L'équation de la chaleur

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L'équation de la chaleur

  1. 1. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekPosition du problème Nous nous intéressons ici au traitement numérique de l’équation de la chaleur : ∂u(t, x) ∂2 u(t, x) π2 − =0 ∂t ∂x 2 Nous allons nous placer dans des conditions initiales : ∀x ∈ [0, 1] u(0, x) = sin(πx) ∀t ≥ 0 u(t, 0) = u(t, 1) = 0 La solution exacte du problème est : u(t, x) = e −t sin(πx) ∂u (t,x ) ∂2 u (t,x ) En effet ∂t = −e −t sin(πx) et ∂x 2 = −π2 e −t sin(πx) Ainsi cette solution vérifie les conditions initailes. 1 Master IAD ENSA d’Agadir
  2. 2. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekla résolution numérique Bien que nous connaissions ici la solution exacte du problème, il est instructif de voir comment l’on peut calculer numériquement, ou plus exactement l’approcher numériquement. Nous allons discrétiser le problème en x et en t. Soit h le pas de la discrétisation de x donc soient : x0 = 0, x1 = h , x2 = 2h , ..., xN = 1. Soit k le pas de la discrétisation de t donc soient : t0 = 0, t1 = k , t2 = 2k , ... .
  3. 3. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma explicite 1 Soit n, i ∈ N tel que 0 ≤ i ≤ N avec N = h . Un développement limité d’ordre 1 de la fonction u(t,x) par rapport à t nous donne : ∂u u((n + 1)k , i h ) = u(nk , i h ) + k (nk , i h ) + k o(1) ∂t donc ∂u u((n + 1)k , i h ) − u(nk , i h ) (nk , i h ) ≈ ∂t k de même un développement limité d’ordre 2 de la fonction u(t,x) par rapport à x nous donne : ∂u h 2 ∂2 u u(nk , (i +1)h ) = u(nk , i h )+h (nk , i h )+ (nk , i h )+h 2 o(1) ∂x 2 ∂x ∂u h 2 ∂2 u u(nk , (i −1)h ) = u(nk , i h )−h (nk , i h )+ (nk , i h )+h 2 o(1) ∂x 2 ∂x 2 . 3 Master IAD ENSA d’Agadir
  4. 4. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma explicite Donc ∂2 u u(nk , (i +1)h )+u(nk , (i −1)h ) = 2u(nk , i h )+h 2 (nk , i h )+h 2 o(1) ∂x D’où ∂2 u u(nk , (i + 1)h ) + u(nk , (i − 1)h ) − 2u(nk , i h ) (nk , i h ) ≈ ∂x 2 h2 posant u(nk , ih ) = uin . Le problème devient : uin +1 − uin uin 1 + uin − 2uin + −1 π2 = k h2 D’où : k 2k uin +1 = (uin 1 + uin ) + (1 − )u n h 2 π2 + −1 h 2 π2 i
  5. 5. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma explicite k si on pose α = h 2 π2 , alors uin +1 = α(uin 1 + uin ) + (1 − 2α)uin + −1 finalement notre problème devient :  n +1  ui   = α(uin 1 + uin ) + (1 − 2α)uin + −1 si 1 ≤ i ≤ N − 1  0  ui = sin(πi h )  si 1 ≤ i ≤ N − 1  n  u = un = 0 0 N ∀n ≥ 0 Pour résoudre ce problème il suffit de déduire les uin +1 à partir des uin car on connaît les ui0 , on en déduit les ui1 , puis les ui2 et anisi de suite jusqu’aux uin .
  6. 6. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma explicite  n +1     n   u1    1 − 2α   α   u1   n +1       un  α 1 − 2α α  u            2          2     . .. .. ..   .          . . . .     =       .         .        ..             . 1 − 2α α  .        .                   n  α 1 − 2α  n +1  uN −1    uN −1 .
  7. 7. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekLa résolution numérique h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ; k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ; M = h ; N = k ;α = h 2kπ2 ; 1 1 //création de la matrice A A =zeros(M-1,M-1) ; x =zeros(M,1) ; for i=1 :M-2 A (i + 1, i ) = α ;A (i , i + 1) = α ; A (i , i ) = 1 − 2α ; end A (M − 1, M − 1) = 1 − 2α ; for i=1 :M x(i ) = i h ; end //condition initiale sur x for i=1 :M uin = sin(πx(i )) ; end
  8. 8. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekLa résolution numérique //Calcul de uin for n=0 :N-1 u(1 : M − 1, n + 1) = A u(1 : M − 1, n) ; end for n=0 :N-1 plot2d(x,u( :,n),n) ; end
  9. 9. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma implicite Discrétisons la même équation avec la même méthode mais utilisons cette fois une approximation à gauche de la dérivée de u par rapport à t : ∂u u n − uin−1 (nk , i h ) ≈ i ∂t k donc notre problème devient : n n n uin − uin−1 ui +1 + ui −1 − 2ui π2 = k h2 D’où k 1 2k u n−1 (uin 1 + uin ) − ( + 2 2 )uin = − i + −1 π2 h 2 k π h k Ce schéma nécessite la résolution d’un système d’équations : 9 Master IAD ENSA d’Agadir
  10. 10. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma implicite  n−1    n   − u1  α β   u1        k   u n−1      β   u2n α β         − 2      k             .. .. ..   .    .          . . . .       =      .    .          ..           . α β   .       .                n       β α   u n−1 uN −1     − N −1   k avec β = π21 2 et α = − k − 2β h 1 la résolution numérique de ce problème : la matrice A de ce système est définie positive car de diagonale strictement dominante (|α| > |2β|) alors on peut appliquer la méthode de Cholesky 10 Master IAD ENSA d’Agadir
  11. 11. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma implicite h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ; k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ; M = h ; N = k ; α = h 2kπ2 ; 1 1 for i=1 :M-1 v(i ) = sin(pi ∗ i ∗ h ) ; u(i)=v(i) ; end u=u’ ; A =zeros(M-1,M-1) ; u =zeros(M-1,1) ; for i=1 :M-2 A (i + 1, i ) = β ; A (i , i + 1) = β ; A (i , i ) = α ; end A (M − 1, M − 1) = α ; G=zeros(M-1) ; for k=1 :M-1 s=0 ;
  12. 12. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekSchéma implicite for j=1 :k-1 s = s + (G (k , j ))2 ; end G (k , k ) = sqrt(A (k , k ) − s) ; for i=k+1 :M-1 s=0 ; for j=1 :k-1 s = s + G (i , j ) ∗ G (k , j ) ; end G (i , k ) = (A (i , k ) − s)/G (k , k ) ; end end [y] = descende(G , b ) ;[u] = remonter(G , y) ; for i=0 :N u = A ∗ u ; y = exp(−i ∗ k ) ∗ v ; y = y ; erreur = norm(u − y) ;plot(u) ; axis([0 M+1 0 1]) ; drawnow pause end
  13. 13. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barekBibliographie Augros.J.C : Finance-option et obligation convertibles.Economica, 1995. Augros.J.C : les options sur taux d’intérêt-Dynamique des taux et évaluation.Economica, 1995. Augros.J.C : Les options négociables.Vuibert, 1987. Mele.A : Dynamiques non-linéaires, Volatilité et équilibre.Economica, 1998. Bajeux.I et Rochet.J.C : Dynamique spanning : are options an appropriate instrument.Mathematical Finance 6, 1996. 13 Master IAD ENSA d’Agadir

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