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Mécanique et rdm partie1

  1. 1. ROYAUME DU MAROCOFPPT Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail DIRECTION RECHERCHE ET INGÉNIERIE DE FORMATION SUPPORTS PEDAGOGIQUES MECANIQUE ET RDM DOMAINE : PARTIE I : COURS SECTEUR : BTP SPÉCIALITÉ : GROS ŒUVRE NIVEAU : TECHNICIEN SPÉCIALISÉ. Modules concernés : 8; 9 20 MAI 2004
  2. 2. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours REMERCIEMENTLa DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élaboration du présent document.Pour la conception :M. Alain BONHOMME Expert SFERE FrancePour la validation :M. Khalid BAROUTI Chef projet BTPMme Najat IGGOUT Directeur du CDC BTPM. Saïd MOURTAJI FormateurM. Alain BONHOMME Expert SFERE FranceSFERE – OFPPT Page 2 / 137
  3. 3. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours SOMMAIRE 1.NOTION DE FORCE................................................................................................................... 7 1.1.Notion de force et de vecteur-force................................................................................. 7 1.2.Composantes d’une force............................................................................................... 8 1.3.Coordonnées cartésiennes d’un force (Repésentation algébrique) ................................ 8 1.4.Exercices........................................................................................................................ 9 2.NOTION DE MOMENT.............................................................................................................. 11 2.1.Notion de moment........................................................................................................ 11 2.2.Moment d’une force par rapport à un point................................................................... 11 2.3.Notion de couple........................................................................................................... 13 2.4.Moment résultant de plusieurs forces........................................................................... 14 2.5.Exercices...................................................................................................................... 15 3.NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE................................................................................... 16 3.1.Définitions..................................................................................................................... 16 3.2.Les actions mécaniques ou charges............................................................................. 16 3.3.Exercices sur les actions mécaniques.......................................................................... 18 3.4.Exercice sur les unités :................................................................................................ 19 4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES)............................... 21 4.1.Systèmes de forces équivalents................................................................................... 21 4.2.Réduction d’un système de forces (en 1 point)............................................................. 25 4.3.Notion de torseur.......................................................................................................... 26 4.4.Exercices : Notion de résultante................................................................................... 27 4.5.Exercices : Notions de forces/moments/résultantes..................................................... 28 5. ETUDE DES LIAISONS........................................................................................................... 30 5.1.PRESENTATION.......................................................................................................... 30 5.2.EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON ......................................................... 30 5.3.Nombre d’inconnues induites par les liaisons............................................................... 31 5.4.Exemples de differents types d’appuis de poutre......................................................... 32 6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE ..................................................................... 34 6.1.Hypothèses................................................................................................................... 34 6.2.But :.............................................................................................................................. 34 6.3.Notion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure à un système donné :......................................................................................................... 34 6.4.Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S):.............................................. 35 6.5.Cas particuliers :........................................................................................................... 35 6.6.Résolution dun problème de statique :......................................................................... 36 6.7.METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE............................. 39 6.8.Le Degré Hyperstatique................................................................................................ 40 6.9.Exercices : Degré Hyperstatique.................................................................................. 41 6.10.Exercices d’applications du PFS................................................................................. 42SFERE – OFPPT Page 3 / 137
  4. 4. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.11.Diaporama.................................................................................................................. 42 7.CENTRE DE GRAVITE............................................................................................................. 43 7.1.Cours élève.................................................................................................................. 43 7.2.Exercices d’Applications : élève.................................................................................... 47 7.3.Cours prof..................................................................................................................... 50 7.4.Exercices d’Applications : prof...................................................................................... 54 8. EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE............................................................................... 57 8.1.Définition....................................................................................................................... 57 8.2.Méthode des nœuds..................................................................................................... 59 8.3.Méthode de RITTER..................................................................................................... 60 8.4.Applications.................................................................................................................. 62 9.RDM : GÉNÉRALITÉS.................................................................................................................. 65 9.1.But de la RDM.............................................................................................................. 65 9.2.Hypothèses de la RDM................................................................................................. 65 9.3.Notion de contrainte...................................................................................................... 65 9.4.Répartition uniforme des contraintes (sur une section)................................................. 68 10.TRACTION SIMPLE ET COMPRESSION SIMPLE............................................................................... 70 10.1.Définitions................................................................................................................... 70 10.2.Essai de traction......................................................................................................... 70 10.3.Applications : traction simple...................................................................................... 75 10.4.Coefficient de Poisson : υ........................................................................................... 79 11.CISAILLEMENT SIMPLE............................................................................................................... 80 11.1.Définitions................................................................................................................... 80 11.2.Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple)................................................... 80 11.3.Equation de déformation............................................................................................. 82 11.4.Calcul pratique ........................................................................................................... 82 11.5.Exercice d’application................................................................................................. 83 11.6.Exercice Formatif........................................................................................................ 83 12.N, V, M..................................................................................................................................... 84 12.1.Généralités................................................................................................................. 84 12.2.Diagramme de N(x), V(x), M(x) Méthode de détermination........................................ 89 12.3.Exercices.................................................................................................................... 92 12.4.Diaporama.................................................................................................................. 93 13.CARACTÉRISTIQUES DES SESSIONS............................................................................................ 94 13.1.MOMENT STATIQUE................................................................................................. 94 13.2.Moment quadratique................................................................................................... 96 13.3.Changement de coordonnees ( th d’huygens)............................................................ 97 13.4.Exercices.................................................................................................................... 98 13.5.Moment quadratique polaire....................................................................................... 98 14.CONTRAINTES DES POUTRES FLÉCHIES.................................................................................... 100 14.1.Hypothèses............................................................................................................... 100 14.2.Contraintes normales σ (dues à M(x)....................................................................... 100 14.3.Déformations............................................................................................................ 102SFERE – OFPPT Page 4 / 137
  5. 5. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 14.4.Contraintes de cisaillement longitudinal τ(dues à V(x))............................................ 104 14.5.Applications.............................................................................................................. 108 15.FLEXION COMPOSÉE................................................................................................................ 115 15.1.Définition................................................................................................................... 115 15.2.Exemples.................................................................................................................. 115 15.3.Contraintes normales σ ........................................................................................... 115 15.4.Contraintes Tangentielles ........................................................................................ 116 15.5.Excentricité de charge ............................................................................................. 117 15.6.Remarque ................................................................................................................ 117 15.7.Exercices ................................................................................................................. 118 16.LES FLÈCHES.......................................................................................................................... 119 16.1.Définition................................................................................................................... 119 16.2.Formulaire ............................................................................................................... 119 16.3.Utilisation ................................................................................................................. 119 17.POUTRE CONTINUE EN BETON ARME.................................................................................... 125 17.1.Généralité................................................................................................................. 125 17.2.Méthode forfaitaire. Artb.6.2,21 page 149................................................................ 125 17.3.Méthode CAQUOT................................................................................................... 129 17.4.Méthode CAQUOT minorée...................................................................................... 136 17.5.Contrôle de beton .................................................................................................... 136 17.6.Diaporama................................................................................................................ 136SFERE – OFPPT Page 5 / 137
  6. 6. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1 - COURS ET APPLICATIONSSFERE – OFPPT Page 6 / 137
  7. 7. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1. NOTION DE FORCE 1.1. NOTION DE FORCE ET DE VECTEUR-FORCEEn mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées etdes résultantes d’actions mécaniques très diverses ( poids, attraction magnétique, etc..).Un vecteur force est défini par une intensité ou un module ( en Newton N ou unité dérivée daN, kN,etc..), une direction, un sens et un point d’application.Exemple 1 :L’action de contact exercée par le câble(2) sur le support (1) est schématisée par le vecteur force A2/1,de point d’application A de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câbletire sur le support).Exemple 2 :Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) estschématisée par le vecteur force T2/1, point d’application T incliné de 40° par rapport à la verticale (y),d’intensité 15 N, de sens T vers K ( vers l’intérieur du ballon ).Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids P1, vertical (axe y), intensité 5N, sens du hautvers le bas et de point d’application G, le centre de gravité du ballon.SFERE – OFPPT Page 7 / 137
  8. 8. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1.2. COMPOSANTES D’UNE FORCEUne force F agissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces oucomposantes ( U et V ) agissant au même point et vérifiant la condition F = U + VLes composantes sont les valeurs algébriques des projections de F sur un 1.3. COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN FORCE (REPÉSENTATION ALGÉBRIQUE)On peut considérer les coordonnées cartésiennes Fx et Fy comme étant des composantesorthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.⇒ (F(x) ) horizontale et (F(y)) verticaleElles sont positives si elles sont orientées dans la même direction que ox et oy (négative dans le cascontraire. y F FA(x) FA(y) FA FA(y) A FA(x) o xExemple : coordonnées cartésiennes de la force A2/1.Ax = A2/1cos30° = 1000 x 0.866 = 866daNAy = -A2/1sin30° = -1000 x 0.5 = -500daN║A2/1║ = √ 866² + 500² = 1000SFERE – OFPPT Page 8 / 137
  9. 9. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 1.4. EXERCICES1. L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm pour 20 N.Déterminer les modules des forces F1, F2, F3. Ecrire ces modules en N, daN et kN.2.a) Déterminer les coordonnées T1x et T1y de la tension T1 de la barre (1).b) Déterminer T3 et T3x si T3y = 100 daN.c) Déterminer T2 si (T1x+T2x+T3x=0).3. L’action exercée par la route 0 sur la motrice 1 est schématisée par la force F0/1.Si l’effort normal N0/1 suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F0/1 et T0/1 (suivant t) sachant queF0/1 = N0/1 + T0/1SFERE – OFPPT Page 9 / 137
  10. 10. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours4. Sachant que la composante Tx de la tension T du câble en A est de 90 daN, déterminer Ty et T.5.a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes ( x, y ) et (x’,y’).6.Ecrire les coordonnées cartésiennes Fx et Fy des forces F indiquées en fonction du module F et desangles α et β . F = 1000 N dans les quatre cas.SFERE – OFPPT Page 10 / 137
  11. 11. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2. NOTION DE MOMENT 2.1. NOTION DE MOMENTLes effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport à ce corps.Exemple de la navette spatiale :Si la Force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvementde translation de même direction que F.Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’unmouvement de rotation ( orientation des moteurs).Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire defaire intervenir la notion de moments. 2.2. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN POINT 2.2.1. DéfinitionLe moment de la force F par rapport au pont A, noté MA(F), est égal au produit de F par le bras delevier d :MA(F)= F.d (d : distance entre A et F)Bras de levier : longueur du segment de droite issu du point decalcul et joignant orthogonalement la droite d’action de FSFERE – OFPPT Page 11 / 137
  12. 12. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursConvention de signeSi F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif. sens trigo + -Exemple 1 :Déterminons F2 de façon que MA(F1) +MA(F2)=0MA(F1) = F1 .d1= 240 x 0.1 = 24N.mMA(F2) = -F2.d2 = -0.12F2MA(F1)+ MA(F2)= -0.12F2+24 =0Soit F2=200NExemple2 :Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison del’effort B3/2.Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B3/2 :MA(B3/2)= B3/2 . AB . sin αSi AB est perpendiculaire à B3/2 (α=90°) :MA= B3/2 . AB . sin 90= 100x0.2x1=20 N.mSi α= 60° :MA1= B3/2 . AB . sin 60° = 17.3 N.mSi α= 45° :MA2= B3/2 . AB . sin 45° =14.1 N.mSFERE – OFPPT Page 12 / 137
  13. 13. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2.2.2. Théorème de VarignonLe moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et Vpar rapport au même point.MA(F)= MA(U) + MA(V)Pour notre cas: MA(F) = F.d = -U.dU + V.dVExemple :Déterminons MA(F) de la Force F.Fx = F cos60° = 1000 X 0.5 = 500 NFy = F sin60° = 1000 x 0.866 = 866 NMA(F) = MA(Fx)+ MA(Fy) = -500 x 0.1 + 866 x 0.16 = 88.6 N.m = F.dRq: Le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application directe à partir deF.d (détermination de d plus difficile). 2.3. NOTION DE COUPLE 2.3.1. DéfinitionLe moment engendré par deux forces égales et opposées ayant deslignes d’action différentes constitue un couple (M).L’intensité F.d du couple est indépendante du point O choisi ou de lavaleur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forceset de l’intensité F.M= MO(F) + MO(-F) = F(a+b) – F.a = F.dSFERE – OFPPT Page 13 / 137
  14. 14. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursExemple:Une clé à bougie se compose d’uncorps et d’une tige de manœuvrecoulissante et réglable.F et –F schématisent les actionsexercées par les mains del’opérateur.Si F = 100 N, déterminons lecouple de desserrage (M) exercépar la clé sur l’écrou en E, pour lespositions indiquées.Pour les quatre positions, on a :M = ME(F) + ME(-F)= MO(F) + MO(-F) = F x OB + F x OA = F.AB = 0,4 F= 40 N.mPour la position 1: M = 0.2F + 0.2F = 0.4F Pour la position 1: M = 0.15F + 0.25F = 0.4FPour la position 2: M = 0.3F + 0.1F = 0.4F Pour la position 1: M = 0 + 0.4F = 0.4F 2.4. MOMENT RÉSULTANT DE PLUSIEURS FORCESLe moment résultant MA en un point A de n forces F1,F2,F3,…..,Fn est égal à la somme des momentsen A de chacune des forces.MA = MA(F1) + MA(F2) +MA(F3) +.........+MA(Fn)Exemple: la balance romaineUne balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O sur un crochet 1 lié à un support fixeet d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5daN.La masse à peser, poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. si a = 70 cm,déterminons la valeur de P.Lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, le moment résultant en O des poids P et q est nul.MO = MO(P) + MO(q) = P x 0.1 – q x 0.7 = 0D’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daNSFERE – OFPPT Page 14 / 137
  15. 15. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2.5. EXERCICES 2.5.1. EXERCICE N°1La force F schématise l’action de serrage exercée par l’opérateur.Calculer le moment en B (couple de serrage sur l’écrou) de la force F. 2.5.2. EXERCICE N°2Déterminer le moment en O de la force F agissant sur le point B de la potence. 2.5.3. EXERCICE N°3Calculer le moment en O de la force F agissant au point B. 2.5.4. EXERCICE N°4 a) Déterminer le moment résultant en (Mo) exercé par le couple de Force F et –F b) Calculer le moment en A, B, C. c) Quelle doit être la valeur de T pour que le couple T et (-T ) puisse équilibrer le couple précédent ?SFERE – OFPPT Page 15 / 137
  16. 16. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 3. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA MÉCANIQUE 3.1. DÉFINITIONS 3.1.1. Buts de la Mécanique:- Etudier léquilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)- Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M) 3.1.2. Définition du solide en statique.En statique, un solide est un corps :• Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume.• Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation du solide.• Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort.• Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions. 3.1.3. Principe des actions mutuellesPour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée parle solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’actionexercée par le solide 1 sur le solide 0. 3.2. LES ACTIONS MÉCANIQUES OU CHARGES.Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actionsmécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments.Il existe deux types d’actions mécaniques : les actions à distance les actions de contact 3.2.1. Les actions mécaniques à distanceOn se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité).Le poids est représenté par un vecteur P : Point d’application : centre de gravité G Direction : verticale Sens : vers le bas Intensité : P = Mg (N) M : masse en Kg P g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur ou attraction terrestreSFERE – OFPPT Page 16 / 137
  17. 17. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursDans le domaine du Génie Civil, on prendra : o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m² o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/mExemple :Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur.Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50x20 cm.Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m3 3.2.2. Les actions mécaniques de contact A Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact estreprésentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact.Exemple : Appui d’une poutre sur une poutre. F2/1 2 1 Unité : N B Actions de contact linéiques (charges réparties)Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force qappliqué sur toute la ligne de contact.Exemple : Cloison sur plancher. q Unité : N/mlSFERE – OFPPT Page 17 / 137
  18. 18. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours C Actions de contact ou charges réparties sur une surfaceExemple : Vent sur mur. schématiquement Vent Unité : N/m² 3.3. EXERCICES SUR LES ACTIONS MÉCANIQUESExercice n°1 :Poutre AB :• Caractéristiques géométriques : Portée : 3.5 m Appui de gauche A : articulation Appui de droite B: appui simple Repère (A ; x ; y )• Actions mécaniques Deux charges ponctuelles verticales vers le bas d’intensité F=3KN appliquées à x =1.00m et x =2.50m. Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1.5 KN/ml sur toute la poutre.Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB.Calculer le moment en A engendrée par les forces F .Calculer le moment en A engendrée par la charge linéaire q.En déduire le moment total en A.SFERE – OFPPT Page 18 / 137
  19. 19. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursPoutre CD :• Caractéristiques géométriques : Portée : 5.60m Appui de gauche C : encastrement Appui de droite D: libre Repère ( C ; x ;y )• Actions mécaniques Une charge ponctuelle verticale F vers le bas d’intensité 10KN appliquées à x =2.50m Une charge linéaire uniformément répartie verticale vers le bas d’intensité q=1 KN/ml sur toute la poutre.Effectuer le schéma mécanique de la poutre CD.Calculer le moment en C engendrée par les forces F .Calculer le moment en C engendrée par la charge linéaire q.En déduire le moment engendrée par F + q 3.4. EXERCICE SUR LES UNITÉS :10000cm² = m² 0.800MN/m = KN/m10 000 000cm3= m3 10KN/mm² = KN/m²25KN/mm = KN/m 1MN/cm² = KN/m²300N/m = KN/m 3.4.1. Exercice N°2Soit une poutre AB en béton armé de section 50 x 20cm et de portée 6.00m.Appui A : articulationAppui B : appui simplePoids volumique du béton armé : 25 KN/m3 1. Déterminer le poids P en KN de la poutre considérée. 2. En déduire le poids linéaire p en KN/m de la poutre. 3. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB. 4. Calculer le moment en A engendré par le poids de la poutre. 3.4.2. Exercice N°3Soit un plancher en béton armé d’épaisseur 18 cm et de surface 200m². 1. Déterminer le poids surfacique Ps du plancher (KN/m²) . 2. Déterminer le poids P du plancher (KN).SFERE – OFPPT Page 19 / 137
  20. 20. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 3.4.3. Exercice N°4 Soit une poutre AB en béton armé supportant une partie d’un plancher béton armé. Largeur de dalle reprise par la poutre : 5 m Epaisseur du plancher : 16 cm Section de la poutre : 30 x 60 cm Portée de la poutre : 5.00 m Poids volumique du béton armé : 25KN/m3 Appui A : appui simple Appui B : articulation. 1. Déterminer le poids P1 du plancher en KN. 2. Déterminer le poids P2de la poutre en KN. 3. En déduire le poids total P : plancher + poutre. 4. Effectuer le schéma mécanique de la poutre AB. 5. Calculer le moment en A engendré par P.Plancher BA Poutre BA SFERE – OFPPT Page 20 / 137
  21. 21. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4. SYSTEMES EQUIVALENTS / REDUCTION DE SYSTEME (DE FORCES) 4.1. SYSTÈMES DE FORCES ÉQUIVALENTS 4.1.1. Définitions. Un système de forces est un ensemble de forces agissant simultanément sur un système matériel (= solide ou ensemble de solide) Des systèmes de forces différents sont dits équivalents si appliqués séparément à un solide ils provoque les mêmes effets : On dit également qu’ils ont les mêmes éléments de réductions. Cest à dire : Ils ont la même résultante et le même moment résultant en un point donné. ⇒ ∑ Forces = identique ∑ Moment = identique Remarque : Il est toujours possible de remplacer un système de forces par un autre sil est équivalent au précédent. 4.1.2. Exemples A Composantes d’une force (= projections orthogonales de F sur ox ⇒F(x) et sur oy ⇒F(y), ayant la même origine que F). yy F F(y) F(y) α F(x) F(x) 1 1o o 2 1 x 2 2 x Exercice Montrez le système 1 est équivalent au système 2 (prendre F = 20 kN et α = 40°) Conséquence : Le Mt F/o = F x OA est égal aussi à Mt Fx/o + Mt Fy/o = -F(x) x A + F(y) x B SFERE – OFPPT Page 21 / 137
  22. 22. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursEn pratique :Il sera plus simple de faire le moment d’une force en utilisant les valeurs de ses composantes,placées à l’origine de F.SFERE – OFPPT Page 22 / 137
  23. 23. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours B Résultante d’un système de forces.• Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le système admet une résultante.• En effet il sera possible de trouver un système de force à une force équivalent. - Σ Forces identique ⇒ R = Σ Forces - Σ Mt /même point ⇒ Position de RSystème à forces concourantes R F1 y y F2 o o 1 x 2 xOn veut que le système 2 soit équivalent au système 1⇒ Σ Force identique ⇒ R = F1 + F2 Σ Moments identique⇒ or Σ Mt A (F1,F2) = 0 ⇒ R passe par AConclusion :Soit un système de n forces F1,F2,…,Fn concourantes en un même point I.La résultante R des n forces passe aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces : R=F1+F2+....+FnExemple:pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câblesT1,T2,T3 et T4 1. Méthode graphiqueSFERE – OFPPT Page 23 / 137
  24. 24. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 2. Par le calcul :R = T1+T2+T3+T4 donne en projection sur les axes x et yRx=Ry=║R║=tanθ =Système à forces parallèlesSoit le système 1 à deux forces : déterminer R dans le système 2 ( position et intensité)Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN A A B B 1.00 1.50 1.00 1.50ExerciceDéterminer la résultante du système 1 (intensité, position)ExemplePour l’exemple ci-contre :Déterminons par le calcul la résultante de F1, F2 et F3(intensité, position)Résultante d’un système de forces planes quelconquesSi les forces connues ne sont pas toutes concourantes au même point, il est nécessaire de déterminergraphiquement la ligne d’action de la résultante par approches successives, en combinant les forcesdeux à deux.SFERE – OFPPT Page 24 / 137
  25. 25. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursExemple :Déterminons la résultante des actions F1,F2 et F3 exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer unpétrolier.Le pétrolier se comporte comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec unepoussée de 600 KN 4.2. RÉDUCTION D’UN SYSTÈME DE FORCES (EN 1 POINT)Il s’agit de modifier un premier système de force pour que seul apparaisse un système de forcesappliqué en un point donné = Réduction de système en un point.Le deuxième système ainsi obtenu devant être équivalent au premier.-On obtient ainsi les éléments de réduction en un point. CExemple: d2 FA FB A d1 C BQuestion :Déterminer littéralement les éléments de réduction en C de FA et FB a/ Algébriquement. b/ Vectoriellement.SFERE – OFPPT Page 25 / 137
  26. 26. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.3. NOTION DE TORSEUR 4.3.1. Définition :C’est une grandeur mathématique qui représente la réduction d’un système de force en un point. A⇒Un torseur d’action mécanique en un point est un ensemble constitué de deux grandeurs : - une force S (somme des forces concernées), indépendante du point choisi ; - un couple MA (ou moment résultant), fonction du point A choisi. S⇒ TORSEUR en A = TA = ensemble M A S et MA sont les éléments de réduction du torseur. S1/2 Exemple de notation T1/2 = ensemble: est le torseur de actions de ½ en A A M1/2 A 4.3.2. Ecriture Algébrique : 4.3.3. Somme de torseur :La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que sils sont tous écrits au même point; c’estimpératif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que sils sont calculés / même point). 4.3.4. Torseurs particuliers Couple Glisseur Torseur nulSFERE – OFPPT Page 26 / 137
  27. 27. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.4. EXERCICES : NOTION DE RÉSULTANTE 4.4.1. Exercice N°1 :Déterminer le résultante R de T1 et T2agissant sur le palier en A. 4.4.2. Exercice N°2 :Le palier à roulement est soumis aux actions A et B.Calculer les composantes horizontale (x) et (y) des forces A et B.En déduire la résultante des deux forces. 4.4.3. Exercice N°3 :Pour les trois cas proposés, déterminer la résultante des trois forcesF,T et S. 4.4.4. Exercice N°4 :F1,F2,F3 et F4 schématisent les actions exercées par les câbles sur latête de la vis.Déterminer la résultante des quatre forces.SFERE – OFPPT Page 27 / 137
  28. 28. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.4.5. Exercice N°5 : P1 (150 kN) schématise le poids de la partie camion, P2(90kN) le poids du corps de la grue et P3(70kN) le poids de la flèche télescopique. Déterminer la résultante des trois forces. 4.5. EXERCICES : NOTIONS DE FORCES/MOMENTS/RÉSULTANTES 4.5.1. Exercice1La force R schématise la résultante des forces de pressiondues au vent.Calculer le moment en A de R, A étant la zone fragile dupanneau indicateur. 4.5.2. Exercice2Calculer le moment en C de la force T et le moment en Cde la force S.Déduire le moment résultant en C des deux forces. 4.5.3. Exercice3Les forces F et T, appliquées en I et J, schématisent lesactions exercées par les roues dentées.Calculer le moment en O de la force FA partir de quelle valeur la force T équilibre-t-elle le couplemoteur engendré par F.SFERE – OFPPT Page 28 / 137
  29. 29. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 4.5.4. Exercice 4La tension du câble AB est T1 = 18.5 kN, celle du câbleAC est T2=13kN avec α=45°Déterminer la résultante R de T1 et T2 en kN, daN et N. 4.5.5. Exercice 5F1,F2 et F3 schématisent les forces exercées sur la structure en treillis.Déterminer la résultante des trois forces.SFERE – OFPPT Page 29 / 137
  30. 30. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 5. ETUDE DES LIAISONS 5.1. PRESENTATIONDans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales :Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents. 5.2. EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISONL’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par unerésultante S (coordonnées Sx et Sy ) et un moment éventuel M. Type de Schématisation Actions de liaison usuelle contact entre Exemples 0 et 1 Appui simple (1 inconnue) Articulation ou Pivot (2 inconnues) Encastrement (3 inconnues)Plus généralementSuivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ........Mz, du torseurpeuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).⇒ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Parconséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deuxsolides)⇒ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé.SFERE – OFPPT Page 30 / 137
  31. 31. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursRemarques :- La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dansle plan (nombre de coordonnées du torseur).- Si le nombre d’efforts transmissibles↑, le nombre des degrés de liberté↓.- Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées enstatique = nombre d’inconnues de statique. Mvt. relatifs Torseur des Exemples dans Liaisons Schéma de liberté interactions le bâtiment 0 Translation Sx Mx 0 Rotation Encastrement Sy My Sz Mz ⇒ 0 °d de liberté 0 Translation Sx 0 Articulation 1 Rotation Sy My (pivot) Sz Mz ⇒ 1 °d de liberté 2 Translations Appui simple 0 0 3 Rotations (ponctuel) 0 0 (suivant z) Sz 0 ⇒ 5 °d de liberté 2 Translations 0 Mx 1 Rotation Appui plan 0 My Sz 0 ⇒ 3 °d de liberté 5.3. NOMBRE D’INCONNUES INDUITES PAR LES LIAISONS A Dans l’espace :Appui simple → 1 inconnue : Sz. Intensité de Sz inconnue direction connue ⊥ au plan de contact.Articulation → 5 inconnuesEncastrement → 6 inconnues B Dans le plan : Appui simple → 1 inconnue : Sz. Intensité de Sz inconnue direction connue ⊥ au plan de contact. Articulation → 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0) Encastrement → 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de MzSFERE – OFPPT Page 31 / 137
  32. 32. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 5.4. EXEMPLES DE DIFFERENTS TYPES D’APPUIS DE POUTRESFERE – OFPPT Page 32 / 137
  33. 33. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursSFERE – OFPPT Page 33 / 137
  34. 34. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6. CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE 6.1. HYPOTHÈSESTous les corps étudiés sont indéformables.Les coordonnées dun point quelconque sont constantes.Les supports des forces sont invariables. 6.2. BUT :On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquerla R.d.M.Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides. 6.3. NOTION D’ACTION MÉCANIQUE DE LIAISON EXTÉRIEURE ET INTÉRIEURE À UN SYSTÈME DONNÉ :Généralités :- A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison,correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre auniveau de cette liaison).- Ces actions mécaniques sont dites : Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper pour isoler ce système. Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée.Exemple :Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2)Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol. 3 D E Donnez : C F a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3) 2 b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3) B c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1 1 b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3 ASFERE – OFPPT Page 34 / 137
  35. 35. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.4. ENONCÉ DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S):Pour quun solide soit en équilibre (statique) il faut quil ne subisse aucun déplacement : Pas de translation (dans nimporte quelle direction). Pas de rotationDonc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F1,F2,….,Fn) reste enéquilibre si :• la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation) ∑Fext = F1 +F2+ …..+Fn =0 En projection sur x et y : 2équations ∑Fx = F1x+F2x+…….+Fnx=0 (1) ∑Fy = F1y+F2y+……..+Fny=0 (2)• Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de rotation). ∑MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+.......+ MI(Fn) =0 (3)Dans le plan : 1/ ∑ F(x) = 0 2/ ∑ F(y) = 0 3/ ∑ M(z) = 03 équations de la statique ⇒ 3 inconnues.Dans lespace : 1/ ∑ F(x) = 0 4/ ∑ M(x) = 0 2/ ∑ F(y) = 0 5/ ∑ M(y) = 0 3/ ∑ F(z) = 0 6/ ∑ M(z) = 0 6 équations de la statique ⇒ 6 inconnues. 6.5. CAS PARTICULIERS : F -FSolide soumis à laction de 2 forcesUn solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forcessont directement opposées :SFERE – OFPPT Page 35 / 137
  36. 36. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursSolide soumis à laction de 3 forces(dans le plan:) F1 F2 O F2 F3 F1 dynamique fermé F3Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si : Les 3 forces sont concourantes. La dynamique des forces est fermée. 6.6. RÉSOLUTION DUN PROBLÈME DE STATIQUE :Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires 6.6.1. Etablir le schéma mécaniqueUn schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seulesapparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système.Méthodologie : A Modéliser le système :Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en gardant statiquement équivalent : - Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne. - Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II) B Isoler le système matériel à étudier :- "couper "au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur- remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées. C Ajouter les actions extérieures :- représenter les actions extérieures (charges dexploitation, charges permanentes) par des vecteursforces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments.- indiquer toutes les cotes nécessaires.SFERE – OFPPT Page 36 / 137
  37. 37. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.6.2. Faire le bilan- Faire le bilan des inconnues (I)- Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple : si I ≤ E résoluble. I > E non résoluble.SFERE – OFPPT Page 37 / 137
  38. 38. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.6.3. Appliquer le principe fondamental de statique :Dans le plan :3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique.Résoudre le système déquationsRappels et Remarques :a/ Actions extérieures(à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) etactions des liaisons coupéesb/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (⇒ choix del’élément à isoler).c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces.Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction desforces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la F( x )statique de la forme : Tanα = . F( y )Exemple : q = 2.5 KN/ml F = 1 KN/ml C 1,00 m Μοδλισατιο ν⇒ A 2,00 m B encastrement g = 6 KN/ml Balcon à étudier q = 2.5 KN/ml F = 1 KN/ml C µA 1,00 m schéma mécanique A B RA 2,00 m g = 6 KN/mlDans notre exemple. g charge permanente : poids propre. q charge dexploitation : poids des personnes. F charge dexploitation horizontale.SFERE – OFPPT Page 38 / 137
  39. 39. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.7. METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer complètement les actions mécaniques exercées sur un solide appartenant à un ensemble de solides donnés. Modaliser le système, en le schématisant et en modalisant les différentes liaisons entre les éléments Isoler un solide Extraire le solide de lensemble, en coupant au niveau et des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le établir son schéma seul dans la même position graphique. solide mécanique C’est réaliser Remplacer toutes les liaisons coupées par le système ces deux étapes de forces associées. Ajouter les actions à distance (poids, charges sur l’élément). Faire le BILAN de toutes les actions inconnues agissant sur le solide. et le BILAN des équations possibles TEST Déterminer dautres éléments ( en isolant Résoudre d’autres solides ) et La graphiquement ou en faisant intervenir le NON Résolution est-elle OUI analytiquement. possible à partir (Choisir la méthode PRINCIPE des du bilan précédent la plus performante) actions mutuelles. en appliquant le Exemple : éléments P.F.S. biarticulés a RESULTATS : Le problème est terminé lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont entièrement connues.SFERE – OFPPT Page 39 / 137
  40. 40. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.8. LE DEGRÉ HYPERSTATIQUEUn solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes parrapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquementindéterminable ou hyperstatique.Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de lastatique.Rappel :Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations :∑Fext =0En projection sur x et y 2 équations 3 équations∑M(Fext)=0 1 équationnotation : Ne : nombre d’équations fournies par le PFS Ni : Nombre d’inconnues Degré Hyperstatique DH : Ni -NeExemple :La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnuesstatiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système estdit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3).Remarque :Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement3 cas sont envisagés :• si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de la statique.• si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable.• si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la statique ne suffisent pas pour la résolution du problème.SFERE – OFPPT Page 40 / 137
  41. 41. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.9. EXERCICES : DEGRÉ HYPERSTATIQUEDéterminer le degré hyperstatique des structures proposées.SFERE – OFPPT Page 41 / 137
  42. 42. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 6.10. EXERCICES D’APPLICATIONS DU PFS Calculer les actions de liaisons des structures proposées : a) f) g)b) h)c) i)d) j) e) 6.11. DIAPORAMA Voir dans la partie « ANNEXES » de ce document. SFERE – OFPPT Page 42 / 137
  43. 43. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7. CENTRE DE GRAVITE 7.1. COURS ÉLÈVE 7.1.1. Définitions • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g) • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant. • ⇒ Détermination de la position de la résultante 7.1.2. Centre de gravité de 2 points matériels x2 B y2 x1 A B × y1 A× P2 ⇔ G× P1 Ry2 y1 YG x1 XG x2 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ Σ M/O ⇔ XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P Remarque : si P1 = P2 XG = ⇒ XG = YG = ⇒ YG = SFERE – OFPPT Page 43 / 137
  44. 44. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.1.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)Exemple :3 points x2 B y2 x1 A B × G× y1 ⇔ A× P2 R P1 x3 C YG y2 y3 y1 × C y3 P3 XG x1 x2 x3 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3 Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3 yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P ⇔ P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P⇒ Formules du Barycentre: n ∑ Pi.xi XG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi n ∑ Pi.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 PiSFERE – OFPPT Page 44 / 137
  45. 45. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursRemarque :Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.⇒ Centre de gravité de section n ∑ Si.xi XG= i→ 1n ∑ i→1 Si n ∑ Si.yi YG= i→ 1n ∑ i→ 1 Si 7.1.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE CENTRE DE GRAVITEG est au milieu (intersection des G est au centre du cerclediagonales)G est à l’intersection des médianesSFERE – OFPPT Page 45 / 137
  46. 46. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.1.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe• Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)• Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)• Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale.• Présenter les résultats dans un tableau Surface xGi yGi Si xGi Si yGi Siélémentaire Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si =⇒ Formule du barycentreRemarque :Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle ondéduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.SFERE – OFPPT Page 46 / 137
  47. 47. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2. EXERCICES D’APPLICATIONS : ÉLÈVE 7.2.1. Exercice 1Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous. 2. Poutrelle en I 5. profilé creux 6. 3. poutrelle en USFERE – OFPPT Page 47 / 137
  48. 48. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2.2. Exercice 2SFERE – OFPPT Page 48 / 137
  49. 49. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.2.3. Exercice 3 : centre de gravité d’une section.Pour les sections suivantes déterminer la position du centre de gravité 7.2.4. Exercice 2: vérification des caractéristiques d’un upn 300A = 58.80 cm²XG = 2.95 cmYG = 15.00 cm 7.2.5. Exercice 3 : étude d’un acrotèrea) déterminer le centre de gravité de l’acrotère ainsi défini.b) cet acrotère est-il autostable( est-il en équilibre ainsi posé) ?c) si non quelle longueur doit on modifier et quelle doit être sa valeur ?SFERE – OFPPT Page 49 / 137
  50. 50. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialisé Selon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3. COURS PROF 7.3.1. Définitions • Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g) • Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale • Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant. • ⇒ Détermination de la position de la résultante 7.3.2. Centre de gravité de 2 points matériels x2 B y2 x1 A B × y1 A× P2 ⇔ G× P1 Ry2 y1 YG x1 XG x2 Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 Σ M/O ⇔ xG.R = x1P1+ x2 P2 yG.R = y1 P1 +y2 P2 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P Remarque : si P1 = P2 P1.(x1+x2) . (x1+x2) . XG = 2P1 ⇒ XG = 2 P1.(y1+y2) G au milieu de A et B . y1+y2 . YG = 2P 1 ⇒ YG = 2 SFERE – OFPPT Page 50 / 137
  51. 51. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3.3. Formule du BARYCENTRE (c.d.g de plusieurs points)Exemple :3 points x2 B y2 x1 A B × G× y1 ⇔ A× P2 R P1 x3 C YG y2 y3 y1 × C y3 P3 XG x1 x2 x3Système équivalent ⇔ ΣF ⇔ R = P1 + P2 +P3Σ M/O ⇔ xG R = x1 P1+ x2 P2 + x3 P3 yG R = y1 P1 + y2 P2 + y3 P3 XG =P1.x1+ 2.x2 P P1+ 2 P ⇔ P1.y1+ 2.y2 P YG = P1+ 2 P⇒ Formules du Barycentre: n ∑ Pi.xi XG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Pi n ∑ Pi.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 PiSFERE – OFPPT Page 51 / 137
  52. 52. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : CoursRemarque :Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.⇒ Centre de gravité de section n ∑ i →1 Si.xi XG = n ∑ i →1 Si n ∑ Si.yi YG= i→ 1 n ∑ i→ 1 Si 7.3.4. Centre de gravité de formes simples FORMULAIRE CENTRE DE GRAVITEG est au milieu (intersection des G est au centre du cerclediagonales)G est à l’intersection des médianesSFERE – OFPPT Page 52 / 137
  53. 53. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.3.5. Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexeDécomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centrede gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la sectiontotale.Présenter les résultats dans un tableau Surface xGi yGi Si xGi Si yGi Siélémentaire Totaux Σ Si = Σ xGi Si = Σ yGi Si =⇒ Formule du barycentreRemarque :Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle ondéduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.⇒ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.SFERE – OFPPT Page 53 / 137
  54. 54. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.4. EXERCICES D’APPLICATIONS : PROF 7.4.1. Exercice 1Déterminer la position du centre de gravité des sections ci-dessous. 1. 4. tube cornière 2. Poutrelle en I 5. profilé creux 6. 3. poutrelle en USFERE – OFPPT Page 54 / 137
  55. 55. OP4 Finalisation des supports pédagogiques Technicien spécialiséSelon l’approche par compétence Gros Œuvre Mécanique et RDM – Partie 1 : Cours 7.4.2. Exercice 2SFERE – OFPPT Page 55 / 137

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