1. Investigacion De Operaciones I
Práctica 05: Método Penal o Método de la M
EL MÉTODO PENAL
El método de la M empieza con la PL en la forma estándar. Para cualquier ecuación i que no tiene una
holgura, aumentamos una variable artificial Ri. Entonces esta variable se convierte en parte de la
solución básica inicial. Sin embargo, debido a que las artificiales son ajenas al modelo de PL, les
asignamos una Penalidad en la función objetivo, para obligarlas a un nivel de cero en una iteración
posterior del algoritmo simplex.
Debido a que M es un valor suficientemente grande, la variable Ri se penaliza en la función objetivo
utilizando –Mri, en el caso de una maximización y +MRi en el caso de una minimización. Debido a la
penalidad, la naturaleza del proceso de optimización lógicamente tratará de impulsar Ri, al nivel cero
durante el curso de las iteraciones simplex.
Ejemplo: Utilizando el TORA solucione el siguiente problema mediante el método Penal (M)
Sujeto a:
1. Ingrese al programa TORA, luego Lineal
Programing e ingrese la siguiente información:
2. Ingrese los valores del modelo modificado
en la tabla de datos como sigue:
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3. Luego de guardar los datos, Hacemos clic en
el botón Solve Menú, Algebraic / Iterations /
M – Method
4. Sin hacer algún cambio, hacer clic en el botón Go to Output Screen (dos veces). El cual le mostrará
el tablero inicial:
5. Haga luego clic en Next
Iteration¸ en forma
contínua hasta llegar a
la solución óptima.
(Muestre las tablas
resultantes en su
informe).
Ejercicios:
Considere la siguiente serie de restricciones:
Cada uno de los siguientes problemas, resolverlos aplicando el método penal (M)
a)
b)
c)
d)
e)
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Hay dos observaciones concernientes al método penal (M)
1. El empleo dela penalidad M puede no forzar a la variable artificial al nivel de cero en la iteración
simplex final. Si el problema de PL no tiene un espacio de solución factible (es decir, las restricciones
no son consistentes) entonces la iteración simplex incluirá por lo menos una variable artificial en un
nivel positivo. Esto es una indicación de que el problema no tiene una solución factible.
Considere el siguiente ejemplo usando TORA y muestre como el Método Penal concluirá que el
siguiente problema no tiene una solución factible.
2. Teóricamente, la aplicación del a técnica de la M requiere sin embargo, desde el punto de
vista de utilizar la computadora, M debe ser finita y lo suficientemente grande. Que grande es
“Suficientemente grande” es una pregunta abierta. De manera específica, M debe ser lo bastante
grande para actuar como una penalidad, pero no debe ser tan grande que desequilibre la exactitud
de los cálculos simplex. En particular, nuestra principal preocupación aquí es acerca de los errores
de redondeo de la máquina, que podrá resultar de la manipulación de una mezcla de números
grandes y pequeños.
Considere el siguiente ejemplo usando TORA y muestre los resultados.
Experimento 1
Aplique el método con M=10 y después repita utilizando M=999.999.
Experimento 2
Multiplique la función objetivo por 1000 y resuelva el problema utilizando M=10 y M=999.999
En ambos casos compare sus resultados y emita una conclusión en su informe.
TAREA
Solucione cada uno de los ejemplos anteriores con Winqsb y con Solver, verifique si son afectados con el
problema de redondeo o de solución no factible. Muestre sus resultados e indique sus conclusiones en
su informe.
EL MÉTODO DE LAS DOS FASES
El método de las dos fases está diseñado para mitigar el problema de redondeo de errores del método
Penal eliminando por completo la constante M, como el nombre lo sugiere, el método resuelve el PL en
dos fases.
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Fase 1.- Exprese el problema en la forma estándar de PL y añada las variables artificiales necesarias a las
restricciones, exactamente como en el método de la M (penal). Enseguida encuentre una solución
básica de las ecuaciones resultantes que minimice la suma de las variables artificiales. Si el valor mínimo
de la suma es positivo, el problema de PL no tiene una solución factible, lo que termina el proceso de
solución. De lo contrario, avanzamos a la fase II.
Fase 2.- Utilice la solución factible obtenida en la fase I como una solución factible inicial para el
problema original.
Ejemplo: Solucione el siguiente problema de PL utilizando el método de doble fase de la aplicación
TORA.
Sujeto a:
6. Ingrese al programa TORA, luego Lineal Programing e
ingrese la siguiente información:
7. Ingrese los valores del modelo
modificado en la tabla de datos como
sigue:
8. Luego de guardar los datos, Hacemos clic en el
botón Solve Menú, Algebraic / Iterations /
Two-Phase Method
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9. Haga luego clic en Next Iteration¸ en forma continua hasta finalizar la Fase I. Muestre las tablas
resultantes en su informe).
10. Repita los el paso anterior hasta finalizar con la Fase II. (Muestre las tablas resultantes y el valor
optimo de la función objetivo)
EJERCICIOS
1. Escriba la Fase I para el siguiente problema y después resuélvalo con TORA para mostrar que el
problema no tiene una solución factible:
2. Considere el siguiente problema:
Utilice TORA para resolverlo y muestre que la fase I termina con una variable básica artificial cero en
la solución básica.
3. Considere el siguiente problema:
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Utilice TORA para resolverlo y muestre que la fase I termina con dos variables básicas artificiales
cero en la solución básica.
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