Anexo 1 números naturales y divisibiidad

1
ANEXO 1-
NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD

1
Númerosnaturales.
Sistemas denumeración
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser
humano de contar lo que le rodea.
EJEMPLO
1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre?
S E P T I E M B R E
L M M i J V S D
Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.
El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin,
porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente
sumándole una unidad a ese número.
Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.
1.1 Sistema denumeracióndecimal
Para expresar
números naturales
solemos utilizar
el sistema de numeración
decimal.
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas
para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los órdenes de unidades del sistema
de numeración decimal y sus equivalencias
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millar
Centena Decena Unidad
En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman
una unidad del orden inmediato superior.
1 D = 10 U
1 C = 10 D = 100 U
1 UM = 10 C = 1 000 U
1 DM = 10 UM = 10 000 U
1 CM = 10 DM = 100 000 U
1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U
1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U
1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Contesta.
a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar?
b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar?
c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?

Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millar
Centena Decena Unidad
1 2 9 0 9 8 1 0 5
1 2 9 0 9 8 1 0 5
F 5 Unidades
F
F
F
F
0 Decenas
1 Centena = 100 unidades
8 Unidades de millar = 8000 unidades
9 Decenas de millar = 90000 unidades
F
F
F
F
0 Centenas de millar
9 Unidades de millón = 9000000 unidades
2 Decenas de millón = 20000000 unidades
1 Centena de millón = 100000000 unidades
Cómo se descompone un número en su orden de unidades
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número
le corresponde un orden de unidades.
EJEMPLO
1 Descompón estos números en su orden de unidades.
a) 14 = 1 D + 4 U
b) 256 = 2 C + 5 D + 6 U
c) 1807 = 1 UM + 8 C + 7 U
d) 103410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 D
e) 3020070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 D
f) 906025000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de
cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
EJEMPLO
2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129098105.
El valor de cada cifra
depende de su posición
en el número.
1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.
a) 15890900 b) 509123780 c) 163145900
2 Escribe tres números que tengan 4 unidades
de millar, 7 decenas y 4 unidades.
3 Escribe cinco números cuya cifra de las
centenas de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra
de las centenas de millar sea 9.

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50
C = 100 D = 500 M = 1000
1.2 Sistema denumeraciónromano
Aunque habitualmente para
escribir números naturales
utilizamos el sistema
de numeración decimal,
a lo largo de la historia
se han empleado otros
sistemas de numeración.
Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romano
se utilizan siete letras distintas con estos valores:
El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene
siempre el mismo valor.
Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano
• Suma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor,
le suma a esta su valor.
XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155
• Repetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres
veces seguidas. Las demás letras no se pueden repetir.
III = 3 XXX = 30 CCC = 300
• Sustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda
de Lo C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor.
IV = 4 XC = 90 CM = 900
• Multiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo de
letras multiplica su valor por mil.
VI = 6000 VI = 5001 XL = 40 000
EJEMPLOS
3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal.
a) LXV " 50 + 10 + 5 = 65
b) XXI " 10 + 10 + 1 = 21
c) CCVII " 100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207
d) MDIII " 1000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1503
e) IX " 10 - 1 = 9
f) XLVII " 50 - 10 + 5 + 1 + 1 = 47
g) VCCCXL " 5 · 1000 + 100 + 100 + 100 + 50 - 10 = 5340
5 Traduce al sistema de numeración decimal 6 Escribe en números romanos.
estos números romanos.
a) 194
a) XCII b) 426
b) DCCXL c) 2046
c) VIIIIX d) 12311

2
Multiplicación
denúmerosnaturales
La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su-
mandos iguales.
Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado
final se llama producto.
EJEMPLOS
El producto de dos
números se indica por
un punto (·), aunque también
se puede representar
por el signo x.
12 · 7 = 12 x 7
4 Expresa como un producto.
a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4 = 12 b) 12 + 12 = 12 · 2 = 24
5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno.
¿Qué peso marcará la báscula?
75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 · 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg.
Factores Producto
La multiplicación cumple las siguientes propiedades:
• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.
5 · 7 = 7 · 5
35 = 35
• Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera
el producto.
(4 · 7) · 5 = 4 · (7 · 5)
28 · 5 = 4 · 35
140 = 140
• Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul-
tiplicado por 1 es igual al mismo número.
13 · 1 = 13
• Distributiva. El producto de un número por una suma o resta es
igual a la suma o resta de los productos del número por cada término.
3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 ·5 4 · (8 - 3) = 4 · 8 - 4 · 3
3 · 7 = 6 + 15 4 · 5 = 32 - 12
21 = 21 20 = 20
7 Expresa como un producto.
a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11
c) 13 + 13 + 13
8 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas.
Si en cada caja hay 18 pinturas,
¿cuántas pinturas tiene en total?
9 Una docena de huevos son 12 huevos.
¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos?
¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?

3
División
denúmerosnaturales
En una división, el resto
siempre tiene que ser
menor que el divisor.
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.
Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente
y resto.
EJEMPLO
6 Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales.
¿Qué cantidad recibirá cada uno?
630 3
03 210 Cada hijo recibirá 210 €.
000
• Cuando el resto es cero, la división es exacta.
Dividendo D d
Resto 0 c
Divisor
Cociente
• Si el resto no es cero, la división es no exacta.
Dividendo D d
Resto r c
Divisor
Cociente
En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor · cociente + resto
A esta igualdad se le llama prueba de la división.
EJEMPLO
7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos
recibirá cada niño? ¿Sobra alguno?
43 14
01 3 Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.
Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es
menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división:
D = d · c + r 43 = 14 · 3 + 1
43 = 42 + 1
43 = 43
Esto significa que hemos realizado bien la división.
13 Halla el cociente y el resto de la división
6712 : 23. Haz la prueba.
6 Determina cuáles de estas divisiones son
exactas y calcula el cociente de cada una
de ellas.
a) 1416 : 18 b) 3182 : 37 c) 2470 : 26
7 Un barco lleva 56 contenedores en los que
se ha metido el mismo peso en cada uno.
Si el peso de la carga total es 85288 kg,
¿cuál es el peso de cada contenedor?

4
Potencias
denúmerosnaturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de
factores iguales:
an
= a·a·a·…·a 4
n veces
a es la base, el factor que se repite.
3 exponente
n es el exponente, el número de veces que se repite la base.
2 · 2 = 22
Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».
4 · 4 · 4 = 43
Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».
3 · 3 · 3 · 3 = 34 _ _
Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».
EJEMPLOS
8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:
Multiplicación Potencia Se lee
5 · 5 · 5 ·5 · 5 · 5 56
«5 elevado a 6» o «5 a la sexta»
14 · 14 · 14 143
«14 elevado a 3» o «14 al cubo»
Potencias debase10
Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual
a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.
EJEMPLO
9 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.
103 = 10·10·10= 1000
16 Escribe y calcula.
a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta.
b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava.
17 Indica la base y el exponente de estas
potencias. Escribe cómo se leen.
a) 36
b) 102
c) 54
d) 45
18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.
a) 10 · 10 · 10 b) 6 · 6 · 6 · 6 · 6

5
Operaciones
conpotencias
Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de
cuál sea el valor de la base y del exponente.
Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1
Cualquier número es igual a una potencia con base ese número
y exponente 1.
2 = 21
5 = 51
16 = 161
Para que se puedan aplicar
las propiedades del producto
y el cociente, las potencias
han de tener la misma base.
53
• 74 _____
No se
puede expresar como
una sola potencia.
5.1 Productodepotenciasdela misma base
Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene
la misma base y se suman los exponentes.
am
· an
= am+n
EJEMPLO
4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.
a) 25
· 23
= 25+3
= 28
d) 25
· 23
· 26
= 25+3+6
= 214
b) 57
· 52
= 57+2
= 59
e) 57
· 52
· 5 = 57+2+1
= 510
c) 43
· 4 = 43+1
= 44
f) 43
· 4 · 4 = 43+1+1
= 45
5.2 Cocientedepotenciasdela misma base
Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base
y se restan los exponentes.
am
: an
= am-n
EJEMPLO
5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) 25
: 23
= 25-3
= 22
d) 29
: 23
= 29-3
= 26
b) 57
: 52
= 57-2
= 55
e) 57
: 52
= 57-2
= 55
c) 43
: 4 = 43-1
= 42
f) 43
: 4 = 43-1
= 42
20 Escribe como una sola potencia.
a) 74
· 75
c) 93
· 95
· 94
b) 53
· 53
d) 42
· 43
·44
21 Halla el valor de estos productos
de potencias.
a) 104
· 105
b) 103
· 10 ·102

5.3 Potencias deexponente 1y0
• Una potencia de exponente 1 es igual a la base a1
= a.
• Una potencia de exponente 0 es igual a 1 a0
= 1.
EJEMPLO
6 Calcula estas potencias.
a) 20
= 1 c) 70
= 1 e) 240
= 1
b) 21
= 2 d) 71
= 7 f) 241
= 24
5.4 Potenciadeuna potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base
y se multiplican los exponentes.
(am
)n
= am·n
EJEMPLO
7 Calcula estas potencias.
a) (23
)4
= 23·4
= 212
b) (54
)6
= 54·6
= 524
5.5 Potenciadeuna multiplicación yuna división
• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las po-
tencias de sus factores.
(a · b)n
= an
· bn
• La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del
dividendo y el divisor.
Utilizando esta propiedad en
sentido inverso se pueden
simplificar los cálculos.
54
· 24
= (5 · 2)4
=
104
63
: 23
= (6 : 2)3
= 33
(a : b)n
= an
: bn
EJEMPLO
8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) (4 · 2)3
= 43
· 23
= 64 · 8 = 512
b) (10 : 5)3
= 103
: 53
= 1000 : 125 = 8
25 Calcula el valor de las potencias.
a) 151
b) 140
28 Calcula.
a) (24
)3
c) (14 · 16)5
b) (63
)5
d) (216 : 24)3

CALCULADORA
Para hallar una raíz
cuadrada con la calculadora
utilizamos la tecla .
361 " 361 19
1296 " 1296 36
a) 1 = 1 porque 12
= 1
b) 4 = 2 porque 22
= 4
c). 9 = 3 porque 32
= 9
d) 16 = 4 porque 42
= 16
e) 25 = 5 porque 52
= 25
f) 36 = 6 porque 62
= 36
g) 49 = 7 porque 72
= 49
F
6
Raíces
cuadradas
6.1 Raíz cuadradaexacta
La raíz cuadradaexacta de un número a es otro número b tal que,
al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a.
a = b, cuando b2
= a
Llamamos radicando al número a,
es el símbolo de la raíz y decimos
Símbolo
de raíz
a = b Raíz
que b es la raíz cuadrada de a. Radicando
A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados
perfectos.
EJEMPLOS
18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.
19 El área de un cuadrado es 49 cm2
. ¿Cuánto mide el lado?
49 cm2
Área = l · l = l2
l
Área = 49 cm2
l2
= 49 l = 49 = 7
El lado mide 7 cm.
l
32 Comprueba si estas raíces cuadradas están
bien resueltas.
a) 225 = 15 c) 1000 = 100
b) 255 = 16 d) 40 000 = 200
33 Halla con tu calculadora.
34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2
de área.
10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo
que son raíces cuadradas exactas. Comprueba
que el radicando al cuadrado es igual a la raíz.
a) 289 a) = 5
b) 10 000 b) = 7

7
Jerarquía
delasoperaciones
Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta
• Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis,
se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen,
de izquierda a derecha.
• Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis,
se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis.
EJEMPLO
9 Resuelve estas operaciones.
15 + 23 - 2 - 12 + 8 =
= 38 - 2 - 12 + 8 =
= 36 - 12 + 8 =
= 24 + 8 =
= 32
Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en
el que se realizan las operaciones es el siguiente:
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.
2.º Las potencias y las raíces.
3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
22 Calcula las siguientes expresiones.
a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 =
= 10 + 21 - 2 =
= 31 - 2 =
= 29
11 Resuelve estas operaciones.
a) 17 - 8 - 2 + 6 + 5 - 10
41 Calcula.
a) 7 · 4 - 12 + 3 · 6 - 2

a) 15890900 c) 509123780 e) 163145900
b) 54786008 d) 64320510 f) 986403005
Dividendo Divisor Cociente Resto
173 3
267 4
1329 9
a) 987654 c) 887787 e) 8080008
b) 656565 d) 3004005 f) 2222222
Actividades
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno
de los siguientes números.
OPERACIONES CON NÚMEROS
NATURALES
48. ● Indica el valor posicional de todas las cifras
de estos números.
58. ● Completa la tabla.
13. ● Escribe:
• Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra
de las unidades de millar sea 8.
• Cinco números menores que 100 000 cuya cifra
de las decenas de millar sea 3.
54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal
estos números romanos.
a) XXVI c) MCCXXV
b) DCXLVI d) DXXX
14. ● Escribe estos números en números romanos.
a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3002
.
15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba.
a) 327 : 22 b) 4623 : 18

POTENCIAS
66. ● Expresa estas multiplicaciones en
forma de potencia, si se puede.
a) 3 · 3· 3· 3· 3· 3· 3·3
b) 37 · 37
c) 4 · 14 · 4 · 14 · 4 · 14
d) 25
67. ● Indica cuál es la base y el
exponente.
a) 28
Base = Exponente =
b) 312
Base = Exponente =
68. ● Expresa con números.
a) Once a la quinta.
b) Nueve a la cuarta.
71. ● Completa la tabla.
Al cuadrado Al cubo A la cuarta
9
11
OPERACIONES CON POTENCIAS
3
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO
EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?
17. Copia y completa: 32
· 3X
= 38
PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.
32
· 3X
= 38----
32+X
= 38
SEGUNDO. Se igualan los exponentes.
2 + = 8
El número que sumado a 2 nos da 8 es 6. El exponente
buscado es 6.
RAÍCES CUADRADAS
96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números.
a) 64 b) 100 c) 169 d) 196
97. ● Completa.
a) = 5 c) = 15
b) = 9 d) = 20

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
18. ● Realiza las siguientes operaciones.
a) 31 - 20 + 15 - 4
b) 12 + 7 - 8 - 5 + 14
c) 17 - 9 - 5 + 24
d) 49 + 7 - 54 - 2 + 25
e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51
f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12
103. ● Calcula.
a) 15 + (12 + 6) : 3
b) 31 - (13 + 8) : 7
c) 4 + 15 : 5 + 17
d) 42 - (3 + (32 : 4) : 2)
107. ● Calcula mentalmente el número que
falta.
a) 3 · 5 + 3 · = 60
b) 13 · 40 - 13 · = 260
c) 15 · + 7 · - 15 · 6 = 150
PROBLEMAS CON NÚMEROS
NATURALES
HAZLO
ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA
EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS?
116. La factura telefónica del mes pasado fue
de 34 €, la de este mes ha sido 5 €
más cara y la de hace dos meses fue 4
€ menos.
¿A cuánto ha ascendido el gasto en
teléfono en los últimos tres meses?
PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema.
«El mes pasado» " 34 €
SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.
«Este mes 5 € más» " 34 + 5 = 39 €
«Hace dos meses 4 € menos» " 34 - 4 = 30 €
TERCERO. Se resuelve el problema.
34 + 39 + 30 = 103 €
El gasto en teléfono ha sido de 103 €.
117. ●● En un partido de
baloncesto, los
máximos anotadores
han sido Juan, Jorge
y Mario. Juan ha
logrado 19 puntos,
Jorge 5 puntos más
que Juan y Mario
7 puntos menos
que Jorge.
¿Cuántos puntos
han obtenido entre
los tres?

118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar:
420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina
para el coche, 60 € en la manutención
y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €.
¿Cuánto gano al mes?
119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que
su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos
que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?
120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes
a sembrar trigo. El primer día sembraron
125 kilos y el segundo día sembraron
el doble de kilos que el primero.
a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día?
b) ¿Y entre los dos días?
121. ●● Observa estos precios.
127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personas
y se sabe que la primera recibirá 280 €.
¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto
se reparte en partes iguales?
128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta
y compran 12 botellas de 2 litros de naranja,
12 de limón y 12 de cola.
a) ¿Cuántos litros han comprado?
b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2 €,
¿cuánto dinero se han gastado?
130. ●●● En España cada persona recicla, por
término medio, 14 kg de vidrio cada año.
a) Si en España hay 40 millones de personas,
¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año?
b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos
más debería reciclar cada persona?
Desde 400 €
hasta 600 €
Desde 200 €
hasta 450 €
Desde 350 €
hasta 750 €
a) ¿Se pueden adquirir los tres artículos
con 900 €?
b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria para
comprar los tres artículos?
c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone
de 2000 € para comprar los tres artículos?
122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de
gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces
más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos
al cabo de 4 horas?
123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se
gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar
hasta que ahorre 18 €?
124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas.
Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas
sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra?
125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €.
Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuánto
dinero nos ahorramos comprando garrafas?
126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h.
¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja
el primer coche al segundo al cabo de 9 horas?
131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado
formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada
fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total?
132. ●● Marta quiere saber cuántos
melocotones hay en el almacén. Para ello hace
5 montones con 5 cajas en cada montón, y en
cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila.
¿Cuántos melocotones hay?
133. ●● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas
llenas de vasos que debe colocar.
La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos
en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar?
134. ●● ¿Cuántos azulejos
necesita Jorge para cubrir
una pared cuadrada,
si en la primera fila
ha colocado 5 azulejos?

18
28 4
10 7
28 5
13 5
•
•
3
Múltiplos
deun número
Dividendo (D) divisor (d)
resto (r) cociente (c)
Cuándo una división es exacta
• Una división es exacta si su resto es cero. 54 6
Si una división es exacta se cumple que: 0 9
Dividendo = Divisor · Cociente
• Una división no es exacta cuando su resto 56 6
es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9
Dividendo = Divisor · Cociente + Resto
Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a
es exacta.
EJEMPLO
4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?
La división 28 : 4 es exacta _ 28 es múltiplo de 4.
La división 28 : 5 no es exacta _ _ 28 no es múltiplo de 5.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por
los sucesivos números naturales.
EJEMPLOS
SE ESCRIBE ASÍ
3 _Todos los múltiplos de
3.
5 Calcula los múltiplos de 3.
Múltiplos de 3 -- 3 ·1, 3 ·2, 3 · 3, 3 · 4, 3 · 5, 3· 6, 3· 7…
•
3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}
12 _ Todos los múltiplos de
12.
Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.
1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.
Múltiplos de 12— 12· 1, 12· 2, 12· 3, 12· 4, 12· 5, 12· 6
Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.
10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta. 1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.
11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta. 2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.

19
48 8
0 6
48 9
3 5
8 1 8 2 8 3
0 8 0 4 2 2 "
F
4
Divisores
deun número
Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a
es exacta.
EJEMPLO
7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.
La división 48 : 8 es exacta " 8 es divisor de 48.
La división 48 : 9 no es exacta " 9 no es divisor de 48.
8 es divisor de 48
48 es múltiplo de 8
Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre
los sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea
menor que el divisor.
EJEMPLOS
9 Calcula todos los divisores de 8.
El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente.
8 : 1 = 8 " Es una división exacta " 1 y 8 son divisores de 8.
8 : 2 = 4 " Es una división exacta " 2 y 4 son divisores de 8.
Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se escribe así: Div (8) = {1, 2, 4, 8}.
SE ESCRIBE ASÍ
Div (8) " Todos los
divisores de 8.
Div (12) " Todos los
divisores de 12.
3 Di si es ciertoo no.
a) 8 es divisor de 56. b) 12 e divisor de 95.
15 ¿Cuáles son divisores de 36?
2 7 12 36 15 20 1 4 40 9
16 Calcula todos los divisores de:
a) 30 b) 45 c) 27
17 Di si es ciertoo no.
a) 12 es divisor de 3.

20
17 5
2 3 "
27 6
3 4 "
5
Númerosprimos
ycompuestos
• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la
unidad.
• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número
compuesto.
EJEMPLO
10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos.
Calculamos todos los divisores de 17:
17 1 17 2 17 3 17 4
7 17 1 8 2 5 1 4
0
El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente.
Div (17) = {1, 17} 17 solo tiene dos divisores.
17 es un número primo.
Calculamos todos los divisores de 27:
Números primos hasta 100
27 1 27 2 27 3 27 4 27 5
7 27 7 13 0 9 3 6 2 5
0 1
Como 4 es menor que 6,
no seguimos dividiendo.
Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas:
27 : 1 = 27 " 1 y 27 son divisores de 27.
27 : 3 = 9 " 3 y 9 son divisores de 27.
Div (27) = {1, 3, 9, 27} " 27 tiene más de dos divisores.
27 es un número compuesto.
4 Determina si los siguientes números son primos
o compuestos.
a) 11 e) 29 i) 58
b) 13 f) 42 j) 65
c) 18 g) 46 k) 70
d) 24 h) 54 l) 80
5 Escribe todos los números primos menores
que 20.
6 Escribe cinco números primos mayores que 50 y
otros cinco menores que 40.
7 Escribe los números compuestos menores que
20.
19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?

21
a) 15 : 3 c) 59 : 3 a) 37 : 2 c) 81 : 5
b) 26 : 3 b) 48 : 3
6
Factorización
deun número
Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta
• La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0
o en una cifra par.
• La división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifras
de ese número, obtenemos un múltiplo de 3.
Los números pares son:
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
• La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0
o en 5.
EJEMPLO
9 Estudia si estas divisiones son exactas. 10 Estudia si estas divisiones son exactas.

22
a) 10 d) 21 g) 70
b) 14
c) 15
e) 35
f) 42
h) 105
i) 210
Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir,
expresarlo como producto de sus divisores primos.
Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos
(2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la
unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco
es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11…
Los primeros
números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, …
EJEMPLO
6 Factoriza el número 30.
Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primo
que haga la división exacta.
30 : 2 " División exacta, porque 30 termina en 0.
30 : 2 = 15
Factorización " 30 = 2 · 15
Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta;
en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer número
primo que haga la división exacta.
15 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par
15 : 3 " División exacta, porque: 1 + 5 = 6
y 6 : 3 es división exacta
15 : 3 = 5
Factorización " 30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5
Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1.
5 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par.
5 : 3 " División no exacta.
5 : 5 " División exacta.
5 : 5 = 1
Cuando obtenemos como cociente 1, la factorización está terminada.
Factorización " 30 = 2 · 3 · 5
Este proceso se suele escribir de la siguiente manera:
Resultado de: Significa que:
30 2 30 : 2 División exacta
30 : 2 " 15 3 15 : 3 División exacta
15 : 3 " 5 5 5 : 5 División exacta
5 : 5 " 1
Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores.
Factorización " 30 = 2 · 3 ·5
11 Factoriza los siguientes números.

23
F
F
Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante
una potencia
Una potencia es un producto de factores iguales.
3 · 3 · 3 · 3 = 34
2 · 2 · 2 = 23
4 veces 3 veces
EJEMPLO
12 Descompón el número 420 como producto de factores primos.
Cocientes parciales Factorización
420 es divisible por 2 420 : 2 = 210 420 = 2 ·210
210 es divisible por 2 210 : 2 = 105 420 = 2 · 2 · 105
105 no es divisible por 2
105 es divisible por 3
105 : 3 = 35 420 = 2 · 2 · 3 · 35
35 no es divisible por 2
ni por 3, pero sí por 5
35 : 5 = 7 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
7 es un número primo,
es divisible por él mismo
7 : 7 = 1 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 1
Por tanto, podemos expresar el número 420 como:
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 1 " 420 = 22
· 3 · 5 · 7
En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremos
potencias.
Para realizar la descomposición de un número en factores primos
lo escribimos, normalmente, del siguiente modo:
COCIENTES
PARCIALES
FFACTORES
PRIMOS
420 2
420 : 2 " 210 2 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
210 : 2 " 105 3 420 = 22
· 3 · 5 · 7
105 : 3 " 35 5
35 : 5 " 7 7
7 : 7 " 1
22 Descompón en producto de factores
primos los siguientes números.
a) 36 c) 24 e) 180
b) 100 d) 98 f) 120
13 Descompón en factores primos.
a) 8 c) 27 e) 125
b) 32 d) 81 f) 625

24
7
Máximo
común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus
divisores comunes.
Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme-
ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo-
nente.
3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.
EJEMPLOS
El máximo común divisor de
dos números puede ser 1.
Por ejemplo:
4 = 22
9 = 32
No hay factores comunes.
m.c.d. (4, 9) = 1
7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.
Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos.
12 2 40 2
6 2 20 2
3 3 12 = 2 · 2 · 3 = 22
· 3 10 2 40 = 2 ·2 · 2 · 5 = 23
·5
1 5 5
1
El único factor primo común es 2.
Al elevarlo al menor exponente: 22
Así, resulta que: m.c.d. (12, 40) = 22
= 4
26 Calcula el máximo común divisor de cada
pareja de números.
a) 42 y 21 b) 24 y 102
c) 13 y 90
14 Obtén el máximo común divisor.
a) 105 y 128
b) 180 y 240
27 Halla el máximo común divisor de 18, 30 y 54.

25
8
Mínimo
común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los
múltiplos comunes.
Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme-
ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados
al mayor exponente.
3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.
EJEMPLOS
8 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos.
4 2 6 2
2 2 3 3
1 1
4 = 2 · 2 = 22
6 = 2 · 3
El factor primo común es 2, y el no común, 3.
Al elevarlos al mayor exponente: 22
y 3
Así, resulta que: m.c.m. (4, 6) = 22
· 3 = 4 · 3 = 12
5
EJERCICIOS
30 Determina el mínimo común múltiplo de estas
parejas de números.
15 Calcula el mínimo común múltiplo.
a) 24 y 48 c) 16 y 80
a) 5 y 12
b) 6 y 14
c) 3 y 21
d) 4 y 18
e) 14 y 27
f) 12 y 20
b) 18 y 54 d) 22 y 52
31 Halla el mínimo común múltiplo de 15, 25 y 9.

26
Actividades
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
1. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona
las
respuestas.
a) 35 es múltiplo de
5. b) 49 es múltiplo
de 6.
2. ● ¿Cuál de estas series está formada
por múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos
de 5?
a) 1, 4, 9, 16, 25,
…
b) 5, 10, 15, 20,
…
c) 8, 10, 12, 14, 16,
…
3. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y
8 menores que 50?
4. ● Calcula cuatro números que sean
múltiplos de 7 y que estén comprendidos
entre 60 y 110.
DIVISORES DE UN NÚMERO
5. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona
las respuestas.
a) 12 es divisor de
48.
b) 15 es divisor de
3.
c) 9 es divisor de
720.
6. ● Completa los divisores de 24, 16, 36 y 54.
Div (24) = {1, 2, _, 4, _, 8, _, _}
Div (16) = {1, 2, _, _, 16}

27
7. ● Halla todos los divisores de 42.
¿Cuántos divisores tiene 42?
8. ● Si 63 es múltiplo de 9, ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son ciertas?
a) 63 es divisor de 9.
b) 9 es divisor de 63.
c) 9 es múltiplo de 63.
9. ● Al hacer la división 57 : 5, vemos que no es
exacta. Decide si es verdadero o falso.
a) 5 no es divisor de 57.
b) 57 es múltiplo de 5.
c) 57 no es divisible por 5.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMO
O COMPUESTO?
18. Averigua si 61 es primo o compuesto.
PRIMERO. Se calculan los divisores del número.
61 1 61 2 61 3 61 4 61 5
0 61 1 30 1 20 1 15 1 12
61 6 61 7 61 8
1 10 5 8 5 7 " El cociente, 7, es menor que
el divisor, 8.
Como solo existe una división exacta:
Div (61) = {1, 61}
SEGUNDO. Se decide si el número es primo
o compuesto.
• Si el número de divisores es dos,
el número es primo.
• Si el número de divisores es mayor que dos,
el número es compuesto.
Como 61 tiene dos divisores, es un número primo.
10. ● Completa la siguiente tabla:
Números Divisores Primo/Compuesto
33 1, 3, 11, 33 Compuesto
61
79
72
39
11. ● ¿Cuáles de estos números son primos?
¿Y cuáles son compuestos?
a) 46 b) 31
.
12. ●● Escribe estos números como suma de dos
números primos.
a) 12 b) 20 c) 36 d) 52

28
FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO
13. ● ¿A qué números corresponden estas
descomposiciones en factores primos?
a) 23
· 3 · 5 e) 23
· 52
· 7
b) 2 · 32
·7 f) 32
· 5 · 72
c) 5 · 72
· 11 g) 3 · 53
· 72
d) 2 · 3 · 5 · 72
h) 23
· 32
· 5 · 73
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
14. ● Halla el máximo común divisor
de los siguientes pares de números.
a) 16 y 24 b) 45 y 72
15. ● Calcula el máximo común divisor de estos
pares de números.
a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2
b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47
16. ●● Obtén el máximo común divisor
de los siguientes números.
a) 8, 12 y 18 b) 16, 20 y 28
c) 8, 20 y 28
17. ● Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 12 y 24 b) 16 y 18
18. ● Halla el mínimo común múltiplo de:
a) 5 y 12 b) 7 y 14
19. ●● Determina el mínimo común múltiplo de:
a) 12, 15 y 18 b) 10, 20 y 30
PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD
20. ● José está haciendo una colección de cromos.
Los cromos se venden en sobres con 5 cromos
cada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?
21. ● Rafa ha hecho 40 croquetas.
¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos
sin que le sobre ninguna?
¿Y en 9 platos?

29
as distintas puede repartirlas?
22. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos.
Los cromos se venden en sobres de 5 cromos
cada uno. Suponiendo que no se repita
ningún cromo, ¿cuántos sobres tiene
que comprar como mínimo?
23. ●● Luis quiere pegar las 49 fotos de
sus vacaciones en filas de 3 fotos cada una.
¿Cuántas filas enteras obtendrá? ¿Le sobra
alguna foto? Razona la respuesta.
28. ●● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en
cestos, con el mismo número de piñas en cada
uno, sin que le sobre ninguna. ¿De cuántas
maner
HAZLO ASÍ
29. ●● María ha hecho 45 pasteles y los quiere
¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOS
IGUALES?
guardar en cajas. ¿De cuántas maneras los
puede guardar para que no sobre ninguno?
24. Necesitamos envasar 10 rosquillas en cajas
que tengan el mismo número de rosquillas cada
una. ¿De cuántas formas se pueden envasar?
PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.
10 1 10 2 10 3 10 4
0 10 0 5 1 3 2 2
El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto,
no seguimos dividiendo.
10 : 1 = 10 " División exacta " Divisores: 1 y 10
10 : 2 = 5 " División exacta " Divisores: 2 y 5
SEGUNDO. Los divisores son las formas
en que se puede agrupar la cantidad.
Divisores: 1 y 10
Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillas
o en 10 cajas de 1 rosquilla.
Divisores: 2 y 5
Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillas
o en 5 cajas de 2 rosquillas.
25. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere
colocarlos en fila, de modo que en cada fila haya
la misma cantidad de coches.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
26. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete de
3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden en
algún número? ¿Qué tienen en común
dichos números?
27. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales.
Hay 8 canarios y quiere ponerlos en jaulas, con
el mismo número de canarios en cada una, sin
que sobre ninguno. ¿De cuántas formas
puede colocar los canarios en las jaulas?
30. ●● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que
ponerlas en montones, con el mismo número de
láminas en cada uno, sin que le sobre ninguna.
¿Cuántas láminas puede poner en cada
montón?
31. ●● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere
colocar en grupos, de manera que cada grupo
tenga el mismo número de macetas y no sobre
ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner
en cada grupo?
32. ● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus
de la terraza. Riega los geranios cada 3 días
y los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienen
que pasar como mínimo hasta que Maite vuelva
a regar las dos plantas el mismo día?
33. ● Fran y Raquel van
a patinar a la misma
pista. Fran va cada
4 días y Raquel,
cada 5 días.
Hoy han ido los dos.
¿Dentro de cuántos
días volverán a
coincidir por
primera vez en la
pista de patinaje?

Anexo 1 números naturales y divisibiidad

Anexo 1 números naturales y divisibiidad

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (19)

Similaire à Anexo 1 números naturales y divisibiidad

Similaire à Anexo 1 números naturales y divisibiidad (20)

Plus de Isabel Lozano

Plus de Isabel Lozano (20)

Dernier

Dernier (20)

Anexo 1 números naturales y divisibiidad