1. Quem foi Claudio Ptolomeu? Considerado um dos maiores sábios da antiguidade dedicou-se a diversos campos do conhecimento: matemática, geografia, física e especialmente astronomia. Defendia o sistema geocêntrico (sistema que coloca a Terra no centro do Universo, no qual o Sol, os planetas, as estrelas "fixas" movimenta-se em volta da Terra). A Igreja Católica viria a aceitar a sua tese como a correta fazendo com que o modelo geocêntrico fosse aceito sem contestação durante os 14 séculos seguintes. Não existem muitos conhecimentos sobre a vida desta grande figura. Claudio Ptolomeu terá nascido por volta do ano 90 d.C. em Ptolomaida no Egito e terá vivo em Alexandria entre os anos 120 e 145. Ele foi autor de várias obras, algumas delas já desaparecidas. Na astronomia ele sintetiza a obra de seus antecessores criando a sua obra principal: "A grande síntese" também conhecida como "O grande astrônomo" ou ainda por "Almagesto". Esta obra divide-se em 13 livros ou capítulos. Segundo a tradição islâmica, Claudio Ptolomeu terá morrido aos 78 anos de idade.

2. Obras Entre outras coisas afirma que a Terra é o centro do universo. O sistema ptolomaico, em que a Terra aparece como o centro, é adotado pela Igreja Católica durante toda a Idade Média, até ser derrubada pelas teorias de Nicolau Copérnico e Galileu Galilei. Em sua obra principal, A Grande Síntese, geralmente mencionada com o título da tradução árabe, Almagesto, apresenta seus cálculos sobre a dimensão da Lua e a distância entre ela e o Sol. Inventa o astrolábio e organiza um catálogo de 1 022 estrelas fixas, das quais 172 são descobertas por ele. Como geógrafo, compila na obra Geographia os dados de latitude e longitude e os mapas, respectivos, de 27 países mediterrâneos.

3. Suas contribuições a Matemática O Almagesto é um marco, um modelo de Astronomia que perdurou até Copérnico, no século XVI. Ptolomeu, na verdade, sistematizou e compilou no Almagesto uma série de conhecimentos bastante difundidos em sua época e que a maior parte da obra é baseada no trabalho do astrônomo e matemático grego Hiparco, cujos livros se perderam. Isto aparece num comentário sobre trabalhos mais antigos, de Teon de Alexandria, que viveu dois séculos após e foi um dos matemáticos que pesquisaram sobre as descobertas dos gregos anteriores. Ele menciona que Hiparco escreveu doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas. As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

4. O desenvolvimento da trigonometria esta bastante ligado à astronomia. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica. Ptolomeu desenvolveu o estudo da trigonometria nos capítulos dez e onze do primeiro livro do Almagesto. O capítulo 11 consiste numa tabela de cordas e o capítulo 10 explica como tal tabela pode ser calculada. Na verdade, não existe no Almagesto nenhuma tabela contendo as .funções. seno e cosseno, mas sim a função corda do arco x, ou crd x, embora naturalmente estes termos não apareçam. A “função” corda do arco x era definida como sendo o comprimento da corda que corresponde a um arco de x graus em um círculo cujo raio é 60. Assim, na tabela de cordas de Ptolomeu existiam três colunas: a primeira listando os arcos, a segunda, o comprimento da corda correspondente a cada arco e a terceira que dava o aumento médio de crd x correspondente a um acréscimo de um minuto em x. Esta coluna era usada para interpolações, isto é, para achar o valor de crd x se x estivesse entre duas entradas na coluna de arcos.

5. Teorema de Ptolomeu O resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD é um quadrilátero convexo inscrito num círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais. Demonstração: Quadrilátero inscrito ABCD Teorema: AC.BD = AB. CD + BD. AD Para demonstrar o teorema proposto, foi construído um ponto E sobre a diagonal AC de maneira que o ângulo e sejam congruentes. Se observarmos em primeiro lugar que os triângulos BCE e ABD são semelhantes , pois os ângulos e são iguais por construção, e os ângulos e também são iguais, pois subtendem o mesmo arco, logo seus lados correspondentes são proporcionais, portanto :

6. ( I ) Em seguida observamos os triângulo BAE e BDC ( figura 2 ) podemos verificar que os mesmos também são semelhantes, pois os ângulos em B são iguais por construção e os ângulos e são iguais por subtenderem o mesmo arco, então: ( II ) Adicionando ( I ) e ( II ), resulta: BC.AD + AB.CD = CE .BD + AE.BD BC.AD + AB.CD =BD.(CE + AE) Como CE + AE = AC, concluímos : BC.AD + AB.CD = BD.AC O enunciado original não era este, pois o produto de segmentos só era entendido geometricamente e não como produtos dos números que medem seus comprimentos, na sua usual versão Ocidental . Ao contrário, Ptolomeu enunciava assim: “O retângulo construído sobre AC e BD é igual ao retângulo construído sobre AB e DC mais o retângulo construído sobre AD e BC”.

7. EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS A partir do resultado do Teorema de Ptolomeu, operando com as cordas dos arcos, chega-se a demonstração as expressões trigonométricas referentes à diferença de dois arcos, soma de dois arcos e arco metade. .

8. TÁBUA DE CORDAS DE PTOLOMEU (a) Prove o teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos. (b) Deduza, a partir do teorema de Ptolomeu, as seguintes relações: 1. Se a e b são as cordas de dois arcos de círculo de raio unitário, então s = a (4 - b² ) ½ + b (4 - a² ) ½ 2 2 é a corda da soma dos dois arcos. 2. Se a e b, a ³ b, são as cordas de dois arcos de um círculo de raio unitário, então d = a (4 - b²) ½ - b (4 - a² ) ½ 2 2 é a corda da diferença dos dois arcos. 3. Se t é a corda de um arco de um circulo de raio unitário, então s = {2 – (4 - t² ) ½}½ é a corda do arco da metade.

9. Num círculo de raio unitário, cdr 60º=1, e, pode-se mostrar, cdr 36º= parte maior do raio quando dividido em seção áurea [ ver exercício 3.10(d)] = 0,6180. Devido a (2), crd 24º = crd (60º - 36º) = 0,4158. Por meio de (3) podem-se calcular as cordas de 12º, 6º, 3º, 90º e 45º, obtendo-se crd 90º = 0,0262 e crd 45º = 0,0131. Devido ao exercício 6.1(b), crd 60º/ crd 45º < 45 =&quot; 4/3,&quot; 60 =&quot; 3/2,&quot;> (2/3) (0,0262) = 0,0175. Portanto, crd 1º = 0,0175. Por meio de (3) podemos encontrar também crd (1/2)º. Com isso podemos construir uma tábua de cordas com incrementos de (1/2)º. Esse é o âmago do método de Ptolomeu para a construção de sua tábua de cordas. (c) Mostre que as relações (1), (2) e (3) de (b) são equivalentes às formulas trigonométricas para sem (a+b), sen (a-b) e sen (0/2). Demonstre os interessantes resultados seguintes, como conseqüência do teorema de Ptolomeu: Se P pertence ao arco AB da circunferência circunscrita a 1. um triangulo eqüilátero ABC, então PC=PA+PB, 2. um quadrado ABCD, então (PA+PC)PC=(PB+PD)PD, 3. um pentágono regular ABCDE, então PC+PE=PA+PB+PD, 4. um hexágono regular ABCDEF, então PD+PE=PA+PB+PC+PF

10. Componentes: Catiana Mara Andreolla, Josiane Bruna de Morais e Mariana Garcia Turma: 21 B