Uma introdução a relatividade especial de Einstein.

1. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
XV Semana de Matemática
e
I Encontro de Ensino de Matemática
Setembro 2010
UTFPR – Campus Pato Branco
Jalves Figueira
jalfigueira@gmail.com

2. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
Resumo:
A relatividade especial é uma teoria que surge sobre nossos conceitos de
espaço e tempo e tem conseqüências em todos campos da Física. No
minicurso será apresentado uma introdução a cinemática relativística, teoria
desenvolvida principalmente por Albert Einstein.
Público alvo: alunos dos Cursos de Licenciaturas e Engenharias que tenham
cursado Física I.
Pré-requisitos: Física I.

3. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
Conteúdo
 Mecânica Newtoniana
 Postulados da Relatividade
 Medida de um Evento
 Relatividade do Tempo
 Relatividade do Comprimento
 Equações de Transformação de Lorentz

4. Albert Einstein
(1879-1955)
1905 – Um Ano Milagroso
Cinco Artigos
Efeito Fotoelétrico. Prêmio Nobel de 1922. Trata da radiação e das
propriedades da Luz.
Determinação real do tamanho dos átomos e determina o número de
Avogadro Recebe o Título de Doutor.
Movimento Browniano. Trata do movimento aleatório de partículas
microscópica em suspensão num líquido. Estabelece a existência de
átomos e moléculas.
Relatividade especial que trata do espaço e do tempo.
A inércia de um corpo e seu conteúdo de energia.

5. A teoria da Relatividade especial é uma investigação sobre nossas idéias
de espaço e do tempo.
A partir destas investigações surge as diferenças que existem entre as
medidas físicas realizadas em dois referenciais em movimento relativo.
As principais conseqüências dessa investigação são:
 Relatividade da Simultaneidade: dois acontecimentos (eventos) se são
simultâneos em um referencial, eles podem não ocorrer ao mesmo tempo para um
outro observador que se move em relação ao primeiro.
 Contração do Comprimento: réguas em movimento ficam mais curtas ao
longo da direção do movimento.
 Dilatação do Tempo: relógios em movimento batem mais devagar!
 Geometria de Minkowski: A Relatividade Especial muda a geometria:
geometria de Minkowski.
 Aumento da massa: a massa de uma partícula que se move é maior do que a
massa de repouso!
As medidas feitas em diferentes referenciais não são as mesmas.

6. Relatividade Versão de Albert Einstein -1905
Albert Einstein
(1879-1955)
… não apenas na mecânica, mas
também na eletrodinâmica, os
fenômenos não têm nenhuma
propriedade associada ao
conceito de repouso absoluto…
Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos
em Movimento (1905)
O princípio da relatividade: as leis da Física são as mesmas em todos
os referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial
privilegiado (referencial absoluto).
Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz é igual
em todos os sistemas inerciais. (a velocidade da luz é
independente da velocidade da fonte)

7. Relatividade Especial - Principais Contribuições Históricas
Galileo Galilei (1564-1642). O Princípio da
Relatividade: As leis da Mecânica são as mesmas
para qualquer observador com velocidade
constante.
Isaac Newton (1642-1727) Enuncia as três
leis da mecânica válidas nos referenciais inerciais.
Jules Henri Poincaré (1854–1912).
Enuncia o Princípio da Relatividade para os sinais
ópticos e eletromagnéticos. Em 1900 apresenta
uma versão para o tempo local de Lorentz.
Joseph Larmor (1857-1942). Obtém as
equações de transformação (Eq. Lorentz) que
mantêm as equações do eletromagnetismo
invariantes.
Hendrik Lorentz (1853-1928). Propõem uma
hipótese ad-hoc; o movimento através do éter
produz uma contração do objeto.
Albert Michelson (1851-1931). Construiu com
Morley o primeiro interferômetro, destinado a medir a
velocidade da terra em relação ao éter.
Albert Einstein (1879–1955). Enuncia o
princípio da relatividade para todas as leis da
Natureza.
James Clerk Maxwell (1831–1879). Desenvolve
as equações que descrevem uma onda
eletromagnética. Estas propagam-se com velocidade
c~ 300 000 km/s.
Jean Fresnel (1788-1827). A hipótese
ondulatória da luz. A luz propaga-se em um éter
em repouso, este preencheria todo o universo.
FitzGerald (1851-1901). Independente de
Lorentz propõe a contração dos objetos através
do éter.
OBS: A ciência não dá saltos!

8. ... A Terra se desloca, no seu movimento de translação a
volta do sol, com uma velocidade que é de
aproximadamente de 30 km/s, nenhuma experiência
mecânica efetuada à sua superfície permite revelar este
movimento.
Galileo Galilei
(1564-1642)
O Princípio da Relatividade na Mecânica
séc. XVII
Em qualquer referencial inercial as leis do movimento
são as mesmas, e as equações matemáticas das leis
têm as mesmas formas.

9. Isaac Newton
(1642-1727)
O Princípio da Relatividade na Mecânica
Séc. XVIII
As leis da mecânica são válidas em todos os
sistemas de inércia (sistemas físicos com
movimento relativo uniforme)
O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo
e da sua própria natureza flui uniformemente sem
relação com qualquer coisa externa.
Escólio: Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica.

10. ' 'r r R t t= − =
rr r
'
'
' SS
dr dr dR
v v v
dt dt dt
= − ⇒ = −
rr r
r r r
'' SSdvdv dv
dt dt dt
= −
rr r
'' aaCv te
SS

=⇒=
'SS
v

P
r
 'r

z
x
y
O
S
z’
x’
y’
O’
S’
Equivalência dos Referenciais de Inércia



=′
−=′
tt
vtxx
O Princípio da Relatividade na Mecânica
Séc. XVIII
R

11. As Equações de Maxwell
James C. Maxwell
(1831-1879)
Campos eletromagnéticos
podem propagar-se como
ondas, com velocidade
c ≈ 300 000 km/s.
⇓
A luz é uma onda
eletromagnética.
0
),(),(1
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
txu
t
txu
c

12. As Equações de Maxwell
( ).LorentzdeForça
.AmpèredeLei
.FaradaydeLei
.0
,GaussdeLeis
C
C
S
S
BuEF ×+=⇒
Φ+=⇒
Φ−=⇒
=
=⇒
∫
∫
∫
∫
q
dt
d
IdlH
dt
d
dlE
dB
QdD
Dt
Bt
n
n
σ
σ

13. Física Clássica: Modelos em CriseFísica Clássica: Modelos em Crise
No fim do século XIX, já munidos com a Mecânica
Newtoniana e as Equações de Maxwell, muitos
Físicos achavam que estava quase tudo já entendido
na Física, e que apenas detalhes seriam necessários
para explicar alguns resultados não entendidos até
aquele momento.
Final do Séc XIX

14. Física Clássica: Modelos em CriseFísica Clássica: Modelos em Crise
 Alguns Experimentos que não conseguiam ser
explicados:
Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a
observação de que a radiação emitida por um
gás (descarga elétrica) ou uma chama
(contendo um gás volátil) era composta
principalmente de alguns comprimentos de
onda discretos.
Final do Séc XIX

15. ²“Forma” (distribuição dos comprimentos de
onda) dos espectros contínuos de radiação,
característicos de corpos quentes.
²“Efeito Fotoelétrico”, onde elétrons são
ejetados de alguns materiais quando
iluminados por radiação eletromagnética (luz)
Historicamente, o nascimento da Física
Quântica ocorreu pelo 2°
ítem (Radiação deRadiação de
Corpo NegroCorpo Negro).
Final do Séc XIX

16. ÉTER:
De acordo com a visão clássica, se há uma
onda, como som (ou luz), deve haver algum
meio para transportar esta perturbação.
Este meio, para a luz, foi chamado de éter, e
essencialmente foi assumido por todo o mundo
para estar lá. A onda desloca-se neste meio
com uma certa velocidade, da mesma maneira
que ondas em água, ou som no ar. É assumido
que o éter permeia e penetra em todos os
corpos materiais com ou sem resistência
Final do Séc XIX

17. Final do Séc XIX
James C. Maxwell
(1831-1879)
Duas questões preocupavam os Físicos:
Ao contrário das leis de Newton da mecânica, as equações
de Maxwell do eletromagnetismo não eram equivalentes
segundo as transformações de Galileu;
A hipótese da existência do “éter” – meio cujas vibrações
estariam ligadas à propagação das ondas eletromagnéticas
– não foi comprovada pela famosa experiência de
Michelson – Morley

18. O Princípio da Relatividade
Como seria uma onda eletromagnética vista por um observador
inercial S´ na velocidade da luz ?

19. Experimento de Michelson-Morley - Analogia com um
Barco no Rio.
Pense em dois casos:
1)Um rio que flui com velocidade Vc. O rio possui uma largura
de x metros.
2)Um barco desloca-se com uma velocidade relativa a água
de Vb.
Considere duas situações:
1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma distância 2X
2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do rio,
percorrendo uma distância 2X ou,

20. 0 P
x
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
S’S
0 (terra) 0’ (rio)
Jalves Figueira - UTFPR
Vb
Velocidade do barco em relação à
terra:
Vc + Vb correnteza abaixo
Vc - Vb correnteza acima
Vc
Tempo para que o barco percorra o
trajeto de ida e volta:
1 2
2 2
2
x x
t t t
Vb Vc Vb Vc
xVc
t
Vc Vb
= + = +
+ −
=
−
1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma
distância 2X;

21. Tempo para que o barco percorra o
trajeto de ida e volta:
1 2 2 2 2 2
2 2
2
x x
t t t
V Vc V Vc
x
t
V Vc
= + = +
− −
=
−
Jalves Figueira - UTFPR
Vb
Vc
Vb
V
2 2
V Vb Vc= +
Velocidade do barco em
relação à terra:
Vc
http://www.educaplus.org/play-108-Cruzar-el-r%C3%ADo.html
2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do
rio, percorrendo uma distância 2X,

22. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL

23. Medidas da Velocidade da Luz - Roemer – 1676
Tempo de Transito da Luz através da
órbita terrestre.
O Astrônomo Roemer observou que os eclipses
de Io, satélite de Júpiter, não eram regular.
Após 6 meses, transito de meia volta da terra ao
redor do sol, o tempo oscilava em 22 min.
Este tempo corresponde ao tempo que a luz
percorre a órbita da Terra.
T= D / t = c = 214 300 km/s

24. Medidas da Velocidade da Luz - James Bradley 1725
Aberração da Luz Estrelar
James observou que as estrelas próximas do
zênite parecem mover-se, numa órbita quase
circular. Em um ano o diâmetro angular de 40,5”.
O fenômeno surge devido a velocidade finita da
luz e da velocidade da terra em torno do sol.
C = 299.000 km/s

25. Medidas da Velocidade da Luz. Michelson-Morley -1887
.)()(
,)(,)(
22
vc
L
BVtVBt
vc
L
BDt
vc
L
DBt
−
=→=→
+
=→
−
=→
A *
B
V
D
A = fonte luminosa
B = espelho semitransparente
D, V = espelhos
L = |BV| = |BD|
Se o éter existisse, a Terra em rotação e
revolução mover-se-ia através dele. Um
observador na Terra sentiria um vento de éter,
cuja velocidade seria V em relação à Terra.
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

26. http://www.falstad.com/ripple/
Uma conclusão do experimento nulo é que a
velocidade a Luz é a mesma em todas as
direções e em qualquer referencial inercial.
Medidas da Velocidade da Luz.
Experiência de Michelson-Morley -1887

27. http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
http://www.youtube.com/watch?v=Z8K3gcHQiqk&NR=1
Medidas da Velocidade da Luz.
Experiência de Michelson-Morley -1887
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/SpecRel/Flash/MichelsonMorley/Michelson
http://www.falstad.com/ripple/

28.  O que é o Tempo?
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL

29. Isaac Newton (1642-1727) Tempo é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
O tempo absoluto, verdadeiro e
matemático, por si mesmo e da
sua própria natureza flui
uniformemente sem relação com
qualquer coisa externa.
Princípios Matemáticos da Filosofia
Natural

30. Albert Einstein (1879- 1955) tempo é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
Tempo é o que um relógio marca!
Relógio, qualquer objeto que forneça uma série
de acontecimentos que possam ser contados.

31. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
 O que é o Espaço?

32. Isaac Newton (1642-1727) Espaço é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
O espaço absoluto, considerando na
sua própria natureza sem relação a
qualquer coisa externa, permanece
sempre homogêneo e imóvel: o
espaço relativo é uma dimensão ou
medida do espaço móvel.
Princípios Matemáticos da Filosofia
Natural

33. Albert Einstein (1879- 1955) Espaço é:
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL
Espaço de um corpo é o conjunto de todos
prolongamentos do corpo!
“Não podemos falar de
espaço de uma maneira
abstrata, mas tão somente
de espaço que pertence a
determinado corpo. Isto é:
corpos de referência ou
espaços de referências.”

34. S’
-V
Medidas de um Evento
“ Todos os nossos julgamentos com respeito ao tempo são sempre julgamentos de
eventos simultâneos. Se eu digo: ‘Este trem chega aqui às 7 horas’, estou querendo dizer
algo como: ‘O ponteiro pequeno do meu relógio indicar 7 horas e o trem chegar aqui são
eventos simultâneos”.
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/flashlets/lightclock.swf

35. V
S’
Medidas de um Evento
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/flashlets/lightclock.swf

36. Clocks
 http://webphysics.davidson.edu/course_materia
 http://www.physics.nyu.edu/~ts2/Animation/spe
#

37. O relógio de luz :
A relatividade do tempo
relógios
0
2
1
tcD ∆=
MOVIMENTO
2
22
2
2
1
2
Dtv
tc
L +





∆=




 ∆
=

38. x
y
z
x′
y′
z′
),,,( tzyxP =
),,,( tzyxP ′′′′=′
O
O′
xvv ˆ=

As transformações de Lorentz
Frentes de
ondas esféricas

39. As transformações de Lorentz
2
1
1
γ
β
≡
−
vtxx −=′
tt =′
v
dt
dx
td
xd
−=
′
′
vvv SS −=′
transformação de Galileu:
( ) ;x x vtγ′ = − ;y y′ = z z′ =
2
( )
v
t t x
c
γ′ = −
Para v << c temos que a transformação de
Lorentz reduz-se à transformação de
Galileu.
•Para que se tenha frentes de ondas esféricas, com
velocidade c, nos dois sistemas de coordenadas, pode-se
demonstrar que as medidas de tempo e espaço nos dois
sistemas de coordenadas devem satisfazer as
Transformações de Lorentz:
v cβ ≡

40. Os postulados de Einstein e a transformação de
Lorentz
A teoria da Relatividade Restrita, ou Especial, baseia-se
nos dois postulados seguintes:
P1. As leis da Física são as mesmas em todos sistemas de
referência com velocidade relativa constante.
P2. A velocidade da luz no vácuo não depende do movimento de
sua fonte.
P1 é satisfeita pelas leis de Newton, com a transformação x’ = x – vt, ,mas
não pelas leis de Maxwell: se a velocidade da luz é c em S, ela será c - u em S’.
Portanto essa transformação de coordenadas precisa ser substituída.
P2 implica que uma onda esférica de luz, emitida no tempo t = t’ = 0, no
ponto O = O’ , no intervalo Δt atingirá a esfera em S e no intervalo Δt’ atingirá
a esfera S’.

41. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
c t x y z
c t x y z
∆ − ∆ − ∆ − ∆
′ ′ ′ ′≡ ∆ − ∆ − ∆ − ∆
A identidade deve valer não apenas para a emissão e recepção da luz, mas para os
incrementos entre dois eventos quaisquer
A relação acima entre as condições físicas, (t, x, y, z) e (t’, x’, y’, z’) devem
obedecer à chamada transformação de Lorentz entre os sistemas S e S’ , cuja
velocidade relativa |v| deve ser menor que c:
2
2
2
/
1 ( / )
1 ( / )
.
t vx c
t
v c
x vt
x
v c
y y
z z
 −
′ =
−
 − ′ =
−
 ′ =

′ =
etc.),( 12 ttt −=∆
Significa que :

42. Referências
 TEORIA DA RELATIVIDADE PARA
PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO¹
Curso de Extensão – Março 2006
Helio V. Fagundes
Instituto de Física Teórica
Universidade Estadual Paulista
 Carlos Eduardo Aguiar - Instituto de Física-UFRJ

43. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
ESPECIAL
Albert Einstein
(1879-1955)
FIM
Jalves Figueira
jalfigueira@gmail.com