DIFFERENTS TYPES D’APPUIS DE POUTRE




SFERE – OFPPT                                                                   Page 32 / 137
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                                                                      Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

   6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE


   6.1.               HYPOTHÈSES

Tous les corps étudiés sont indéformables.
Les coordonnées d'un point quelconque sont constantes.
Les supports des forces sont invariables.


   6.2.               BUT :

On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquer
la R.d.M.
Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides.


   6.3.               NOTION D’ACTION MÉCANIQUE DE LIAISON EXTÉRIEURE ET INTÉRIEURE
                      À UN SYSTÈME DONNÉ :


Généralités :
- A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison,
correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre au
niveau de cette liaison).
- Ces actions mécaniques sont dites :
        Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper
        pour isoler ce système.
        Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée.


Exemple :
Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2)

Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol.

                  3      D       E       Donnez :
     C
                                     F   a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3)

                  2                      b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3)
     B

                                         c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1
              1
                                         b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3

          A




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   6.4.          ENONCÉ DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S):

Pour qu'un solide soit en équilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun déplacement :
         Pas de translation (dans n'importe quelle direction).
         Pas de rotation
Donc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F1,F2,….,Fn) reste en
équilibre si :

• la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation)

   ∑Fext = F1 +F2+ …..+Fn =0


   En projection sur x et y : 2équations
                ∑Fx = F1x+F2x+…….+Fnx=0 (1)
                ∑Fy = F1y+F2y+……..+Fny=0 (2)


• Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de
   rotation).

                ∑MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+.......+ MI(Fn) =0 (3)


Dans le plan :
        1/ ∑ F(x) = 0
        2/ ∑ F(y) = 0
        3/ ∑ M(z) = 0
3 équations de la statique ⇒ 3 inconnues.


Dans l'espace :
        1/ ∑ F(x) = 0                   4/ ∑ M(x) = 0
        2/ ∑ F(y) = 0                   5/ ∑ M(y) = 0
        3/ ∑ F(z) = 0                   6/ ∑ M(z) = 0
        6 équations de la statique ⇒ 6 inconnues.


   6.5.          CAS PARTICULIERS :


                                                                         F




                                                                                    -F



Solide soumis à l'action de 2 forces
Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces
sont directement opposées :




SFERE – OFPPT                                                                              Page 35 / 137
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                                                                      Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



Solide soumis à l'action de 3 forces
(dans le plan:)
                                                            F1
                                                                                              F2
                                                                      O
                                                                                  F2
                                                                                                      F3

                                                                                              F1

                                                                                         dynamique fermé
                                                                 F3




Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si :
        Les 3 forces sont concourantes.
        La dynamique des forces est fermée.




   6.6.            RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE STATIQUE :

Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires

          6.6.1.           Etablir le schéma mécanique
Un schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seules
apparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système.

Méthodologie :

      A     Modéliser le système :

Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en gardant statiquement équivalent :
       - Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne.
       - Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II)

      B     Isoler le système matériel à étudier :

- "couper "au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur
- remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées.

      C     Ajouter les actions extérieures :

- représenter les actions extérieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs
forces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments.
- indiquer toutes les cotes nécessaires.




SFERE – OFPPT                                                                               Page 36 / 137
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                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

        6.6.2.             Faire le bilan
- Faire le bilan des inconnues (I)
- Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple :
                  si I ≤ E résoluble.
                  I > E non résoluble.




SFERE – OFPPT                                                                             Page 37 / 137
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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        6.6.3.               Appliquer le principe fondamental de statique :
Dans le plan :
3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique.
Résoudre le système d'équations


Rappels et Remarques :
a/ Actions extérieures(à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) et
actions des liaisons coupées

b/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (⇒ choix de
l’élément à isoler).


c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces.
Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction des
forces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la
                                  F( x )
statique de la forme :   Tanα =            .
                                  F( y )



Exemple :


                                                       q = 2.5 KN/ml
                                                                                   F = 1 KN/ml

                                                                                           C
                                                                                                 1,00 m
                                               Μοδλισατιο
                                               ν⇒
                                                        A
                                                                       2,00 m              B
              encastrement
                                                                        g = 6 KN/ml
          Balcon à étudier

                                                       q = 2.5 KN/ml
                                                                                   F = 1 KN/ml
                                                                                           C
                                                 µA                                              1,00 m

                       schéma mécanique                A
                                                                                           B
                                                  RA                      2,00 m

                                                                        g = 6 KN/ml


Dans notre exemple.
       g charge permanente : poids propre.
       q charge d'exploitation : poids des personnes.
       F charge d'exploitation horizontale.




SFERE – OFPPT                                                                                Page 38 / 137
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                                                                  Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   6.7.          METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE


                             OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer
                        complètement les actions mécaniques exercées sur un
                         solide appartenant à un ensemble de solides donnés.


                           Modaliser le système, en le schématisant et en
                         modalisant les différentes liaisons entre les éléments


                         Isoler un solide
                        Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau
                        et des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le
                           établir son
                        schéma seul dans la même position graphique.
                             solide
                         mécanique
                         C’est réaliser
                         Remplacer toutes les liaisons coupées par le système
                         ces deux
                         étapes         de forces associées.


                           Ajouter les actions à distance (poids, charges sur
                                              l’élément).


                            Faire le BILAN de toutes les actions inconnues
                                         agissant sur le solide.
                                 et le BILAN des équations possibles

                                                                           TEST
                                 Déterminer d'autres
                                éléments ( en isolant                                             Résoudre
                                 d’autres solides ) et                   La                  graphiquement ou
                                en faisant intervenir le NON     Résolution est-elle     OUI analytiquement.
                                                                  possible à partir         (Choisir la méthode
                                    PRINCIPE des
                                                                 du bilan précédent
                                                                                            la plus performante)
                                  actions mutuelles.
                                                                                               en appliquant le
                                 Exemple : éléments                                                 P.F.S.
                                      biarticulés                                                                  a




                           RESULTATS : Le problème est terminé lorsque
                             toutes les actions agissant sur le solide sont
                                         entièrement connues.




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Selon l’approche par compétence                                                                Gros Œuvre
                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   6.8.           LE DEGRÉ HYPERSTATIQUE

Un solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes par
rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquement
indéterminable ou hyperstatique.
Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de la
statique.


Rappel :
Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations :

∑Fext =0
En projection sur x et y        2 équations
                                                                   3 équations
∑M(Fext)=0                  1 équation


notation :        Ne : nombre d’équations fournies par le PFS
                  Ni : Nombre d’inconnues
                  Degré Hyperstatique DH : Ni -Ne


Exemple :
La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnues
statiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système est
dit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3).




Remarque :
Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement


3 cas sont envisagés :
• si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de
   la statique.

• si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable.

• si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes
   par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la
   statique ne suffisent pas pour la résolution du problème.




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                                                              Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   6.9.          EXERCICES : DEGRÉ HYPERSTATIQUE

Déterminer le degré hyperstatique des structures proposées.




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                                                                         Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



             6.10.         EXERCICES D’APPLICATIONS DU PFS

          Calculer les actions de liaisons des structures proposées :


     a)                                                   f)




                                                          g)
b)




                                                               h)
c)




                                                               i)
d)




                                                                    j)
     e)




             6.11.         DIAPORAMA

          Voir dans la partie « ANNEXES » de ce document.




          SFERE – OFPPT                                                                        Page 42 / 137
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                                                                        Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

    7. CENTRE DE GRAVITE


    7.1.            COURS ÉLÈVE


           7.1.1.             Définitions
 • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)

 • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une
    verticale

 • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points
    matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.

 • ⇒ Détermination de la position de la résultante


           7.1.2.             Centre de gravité de 2 points matériels




                                     x2
                               B
                                     y2
                         x1
                    A         B ×
                         y1
                 A×                 P2            ⇔                         G×
                   P1                                                            R
y2 y1                                                  YG




            x1                                                     XG
                        x2


        Système équivalent ⇔               ΣF ⇔

            Σ M/O       ⇔


                                                XG =P1.x1+ 2.x2
                                                          P
                                                       P1+ 2
                                                          P

                                                    P1.y1+ 2.y2
                                                          P
                                                YG =
                                                       P1+ 2
                                                          P



 Remarque : si P1 = P2
        XG
            =                  ⇒     XG =


            YG =
                               ⇒         YG =




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                                                                                   Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


           7.1.3.               Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)
Exemple :
3 points




                                                   x2
                                            B
                                                   y2
                                x1
                          A           B ×                                                       G×
                                y1
                                                                      ⇔
                         A×                       P2                                                 R
                           P1                                   x3
                                                           C                YG
      y2                                                        y3
           y1                                              ×
                                                       C
 y3
                                                               P3

                                                                                        XG
                    x1
                                 x2
                                      x3


      Système équivalent ⇔                        ΣF           ⇔     R = P1 + P2 +P3


      Σ M/O         ⇔     xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3



                              yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3


                                              XG =P1.x1+ 2.x2
                                                        P
                                                     P1+ 2
                                                        P

                                                               ⇔
                                                                              P1.y1+ 2.y2
                                                                                    P
                                                                          YG =
                                                                                 P1+ 2
                                                                                    P


⇒ Formules du Barycentre:

                                       n

                                      ∑       Pi.xi
                                XG=   i→ 1
                                          n

                                        ∑  i→ 1
                                                  Pi

                                       n

                                      ∑       Pi.yi
                                YG=   i→ 1
                                          n

                                        ∑
                                        i→ 1
                                                  Pi



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Selon l’approche par compétence                                                             Gros Œuvre
                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours

Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.

⇒ Centre de gravité de section



                                 n

                                 ∑     Si.xi
                           XG= i→ 1n
                                  ∑  i→1
                                           Si



                                 n

                                ∑      Si.yi
                           YG= i→ 1n
                                  ∑
                                  i→ 1
                                           Si

        7.1.4.             Centre de gravité de formes simples
                                                FORMULAIRE

                                            CENTRE DE GRAVITE

G est au milieu (intersection des                    G est au centre du cercle
diagonales)




G est à l’intersection des médianes




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Selon l’approche par compétence                                                                  Gros Œuvre
                                                                         Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        7.1.5.               Méthode pour déterminer un centre de gravité
                             d’une section complexe
• Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du
   centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)

• Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)

• Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la
   section totale.

• Présenter les résultats dans un tableau

  Surface
                       xGi             yGi               Si                xGi Si              yGi Si
élémentaire




                 Totaux          Σ Si =           Σ xGi Si =                 Σ yGi Si =

⇒ Formule du barycentre


Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on
déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.

⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.




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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   7.2.            EXERCICES D’APPLICATIONS : ÉLÈVE


          7.2.1.           Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.




     2. Poutrelle en I                                        5. profilé creux




                                                              6.
       3. poutrelle en U




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Selon l’approche par compétence                                      Gros Œuvre
                                             Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        7.2.2.             Exercice 2




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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        7.2.3.             Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité




        7.2.4.             Exercice 2: vérification des caractéristiques d’un upn 300
A = 58.80 cm²


XG = 2.95 cm
YG = 15.00 cm




        7.2.5.             Exercice 3 : étude d’un acrotère
a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ?
c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ?




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                                                                        Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



    7.3.            COURS PROF


           7.3.1.             Définitions
 • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)

 • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une
    verticale

 • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points
    matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.

 • ⇒ Détermination de la position de la résultante


           7.3.2.             Centre de gravité de 2 points matériels



                                     x2
                               B
                                     y2
                         x1
                    A         B ×
                         y1
                 A×                 P2            ⇔                         G×
                   P1                                                            R
y2 y1                                                      YG




            x1                                                     XG
                        x2

 Système équivalent ⇔               ΣF ⇔         R = P1 + P2

           Σ M/O    ⇔                xG.R = x1P1+ x2 P2
                                     yG.R = y1 P1 +y2 P2
                              XG =P1.x1+ 2.x2
                                        P
                                     P1+ 2
                                        P

                                  P1.y1+ 2.y2
                                        P
                              YG =
                                     P1+ 2
                                        P



 Remarque :
 si P1 = P2
                            P1.(x1+x2)
                                   .                   (x1+x2)
                                                           .
                        XG =
                                2P1
                                             ⇒     XG =
                                                          2

                            P1.(y1+y2)
                                                                    G au milieu de A et B
                                    .                  y1+y2
                                                          .
                        YG =
                                2P 1
                                             ⇒     YG =
                                                         2




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Selon l’approche par compétence                                                                                     Gros Œuvre
                                                                                            Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


           7.3.3.               Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)
Exemple :
3 points




                                                x2
                                           B
                                                y2
                                x1
                          A           B ×                                                                G×
                                y1
                                                                           ⇔
                         A×                    P2                                                             R
                           P1                                x3
                                                        C                         YG
      y2                                                     y3
           y1                                           ×
                                                    C
 y3
                                                            P3

                                                                                                  XG
                    x1
                                 x2
                                      x3


Système équivalent ⇔                  ΣF            ⇔            R = P1 + P2 +P3


Σ M/O      ⇔                  xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3


                              yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3



                                 XG =P1.x1+ 2.x2
                                           P
                                        P1+ 2
                                           P
                ⇔
                                    P1.y1+ 2.y2
                                          P
                                YG =
                                       P1+ 2
                                          P


⇒ Formules du Barycentre:
                                                                   n

                                                                  ∑       Pi.xi
                                                            XG=   i→ 1
                                                                      n

                                                                    ∑
                                                                    i→ 1
                                                                           Pi


                                                                                   n

                                                                                  ∑       Pi.yi
                                                                            YG=   i→ 1
                                                                                      n

                                                                                    ∑
                                                                                    i→ 1
                                                                                           Pi



SFERE – OFPPT                                                                                                     Page 51 / 137
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Selon l’approche par compétence                                                               Gros Œuvre
                                                                      Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


Remarque :
Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.

⇒ Centre de gravité de section

                                                     n

                                                    ∑
                                                    i →1
                                                             Si.xi
                                             XG =      n

                                                      ∑
                                                      i →1
                                                              Si



                                                     n

                                                    ∑       Si.yi
                                             YG=    i→ 1
                                                        n

                                                      ∑
                                                      i→ 1
                                                             Si

        7.3.4.             Centre de gravité de formes simples
                                             FORMULAIRE

                                       CENTRE DE GRAVITE

G est au milieu (intersection des                        G est au centre du cercle
diagonales)




G est à l’intersection des médianes




SFERE – OFPPT                                                                               Page 52 / 137
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                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        7.3.5.               Méthode pour déterminer un centre de gravité
                             d’une section complexe
Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre
de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)


Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)


Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section
totale.


Présenter les résultats dans un tableau
  Surface
                       xGi             yGi             Si             xGi Si              yGi Si
élémentaire




                        Totaux            Σ Si =        Σ xGi Si =      Σ yGi Si =

⇒ Formule du barycentre


Remarque :
Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on
déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.

⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.




SFERE – OFPPT                                                                             Page 53 / 137
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                                                                       Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours



   7.4.            EXERCICES D’APPLICATIONS : PROF


          7.4.1.           Exercice 1
Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous.
     1.                                                    4. tube
     cornière




     2. Poutrelle en I                                        5. profilé creux




                                                              6.
       3. poutrelle en U




SFERE – OFPPT                                                                                Page 54 / 137
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Selon l’approche par compétence                                      Gros Œuvre
                                             Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours


        7.4.2.             Exercice 2




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Selon l’approche par compétence                                                             Gros Œuvre
                                                                    Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours




        7.4.3.              Exercice 3 : centre de gravité d’une section.
Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité




        7.4.4.              Exercice 2: Vérification Des Caractéristiques D’un Upn 300
A = 58.80 cm²


XG = 2.95 cm
YG = 15.00 cm




        7.4.5.              Exercice 3 : étude d’un acrotère
a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère
ainsi défini.
b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre
ainsi posé) ?
c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle
doit être sa valeur ?




SFERE – OFPPT                                                                             Page 56 / 137
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   8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE


   8.1.            DÉFINITION

On appelle système réticulé ou treillis, une structure formée d’un assemblage de barres rectilignes
reliées entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appelées des nœuds.


Exemples de systèmes réticulés




Détail d’un nœud :




          8.1.1.            Objectifs.
Déterminer les efforts exercés dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen
d’hypothèses simplificatrices.

          8.1.2.            Hypothèses simplificatrices :
    o     On considère les barres rectilignes et indéformables,
    o     Les efforts exercés sur la structure sont appliqués uniquement sur les nœuds,( pas de
          charges sur les barres).
    o     On néglige le poids des barres,


Remarque :
Une barre articulée à ses deux extrémités est appelée biellette et n’est soumise qu’à de l’effort
normal.




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Mécanique et rdm partie1

  • 1. ROYAUME DU MAROC OFPPT Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMATION SUPPORTS PEDAGOGIQUES MECANIQUE ET RDM DOMAINE : PARTIE I : COURS SECTEUR : BTP SPÉCIALITÉ : GROS ŒUVRE NIVEAU : TECHNICIEN SPÉCIALISÉ. Modules concernés : 8; 9 20 MAI 2004
  • 2. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours REMERCIEMENT La DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élaboration du présent document. Pour la conception : M. Alain BONHOMME Expert SFERE France Pour la validation : M. Khalid BAROUTI Chef projet BTP Mme Najat IGGOUT Directeur du CDC BTP M. Saïd MOURTAJI Formateur M. Alain BONHOMME Expert SFERE France SFERE – OFPPT Page 2 / 137
  • 3. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours SOMMAIRE 1.NOTION DE FORCE................................................................................................................... 7 1.1.Notion de force et de vecteur-force................................................................................. 7 1.2.Composantes d’une force............................................................................................... 8 1.3.Coordonnées cartésiennes d’un force (Repésentation algébrique) ................................ 8 1.4.Exercices........................................................................................................................ 9 2.NOTION DE MOMENT.............................................................................................................. 11 2.1.Notion de moment........................................................................................................ 11 2.2.Moment d’une force par rapport à un point................................................................... 11 2.3.Notion de couple........................................................................................................... 13 2.4.Moment résultant de plusieurs forces........................................................................... 14 2.5.Exercices...................................................................................................................... 15 3.NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE................................................................................... 16 3.1.Définitions..................................................................................................................... 16 3.2.Les actions mécaniques ou charges............................................................................. 16 3.3.Exercices sur les actions mécaniques.......................................................................... 18 3.4.Exercice sur les unités :................................................................................................ 19 4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)............................... 21 4.1.Systèmes de forces équivalents................................................................................... 21 4.2.Réduction d’un système de forces (en 1 point)............................................................. 25 4.3.Notion de torseur.......................................................................................................... 26 4.4.Exercices : Notion de résultante................................................................................... 27 4.5.Exercices : Notions de forces/moments/résultantes..................................................... 28 5. ETUDE DES LIAISONS........................................................................................................... 30 5.1.PRESENTATION.......................................................................................................... 30 5.2.EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON ......................................................... 30 5.3.Nombre d’inconnues induites par les liaisons............................................................... 31 5.4.Exemples de differents types d’appuis de poutre......................................................... 32 6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE ..................................................................... 34 6.1.Hypothèses................................................................................................................... 34 6.2.But :.............................................................................................................................. 34 6.3.Notion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure à un système donné :......................................................................................................... 34 6.4.Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S):.............................................. 35 6.5.Cas particuliers :........................................................................................................... 35 6.6.Résolution d'un problème de statique :......................................................................... 36 6.7.METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE............................. 39 6.8.Le Degré Hyperstatique................................................................................................ 40 6.9.Exercices : Degré Hyperstatique.................................................................................. 41 6.10.Exercices d’applications du PFS................................................................................. 42 SFERE – OFPPT Page 3 / 137
  • 4. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.11.Diaporama.................................................................................................................. 42 7.CENTRE DE GRAVITE............................................................................................................. 43 7.1.Cours élève.................................................................................................................. 43 7.2.Exercices d’Applications : élève.................................................................................... 47 7.3.Cours prof..................................................................................................................... 50 7.4.Exercices d’Applications : prof...................................................................................... 54 8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE............................................................................... 57 8.1.Définition....................................................................................................................... 57 8.2.Méthode des nœuds..................................................................................................... 59 8.3.Méthode de RITTER..................................................................................................... 60 8.4.Applications.................................................................................................................. 62 9.RDM : GÉNÉRALITÉS.................................................................................................................. 65 9.1.But de la RDM.............................................................................................................. 65 9.2.Hypothèses de la RDM................................................................................................. 65 9.3.Notion de contrainte...................................................................................................... 65 9.4.Répartition uniforme des contraintes (sur une section)................................................. 68 10.TRACTION SIMPLE ET COMPRESSION SIMPLE............................................................................... 70 10.1.Définitions................................................................................................................... 70 10.2.Essai de traction......................................................................................................... 70 10.3.Applications : traction simple...................................................................................... 75 10.4.Coefficient de Poisson : υ........................................................................................... 79 11.CISAILLEMENT SIMPLE............................................................................................................... 80 11.1.Définitions................................................................................................................... 80 11.2.Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple)................................................... 80 11.3.Equation de déformation............................................................................................. 82 11.4.Calcul pratique ........................................................................................................... 82 11.5.Exercice d’application................................................................................................. 83 11.6.Exercice Formatif........................................................................................................ 83 12.N, V, M..................................................................................................................................... 84 12.1.Généralités................................................................................................................. 84 12.2.Diagramme de N(x), V(x), M(x) Méthode de détermination........................................ 89 12.3.Exercices.................................................................................................................... 92 12.4.Diaporama.................................................................................................................. 93 13.CARACTÉRISTIQUES DES SESSIONS............................................................................................ 94 13.1.MOMENT STATIQUE................................................................................................. 94 13.2.Moment quadratique................................................................................................... 96 13.3.Changement de coordonnees ( th d’huygens)............................................................ 97 13.4.Exercices.................................................................................................................... 98 13.5.Moment quadratique polaire....................................................................................... 98 14.CONTRAINTES DES POUTRES FLÉCHIES.................................................................................... 100 14.1.Hypothèses............................................................................................................... 100 14.2.Contraintes normales σ (dues à M(x)....................................................................... 100 14.3.Déformations............................................................................................................ 102 SFERE – OFPPT Page 4 / 137
  • 5. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 14.4.Contraintes de cisaillement longitudinal τ(dues à V(x))............................................ 104 14.5.Applications.............................................................................................................. 108 15.FLEXION COMPOSÉE................................................................................................................ 115 15.1.Définition................................................................................................................... 115 15.2.Exemples.................................................................................................................. 115 15.3.Contraintes normales σ ........................................................................................... 115 15.4.Contraintes Tangentielles ........................................................................................ 116 15.5.Excentricité de charge ............................................................................................. 117 15.6.Remarque ................................................................................................................ 117 15.7.Exercices ................................................................................................................. 118 16.LES FLÈCHES.......................................................................................................................... 119 16.1.Définition................................................................................................................... 119 16.2.Formulaire ............................................................................................................... 119 16.3.Utilisation ................................................................................................................. 119 17.POUTRE CONTINUE EN BETON ARME.................................................................................... 125 17.1.Généralité................................................................................................................. 125 17.2.Méthode forfaitaire. Artb.6.2,21 page 149................................................................ 125 17.3.Méthode CAQUOT................................................................................................... 129 17.4.Méthode CAQUOT minorée...................................................................................... 136 17.5.Contrôle de beton .................................................................................................... 136 17.6.Diaporama................................................................................................................ 136 SFERE – OFPPT Page 5 / 137
  • 6. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1 - COURS ET APPLICATIONS SFERE – OFPPT Page 6 / 137
  • 7. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1. NOTION DE FORCE 1.1. NOTION DE FORCE ET DE VECTEUR-FORCE En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses ( poids, attraction magnétique, etc..). Un vecteur force est défini par une intensité ou un module ( en Newton N ou unité dérivée daN, kN, etc..), une direction, un sens et un point d’application. Exemple 1 : L’action de contact exercée par le câble(2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur force A2/1, de point d’application A de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble tire sur le support). Exemple 2 : Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est schématisée par le vecteur force T2/1, point d’application T incliné de 40° par rapport à la verticale (y), d’intensité 15 N, de sens T vers K ( vers l’intérieur du ballon ). Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids P1, vertical (axe y), intensité 5N, sens du haut vers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon. SFERE – OFPPT Page 7 / 137
  • 8. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1.2. COMPOSANTES D’UNE FORCE Une force F agissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou composantes ( U et V ) agissant au même point et vérifiant la condition F = U + V Les composantes sont les valeurs algébriques des projections de F sur un 1.3. COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN FORCE (REPÉSENTATION ALGÉBRIQUE) On peut considérer les coordonnées cartésiennes Fx et Fy comme étant des composantes orthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.⇒ (F(x) ) horizontale et (F(y)) verticale Elles sont positives si elles sont orientées dans la même direction que ox et oy (négative dans le cas contraire. y F FA(x) FA(y) FA FA(y) A FA(x) o x Exemple : coordonnées cartésiennes de la force A2/1. Ax = A2/1cos30° = 1000 x 0.866 = 866daN Ay = -A2/1sin30° = -1000 x 0.5 = -500daN ║A2/1║ = √ 866² + 500² = 1000 SFERE – OFPPT Page 8 / 137
  • 9. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1.4. EXERCICES 1. L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 20 N. Déterminer les modules des forces F1, F2, F3. Ecrire ces modules en N, daN et kN. 2. a) Déterminer les coordonnées T1x et T1y de la tension T1 de la barre (1). b) Déterminer T3 et T3x si T3y = 100 daN. c) Déterminer T2 si (T1x+T2x+T3x=0). 3. L’action exercée par la route 0 sur la motrice 1 est schématisée par la force F0/1. Si l’effort normal N0/1 suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F0/1 et T0/1 (suivant t) sachant que F0/1 = N0/1 + T0/1 SFERE – OFPPT Page 9 / 137
  • 10. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4. Sachant que la composante Tx de la tension T du câble en A est de 90 daN, déterminer Ty et T. 5. a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes ( x, y ) et (x’,y’). 6.Ecrire les coordonnées cartésiennes Fx et Fy des forces F indiquées en fonction du module F et des angles α et β . F = 1000 N dans les quatre cas. SFERE – OFPPT Page 10 / 137
  • 11. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2. NOTION DE MOMENT 2.1. NOTION DE MOMENT Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce corps. Exemple de la navette spatiale : Si la Force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement de translation de même direction que F. Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation ( orientation des moteurs). Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de faire intervenir la notion de moments. 2.2. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN POINT 2.2.1. Définition Le moment de la force F par rapport au pont A, noté MA(F), est égal au produit de F par le bras de levier d : MA(F)= F.d (d : distance entre A et F) Bras de levier : longueur du segment de droite issu du point de calcul et joignant orthogonalement la droite d’action de F SFERE – OFPPT Page 11 / 137
  • 12. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Convention de signe Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif. sens trigo + - Exemple 1 : Déterminons F2 de façon que MA(F1) +MA(F2)=0 MA(F1) = F1 .d1= 240 x 0.1 = 24N.m MA(F2) = -F2.d2 = -0.12F2 MA(F1)+ MA(F2)= -0.12F2+24 =0 Soit F2=200N Exemple2 : Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort B3/2. Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B3/2 : MA(B3/2)= B3/2 . AB . sin α Si AB est perpendiculaire à B3/2 (α=90°) : MA= B3/2 . AB . sin 90= 100x0.2x1=20 N.m Si α= 60° : MA1= B3/2 . AB . sin 60° = 17.3 N.m Si α= 45° : MA2= B3/2 . AB . sin 45° =14.1 N.m SFERE – OFPPT Page 12 / 137
  • 13. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2.2.2. Théorème de Varignon Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V par rapport au même point. MA(F)= MA(U) + MA(V) Pour notre cas: MA(F) = F.d = -U.dU + V.dV Exemple : Déterminons MA(F) de la Force F. Fx = F cos60° = 1000 X 0.5 = 500 N Fy = F sin60° = 1000 x 0.866 = 866 N MA(F) = MA(Fx)+ MA(Fy) = -500 x 0.1 + 866 x 0.16 = 88.6 N.m = F.d Rq: Le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application directe à partir de F.d (détermination de d plus difficile). 2.3. NOTION DE COUPLE 2.3.1. Définition Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes constitue un couple (M). L’intensité F.d du couple est indépendante du point O choisi ou de la valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forces et de l’intensité F. M= MO(F) + MO(-F) = F(a+b) – F.a = F.d SFERE – OFPPT Page 13 / 137
  • 14. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Exemple: Une clé à bougie se compose d’un corps et d’une tige de manœuvre coulissante et réglable. F et –F schématisent les actions exercées par les mains de l’opérateur. Si F = 100 N, déterminons le couple de desserrage (M) exercé par la clé sur l’écrou en E, pour les positions indiquées. Pour les quatre positions, on a : M = ME(F) + ME(-F)= MO(F) + MO(-F) = F x OB + F x OA = F.AB = 0,4 F= 40 N.m Pour la position 1: M = 0.2F + 0.2F = 0.4F Pour la position 1: M = 0.15F + 0.25F = 0.4F Pour la position 2: M = 0.3F + 0.1F = 0.4F Pour la position 1: M = 0 + 0.4F = 0.4F 2.4. MOMENT RÉSULTANT DE PLUSIEURS FORCES Le moment résultant MA en un point A de n forces F1,F2,F3,…..,Fn est égal à la somme des moments en A de chacune des forces. MA = MA(F1) + MA(F2) +MA(F3) +.........+MA(Fn) Exemple: la balance romaine Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O sur un crochet 1 lié à un support fixe et d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5daN. La masse à peser, poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. si a = 70 cm, déterminons la valeur de P. Lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, le moment résultant en O des poids P et q est nul. MO = MO(P) + MO(q) = P x 0.1 – q x 0.7 = 0 D’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN SFERE – OFPPT Page 14 / 137
  • 15. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2.5. EXERCICES 2.5.1. EXERCICE N°1 La force F schématise l’action de serrage exercée par l’opérateur. Calculer le moment en B (couple de serrage sur l’écrou) de la force F. 2.5.2. EXERCICE N°2 Déterminer le moment en O de la force F agissant sur le point B de la potence. 2.5.3. EXERCICE N°3 Calculer le moment en O de la force F agissant au point B. 2.5.4. EXERCICE N°4 a) Déterminer le moment résultant en (Mo) exercé par le couple de Force F et –F b) Calculer le moment en A, B, C. c) Quelle doit être la valeur de T pour que le couple T et (-T ) puisse équilibrer le couple précédent ? SFERE – OFPPT Page 15 / 137
  • 16. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 3. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE 3.1. DÉFINITIONS 3.1.1. Buts de la Mécanique: - Etudier l'équilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique) - Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M) 3.1.2. Définition du solide en statique. En statique, un solide est un corps : • Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume. • Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation du solide. • Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort. • Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions. 3.1.3. Principe des actions mutuelles Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action exercée par le solide 1 sur le solide 0. 3.2. LES ACTIONS MÉCANIQUES OU CHARGES. Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actions mécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments. Il existe deux types d’actions mécaniques : les actions à distance les actions de contact 3.2.1. Les actions mécaniques à distance On se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité). Le poids est représenté par un vecteur P : Point d’application : centre de gravité G Direction : verticale Sens : vers le bas Intensité : P = Mg (N) M : masse en Kg P g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur ou attraction terrestre SFERE – OFPPT Page 16 / 137
  • 17. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Dans le domaine du Génie Civil, on prendra : o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m² o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/m Exemple : Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur. Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50x20 cm. Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m3 3.2.2. Les actions mécaniques de contact A Actions de contact ponctuelles (charges concentrées) Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact est représentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact. Exemple : Appui d’une poutre sur une poutre. F2/1 2 1 Unité : N B Actions de contact linéiques (charges réparties) Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force q appliqué sur toute la ligne de contact. Exemple : Cloison sur plancher. q Unité : N/ml SFERE – OFPPT Page 17 / 137
  • 18. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours C Actions de contact ou charges réparties sur une surface Exemple : Vent sur mur. schématiquement Vent Unité : N/m² 3.3. EXERCICES SUR LES ACTIONS MÉCANIQUES Exercice n°1 : Poutre AB : • Caractéristiques géométriques : Portée : 3.5 m Appui de gauche A : articulation Appui de droite B: appui simple Repère (A ; x ; y ) • Actions mécaniques Deux charges ponctuelles verticales vers le bas d’intensité F=3KN appliquées à x =1.00m et x =2.50m. Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1.5 KN/ml sur toute la poutre. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB. Calculer le moment en A engendrée par les forces F . Calculer le moment en A engendrée par la charge linéaire q. En déduire le moment total en A. SFERE – OFPPT Page 18 / 137
  • 19. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Poutre CD : • Caractéristiques géométriques : Portée : 5.60m Appui de gauche C : encastrement Appui de droite D: libre Repère ( C ; x ;y ) • Actions mécaniques Une charge ponctuelle verticale F vers le bas d’intensité 10KN appliquées à x =2.50m Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1 KN/ml sur toute la poutre. Effectuer le schéma mécanique de la poutre CD. Calculer le moment en C engendrée par les forces F . Calculer le moment en C engendrée par la charge linéaire q. En déduire le moment engendrée par F + q 3.4. EXERCICE SUR LES UNITÉS : 10000cm² = m² 0.800MN/m = KN/m 10 000 000cm3= m3 10KN/mm² = KN/m² 25KN/mm = KN/m 1MN/cm² = KN/m² 300N/m = KN/m 3.4.1. Exercice N°2 Soit une poutre AB en béton armé de section 50 x 20cm et de portée 6.00m. Appui A : articulation Appui B : appui simple Poids volumique du béton armé : 25 KN/m3 1. Déterminer le poids P en KN de la poutre considérée. 2. En déduire le poids linéaire p en KN/m de la poutre. 3. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB. 4. Calculer le moment en A engendré par le poids de la poutre. 3.4.2. Exercice N°3 Soit un plancher en béton armé d’épaisseur 18 cm et de surface 200m². 1. Déterminer le poids surfacique Ps du plancher (KN/m²) . 2. Déterminer le poids P du plancher (KN). SFERE – OFPPT Page 19 / 137
  • 20. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 3.4.3. Exercice N°4 Soit une poutre AB en béton armé supportant une partie d’un plancher béton armé. Largeur de dalle reprise par la poutre : 5 m Epaisseur du plancher : 16 cm Section de la poutre : 30 x 60 cm Portée de la poutre : 5.00 m Poids volumique du béton armé : 25KN/m3 Appui A : appui simple Appui B : articulation. 1. Déterminer le poids P1 du plancher en KN. 2. Déterminer le poids P2de la poutre en KN. 3. En déduire le poids total P : plancher + poutre. 4. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB. 5. Calculer le moment en A engendré par P. Plancher BA Poutre BA SFERE – OFPPT Page 20 / 137
  • 21. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES) 4.1. SYSTÈMES DE FORCES ÉQUIVALENTS 4.1.1. Définitions. Un système de forces est un ensemble de forces agissant simultanément sur un système matériel (= solide ou ensemble de solide) Des systèmes de forces différents sont dits équivalents si appliqués séparément à un solide ils provoque les mêmes effets : On dit également qu’ils ont les mêmes éléments de réductions. C'est à dire : Ils ont la même résultante et le même moment résultant en un point donné. ⇒ ∑ Forces = identique ∑ Moment = identique Remarque : Il est toujours possible de remplacer un système de forces par un autre s'il est équivalent au précédent. 4.1.2. Exemples A Composantes d’une force (= projections orthogonales de F sur ox ⇒F(x) et sur oy ⇒F(y), ayant la même origine que F). y y F F(y) F(y) α F(x) F(x) 1 1 o o 2 1 x 2 2 x Exercice Montrez le système 1 est équivalent au système 2 (prendre F = 20 kN et α = 40°) Conséquence : Le Mt F/o = F x OA est égal aussi à Mt Fx/o + Mt Fy/o = -F(x) x A + F(y) x B SFERE – OFPPT Page 21 / 137
  • 22. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours En pratique : Il sera plus simple de faire le moment d’une force en utilisant les valeurs de ses composantes, placées à l’origine de F. SFERE – OFPPT Page 22 / 137
  • 23. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours B Résultante d’un système de forces. • Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le système admet une résultante. • En effet il sera possible de trouver un système de force à une force équivalent. - Σ Forces identique ⇒ R = Σ Forces - Σ Mt /même point ⇒ Position de R Système à forces concourantes R F1 y y F2 o o 1 x 2 x On veut que le système 2 soit équivalent au système 1 ⇒ Σ Force identique ⇒ R = F1 + F2 Σ Moments identique⇒ or Σ Mt A (F1,F2) = 0 ⇒ R passe par A Conclusion : Soit un système de n forces F1,F2,…,Fn concourantes en un même point I. La résultante R des n forces passe aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces : R= F1+F2+....+Fn Exemple: pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câbles T1,T2,T3 et T4 1. Méthode graphique SFERE – OFPPT Page 23 / 137
  • 24. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2. Par le calcul : R = T1+T2+T3+T4 donne en projection sur les axes x et y Rx= Ry= ║R║= tanθ = Système à forces parallèles Soit le système 1 à deux forces : déterminer R dans le système 2 ( position et intensité) Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN A A B B 1.00 1.50 1.00 1.50 Exercice Déterminer la résultante du système 1 (intensité, position) Exemple Pour l’exemple ci-contre : Déterminons par le calcul la résultante de F1, F2 et F3 (intensité, position) Résultante d’un système de forces planes quelconques Si les forces connues ne sont pas toutes concourantes au même point, il est nécessaire de déterminer graphiquement la ligne d’action de la résultante par approches successives, en combinant les forces deux à deux. SFERE – OFPPT Page 24 / 137
  • 25. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Exemple : Déterminons la résultante des actions F1,F2 et F3 exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer un pétrolier. Le pétrolier se comporte comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec une poussée de 600 KN 4.2. RÉDUCTION D’UN SYSTÈME DE FORCES (EN 1 POINT) Il s’agit de modifier un premier système de force pour que seul apparaisse un système de forces appliqué en un point donné = Réduction de système en un point. Le deuxième système ainsi obtenu devant être équivalent au premier. -On obtient ainsi les éléments de réduction en un point. C Exemple: d2 FA FB A d1 C B Question : Déterminer littéralement les éléments de réduction en C de FA et FB a/ Algébriquement. b/ Vectoriellement. SFERE – OFPPT Page 25 / 137
  • 26. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.3. NOTION DE TORSEUR 4.3.1. Définition : C’est une grandeur mathématique qui représente la réduction d’un système de force en un point. A ⇒Un torseur d’action mécanique en un point est un ensemble constitué de deux grandeurs : - une force S (somme des forces concernées), indépendante du point choisi ; - un couple MA (ou moment résultant), fonction du point A choisi. S ⇒ TORSEUR en A = TA = ensemble M A S et MA sont les éléments de réduction du torseur. S1/2 Exemple de notation T1/2 = ensemble: est le torseur de actions de ½ en A A M1/2 A 4.3.2. Ecriture Algébrique : 4.3.3. Somme de torseur : La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que s'ils sont tous écrits au même point; c’est impératif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que s'ils sont calculés / même point). 4.3.4. Torseurs particuliers Couple Glisseur Torseur nul SFERE – OFPPT Page 26 / 137
  • 27. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.4. EXERCICES : NOTION DE RÉSULTANTE 4.4.1. Exercice N°1 : Déterminer le résultante R de T1 et T2 agissant sur le palier en A. 4.4.2. Exercice N°2 : Le palier à roulement est soumis aux actions A et B. Calculer les composantes horizontale (x) et (y) des forces A et B. En déduire la résultante des deux forces. 4.4.3. Exercice N°3 : Pour les trois cas proposés, déterminer la résultante des trois forces F,T et S. 4.4.4. Exercice N°4 : F1,F2,F3 et F4 schématisent les actions exercées par les câbles sur la tête de la vis. Déterminer la résultante des quatre forces. SFERE – OFPPT Page 27 / 137
  • 28. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.4.5. Exercice N°5 : P1 (150 kN) schématise le poids de la partie camion, P2(90kN) le poids du corps de la grue et P3(70kN) le poids de la flèche télescopique. Déterminer la résultante des trois forces. 4.5. EXERCICES : NOTIONS DE FORCES/MOMENTS/RÉSULTANTES 4.5.1. Exercice1 La force R schématise la résultante des forces de pression dues au vent. Calculer le moment en A de R, A étant la zone fragile du panneau indicateur. 4.5.2. Exercice2 Calculer le moment en C de la force T et le moment en C de la force S. Déduire le moment résultant en C des deux forces. 4.5.3. Exercice3 Les forces F et T, appliquées en I et J, schématisent les actions exercées par les roues dentées. Calculer le moment en O de la force F A partir de quelle valeur la force T équilibre-t-elle le couple moteur engendré par F. SFERE – OFPPT Page 28 / 137
  • 29. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.5.4. Exercice 4 La tension du câble AB est T1 = 18.5 kN, celle du câble AC est T2=13kN avec α=45° Déterminer la résultante R de T1 et T2 en kN, daN et N. 4.5.5. Exercice 5 F1,F2 et F3 schématisent les forces exercées sur la structure en treillis. Déterminer la résultante des trois forces. SFERE – OFPPT Page 29 / 137
  • 30. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 5. ETUDE DES LIAISONS 5.1. PRESENTATION Dans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales : Appui simple, articulation ou pivot et encastrement. Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents. 5.2. EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une résultante S (coordonnées Sx et Sy ) et un moment éventuel M. Type de Schématisation Actions de liaison usuelle contact entre Exemples 0 et 1 Appui simple (1 inconnue) Articulation ou Pivot (2 inconnues) Encastrement (3 inconnues) Plus généralement Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ........Mz, du torseur peuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non). ⇒ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Par conséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux solides) ⇒ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé. SFERE – OFPPT Page 30 / 137
  • 31. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Remarques : - La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dans le plan (nombre de coordonnées du torseur). - Si le nombre d’efforts transmissibles↑, le nombre des degrés de liberté↓. - Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées en statique = nombre d’inconnues de statique. Mvt. relatifs Torseur des Exemples dans Liaisons Schéma de liberté interactions le bâtiment 0 Translation Sx Mx 0 Rotation Encastrement Sy My Sz Mz ⇒ 0 °d de liberté 0 Translation Sx 0 Articulation 1 Rotation Sy My (pivot) Sz Mz ⇒ 1 °d de liberté 2 Translations Appui simple 0 0 3 Rotations (ponctuel) 0 0 (suivant z) Sz 0 ⇒ 5 °d de liberté 2 Translations 0 Mx 1 Rotation Appui plan 0 My Sz 0 ⇒ 3 °d de liberté 5.3. NOMBRE D’INCONNUES INDUITES PAR LES LIAISONS A Dans l’espace : Appui simple → 1 inconnue : Sz. Intensité de Sz inconnue direction connue ⊥ au plan de contact. Articulation → 5 inconnues Encastrement → 6 inconnues B Dans le plan : Appui simple → 1 inconnue : Sz. Intensité de Sz inconnue direction connue ⊥ au plan de contact. Articulation → 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0) Encastrement → 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de Mz SFERE – OFPPT Page 31 / 137
  • 32. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 5.4. EXEMPLES DE DIFFERENTS TYPES D’APPUIS DE POUTRE SFERE – OFPPT Page 32 / 137
  • 33. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours SFERE – OFPPT Page 33 / 137
  • 34. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE 6.1. HYPOTHÈSES Tous les corps étudiés sont indéformables. Les coordonnées d'un point quelconque sont constantes. Les supports des forces sont invariables. 6.2. BUT : On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquer la R.d.M. Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides. 6.3. NOTION D’ACTION MÉCANIQUE DE LIAISON EXTÉRIEURE ET INTÉRIEURE À UN SYSTÈME DONNÉ : Généralités : - A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison, correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre au niveau de cette liaison). - Ces actions mécaniques sont dites : Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper pour isoler ce système. Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée. Exemple : Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2) Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol. 3 D E Donnez : C F a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3) 2 b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3) B c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1 1 b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3 A SFERE – OFPPT Page 34 / 137
  • 35. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.4. ENONCÉ DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S): Pour qu'un solide soit en équilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun déplacement : Pas de translation (dans n'importe quelle direction). Pas de rotation Donc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F1,F2,….,Fn) reste en équilibre si : • la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation) ∑Fext = F1 +F2+ …..+Fn =0 En projection sur x et y : 2équations ∑Fx = F1x+F2x+…….+Fnx=0 (1) ∑Fy = F1y+F2y+……..+Fny=0 (2) • Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de rotation). ∑MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+.......+ MI(Fn) =0 (3) Dans le plan : 1/ ∑ F(x) = 0 2/ ∑ F(y) = 0 3/ ∑ M(z) = 0 3 équations de la statique ⇒ 3 inconnues. Dans l'espace : 1/ ∑ F(x) = 0 4/ ∑ M(x) = 0 2/ ∑ F(y) = 0 5/ ∑ M(y) = 0 3/ ∑ F(z) = 0 6/ ∑ M(z) = 0 6 équations de la statique ⇒ 6 inconnues. 6.5. CAS PARTICULIERS : F -F Solide soumis à l'action de 2 forces Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont directement opposées : SFERE – OFPPT Page 35 / 137
  • 36. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Solide soumis à l'action de 3 forces (dans le plan:) F1 F2 O F2 F3 F1 dynamique fermé F3 Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si : Les 3 forces sont concourantes. La dynamique des forces est fermée. 6.6. RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE STATIQUE : Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires 6.6.1. Etablir le schéma mécanique Un schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seules apparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système. Méthodologie : A Modéliser le système : Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en gardant statiquement équivalent : - Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne. - Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II) B Isoler le système matériel à étudier : - "couper "au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur - remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées. C Ajouter les actions extérieures : - représenter les actions extérieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs forces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments. - indiquer toutes les cotes nécessaires. SFERE – OFPPT Page 36 / 137
  • 37. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.6.2. Faire le bilan - Faire le bilan des inconnues (I) - Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple : si I ≤ E résoluble. I > E non résoluble. SFERE – OFPPT Page 37 / 137
  • 38. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.6.3. Appliquer le principe fondamental de statique : Dans le plan : 3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique. Résoudre le système d'équations Rappels et Remarques : a/ Actions extérieures(à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) et actions des liaisons coupées b/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (⇒ choix de l’élément à isoler). c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces. Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction des forces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la F( x ) statique de la forme : Tanα = . F( y ) Exemple : q = 2.5 KN/ml F = 1 KN/ml C 1,00 m Μοδλισατιο ν⇒ A 2,00 m B encastrement g = 6 KN/ml Balcon à étudier q = 2.5 KN/ml F = 1 KN/ml C µA 1,00 m schéma mécanique A B RA 2,00 m g = 6 KN/ml Dans notre exemple. g charge permanente : poids propre. q charge d'exploitation : poids des personnes. F charge d'exploitation horizontale. SFERE – OFPPT Page 38 / 137
  • 39. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.7. METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer complètement les actions mécaniques exercées sur un solide appartenant à un ensemble de solides donnés. Modaliser le système, en le schématisant et en modalisant les différentes liaisons entre les éléments Isoler un solide Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau et des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le établir son schéma seul dans la même position graphique. solide mécanique C’est réaliser Remplacer toutes les liaisons coupées par le système ces deux étapes de forces associées. Ajouter les actions à distance (poids, charges sur l’élément). Faire le BILAN de toutes les actions inconnues agissant sur le solide. et le BILAN des équations possibles TEST Déterminer d'autres éléments ( en isolant Résoudre d’autres solides ) et La graphiquement ou en faisant intervenir le NON Résolution est-elle OUI analytiquement. possible à partir (Choisir la méthode PRINCIPE des du bilan précédent la plus performante) actions mutuelles. en appliquant le Exemple : éléments P.F.S. biarticulés a RESULTATS : Le problème est terminé lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont entièrement connues. SFERE – OFPPT Page 39 / 137
  • 40. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.8. LE DEGRÉ HYPERSTATIQUE Un solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquement indéterminable ou hyperstatique. Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de la statique. Rappel : Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations : ∑Fext =0 En projection sur x et y 2 équations 3 équations ∑M(Fext)=0 1 équation notation : Ne : nombre d’équations fournies par le PFS Ni : Nombre d’inconnues Degré Hyperstatique DH : Ni -Ne Exemple : La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnues statiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système est dit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3). Remarque : Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement 3 cas sont envisagés : • si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de la statique. • si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable. • si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la statique ne suffisent pas pour la résolution du problème. SFERE – OFPPT Page 40 / 137
  • 41. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.9. EXERCICES : DEGRÉ HYPERSTATIQUE Déterminer le degré hyperstatique des structures proposées. SFERE – OFPPT Page 41 / 137
  • 42. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.10. EXERCICES D’APPLICATIONS DU PFS Calculer les actions de liaisons des structures proposées : a) f) g) b) h) c) i) d) j) e) 6.11. DIAPORAMA Voir dans la partie « ANNEXES » de ce document. SFERE – OFPPT Page 42 / 137
  • 43. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7. CENTRE DE GRAVITE 7.1. COURS ÉLÈVE 7.1.1. Définitions • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g) • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant. • ⇒ Détermination de la position de la résultante 7.1.2. Centre de gravité de 2 points matériels x2 B y2 x1 A B × y1 A× P2 ⇔ G× P1 R y2 y1 YG x1 XG x2 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ Σ M/O ⇔ XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P Remarque : si P1 = P2 XG = ⇒ XG = YG = ⇒ YG = SFERE – OFPPT Page 43 / 137
  • 44. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.1.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points) Exemple : 3 points x2 B y2 x1 A B × G× y1 ⇔ A× P2 R P1 x3 C YG y2 y3 y1 × C y3 P3 XG x1 x2 x3 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3 Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3 yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P ⇔ P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P ⇒ Formules du Barycentre: n ∑ Pi.xi XG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi n ∑ Pi.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi SFERE – OFPPT Page 44 / 137
  • 45. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Remarque : Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S. ⇒ Centre de gravité de section n ∑ Si.xi XG= i→ 1n ∑ i→1 Si n ∑ Si.yi YG= i→ 1n ∑ i→ 1 Si 7.1.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE CENTRE DE GRAVITE G est au milieu (intersection des G est au centre du cercle diagonales) G est à l’intersection des médianes SFERE – OFPPT Page 45 / 137
  • 46. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.1.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe • Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle) • Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y) • Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale. • Présenter les résultats dans un tableau Surface xGi yGi Si xGi Si yGi Si élémentaire Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si = ⇒ Formule du barycentre Remarque : Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément. ⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement. SFERE – OFPPT Page 46 / 137
  • 47. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2. EXERCICES D’APPLICATIONS : ÉLÈVE 7.2.1. Exercice 1 Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous. 2. Poutrelle en I 5. profilé creux 6. 3. poutrelle en U SFERE – OFPPT Page 47 / 137
  • 48. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2.2. Exercice 2 SFERE – OFPPT Page 48 / 137
  • 49. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section. Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité 7.2.4. Exercice 2: vérification des caractéristiques d’un upn 300 A = 58.80 cm² XG = 2.95 cm YG = 15.00 cm 7.2.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini. b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ? c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ? SFERE – OFPPT Page 49 / 137
  • 50. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3. COURS PROF 7.3.1. Définitions • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g) • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant. • ⇒ Détermination de la position de la résultante 7.3.2. Centre de gravité de 2 points matériels x2 B y2 x1 A B × y1 A× P2 ⇔ G× P1 R y2 y1 YG x1 XG x2 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 Σ M/O ⇔ xG.R = x1P1+ x2 P2 yG.R = y1 P1 +y2 P2 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P Remarque : si P1 = P2 P1.(x1+x2) . (x1+x2) . XG = 2P1 ⇒ XG = 2 P1.(y1+y2) G au milieu de A et B . y1+y2 . YG = 2P 1 ⇒ YG = 2 SFERE – OFPPT Page 50 / 137
  • 51. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points) Exemple : 3 points x2 B y2 x1 A B × G× y1 ⇔ A× P2 R P1 x3 C YG y2 y3 y1 × C y3 P3 XG x1 x2 x3 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3 Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3 yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P ⇔ P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P ⇒ Formules du Barycentre: n ∑ Pi.xi XG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi n ∑ Pi.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi SFERE – OFPPT Page 51 / 137
  • 52. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours Remarque : Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S. ⇒ Centre de gravité de section n ∑ i →1 Si.xi XG = n ∑ i →1 Si n ∑ Si.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Si 7.3.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE CENTRE DE GRAVITE G est au milieu (intersection des G est au centre du cercle diagonales) G est à l’intersection des médianes SFERE – OFPPT Page 52 / 137
  • 53. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle) Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y) Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale. Présenter les résultats dans un tableau Surface xGi yGi Si xGi Si yGi Si élémentaire Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si = ⇒ Formule du barycentre Remarque : Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément. ⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement. SFERE – OFPPT Page 53 / 137
  • 54. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.4. EXERCICES D’APPLICATIONS : PROF 7.4.1. Exercice 1 Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous. 1. 4. tube cornière 2. Poutrelle en I 5. profilé creux 6. 3. poutrelle en U SFERE – OFPPT Page 54 / 137
  • 55. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.4.2. Exercice 2 SFERE – OFPPT Page 55 / 137
  • 56. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.4.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section. Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité 7.4.4. Exercice 2: Vérification Des Caractéristiques D’un Upn 300 A = 58.80 cm² XG = 2.95 cm YG = 15.00 cm 7.4.5. Exercice 3 : étude d’un acrotère a) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini. b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ? c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ? SFERE – OFPPT Page 56 / 137
  • 57. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE 8.1. DÉFINITION On appelle système réticulé ou treillis, une structure formée d’un assemblage de barres rectilignes reliées entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appelées des nœuds. Exemples de systèmes réticulés Détail d’un nœud : 8.1.1. Objectifs. Déterminer les efforts exercés dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen d’hypothèses simplificatrices. 8.1.2. Hypothèses simplificatrices : o On considère les barres rectilignes et indéformables, o Les efforts exercés sur la structure sont appliqués uniquement sur les nœuds,( pas de charges sur les barres). o On néglige le poids des barres, Remarque : Une barre articulée à ses deux extrémités est appelée biellette et n’est soumise qu’à de l’effort normal. SFERE – OFPPT Page 57 / 137