1. Contoh soal dan pembahasan integral sederhana termasuk integral polinomial, trigonometri, dan substitusi.

1. SMA - 1
Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral
1. ∫ (2 x 3 + 3 x 2 + x + 7)dx = …….
Jawab:
pakai rumus : ∫ k x n dx =
∫ (2 x
3
+ 3 x 2 + x + 7)dx =
=
k
x n +1 + c
n +1
2 4 3 3 1 2
x + x + x + 7x + c
4
3
2
1 4
1
x + x 3 + x 2 + 7x + c
2
2
2. ∫ sin 3x sin 2 x dx = ……
Jawab:
ingat rumus trigonometri : -2 sin α sin β = cos( α + β ) – cos( α - β )
1
sin α sin β = - ( cos( α + β ) – cos( α - β ) )
2
=
∫ sin 3x sin 2 x
dx =
=
1
( cos( α - β ) - cos( α + β ) )
2
1
1
∫ 2 cos(3x − 2 x)dx - ∫ 2 cos(3x + 2 x)dx
1
∫ 2 cos x dx
-
1
∫ 2 cos 5x dx
pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx =
Sehingga menjadi :
=
1
1 1
sin x sin 5x + c
2
2 5
=
1
1
sin x sin 5x + c
2
10
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
1
sin (ax+b) + c
a

2. SMA - 2
3.
∫x
2
2 x 3 + 3 dx = …….
Jawab :
cara subtitusi:
misal: u = 2x 3 +3
du
= 6x 2
dx
du
6x 2
dx =
Sehingga :
1
2
∫x
2 x 3 + 3 dx =
2
∫x u2
du
6x 2
1
=
=
4.
∫x
2
1
1
1 1
∫ 6 u 2 du = 6 1 + 1 u 2
2
+1
1 2 32
1
u + c = (2x 3 +3)
6 3
9
+c
2x3 + 3 + c
cos x dx = ……
Jawab :
Pakai rumus integral parsial :
∫ u dv = uv - ∫ v du
du = 2x dx
misal : u = x 2
dv = cos x dx v = ∫ cos x dx = sinx
Sehingga :
∫x
2
cos x dx = x 2 . sinx - 2 ∫ x sin xdx
∫ x sin x dx
perlu diparsialkan lagi tersendiri :
misal u = x du = dx
dv = sinx dx v = ∫ sin x dx = - cos x
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

3. SMA - 3
sehingga :
∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx
= - x cos x + ∫ cos xdx
= -x cos x + sinx +c
Maka :
∫x
2
cos x dx = x 2 . sinx - 2 ∫ x sin xdx
= x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c
= x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c
= (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c
5.
∫ x cos(2 x
2
+ 3)dx =……
jawab:
misal : u = 2x 2 +3
du = 4x dx
dx =
du
4x
sehingga :
∫ x cos(2 x
2
+ 3)dx =
∫
x cos u
du
4x
1
=
∫ 4 cos u du
=
1
sin u + c
4
=
1
sin(2 x 2 + 3) + c
4
4
6.
∫x
(2 + x) 3 dx = …..
3
jawab :
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

4. SMA - 4
du = dx
misal : u = x
v = ∫ (2 + x) 3 dx
dv = (2+x) 3 dx
=
∫ (ax + b)
n
dx =
1
(ax+b) n+1 + c
a(n + 1)
1
(2 + x) 4
4
∫ u dv = uv - ∫ v du
4
4
1
x (2 + x) dx = (2 + x) 4 |
∫
4
3
3
3
=
4
-
1
∫ 4 (2 + x)
4
dx
3
4
4
1
1 1
(2 + x) 4 | (2 + x) 5 |
4
4 5
3
3
=
1
1
(1296 – 625) (7776 – 3125)
4
20
=
671 4651
4
20
=
3355 − 4651
1296
4
= -64
=20
20
5
π
2
7. ∫ sin 2 x cos x dx = ….
π
6
Jawab:
Cara 1:
Pakai rumus : ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =
π
1
sin n+1 (ax+b) +c
a(n + 1)
π
2
2
1
3
2
∫ sin x cos x dx = 3 sin x π|
π
6
6
=
1
1
1 7
7
( 13- ( )3) = . =
3
2
3 8 24
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

5. SMA - 5
Cara 2:
Cara subtitusi :
du = cos x dx
misal u = sin x
π
2
∫ sin
π
2
x cos x dx =
∫u
2
du =
1 3
u
3
6
π
2
1
= sin 3 x |
π
3
6
=
1
1
1 7
7
( 13- ( )3) = . =
3
2
3 8 24
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab :
Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x :
3x = x 2 - 2x
⇔ x 2 - 5x = 0
⇔ x(x - 5) = 0
didapat titik potong di x = 5 dan x = 0
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

6. SMA - 6
5
L = ∫ (3 x − ( x 2 − 2 x)) dx
0
5
= ∫ (5 x − x 2 ) dx
0
5
1 5
= x2 - x3 |
2
3 0
5 2 1 3
= 5 - 5
2
3
125 125 375 − 250 125
=
=
=
2
3
6
6
5
= 20 satuan luas
6
9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :
Jawab:
cari titik potong kedua persamaan :
8-2x 2 = x + 2
⇔ 2x 2 +x – 6 = 0
⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0
Didapat titik potong x =
3
dan x = -2
2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

7. SMA - 7
3
2
∫ ((8 − 2 x
L=
2
) − ( x + 2))dx
2
− x)dx
−2
3
2
=
∫ (6 − 2 x
−2
3
2
2
1
= 6x - x 3 - x 2 |
3
2
−2
= {6 .
3 2 3 3 1 3 2
2
1
- ( ) - ( ) } - {6 . -2 - (-2) 3 - (-2) 2 }
2 3 2
2 2
3
2
= {9 -
2 27 1 9
16
.
- . } – {-12 +
- 2}
3 8
2 4
3
= 9-
54 9
16
- + 12 +2
24 8
3
54 9 16
- 24 8 3
552 − 54 − 27 − 128
343
7
=
=
= 14
satuan luas
24
24
24
= 23 -
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar
mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah…..
Jawab:
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

8. SMA - 8
Titik potong kurva :
x2 = x + 6
⇔ x2 - x – 6 = 0
⇔ (x- 3)(x+2) = 0
titik potong di x = 3 dan x = -2
3
∫ ((x + 6)
V= π
2
- ( x 2 ) 2 ) dx
−2
3
∫ (( x
= π
2
+ 12 x + 36) − x 4 ) dx
4
+ x 2 + 12 x + 36 ) dx
−2
3
= π
∫ (− x
−2
= π {= π {(-
3
1 5 1 3
x + x + 6 x 2 + 36x} |
5
3
−2
243
32 8
+ 9 + 54 + 108) – (
+ 24 – 72)}
5
5
3
243
32 8
+171 + + 48)
5
5
3
275
8
+ + 219)
= π (5
3
8
8
= π (219 – 55 + ) = π (164 + )
3
3
2
= 166
π satuan volume
3
= π (-
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya