O documento discute os conceitos de poliedros, polígonos e sólidos geométricos. Explica que poliedros são sólidos limitados por polígonos e que existem poliedros regulares descritos por Platão e Kepler-Poinsot. Também menciona exemplos de outros sólidos como cubo, pirâmide e esfera.
3. EDITORA PORTIDEIAS
Imagine esta construção:
Vamos construir vários polígonos de vários tipos.
Polígonos?
Sim ... figuras planas. São excelentes para
fazermos experiências de construção de
POLIEDROS.
E para construção de poliedros são
necessários polígonos? porque?
Lógico! Chegamos ao ponto:
POLIEDROS são sólidos limitados por
polígonos (que são as faces de um poliedro.
Vamos continuar a construção;
É possível visualizar um poliedro a partir da
armação construída pelas suas arestas.
Os vértices, as arestas e as faces de um
poliedro dizem-se os elementos do poliedro.
Capitulo 1
4. EDITORA PORTIDEIAS
Os poliedros podem
ser Convexos ou Côncavos.
São convexos
quando se encontram
todos para o mesmo
lado em relação ao plano de qualquer uma das
suas faces, ou seja, quando as suas faces
deixam sempre as demais no mesmo semi-
espaço.
Caso contrário, os poliedros dizem-se
côncavos.
Exemplo de um poliedro côncavo:
Uma relação válida para todos os poliedros
que iremos referir neste trabalho, é a Relação de
Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:
n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2
Em alguns poliedros, todas as faces são
polígonos regulares geometricamente iguais e em
cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo
número de arestas. A estes poliedros
chamamos Poliedros Regulares. Estes são
também conhecidos por Sólidos Platónicos.
Capitulo 2
5. EDITORA PORTIDEIAS
Falar de poliedros, matematizar, filosofar?
Chegamos em outro estudo importante !!!
Já construímos, agora vamos viajar.... Conhecer os
filósofos, matemáticos que tanto contribuíram para
estes conhecimentos:
Platão foi um filósofo e matemático do período
clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos
filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a
primeira instituição de educação superior do mundo
ocidental.
Johannes Kepler foi um astrônomo, matemático e
astrólogo alemão e figura-chave da revolução
científica do século XVI.
Louis Poinsot foi um matemático francês.
Nascimento: 3 de janeiro de 1777, Paris, França.
Falecimento: 5 de dezembro de 1859, Paris, França.
Capitulo 3
6. EDITORA PORTIDEIAS
E trazendo estes estudiosos para a
matemática e especialmente para os sólidos.
Os sólidos de Platão também são
denominados de poliedros, pois são formados por
faces, arestas e vértices. As faces são
constituídas por seções de planos, considerando
que entre duas faces temos as arestas, as quais
possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre
os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes
propriedades em alguns poliedros. Os poliedros
de Platão possuem características próprias e se
enquadram nas seguintes condições:
O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo
número de arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão
vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V =
vértices, A = arestas e F = faces.
O prisma a seguir pode ser considerado um
Poliedro da Platão, pois se encaixa nas
condições descritas anteriormente.
Capitulo 4
7. EDITORA PORTIDEIAS
Os poliedros de Kepler-Poinsot são poliedros
regulares não convexos. Existem apenas quatro destes
sólidos: pequeno dodecaedro estrelado, grande
dodecaedro estrelado, grande icosaedro e grande
dodecaedro.
Para considerá-los como poliedros regulares é
preciso admitir que nesta categoria as faces podem
ser polígonos regulares não convexos e que estas
faces podem se intersectar.
Johannes Kepler apresentou dois deles – pequeno
dodecaedro estrelado e grande dodecaedro estrelado
– em seu trabalho Harmonice Mundi, em 1619.
Embora ilustrações desses sólidos já existissem,
Kepler recebeu os créditos por ser o primeiro a
considerá-los matematicamente.
Em 1809, Louis Poinsot descreve os quatro -
pequeno dodecaedro estrelado, grande dodecaedro
estrelado, grande icosaedro e grande dodecaedro - na
sua obra Polygons and Polyhedra. Assim como no caso
dos poliedros descritos por Kepler, há ilustração do
grande dodecaedro anterior à obra de Poinsot.
Esses poliedros passaram, então, a ser conhecidos
como poliedros de Kepler-Poinsot.
Portanto, são nove os poliedros regulares, os cinco
poliedros de Platão e os quatro de Kepler-Poinsot.
Cauchy provou que são apenas estes os poliedros
regulares.
Capitulo 5
8. EDITORA PORTIDEIAS
No pequeno dodecaedro estrelado e no grande
dodecaedro estrelado as faces são pentagramas
(Figura 1). No grande icosaedro, as faces são
triângulos e no grande dodecaedro, as faces são
pentágonos (Figura 2).
Como já falamos anteriormente, o prisma a seguir
pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se
encaixa nas condições descritas anteriormente.
Diante do exposto, podemos concluir, partindo do
princípio que os objetos que nos rodeiam apresentam
as mais diversas formas, ocupando um espaço em um
Capitulo 6
9. EDITORA PORTIDEIAS
certo lugar e tendo uma forma imutável, chamamos
sólidos.
Uns limitados por superfícies planas - poliedros, como
já falamos anteriormente, outras curvas e outras ainda
planas e curvas.
Exemplos de sólidos: cubo, prisma, paralelepípedo,
pirâmide, cone, cilindro e esfera.
Se os poliedros são delimitados por regiões planas que
são os polígonos podemos que os cones, cilindros e
esferas não são poliedros.
Sólidos de Platão
ANEXOS
