La version du théorème de Thalès enseignée actuellementJournées de l’ATSM. 18-21 Décembre 2005
PlanIntroductionLes trois points étudiés           Les énoncés du théorème de Thalès           Les applications du théor...
IntroductionLe théorème de Thalès   • Un point fort qui a traversé toutes les réformes   • Il permet de rencontrer tôt les...
Les trois points observés   • Les énoncés du théorème de Thalès : Duperret (1995) L’aspect « projection » permet le passa...
La projection   (Brousseau, 1995)La conservation des           La conservation duabscisses                     rapport de ...
Jaffrot (1995) Longueurs sur (d)    OA   AC   OC   HE   … Longueurs sur (d)   OB   BD   OD   GF   …   AC   BD   OA OC OE O...
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La version de 2003Le programme de 2003 Il est organisé sous forme de compétences Deux nouvelles orientations  - Une impo...
Les applications du théorème de Thalès   Ils [les élèves] trouvent une quatrième    proportionnelle   Ils partagent un s...
Le manuel de 2003Des différences de forme   Un nombre d’activités impressionnant   Les différents éléments du cours sont...
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Les applications du théorème de Thalès   la construction d’un point M de (AB) tel que       uuuu          r   uuu        ...
Dans les trois manuels L’un des deux aspect est dominant   Les applications du théorème de Thalès sont limitées    au co...
Quelques remarques :1. Une réelle « hésitation » entre les deux approches du théorème de Thalès   L’approche « homothétie...
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(Monfront, 1995)  - Les deux triangles rectangles ont un angle aiguégal, donc ils sont agrandis ou réduits l’un de l’autre...
Relation Thalès-vecteur- Introduction du théorème de ThalèsBrousseau (1995)   uuuu      r     uuu              r      uuuu...
4- Les limites des configurations typiques(J. et F. Cordier, 1991)Les configurations typiques: une source de biais cogniti...
ConclusionLe nouveau manuel: des lacunes comblées- Par la réapparition de l’approche « homothétie »- Par l’introduction de...
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Theoreme de thales

  1. 1. La version du théorème de Thalès enseignée actuellementJournées de l’ATSM. 18-21 Décembre 2005
  2. 2. PlanIntroductionLes trois points étudiés  Les énoncés du théorème de Thalès  Les applications du théorème de Thalès  L’espace de variation des configurations de ThalèsLe théorème de Thalès en 9ème année de baseLe théorème de Thalès en 1ère année secondaire  La version de 2002  La version de 2003RemarquesConclusion
  3. 3. IntroductionLe théorème de Thalès • Un point fort qui a traversé toutes les réformes • Il permet de rencontrer tôt les problèmes où le géométrique et le numérique se rencontrent. • Un concept auquel sont associés des énoncés différents • Il se place au carrefour de plusieurs concepts enseignés actuellement.
  4. 4. Les trois points observés • Les énoncés du théorème de Thalès : Duperret (1995) L’aspect « projection » permet le passage d’une droite àl’autre L’aspect « homothétie » privilégie le passage d’untriangle à l’autre.
  5. 5. La projection (Brousseau, 1995)La conservation des La conservation duabscisses rapport de projection AB AC AB AB = = AB AC AC AC
  6. 6. Jaffrot (1995) Longueurs sur (d) OA AC OC HE … Longueurs sur (d) OB BD OD GF … AC BD OA OC OE OH OC OD CD = ; = = = ; = = OA OB OB OD OF OG OA OB AB
  7. 7. • L’espace de variation des configurations de ThalèsJ. et F. Cordier (1991) certaines configurations, appelées typiques, sont les plus préférées par les élèves Une enquête menée en 2002 : le même phénomène estretrouvé chez les enseignants le nombre de parallèles envisagées l’angle des deux sécantes (aigu ou obtus) la disposition des parallèles
  8. 8. • Les applications du théorème de Thalès cas de similitude de triangles Les relations métriques dans les triangles rectangles le théorème de Pythagore L’introduction des notions trigonométriques le calcul de la puissance d’un point par rapport à un cercle Les applications caractérisées par un aspect utilitaire: - L’exemple typique de la mesure de la hauteur d’un arbre - la mesure d’objets inaccessibles de l’espace
  9. 9. Le théorème de Thalès en 9ème année de baseLe programme officiel (1997) un objectif essentiel : calculer des distances Le statut des énoncés est fixé: il est indiqué d’appliquer le théorème au triangle et au trapèze. Diviser un segment en parties égales ou en parties de longueurs proportionnelles à des réels donnésLe manuel scolaire Le «Thalès dans un triangle » est traité comme conséquence d’un énoncé supposé plus général. Il est le plus souvent mobilisé dans les applications. L’énoncé donné ne propose que l’égalité d’un seul rapport.
  10. 10.  un champ d’applications assez réduit, dominé par des questions calculatoiresLe théorème de Thalès en 1ère année secondaireLa version de 2002Le programme de 1998 L’arrivée du sens réciproque du théorème Construire le point M de la droite (AB) tel que uuuu r uuu r AM = KAB où K ∈ IR * Faire un retour sur l’énoncé vu dans la classe précédente
  11. 11. Le manuel de 2002Le sens direct- Un unique énoncé est rappelé: la conservation des abscisses- L’aspect «homothétie » est le plus utilisé dans les applicationsLe sens réciproque1- Difficulté d’ordre logique - à partir de 1991, lenseignement formel de la logique adisparu des programmes. - dans le cours, aucune initiation à l’apprentissage de laréciproque d’une propriété n’apparaît.2- l’utilisation des mesures algébriques:  Avantage: éviter dindiquer l’ordre des points  Difficulté: nattribuer à l’énoncé quun seul dessin3 - l’absence d’un énoncé de la réciproque relatif à l’approche« homothétie »
  12. 12. Les applications du théorème de Thalès:- Construire le point M de la droite (AB) tel que uuuu r uuur AM = KAB où K ∈ IR *- Construction de la 4ème proportionnelle et partage de segments en parties isométriques- La fréquence élevée des applications avec les mesures algébriques. - Les relations Thalès-trigonométrie et Thalès- vecteurs sont faibles
  13. 13. La version de 2003Le programme de 2003 Il est organisé sous forme de compétences Deux nouvelles orientations - Une importance particulière est accordée aux démonstrations à l’apprentissage de la démarche et du raisonnement mathématique Les élèves distinguent entre une implication et une équivalence - Contribution des mathématiques au développement de la société
  14. 14. Les applications du théorème de Thalès Ils [les élèves] trouvent une quatrième proportionnelle Ils partagent un segment en parties isométriques Ils déterminent l’effet de la multiplication d’une dimension d’un solide par un nombre donné sur son aire et son volume Ils résolvent des problèmes de […] reproduction de figures. Ils mesurent des longueurs et des angles en utilisant le théorème de Thalès et sa réciproque…
  15. 15. Le manuel de 2003Des différences de forme Un nombre d’activités impressionnant Les différents éléments du cours sont séparés L’introduction de l’outil informatique, et de la dimension historique du concept Des indications précisant la stratégie de résolution Des exercices d’auto-évaluationLa leçon sur le théorème de Thalès Une nouvelle place: les vecteurs sont renvoyés au chapitre 4, après la leçon sur les rapports trigonométriques qui suit celle sur le théorème de Thalès.
  16. 16. Le sens direct Le nouveau manuel redonne la vie à l’approche « homothétie » L’approche « projection » est totalement absenteLe sens réciproque L’approche « homothétie » est encore dominante L’absence des mesures algébriques Nécessité de préciser que, sur les deux côtés, les points sont choisis dans le même ordre l’existence de trois énoncés relatifs au sens réciproque du théorème
  17. 17. Les applications du théorème de Thalès la construction d’un point M de (AB) tel que uuuu r uuu r AM = KAB où K ∈IR *limitée au cas où k est un réel positif le partage d’un segment en parties isométriques disparaît et est remplacé par le partage d’un segment dans une proportion donnée. Un nouveau champ d’applications: les problèmes d’agrandissement et de réductionLa propriété des (k ; k2) : "dans un phénomène d « agrandissement-réduction », quand les longueurs sont multipliées par un réel k, les aires le sont par k2" un apprentissage de reproduction de figures et de comparaison des aires
  18. 18. Dans les trois manuels L’un des deux aspect est dominant Les applications du théorème de Thalès sont limitées au contexte mathématique (3 sur 28 en 9ème, 1 sur 21 en 2002 et 1 sur 15 en 2003) Les variables de la figure sont peu mobilisées  Le nombre de parallèles est au plus 3  La dominance des cas où:  L’angle des sécantes est aigu  Le point d’intersection des sécantes est du même côté par rapport aux parallèles
  19. 19. Quelques remarques :1. Une réelle « hésitation » entre les deux approches du théorème de Thalès L’approche « homothétie »  passage des figures semblables aux proportions  plus proche de l’environnement de l’enfant et du sens historique du théorème  dans la majorité des applications on a recours rapidement au triangle l’aspect projectif du théorème : l’exemple des « petits bouts » (Duperret ,1995)
  20. 20. x b la « projection » : = a c L’« homothétie »: un calcul plus compliquéUn Thalès dynamiqueSituation A, linvariant : la "projection » ,le variant : l"homothétie".Situation B, linvariant : l"homothétie",le variant : la "projection".
  21. 21. 2. Le phénomène d’agrandissement-réduction: unrôle plus important (A. et C. Massot, 1995) - Dans un agrandissement ou une réduction lesangles sont conservés - En général, la réciproque est fausse - La réciproque est vraie dans le cas des triangles- Dans les triangles ABC et ADE , les angles sontrespectivement égaux- Ces triangles sont agrandis ou réduits l’un de l’autre.- Leurs côtés sont donc proportionnels (approche «homothétie »)
  22. 22. (Monfront, 1995) - Les deux triangles rectangles ont un angle aiguégal, donc ils sont agrandis ou réduits l’un de l’autre - Leurs côtés sont donc proportionnels - Ces rapports sont indépendants des triangles - Introduction du cosinus, sinus et tangente d’unangle aigu 3. La nouvelle place de la leçon sur les vecteurs:un rétrécissement de la niche écologique du théorèmede Thalès
  23. 23. Relation Thalès-vecteur- Introduction du théorème de ThalèsBrousseau (1995) uuuu r uuu r uuuu r uuursi AB = α AB alors AC = α AC (conservation des abscisses) uuuuur uuu r uuuu r uuu rsi B C =αBC alors AB =α AB (homothétie) r u r r u r- Etablir la relation λ (U + V ) = λ U + λ V- Préparer le terrain pour l’avènement de l’homothétieet du barycentre.
  24. 24. 4- Les limites des configurations typiques(J. et F. Cordier, 1991)Les configurations typiques: une source de biais cognitif  Elles permettent d’économiser le temps et les erreurs dans le repérage des éléments caractéristiques d’une figure  Elles sont des points de référence caractérisés par un temps de traitement de l’information rapide Illusion: la catégorie logique est visible à travers sont objet prototypique  L’élève peut fonder son raisonnement sur des propriétés figuratives inutiles au problème  Il peut rejeter des situations pertinentes à cause de leur non adéquation avec ses représentations Connaissance prototypique Connaissance conceptuelle
  25. 25. ConclusionLe nouveau manuel: des lacunes comblées- Par la réapparition de l’approche « homothétie »- Par l’introduction de nouveaux champs d’applications- Par des exercices plus variés (calcul et comparaisond’aires et de périmètres, recherche d’un ensemble depoints)La nouvelle place des vecteurs a réduit l’environnementdu théorème de Thalès.Quel est l’impact de l’arrivée des transformations et ducalcul vectoriel sur l’application du théorème de Thalès?

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