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  1. 1. ASI 3Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires
  2. 2. Circuit électrique et loi de Kirchhoff A 2Ω B 3Ω C • • • 2Ω i5 i1 i3 5Ω 2Ω V volts •D i1 i2 i3 i4 i5 • • • 1Ω G 3Ω F 4Ω E 5 i1+5 i2 = VV i1, i2,i3, i4, i5 i3- i4- i5 = 0 Algo 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 Exemple : V = 10 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 (5 inconnues => 5 équations)
  3. 3. Circuit électrique et loi de Kirchhoff A 2Ω B 3Ω C • • • 2Ω i5 i1 i3 5Ω 2Ω V volts •D i1 i2 i3 i4 i5 • • • 1Ω G 3Ω F 4Ω E 5 i1+5 i2 = VV i1, i2,i3, i4, i5 i3- i4- i5 = 0 Algo 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 Exemple : V = 10 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 (5 inconnues => 5 équations)
  4. 4. Solution...5 i1+5 i2 =V 5 i1+5 i2 + 0 i3+ 0 i4+0 i5 = V i3- i4- i5 = 0 0 i1+0 i2 + i3- i4- i5 = 0 2 i4- 3 i5 = 0 0 i1+0 i2 + 0 i3+ 2 i4- 3 i5 = 0 i1 - i2 - i3 =0 i1 - i2 - i3 + 0 i4+0 i5 = 0 5 i2 - 7i3 - 2 i4 =0 0 i1+5 i2 - 7 i3 - 2 i4 +0 i5 = 0 i1 i2 i3 i4 Ax=b A x =b i5 5 5 0 0 0 V x = A-1 b 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 2 -3 = 0 1 -1 -1 0 0 0 A est une matrice, 0 5 -7 -2 0 0 x et b sont des vecteurs
  5. 5. Equation de la chaleur  d 2u − 2 ( x) = f ( x), x ∈ ]0,1[ x : position sur une barre de taille 1  dx u(x) : température à la position x  u ( 0) = 0 f(x) : flux de chaleur à la position x  u (1) = 0   Discrétisation 0 h h (N-1)h 1 x0 x1 … xk xk+1 … xN-1 xN d 2u  u ( xk −1 ) − 2u ( xk ) + u ( xk +1 )− 2 ( xk ) = f ( xk ), k ∈ ]1, N − 1[ − 2 = f ( xk ) dx  h u ( x0 ) = 0  u ( x0 ) = 0 u( x ) = 0  u ( xN ) = 0 N  
  6. 6. Solution u ( xk −1 ) − 2u ( xk ) + u ( xk +1 )− h 2 = f ( xk ) vk = u ( xk ) u ( x0 ) = 0 posons v0 = 0 u ( xN ) = 0 vN = 0  2 −1 0   v1   f ( x1 )         −1 2 −1   v 2   f ( x2 )  1   =  h  2       − 1 2 − 1  v N − 2   f ( x N − 2 )    − 1 2   v N −1   f ( x N −1 )       A x = b Solution approchée : système linéaire de taille N-1 (matrice tridiagonale)
  7. 7. Approximation/interpollation: moindres carrés 2 1 f(x) 0 -1 yi -2 -3 -4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 xidonnées : ( xi , yi )i =1,n k j −1 k = n interpollationf ( x) = ∑ α j x j =1 k n approximation k nf ( xi ) = yi ⇔ ∑ α j xi j −1 = yi min ∑ ( f ( xi ) − yi )2 j =1 α i =1n équations et n inconnues (α k ) approximation au sens des moindres carrés
  8. 8. Approximation au sens des moindres carrés 2 n n k min ∑ ( f ( xi ) − yi ) = min J (α ) avec J (α ) = ∑  ∑ α j xi − yi  j −1 2 α i =1 α   i =1  j =1  ∂J principe : α * = argmin J (α ) ⇔ (α *) = 0; j = 1,..., k α ∂α j ∂J n  k −1  j −1 k  n −1 j −1  n = 2∑  ∑ α xi − yi  xi = 0 ⇔ ∑ α  ∑ xi xi  = ∑ yi xij −1∂α j i =1  =1  =1  i =1  i =1 Système linéaire de k équations et k inconnues
  9. 9. Posons le problème matriciellement kf ( x) = ∑ α j x j −1 pour ( xi , yi )i =1,n j =1 α1 + α 2 x11) + ... + α j x1 j −1) + ... + α k x1 k −1) = ( ( ( f ( x1 )  α1 + α 2 x21) + ... + α j x2 j −1) + ... + α k x2k −1) = ( ( ( f ( x2 )    α1 + α 2 xi(1) + ... + α j xi( j −1) + ... + α k xi( k −1) = f ( xi )   α1 + α 2 xn1) + ... + α j xn j −1) + ... + α k xnk −1) =  ( ( ( f ( xn )
  10. 10. 1 x11) ... ( x1 j −1) ... ( x1 k −1) ( f ( x1 ) Posons le problème 1 x21) ... ( x2 j −1) ... ( x2k −1) ( f ( x2 )  Xa = f    matriciellement = 1 xi(1) ... xi( j −1) ... xi( k −1) f ( xi )   1  xn1) ... ( xn j −1) ... ( xnk −1) ( f ( xn ) α1 + α 2 x11) + ... + α j x1 j −1) + ... + α k x1 k −1) = ( ( ( f ( x1 )  k α1 + α 2 x21) + ... + α j x2 j −1) + ... + α k x2k −1) = ( ( ( f ( x2 )f ( x) = ∑ α j x j −1  j =1  pour ( xi , yi )i =1,n α1 + α 2 xi(1) + ... + α j xi( j −1) + ... + α k xi( k −1) = f ( xi )   α1 + α 2 xn1) + ... + α j xn j −1) + ... + α k xnk −1) =  ( ( ( f ( xn )
  11. 11. Posons le problème matriciellement kf ( x) = ∑ α j x j −1 pour ( xi , yi )i =1,n j =1 =
  12. 12. Approximation : version matricielle 2 n n k   min ∑ ( f ( xi ) − yi ) = min J (α ) avec J (α ) = ∑  ∑ α j xi − yi  2  j  α i =1 α i =1  j =0  k ei = f ( xi ) − yi = ∑ α j xij − yi j =0Erreur d’approximation e = Xα − y  e1  1 x1 h x1 −1  k  y1       α1     l  l l o l    l   e  = 1 x h x k −1   l  −  y   i  i i  α j   i   l  l l o l    l  α  e   k −1   k    n  1 xi h xi  yn    2 2 J (α ) = e = Xα − y J (α ) = 2 X ( Xα − y ) J (α ) = 0 ⇔ ( X X )α = X y Système linéaire de k équations et k inconnues
  13. 13. Approximation : version matricielle 2 n n k   min ∑ ( f ( xi ) − yi ) = min J (α ) avec J (α ) = ∑  ∑ α j xi − yi  2  j  α i =1 α i =1  j =0  k ei = f ( xi ) − yi = ∑ α j xij − yi j =0Erreur d’approximation e = Xα − y Matrice de Vandermonde k −1 (1735-1796)  e1  1 x1 h x1   y1       α1     l  l l o l    l   e  = 1 x h x k −1   l  −  y   i  i i  α j   i   l  l l o l    l  α  e   k −1   k    n  1 xi h xi  yn    2 2 J (α ) = e = Xα − y J (α ) = X ( Xα − y ) J (α ) = 0 ⇔ ( X X )α = X y Système linéaire de k équations et k inconnues
  14. 14. Un problème de base Une nouvelle variable explicative  a0 + a1 x11) + ... + a j x1 j ) + ... + am x1 m ) = y1 ( ( (   a0 + a1 x21) + ... + a j x2 j ) + ... + am x2m ) = y2 ( ( (  l    a0 + a1 xi(1) + ... + a j xi( j ) + ... + am xi( m ) = yi  lUne nouvelle   a0 + a1 xn1) + ... + a j xn j ) + ... + am xnm ) = yn ( ( ( expérience  (individu) n équations et m+1 inconnues Xa=y
  15. 15. Que se passe t’il si… ?• On dispose d’un nouvel individu a• on dispose d’une nouvelle variable• m=n• mn• mm X = y• on recopie deux individus• on duplique une variable
  16. 16. Illustration : système de 2 équations à 2 inconnues s olution unique pas de s olution 2 2x x x1 x1 – une solution unique  a11 x1 + a12 x2 = b1 – pas de solution  a21 x1 + a22 x2 = b2 – une infinité de solution – solution « triviale » : x1= x2 = 0 Les différents cas
  17. 17. Matrices Tableau de n lignes et k colonnes  a11 a1 j a1k      A =  ai1 aij aik      a anj ank   n1 Remarque fondamentale : on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente A : Rk → Rn x y = Ax linéaire : A(λx + µy ) = λAx + µAy
  18. 18. Applications linéaires soit (ei ∈V )i = 1, k une base de V soit ( f i ∈ V )i = 1, n une base de W u : V →W x y = u ( x) linéaire : u (λx + µy ) = λu ( x) + µu ( y ) Noyau : u(x) = 0 image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) propriétés injective (ker(u) = 0) surjective Im(u) = VPar identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice

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