Integral_formulas

1. Tablice integrala
i diferencijalnih jednadžbi

2. Tablica integrala
1. Potencije
x n +1 1
∫ x dx =
n
n +1
+c ∫ x dx = ln x + c
2. Trigonometrijske funkcije
1
∫ sin xdx = − cos x + c ∫ sin axdx = − a cos ax + c
∫ cos xdx = sin x + c 1
∫ cos axdx = a sin ax + c
∫ tgxdx = − ln cos x + c x 1
∫ sin xdx =
− sin 2 x + c
2
∫ ctgxdx = ln sin x + c 2 4
x 1
1
∫ cos xdx = 2 + 4 sin 2 x + c
2
∫ sin 2
x
dx = −ctgx + c
1
∫ cos
1
2
dx = tgx + c ∫ sin x cos xdx = − 4 cos 2 x + c
x
sin n −1 ax ⋅ cos ax n − 1
∫ sin axdx = − +
n ∫
sin n −2 dx
n
na
cos n −1 ax ⋅ sin ax n − 1
∫ ∫ cos dx
n−2
cos n axdx = +
na n
1 1
∫ sin axdx = 2 x − 4a sin 2ax + c
2
1 1
∫ cos axdx = 2 x + 4a sin 2ax + c
2
1 1 cos ax n−2 dx
∫ sin n
ax
dx = − ⋅ n −1
+
a ( n − 1) sin ax n − 1 ∫ sin n−2 ax
1 1 sin ax n−2 dx
∫ cos n
ax
dx = ⋅ n −1
+
a( n − 1) cos ax n − 1 ∫ cos n−2 ax

3. ∫ sin
m
x cos n xdx m, n Є N
1. m-neparan = supstitucija cosx = t
2. n-neparan = supstitucija sinx = t
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
3. m,n-parni = supstitucija
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
1 1
∫ sin n
x
dx supstitucija sin x =
t
t n −1
svodi se na integral ∫ t2 +1
1 1
∫ cos n
x
dx supstitucija cos x =
t
1
∫ cos αx cos βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) + cos(α + β ) ]dx
1
∫ sin αx sin βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) − cos(α + β ) ]dx
1
∫ cos αx sin βxdx = ∫ 2 [sin (α − β ) + sin (α + β ) ]dx
Euler-ova formula
e xi − e − xi e xi + e − xi
e = cos x + i ⋅ sin x
xi
; sin x = ; cos x =
2i 2

4. 3. Racionalne funkcije
1  a 
1
∫ ax 2 + b dx = a ⋅b
arctg  
 b ⋅ x + c
 
1 1 a+x
∫ a 2 − x 2 dx = 2a ln a − x + c
1 1 x−a
∫x −a
2 2
dx = ln
2a x + a
+c
1 1
∫ ax + b dx = a ln ax + b + c
2a
⋅ b1 − b1
a1 x + b1 a1 2ax + b a1 a1
∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ∫ ax 2 + bx + c dx + 2a ∫ ax 2 + bx + c dx
x 1 b 2 − 4ac b 2 − 4ac − ( 2ax − b )
∫ ax 2 + bx + c dx =
2a
ln ax 2 + bx + c +
2a ( b 2 − 4ac )
⋅ ln
b 2 − 4ac + ( 2ax + b )
+c
4. Iracionalne funkcije
1 1  b 
∫ a 2 − bx 2
dx =
b
arcsin 
 a ⋅ x + c
 
∫
1
x ±a2 2
(
dx = ln x + x 2 ± a 2 + c )
1
∫ (x −α) n
dx supstitucija ( x −α) = 1
⋅ ax + bx + c
2
t
Ostrogradski:
Pn ( x ) 1
∫ dx = Qn −1 ( x ) ⋅ ax 2 + bx + c + λ ∫ dx
ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c

5. a>0 ,
1
a
( )
ln 2 − a ⋅ ax 2 + bx + c + 2ax + b + c
1
∫ ax 2 + bx + c
dx =
1  2ax + b 
a<0 , − arcsin
 2
+c

−a  b − 4ac 
5. Binomni integral
∫ x ⋅ ( a + bx )
m n p
dx m, n, p Є Q
1. p - cijeli broj
m +1
2. - cijeli broj , supstitucija ( a + bx n ) = t s
n
m +1
3. + p - cijeli broj , supstitucija ( ax − n + b ) = t s
n
s- nazivnik razlomka « p »
6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije
∫ e dx = e +c ∫ ln xdx = x ⋅ ln x − x + c
x x
1 ax +b
∫ ln xdx = ( x ⋅ ln x ) − n ⋅ I
n n
∫ e dx =
ax + b
e +c n −1
a
ax
∫ a dx = +c
x
ln a
7. Hiperbolne funkcije

6. ∫ shxdx = chx + c ∫ ch
1
2
dx = thx + c
x
∫ chxdx = shx + c 1
∫ sh dx = −cthx + c
∫ thxdx = ln chx + c
2
x
∫ cthxdx = ln sh + c
8. Površine, volumeni i rektifikacija
b d
Px = ∫ f ( x ) dx Py = ∫ f ( y ) dy
a c
b d
Px = ∫ [ gornja − donja ] dx V y = π ∫ [ f ( y ) ] dy
2
a c
b
Px = 2π ∫ f ( x ) ⋅ 1 + [ f ′( x ) ] dx
2
b
a s = ∫ x 2 + y 2 dx
  u parametarskom obliku
b a
V x = π ∫ [ f ( x ) ] dx
2
a
b
s = ∫ 1 + ( y ′) dx
2
a
Diferencijalne jednadžbe
1. Linearna diferencijalna jednadžba
y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) opći oblik

7. − f ( x ) dx  ∫ f ( x ) dx ⋅ g ( x ) dx + c 
y=e ∫  ∫e 
 
2. Bernoulli-eva diferencijalna jednadžba
y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) ⋅ y n opći oblik
1
supstitucija z =
y n −1
1
z′ + f ( x) ⋅ z = g ( x) svodi se na linearnu
1− n
3. Egzaktna diferencijalna jednadžba
P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = 0 opći oblik
δP δQ
= uvijet
δy δx
δu δu
du = dx + dy totalni diferencijal
δx δy
 δ 
∫ Pdx + ∫ Q − ∫ Pdx  dy = c
 δy 
konačno rješenje
4. Homogena diferencijalna jednadžba
y ′ = f ( x, y ) opći oblik
 y
f ( x, y ) = ϕ   uvijet
x
supstitucija:

8. y
z=
x
y = x⋅z
y′ = z + x ⋅ z′
svodi se na separaciju varijabli
5. Langrange-ova diferencijalna jednadžba
y = x ⋅ ϕ ( y ′) + f ( y ′) opći oblik
y′ = p
d
y = x ⋅ϕ ( p) + f ( p)
dx
dp
y ′ = ϕ ( p ) + x ⋅ ϕ ′( p ) + f ′( p )
dx
6. Linearne dif. jed. sa konstantnim koeficijentima
a n y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +  + a 2 y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ) opći oblik
y = yh + y p opće rješenje
6.1. Homogeni dio y h (karakteristična jednadžba ak 2 + bk + c = 0 )
1. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti
k1, 2 ∈ R , k1 ≠ k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ e k 2 x
2. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki
k1, 2 ∈ R , k1 = k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ x ⋅ e k2 x
3. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe konjugovano-kompleksni
k1, 2 = α ± β ⋅ i , y h = e α ⋅x ( C1 cos βx + C 2 sin β x )

9. 6.2. Partikularni dio y p
1. f ( x ) = Pn ( x ) polinom n-tog stupnja od x
1.1. homogeni dio sadrži sve članove y p = A za polinom nultog stipnja
y p = Ax + B za polinom 1. st.
y p = Ax 2 + Bx + C za polinom 2. st.

1.2. homogeni dio ne sadrži poslednji član
y p = Ax
y p = Ax 2 + Bx
y p = Ax 3 + Bx 2 + Cx
2. f ( x ) = a ⋅ e b⋅ x
2.1. ako b nije korijen karak. jed. b ≠ k1 ≠ k 2 y p = A ⋅ e b⋅ x
2.2. ako je b korijen karak. jed. b = k1 ∨ b = k 2 y p = A ⋅ x ⋅ e b⋅ x
2.3. ako je b dvostruki korijen karak. jed. b = k1 = k 2 y p = A ⋅ x 2 ⋅ e b⋅ x
3. f ( x ) = sin bx
3.1. ako b nije korijen k1, 2 = α ± β ⋅ i y p = A sin bx + B cos bx
3.2. ako je b jednostruki korijen y p = x ⋅ ( A sin bx + B cos bx )
4. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ e b⋅ x
4.1. ako je m broj koji pokazuje višestrukost npr. b ≠ k1 ≠ k 2 , m=0
b = k1 ∨ b = k 2 , m=1
b = k1 = k 2 , m=2
y p = a ⋅ x m ⋅ Q ( x ) ⋅ e b⋅ x
Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)

10. 5. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ sin bx m-višestrukost k1, 2 = α ± β ⋅ i
y p = Q( x ) ⋅ x m [ M cos bx + N sin bx ]
y p = x m [ ( Ax + B ) cos bx + ( Cx + D ) sin bx ]
Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)