L'équation de la chaleur

La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Position du problème
Nous nous intéressons ici au traitement numérique de
l’équation de la chaleur :
π2 ∂u(t,x)
∂t
−
∂2u(t,x)
∂x2
= 0
Nous allons nous placer dans des conditions initiales :
∀x ∈ [0,1] u(0,x) = sin(πx)
∀t ≥ 0 u(t,0) = u(t,1) = 0
La solution exacte du problème est :
u(t,x) = e−t
sin(πx)
En effet
∂u(t,x)
∂t
= −e−t sin(πx) et
∂2
u(t,x)
∂x2 = −π2e−t sin(πx)
Ainsi cette solution vérifie les conditions initailes.
1 Master IAD ENSA d’Agadir

la résolution numérique
Bien que nous connaissions ici la solution exacte
du problème, il est instructif de voir comment l’on peut
calculer numériquement, ou plus exactement l’approcher
numériquement.
Nous allons discrétiser le problème en x
et en t.
Soit h le pas de la discrétisation de x donc soient :
x0 = 0,x1 = h,x2 = 2h,...,xN = 1.
Soit k le pas de la discrétisation de t donc soient :
t0 = 0,t1 = k,t2 = 2k,... .

Schéma explicite
Soit n,i ∈ N tel que 0 ≤ i ≤ N avec N = 1
h .
Un développement limité d’ordre 1 de la fonction u(t,x) par
rapport à t nous donne :
u((n + 1)k,ih) = u(nk,ih) + k
∂u
∂t
(nk,ih) + ko(1)
donc
∂u
∂t
(nk,ih) ≈
u((n + 1)k,ih) − u(nk,ih)
k
de même un développement limité d’ordre 2 de la fonction
u(t,x) par rapport à x nous donne :
u(nk,(i+1)h) = u(nk,ih)+h
∂u
∂x
(nk,ih)+
h2
2
∂2u
∂x
(nk,ih)+h2
o(1)
u(nk,(i−1)h) = u(nk,ih)−h
∂u
∂x
(nk,ih)+
h2
2
∂2u
∂x2
(nk,ih)+h2
o(1)
.

Schéma explicite
Donc
u(nk,(i+1)h)+u(nk,(i−1)h) = 2u(nk,ih)+h2 ∂2u
∂x
(nk,ih)+h2
o(1)
D’où
∂2u
∂x2
(nk,ih) ≈
u(nk,(i + 1)h) + u(nk,(i − 1)h) − 2u(nk,ih)
h2
posant u(nk,ih) = un
i . Le problème devient :
π2 un+1
i − un
i
k
=
un
i+1 + un
i−1 − 2un
i
h2
D’où :
un+1
i =
k
h2π2
(un
i+1 + un
i−1) + (1 −
2k
h2π2
)un
i

Schéma explicite
si on pose α = k
h2π2 , alors
un+1
i = α(un
i+1 + un
i−1) + (1 − 2α)un
i
finalement notre problème devient :









un+1
i = α(un
i+1 + un
i−1) + (1 − 2α)un
i si 1 ≤ i ≤ N − 1
u0
i = sin(πih) si 1 ≤ i ≤ N − 1
un
0 = un
N = 0 ∀n ≥ 0
Pour résoudre ce problème il suffit de déduire les un+1
i à partir
des un
i car on connaît les u0
i , on en déduit les u1
i , puis les u2
i et
anisi de suite jusqu’aux un
i .

Schéma explicite























un+1
1
un+1
2
.
.
.
un+1
N−1























=





















1 − 2α α
α 1 − 2α α
...
...
...
... 1 − 2α α
α 1 − 2α





















.






















un
1
un
2
.
.
.
un
N−1






















.

La résolution numérique
h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ;
k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ;
M = 1
h ; N = 1
k ;α = k
h2π2 ;
//création de la matrice A
A =zeros(M-1,M-1) ; x =zeros(M,1) ;
for i=1 :M-2
A(i + 1,i) = α ;A(i,i + 1) = α ; A(i,i) = 1 − 2α ;
end
A(M − 1,M − 1) = 1 − 2α ;
for i=1 :M
x(i) = ih ;
end
//condition initiale sur x
for i=1 :M
un
i = sin(πx(i)) ;
end 7 Master IAD ENSA d’Agadir

La résolution numérique
//Calcul de un
i
for n=0 :N-1
u(1 : M − 1,n + 1) = Au(1 : M − 1,n) ;
end
for n=0 :N-1
plot2d(x,u( :,n),n) ;
end

Schéma implicite
Discrétisons la même équation avec la même méthode mais
utilisons cette fois une approximation à gauche de la dérivée
de u par rapport à t :
∂u
∂t
(nk,ih) ≈
un
i − un−1
i
k
donc notre problème devient :
π2 un
i − un−1
i
k
=
un
i+1 + un
i−1 − 2un
i
h2
D’où
k
π2h2
(un
i+1 + un
i−1) − (
1
k
+
2k
π2h2
)un
i = −
un−1
i
k
Ce schéma nécessite la résolution d’un système d’équations :

Schéma implicite





















α β
β α β
...
...
...
... α β
β α





















.






















un
1
un
2
.
.
.
un
N−1






















=


























−
un−1
1
k
−
un−1
2
k
.
.
.
−
un−1
N−1
k


























avec β = 1
π2h2 et α = −1
k − 2β
la résolution numérique de ce problème :
la matrice A de ce système est définie positive car de
diagonale strictement dominante (|α| > |2β|) alors on peut
appliquer la méthode de Cholesky

Schéma implicite
h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ;
k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ;
M = 1
h ; N = 1
k ; α = k
h2π2 ;
for i=1 :M-1
v(i) = sin(pi ∗ i ∗ h) ; u(i)=v(i) ;
end
u=u’ ;
A =zeros(M-1,M-1) ; u =zeros(M-1,1) ;
for i=1 :M-2
A(i + 1,i) = β ; A(i,i + 1) = β ; A(i,i) = α ;
end
A(M − 1,M − 1) = α ;
G=zeros(M-1) ;
for k=1 :M-1
s=0 ;

Schéma implicite
for j=1 :k-1 s = s + (G(k,j))2 ;
end
G(k,k) = sqrt(A(k,k) − s) ;
for i=k+1 :M-1
s=0 ;
for j=1 :k-1
s = s + G(i,j) ∗ G(k,j) ;
end
G(i,k) = (A(i,k) − s)/G(k,k) ;
end end
[y] = descende(G,b) ;[u] = remonter(G0,y) ;
for i=0 :N
u = A ∗ u ; y = exp(−i ∗ k) ∗ v ; y = y0 ;
erreur = norm(u − y) ;plot(u) ; axis([0 M+1 0 1]) ;
drawnow pause
end

Bibliographie
Augros.J.C : Finance-option et obligation
convertibles.Economica, 1995.
Augros.J.C : les options sur taux d’intérêt-Dynamique des
taux et évaluation.Economica, 1995.
Augros.J.C : Les options négociables.Vuibert, 1987.
Mele.A : Dynamiques non-linéaires, Volatilité et
équilibre.Economica, 1998.
Bajeux.I et Rochet.J.C : Dynamique spanning : are options
an appropriate instrument.Mathematical Finance 6, 1996.

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