1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA.
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Tema:
ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS
POR EL MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN
Docente:
Ing. Pablo Lindao
Cátedra:
Estructuras
Curso:
6/1

2. ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS POR EL
MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN
1. Introducción
El método de pendiente-deflexiónes un procedimiento para analizarvigas indeterminadas y
marcos. Se conoce comométodo de los desplazamientos, ya que las ecuaciones de equilibrio
empleadas en elanálisis se expresan en funcióndelos desplazamientos desconocidos de los
nudos.
El método dependiente-deflexión esimportante porque introduceal estudiante al análisis del
método de rigideces. Este método esla base de muchos programas generales de cómputo que
analizan todo tipo de estructuras: vigas, armaduras, cascarones, etc. Por otraparte, la
distribución de momentos -un método manual usado por logeneral para analizar rápidamente
vigas y marcos- también sebasaen la formulación de rigidez.
En el método de pendiente-deflexión, la ecuación de pendiente-deflexiónse utiliza para
relacionar el momento en cada extremo deun miembro con losdesplazamientos de sus
extremos y con las cargas aplicadas al miembro entre losmismos. Los desplazamientos delos
extremos deun miembro incluyen tantorotación como traslación perpendicular con respecto
al eje longitudinal del miembro.
2. Ilustración delmétodode pendiente-deflexión
Para introducir lasprincipales características del método de pendiente-deflexión, se describe
brevemente el procedimiento con el que se analiza una viga continua de dosclaros. Como se
muestra en la figura 12.10, la estructura consiste en un miembro único soportado por apoyos
simples en los puntos A y B, y por un apoyo articulado en C. Los segmentos de viga AB y BC,
así como los nudos A, B y C, se separan de la estructura mediante planos que atraviesan
laviga a unadistancia infinitesimal antes y después de cada apoyo (véase figura12.1 b). Como
los nudos son esencialmente puntos enel espacio, lalongitud decada miembro esigual a
ladistancia entre los nudos. En este problema, las incógnitas son las rotaciones de los nudos ѲA
ѲBy ѲC (que también son las rotaciones de losextremos de los miembros),y se muestran a una
escala exagerada mediante la línea discontinua de la figura 12.1a. Puesto que los apoyos no se
mueven verticalmente, los desplazamientos laterales de los nudos son nulos; así que en este
ejemplo no existen incógnitas acerca de traslaciones en los nudos.

3. Figura 12.1: a) Viga continua con cargas aplicadas (la configuración deformada se muestra con líneas discontinuas);
b) diagramas de cuerpo libre de los nudos y las vigas (convención de signos: el momento sobre el extremo de un
miembro en el sentido de 12.1: a) Viga continua con cargas aplicadas (la configuración deformada se muestra con
líneas discontinuas); b) diagramas de cuerpo libre de los nudos y las vigas (convención de signos: el momento sobre el
extremo de un miembro en el sentido de las manecillas del reloj es positivo).
Para comenzar el análisis de la viga por el método de pendiente-deflexión, se utiliza la
ecuación de pendiente-de flexión (que se deducirá posteriormente) para expresar los
momentos en los extremos decada miembro en función de los desplazamientos
desconocidos enlos nudos y de las cargas aplicadas. Este paso se representa mediante el
siguiente conjunto de ecuaciones:
donde el símbolo f( ) significa una función de.

4. En seguida, se escriben las ecuaciones de equilibrio que expresan la condición de que los
nudos están en equilibrio con respecto a losmomentos aplicados, es decir, la suma de los
momentos aplicados a cada nudo por los extremos de las vigas que se conectan a dicho
nudo es igual a cero. Como convención de signos, se supone que todos los momentos
desconocidos son positivos y actúan en el sentido de las manecillas del reloj sobre los
extremos de los miembros. Puesto que los momentos aplicados sobre los extremos de los
miembros representan la acción del nudo sobre el miembro, deben ser iguales yde sentido
opuesto a los que actúan sobre los nudos (véase figura 12.1b). Las tres ecuaciones de
equilibrio de los nudos son:
Sustituyendo las ecuaciones 12.1 en las ecuaciones 12.2, se generan tres ecuaciones queson
función de las tres rotaciones desconocidas (así como de las cargas aplicadas y las propiedades
de los miembros, que son datos conocidos). Estas tres ecuaciones simultáneas se resuelven
para obtener los valores de las incógnitasrotacionalesen los nudos. Después de obtener estas
rotaciones, se calculan los momentos en los extremos de los miembros sustituyendo los
valores de dichas rotaciones en las ecuaciones 12.1. Una vez encontrados el sentido y la
magnitud de los momentos extremos, se aplican las ecuaciones de la estática a los cuerpos
libres de las vigas para calcular los cortantes en los extremos. Como paso final, se calculan
las reacciones en los apoyos considerando el equilibrio de los nudos (esto es, sumando
fuerzas en la dirección vertical).
En la sección 12.3, utilizando el método ele área-momento desarrollado en el capítulo 9, se
deduce la ecuación de pendiente-deflexiónpara un miembro a flexión típico de sección
transversal constante.
3. Deducción de la ecuación de pendiente-deflexión
Para desarrollar la ecuación de pendiente-deflexión,que relacionalos momentos en los
extremos de los miembros con los desplazamientos en sus extremos y las cargas aplicadas, se
analiza el claro AB de la viga continua mostrada en la figura 12.2a. Como los asentamientos
diferenciales de los apoyos de los miembros continuos también generan momentos en los
extremos, se incluye este efecto en la deducción. La viga, inicialmente recta, tiene una
sección transversal constante, es decir, EI es constante a lo largo del eje longitudinal.
Cuando se aplica una carga distribuida w(x), que puede variar arbitrariamente a lo largo del
eje de la viga, los apoyos A y B se asientan una cantidad ∆A y ∆B, respectivamente, hasta llegar
a los puntos A' y B'. La figura 12.2b muestra un cuerpo libre del claro AB con todaslas cargas
aplicadas. Los momentos MAB y MBA y los cortantes VAy VB representan las fuerzas internas
que ejercen los nudos sobre los extremos de la viga. Aunque se supone que no actúa carga
axial, la presencia de valores pequeños o moderados de esta carga (digamos, de 10 a 15 por

5. ciento de la carga de pandeo del miembro) no invalidaríala deducción.Sin embargo, una
fuerza de compresiónimportante reduciría la rigidez flexionante del miembro, generando
deflexiones adicionales producidas por los momentos secundarios debidos ala excentricidad
de la carga axial; el efecto P-∆. Como convenciónde signos, se considera que los momentos
que actúan sobre los extremos de los miembros en el sentido de las manecillas del reloj son
positivos. Asimismo, las rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj de los extremos de
los miembros se consideran positivas.
Figura 12.2: a) Viga continua cuyos apoyos seasientan bajo la acción de la carga; b) diagrama de cuerpo
libre del miembro AB; c) diagrama de momentos graficado por partes, Ms es igual a la ordenada del diagrama de
momentos como viga simple; d)deformaciones del miembro AB dibujadas a una escala vertical exagerada.
Los diagramas de momento producidos por la carga distribuidaw(x)y por los momentos en
los extremos MAB y MBAse dibujan porpartes en la figura 12.2c. El diagrama de momentos
asociado a la carga distribuida se llama diagrama de momentos como viga simple. Enotras
palabras, la figura 12.2c muestra la superposiciónde los diagramas de momento generado
por tres cargas: 1) el momento MAB en un extremo, 2) el momento MBAen el otro extremo,
3) la carga w(x)aplicada entre los extremos de la viga. El diagrama de momentos para cada
fuerza se dibuja en el lado de la viga que se encuentra encompresión debido a esa
fuerza particular.
La figura 12.2d muestra la configuración deformada del claro AB en una escala exagerada.
Todos los ángulos y las rotaciones se muestran en el sentido positivo, es decir, todos han
experimentado rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj desde la posición

6. horizontal original del eje. La pendiente de la cuerda, que conecta losextremos del
miembro en los puntos A' y B' de su posición deformada, se denota por ψAB. Para
determinar si el ángulo de una cuerda espositivo o negativo, se dibuja una línea horizontal
a través de cualquiera de los extremos de la viga. Si la línea horizontal debe hacerserotar
en el sentido de las manecillas del reloj a través de un ánguloagudo para hacerla
coincidir con la cuerda, el ángulo de la pendiente es positivo. Si se requiere de una
rotación en sentido contrario alde las manecillas del reloj, la pendiente es negativa.
De la figura12.2d se observa que ψABes positivo, independientemente
del extremo
de la viga que se evalúe; por cierto, ѲAy ѲB representan las rotaciones en los extremos
del miembro. En cada extremo del claro AB,se dibujan tangentes a la curva elástica;
tAB y tBA son las desviacionestangenciales (esto es, la distancia vertical) desde las
tangentes hastala curva elástica.
Para deducir la ecuación de pendiente-deflexión, se utiliza a continuación el segundo
teorema de área-momento para establecer la relación entre los momentos de los
extremos del miembro MAB y MBAy las deformaciones rotacionales de la curva elástica,
mostrada en lafigura
12.2d a una escala
exagerada. Como las deformaciones
sonpequeñas, elángulo ϒA entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en el punto
A se expresa como
De modo semejante, el ángulo ϒB entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en B es
igual a
Puesto que ϒA = ѲA - ψABy ϒB = ѲB - ψAB, las ecuaciones 12.3a y 12.3b se expresan como
donde
Para expresar tABy tBA en función de los momentos aplicados, se dividen las ordenadas de
los diagramas de momento de la figura 12.2c entre EI para generar los diagramas M/EI y,
aplicando el segundo principio de área-momento, se suman los primeros momentos del área
bajo las curvas M/EI con respecto al extremo A del miembro AB para obtener tAB, y con
respecto al extremo B para obtenertBA:

7. Los términos primero y segundo de las ecuaciones 12.5 y 12.6 representan los primeros
momentos de las áreas triangulares asociadas a los momentos MAB y MBA en los
extremos. El último término -- (AM )Aen la ecuación 12.5, y (AM )B en la ecuación 12.6-representa el primer momento del área bajo el diagrama de momentos como viga
simple con respecto a los extremos de la viga (el subíndiceindica el extremo de la
viga alrededor del cual se toman los momentos). Como convenciónde signos, se
supone que la contribución decada diagrama de momentos a la desviación
tangencial es positiva siésta se incrementa, y negativa si disminuye.
Figura 12.3: Diagrama de momentos como viga simple generado por una carga uniforme
A fin de ilustrar
el cálculo
de (AM )Apara una viga que soportauna carga
uniformementedistribuidaw (véase figura
12.3), se dibujael diagramaparabólicode
momentoscomovigasimple, y se calcula elproducto del área bajola curvaporla distancia entre
el punto A yel centroide del área:
Como el diagrama de momentoses simétrico, (AM )B es igual a (AM )A . Si a continuación
se sustituyen los valores de tAB y tBA dados por las ecuaciones 12.5 y 12.6 en las ecuaciones
12.4a y 12.4b, se escribe

8. Para establecer las ecuaciones de pendiente-deflexión, se resuelven las
ecuacionessimultáneas 12.8 y 12.9 para obtener MAB y MBA
En las ecuaciones 12.10 y 12.11, los últimos dos términos, que contienen las cantidades
(AM )Ay (AM )B , son función únicamente de las cargas aplicadas entre los extremos del
miembro. Se les puede dar un significado físico a estos términos si se utilizan las ecuaciones
12.10 y 12.11 para calcular los momentos en una viga doblementeempotrada con las mismas
dimensiones (sección transversaly longitud del claro) que soporte la misma carga que
elmiembro AB de la figura 12.2a (véase figura 12.4).
Como los extremos de la viga en la figura 12.4 están empotrados, los momentos en los
extremosdel miembro MAB y MBA también denominados momentos de empotramiento,
pueden designarse como MEAB y MEBA. Debido a que los extremos de la viga de la figura 12.4
están empotrados contra rotación y no ocurren asentamientos en los apoyos, se entiende que
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 12.10 y 12.11 para calcular los momentos en los
extremos (o momentos de empotramiento) de la viga de la figura 12.4, se escribe

9. Utilizando los resultados de las ecuaciones 12.12 y 12.13, las ecuaciones 12.10 y 12.11 se
simplifican reemplazando los últimos dos términos por MEAB y MEBApara obtener
Como las ecuaciones 12.14 y 12.15 tienen la misma forma, se reemplazan con una ecuación
única en la cual se señala el extremo donde se está calculando el momento como el extremo
cercano (C) y el extremo opuesto como el extremo lejano (L). Con este ajuste, la ecuación de
pendiente-deflexiónse escribe como
En la ecuación 12.16, las dimensiones del miembro aparecen en la relación I/L. Esta relación,
llamada rigidez flexionante relativa del miembro CL, se denota con el símbolo K.
Sustituyendo la ecuación 12.17 en la 12.16, la ecuación de pendiente-deflexión se escribe
como
El valor del momento de empotramiento (MECL) en las ecuaciones 12.16 o 12.16a se calcula
para cualquier tipo de carga por medio de las ecuaciones 12.12 y 12.13. El ejemplo 12.1 ilustra
el uso de estas ecuaciones para determinar los momentos de empotramiento generados por
una carga concentrada aislada en el centro del claro de una viga doblemente empotrada
(véase figura 12.5). Los valores de los momentos de empotramiento para otros tipos de
carga y para desplazamientos de los apoyos se proporcionan en la página siguiente a la
segunda de forros.

10. 4. Análisis de estructuras por el método de pendiente-deflexión
El método de pendiente-deflexión se emplea para analizar cualquiertipo de viga
indeterminada o de marco; sin embargo, en este texto laexplicación del método se limita, en
primer lugar, a vigas indeterminadas cuyos apoyos no se asientan y a marcos arriostrados
cuyos nudos son libres de rotar pero no de desplazarse; esta restricción la proporcionan
riostras (figura 3.23g) o apoyos. Para este tipo de estructuras, el ángulo de rotación de la
cuerda ψCL en la ecuación 12.16 es igual a cero. Las figuras 12.7a y b muestran ejemplos de
varias estructuras cuyos nudos no se desplazan lateralmente pero sí pueden rotar. En la figura
12.7a, el nudo A está restringido contra el desplazamiento por el empotramiento, y el nudo C
por el apoyo articulado. Ignorando cambios de segundo orden en la longitud de los miembros,
que pudieran generarse por la flexión y las deformaciones axiales, se supone que el nudo B
está restringido contra el desplazamiento horizontal por el miembro BC, el cual se conecta a
un apoyo fijo en C, y contra el desplazamiento vertical por el miembro AB, conectado al
empotramiento en A. La configuración deformada aproximada de las estructuras cargadas de
la figura 12.7 se muestra con líneas discontinuas en la misma figura.

11. Figura 12.7: a)Todos los nudos estánrestringidos contradesplazamiento: todas las rotaciones decuerda ψ son igual a
cero; b) debido ala simetría dela estructura y de la carga, los nudos tienen libertad de rotar pero no trasladarse: las
rotaciones de cuerda son iguales a cero; c) y d) marcos no arriostrados con rotaciones de cuerda.
La figura 12.7b muestra una estructura cuya configuración y carga son simétricas con respecto
al eje vertical que pasa por el centro del miembro BC. Como una estructura simétrica bajo una
carga simétrica debe deformarse simétricamente, no ocurren desplazamientos laterales de
los nudos superiores.
Las figuras 12.7c y d muestran ejemplos de marcos que contienen nudos libres de desplazarse
lateralmentey de rotar bajo las cargas aplicadas. Bajo la carga lateral H, los nudos B y C de la
figura 12.7c se desplazan hacia la derecha. Este desplazamiento genera rotaciones de la
cuerda ψ = ∆/h en los miembros AB y CD. Como no suceden desplazamientos verticales de los
nudos B y C -- ignorando deformaciones axiales y flexión de segundo orden de las columnas-,
la rotación de la cuerda de la trabe ψBCes igual a cero. Si bien el marco de la figura 12.7d

12. soporta una carga vertical, los nudos B y C se desplazan lateralmente una distancia ∆ hacia la
derecha, debido a las deformaciones por flexión de los miembros AB y BC. En la sección
12.5 se considera el análisis de estructuras que contienen uno o más miembros con rotaciones
de cuerda.
Los pasos básicos del método de pendiente-deflexión, explicados en la sección 12.2, se
sintetizan en seguida:
Resumen
1) Se identifican todos los desplazamientos (rotaciones) desconocidos en los nudos para
establecer el número de incógnitas.
2) Se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión (ecuación 12.16) para expresar todos los
momentos en los extremos de los miembros en función de las rotaciones de los nudos
y de las cargas aplicadas.
3) En cada nudo, excepto en los empotramientos, se escribe la ecuación de equilibrio de
momentos, la cual establece que la suma de momentos (aplicados por los miembros
que se unen en el nudo) es igual a cero. Las ecuaciones de equilibrio en
empotramientos, que se reducen a la identidad 0 = 0, no proporcionan información
útil. El número de ecuaciones de equilibrio tieneque ser igual al número de
desplazamientos desconocidos.
Como convención de signos, los momentos en el sentido de las manecillas del reloj en
los extremos de un miembro se consideran positivos. Si el momento en el extremo de
un miembro es desconocido, debe mostrarse en el sentido de las manecillas del reloj
sobre dicho extremo. El momento aplicado por un miembro sobre un nudo es
siempre igual y opuesto en sentido al momento que actúa sobre el extremo del
miembro. Si la magnitud y el sentido del momento sobre el extremo de en miembro
son conocidos, se muestran en el sentido real.
4) Las expresiones para los momentos en función de los desplazamientos (véase paso 2)
se sustituyen en las ecuaciones de equilibrio del paso 3, y se resuelven para obtener
los desplazamientos desconocidos.
5) Los valores de los desplazamientos del paso 4 se sustituyen en la expresión para los
momentos en los extremos de los miembros del paso 2 con el fin de obtener el valor
de dichos momentos. Una vez conocidos éstos, el resto del análisis -por ejemplo, el
trazo de los diagramas de cortante y de momento o bien el cálculo de las reaccionesse completa mediante la estática.
Los ejemplos 12.2 y 12.3 ilustran el procedimiento descrito anteriormente.

13. 5.
:Análisis
de estructuras con libertad para desplazarse lateralmente
Hasta el momento, se ha utilizado el método de pendiente-deflexiónpara analizar vigas
indeterminadas y marcos cuyos nudos son libres de rotar pero que están restringidos
contra el desplazamiento. En esta sección, el método se amplía a marcos cuyos nudos
también sonlibres de desplazarse lateralmente.
Figura 12.14: a) Marco no arriostrado, configuración deformada mostrada a una escala exagerada con líneas
discontinuas, las cuerda de las columnas rotan un ángulo ψ en el sentido de las manecillas del reloj; b) diagramas de
cuerpo libre de las columnas y las trabes; los momento desconocidos se muestran en sentido positivo (en el sentido
de las manecillas del reloj) sobre los extremos de los miembros (las cargas axiales en las comunas y los cortantes en
el trabe se omiten para claridad.
Por ejemplo, en la figura 12.14ala carga horizontal provoca que la trabe BC se desplace

14. lateralmente una distancia ∆. Como la deformación axial de la trabe es insignificante, se
considera que el desplazamiento horizontal de la parte superior de ambas columnas es
igual a ∆. Este desplazamiento generaen ambas columnas del marco una rotación ψ de
sus cuerdas, en el sentido de las manecillas del reloj, igual a
donde h es la longitud de la columna.
Debido a que se desarrollan tres desplazamientos independientesen el marco [esto es, la
rotación de los nudos B y C (ѲB y ѲC) y la rotación ψde la cuerda], se requiere de tres
ecuaciones
de equilibrio para su solución. Dos ecuaciones de equilibrio se obtienen
considerando el equilibrio de los momentos que actúan sobre los nudos B y C. Puesto que
ya se han planteado ecuaciones de este tipo en la solución de ejemplos anteriores, en
seguida se explica solamente el segundo tipo de ecuación de equilibrio, la ecuación de
cortante, la cualse plantea sumando en la dirección horizontal las fuerzas que actúan sobre
el diagrama de cuerpo libre de la trabe. Por ejemplo, para latrabe ele la figura12.14b se
escribe
En la ecuación 12.18, el cortante V1 en la columna AB y el cortanteV2 en la columna CD se
calculan sumando los momentos de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo
libre de la columna con respecto a la parte inferior de la misma. Como se planteó
anteriormente, los momentos desconocidos que actúan sobre los extremos de la columna
deben mostrarse siempre en sentido positivo, esto es, actuando en el sentido de las
manecillas del reloj sobre el extremo de los miembros. Sumando momentos alrededor
del punto A de la columna AB. se calcula V1:
De manera semejante, el cortante enla columna CD se calcula sumando momentos con
respectoal punto D.

15. Sustituyendo los valores de V1 y V2 de las ecuaciones 12.19 y 12.20 enla ecuación 12.18, la
tercera ecuación de equilibrio se escribe como
Los ejemplos 12.8 y 12.9 ilustran el uso del método de pendiente-deflexión para analizar
marcos que transmiten cargas laterales y que son libres de desplazarse lateralmente. Los
marcos que toman únicamente carga vertical también desarrollan pequeñas cantidades
de desplazamiento lateral, excepto cuando la estructura y el patrón de cargas son
simétricos. El ejemplo 12.10 ilustra este caso.
6. Indeterminación cinemática
Para analizar una estructura por el método de flexibilidades, en primerlugar se establece el
grado de indeterminación de la estructura. El grado de indeterminación estática indica el
número de ecuaciones de compatibilidad que se deben escribir para poder calcular las
redundantes, que son las incógnitas en las ecuaciones de compatibilidad.
En el método de pendiente-deflexión, los desplazamientos -tantolas rotaciones corno las
traslaciones de los nudos-son las incógnitas.Como paso básico en este método, tienen que
plantearse tantas ecuaciones de equilibrio como sea el número de desplazamientos
independientes de los nudos. El número de desplazamientos independientes de los nudos
se denomina grado de indeterminación cinemática. Para conocer la indeterminación
cinemática, simplemente se cuenta el número ele desplazamientos independientes que
pueden desarrollarse en los nudos. Por ejemplo, si se ignoran las deformaciones axiales, la
viga de la figura 12.18a es cinemáticamente indeterminada en primer grado. Si se tuviera
que analizar esta viga por pendiente-deflexión, sólo se consideraría la rotación del nudo B
como incógnita.
Si también se deseara considerar la rigidez axial en un análisismás general de rigideces, el
desplazamiento axial en B se tomaría como una incógnita adicional, y la estructura se
clasificaría como cinemáticamente indeterminada en segundo grado. Si no se especifica
lo contrario, en este análisis se ignoran las deformaciones axiales.
En la figura 12.18b, el marco se clasifica como cinemáticamente indeterminado en cuarto
grado puesto que los nudos A, B y C son libres de rotar y la trabe puede trasladarse
lateralmente. Identificar el número de rotaciones posibles de los nudos es sencillo; sin
embargo, en cierto tipo de problemas, el número de desplazamientos independientes de
los nudos no es tan fácil de establecer. Un método para determinar el número de
desplazamientos independientes de los nudosconsiste en añadirles apoyos simples ficticios
para restringirlos. El número de apoyos simples necesarios para impedir la traslación delos

16. nudos de la estructura es igual al número de desplazamientos independientes en los nudos.
Por ejemplo, la estructura de la figura12.18c es cinemáticamente indeterminada en
octavo grado, puestoque se pueden desarrollar seis rotaciones de nudo y dos
desplazamientos de nudo. Cada apoyo simple ficticio (identificado con losnúmeros 1 y 2)
introducido en un nivel impide a todos los nudos deese nivel desplazarselateralmente.
La armadura Vierendeel de la figura 12. 18d se clasifica como cinemáticamente
indeterminada en un décimo grado (esto es, presenta ocho rotaciones
y tres
traslacionesindependientes de nudo). Los apoyos simples ficticios marcados como 1,2 y3
que se añaden a los nudos B, C y H impiden la traslación de todos los nudos,
Resumen
 El método de pendiente-deflexiónes uno ele los procedimientosclásicos más antiguos
para analizar vigas indeterminadas y marcos rígidos. En este método, los
desplazamientos de los nudosson las incógnitas.
 Para estructuras altamente con un gran número deindeterminadas requiere que el
ingeniero resuelva tantas ecuaciones simultaneas como número de desplazamientos
desconocidos haya -una operación tardada-. Aunque el uso del método de
pendiente-deflexiónpara analizarestructuras es impráctico dada la disponibilidadde
programas decomputadora, la familiaridad con el método proporciona a los
estudiantes un entendimientovalioso del comportamiento estructural.
 Como alternativa al método de pendiente-deflexión,en la de 1920 se desarrolló el
método de distribución de momentos para analizar vigas indeterminadas y marcos
por medio de la distribución del desbalance de momentos en los nudos de una
estructura artificialmenterestringida. Si bien este método elimina lanecesidad de
resolver ecuaciones simultáneas,es todavía relativamente largo, especialmentesi se
deben considerar un gran númerode condiciones de carga. Sin embargo, la
distribución de momentos es una herramienta útil como método aproximado de
análisistanto para verificar los resultados de un análisis de computadoracomo para
realizar estudios preliminares. En el capítulo 13 se utiliza la ecuación de pendientedeflexión para desarrollar el método de distribución de momentos.
 Una variación del procedimiento de pendiente-deflexión,el método general de
rigideces, utilizado para elaborar los programasgenerales de análisis por
computadora, se presenta en el capítulo16. Este método utiliza coeficientes de
rigidez, es decir, fuerzasgeneradas por desplazamientosunitarios de los nudos.

17. Figura 12.18: Evaluación del grado de indeterminación cinemática: a) indeterminada en primer grado, ignorando las
deformaciones axiales; b) indeterminada en cuarto grado; c) indeterminada en octavo grado, se añaden apoyos
simples imaginarios en los puntos 1 y 2; d) indeterminada en undécimo grado, se añaden apoyos simples
imaginarios en los puntos 1, 2 y 3.

19. EJEMPLO 12.1
Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los
extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura.
Asímismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibuje los diagramas de
cortante y de momento para toda la viga.
Solución
Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de
empotramiento en cada uno de los apoyos y empotramientos para luego
reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión.
TRAMO AB
TRAMO BC
TRAMO CD

20. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Sumamos las ecuaciones 2 + 3 y 4 + 5 luego con las dos ecuaciones resultantes
hallamos los valores de las incógnitas para obtener los momentos.
(7)
(8)

21. TRAMO AB
TRAMO BC

22. TRAMO CD
Con los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual
procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.

23. EJEMPLO 12.2
Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los
extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura.
Asímismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibuje los diagramas de
cortante y de momento para toda la viga.
Solución
Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de
empotramiento en el apoyo y empotramientos para luego reemplazarlos en las
ecuaciones de pendiente-deflexión.

24. TRAMO AB
TRAMO BC
(1)
(2)
(3)
(4)
Sumamos las ecuaciones 2 + 3 luego hallamos el valor de la incógnita para
obtener los momentos.

25. Con los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual
procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.
TRAMO AB
TRAMO BC

26. EJEMPLO 12.3
Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los
extremos de los miembros del marco arriostrado mostrado en la figura 12.9a.
Asímismo, calcule las reacciones en el apoyo D, y dibuje los diagramas de
cortante y de momento para los miembros AB y BD.

27. Figura 12.9: a) Detalle del marco; b)
Nudo D; c) Nudo B (cortantes y
fuerzas axiales omitidas para mayor
claridad); d) Diagramas de cuerpo
libre de los miembros y los
nudosutilizados para el cálculo de
cortantesy reacciones (los momentos
que actúan sobre el nudo B se omiten
para mayor claridad).
Solución
Como θA es igual a cero debido al empotramiento en A, entonces θB y θD son los
únicos desplazamientos desconocidos en los nudos que se deben considerar. El

28. momento aplicado sobre el nudo B por el voladizo BC debe incluirse en la
ecuación de equilibrio del nudo; sin embargo, no se necesita incluir el voladizo en
el análisis de pendiente-deflexión de la parte indeterminada del marco, puesto que
el voladizo es determinado, es decir, el cortante y el momento en cualquiersección
del miembro BC se determinan mediante las ecuaciones dela estática. En la
solución de pendiente-deflexión, es posible considerarel voladizo como un
instrumento que aplica al nudo B una cargavertical de 6 klb y un momento de 24
klb-pie en el sentido de lasmanecillas del reloj.
Utilizando la ecuación de pendiente-deflexión
(12.16)
y expresando todas las variables en unidades de klb-pulgadas, e igualandolos
momentos de empotramiento producidos por la carga uniformesobre el miembro
AB (véase figura 12.5d) alos momentos en los extremos de los miembros se
expresan como
Para obtener los desplazamientos desconocidos de los tramos θB y θD, se escriben
las ecuaciones de equilibrio enlos nudos D y B.
En el nudo D (véase figura 12.9b)
(5)
En el nudo B (véase figura 12.9c)
+

29. (6)
Como la magnitud y el sentido del momento
en el extremo B del voladizo se
calcula por estática (sumando momentos alrededor del punto B), se aplica en el
sentido correcto (en el sentido contrario al de las manecillas del reloj) sobreel
extremo del miembro BC, comose muestra en la figura 12.9c.Por otro lado, como
la magnitud y el sentido de los momentos extremos
Y
, son desconocidos,
se supone que actúan en sentido positivo (en el sentido de las manecillas del reloj
sobre los extremos de los miembros y en sentido contrario sobre el nudo).
Utilizando las ecuaciones 2, 3 y 4 para expresar los momentos de las ecuaciones
5 y 6 en función de los desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio se escriben
como
En el nudo D
(7)
En el nudo B
Resolviendo las ecuaciones simultáneas 7 y 8 se obtiene
Para encontrar los valores de los momentos sobre los extremos de losmiembros,
los valores de y , anteriores se sustituyen las ecuaciones 1, 2 y 3, teniéndose

30. Ahora que se conocen los momentos en los extremos de losmiembros, se
completa el análisis utilizando lasecuacionesde la estática para determinar los
cortantes en los extremos de todos losmiembros.
La figura 12.9d muestra los diagramas de cuerpo libre de los miembrosy los
nudos: salvoel voladizo, todos los miembros soportan fuerzas axiales así como
cortante momento Luego de determinarlos cortantes, se calculan las fuerzas
axiales y las reacciones considerandoel equilibrio de los nudos. Por ejemplo, el
equilibro de lasfuerzas verticales aplicadas al nudo B requiere que la fuerza
verticalF en la columna BD seaigual a la suma dc los cortantes aplicados al nudo
B por los extremos B delos miembros AB y BC.

31. EJEMPLO 12.4
Uso de la simetría para simplificar el análisis de una estructura simétrica con
una carga simétrica
Determine las reacciones y dibuje los diagramas de cortante y de momentopara
las columnas y la trabe del marco rígido mostrado en lafigura 12.10a. Datos:
,
,y E es constante para todos los
miembros.
Solución
Los nudos B y C rotan, pero no se desplazan lateralmente puesto que tanto la
estructura como su cargason simétricas con respecto a un ejevertical de simetría
que pasa por el centro de la trabe. Más aún, θB y θC son iguales en magnitud; sin
embargo, θBes positiva (rotación en sentido de las manecillas del reloj), mientras
que θC es negativa(rotación en sentido contrario al de las manecillas de reloj).
Como elproblema contiene únicamente una rotación nodal desconocida,se puede
determinar su magnitud escribiendo la ecuación de equilibrioya sea para el nudo B
o para el nudo C. Se seleccionaarbitrariamenteel nudo B.

32. Figura: 2.10a) Estructura y carga
simétricas; b) momentos que actúan
sobre el nudo B (fuerzas axiales y
cortantes omitidos); c)diagramas de
cuerpo libre de la trabe BC y de la
columna AB utilizados para el cálculo
de cortantes; también se muestran los
diagramas finales de cortante y de
momento.
Expresando los momentos en los extremos de los miembros con la ecuación
12.16,leyendo el valor del momento de empotramientopara el miembro BC de la
figura 12.5d, expresando las unidades enklb-pulgada, y sustituyendo θB=θyθC= - θ,
es posible escribir
Escribiendo la ecuación de equilibrio en el nudo B (véase figura 12.10b) se tiene
Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 4 y resolviendo para 0 se
obtiene
(5)

33. Sustituyendo el valor de
3seobtiene
dado por la ecuación 5 en las ecuaciones 1, 2 y
La figura 12.10c muestra los resultados finales del análisis.