1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD)
1. Pengertian Persamaan diferensial
Definisi 1.
Persamaan Differensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan pertama atau
lebih dari fungsi. Atau persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi
dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.
(A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or
partial derivatives.)
Persamaan differrensial disingkat dengan PD , diklasifikasikan dalam: tipe, tingkat (ordo),
derajat (pangkat), sebagai berikut :
Tipe PD :
1. PD biasa (Ordinary Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan dari suatu fungsi
satu peubah.
2. PD Parsial (Partial Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan parsial dari suatu
fungsi dengan dua atau lebih peubah bebas.
Tingkat (Ordo)
Tingkat dari suatu PD adalah bilangan yang menunjukkan tingkat tertinggi dari turunan yang
terdapat dalam PD tersebut.
Derajat (Pangkat) atau Degree
Pangkat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat dalam
PD tersebut.
Contoh 1:
1. x
dx
dy
4 adalah PD biasa tingkat 1 pangkat 1
2. 03
3
3
y
dx
yd
adalah PD biasa tingkat 3 pangkat 1
3. x
dx
dy
dx
yd
63
2
2
adalah PD biasa tingkat 2 pangkat 3
4. 0
2
2
2
2
xy
adalah PD parsial tingkat 2 pangkat 1

2. Penyelesaian PD Biasa
Penyelesaian PD biasa adalah suatu hubungan fungsional antara peubah-peubahnya yang
tidak mengandung lagi differensial atau turunan yang memenuhi PD. Penyelesaian PD dapat
berbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit.
Penyelesaian Umum (PU) atau general solution dari PD pangkat n adalah penyelesaian yang
memuat n konstanta dari hasil integrasi.
Penyelesaian partikulir dari suatu PD adalah suatu penyelesaian yang diperoleh dari PU
dengan memberi suatu nilai pada konstanta dari PU.
Pada integrasi sederhana, konstanta dari hasil integrasi dari PD dapat mempunyai nilai
tertentu dengan adanya syarat batas atau syarat awal yang diberikan. Misalnya pada suatu PD
diketahui untuk nilai x=x0 maka y = y0 , hal ini disebut syarat batas.
Kejadian khusus jika diketahui x = x0 maka y = 0, disebut syarat awal.
2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU
PD ordo satu derajat satu dapat dinyatakan dalam bentuk :
),( yxf
dx
dy
……………………………….. (1)
Jika f(x,y) suatu konstanta, maka penyelesaian didapat dengan mengintegralkan f(x,y) tersebut. Jika
f(x,y) fungsi dengan peubah x dan y, misalkan f(x,y) =
),(
),(
yxN
yxM
biasanya PD dirubah kebentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………… (2)
Penyelesaiannya merupakan fungsi implisit, berbeda dengan bentuk persamaan (1). Metode
penyelesaian PD tergantung dari klasifikasi bentuk PD kadang-kadang dapat diselesaikan dengan
lebih dari satu metode.
Pada umumnya PD ordo satu derajat satu dapat diklasifikasikan ke dalam bentuk :
1. Peubah dapat dipisahkan dalam ruas persamaan yang berbeda atau dapat dikelompokkan
dalam 2 kelompok, kelompok peubah x saja dan kelompok y saja sehingga bentuknya menjadi
: f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 atau
0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1 dy
yg
yg
dx
xf
xf
atau dy
yg
yg
dx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
……..(3)
Hal ini biasa disebut PD dengan peubah yang dapat dipisahkan.
Contoh
1. dx
2. dy/dx

3. 0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1 dy
yg
yg
dx
xf
xf
3.
4.
dengan mengintegralkan (3) akan diperoleh :
…….(4)
5. Contoh:
Selesaikan PD 0)1( 2
xy
dx
dy
x
Jawab :
0)1( 2
xy
dx
dy
x bila dikali dengan dx, maka :
0)1( 2
dxxydyx dibagi dengan yx )1( 2
maka :
0
)1( 2
x
dxx
y
dy
dengan mengintegralkan kedua ruas, maka :
0
)1( 2
x
dxx
y
dy
ln y +
2
1
ln (1 + x2
) = C
ln y(1 + x2
)1/2
= C
y(1 + x2
)1/2
= eC
jika ruas kanan diambil ln C, hal ini boleh karena ln C juga merupakan konstanta,
maka penyelesaian menjadi :
ln y(1 + x2
)1/2
= ln C
y(1 + x2
)1/2
= C

4. y/x= atau y= adalah solusinya
2. PD Homogen, bila fungsi M(x,y) dan fungsi N(x,y) keduanya merupakan fungsi homogen
dengan derajat sama .
Fungsi f(x,y) disebut fungsi homogen pangkat n jika memenuhi fungsi
f( tx,ty ) =t n
f(x,y), dengan t adalah konstanta.
Contoh :
a. f(x,y) = 3 x2
y3
- 2 x4
y
f(tx,ty) = 3 (tx)2
(ty)3
- 2 (tx)4
(ty)
= t5
(3 x2
y3
- 2 x4
y)
= t5
f(x,y)
Jadi, f(x,y) disebut homogen derajat 5.
b. g(x,y) = 4 x y2
+ 2 x2
y2
g(tx,ty)= 4 (tx) (ty)2
+ 2 (tx)2
(ty)2
= t3
(4x y2
) + t4
(2 x2
y2
)
Jadi, g(x,y) bukan fungsi homogen
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika jumlah pangkat peubah x dan
peubah y sama pada setiap suku dari f(x,y), maka fungsi tersebut adalah homogen.
PD yang berbentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ......................... (5)
Disebut PD homogen jika M(x,y) dan N(x,y) keduanya fungsi homogen dengan derajat sama.
Penyelesaian PD homogen yaitu dengan mengandaikan y = Vx atau x = Vy, sehingga
PD tersebut dapat diselesaikan dengan metode peubah dapat dipisahkan.
Jika diandaikan y = Vx maka dy = V dx + x dV ......................... (6)
atau x = Vy maka dx = V dy + y dV ......................... (7)
selanjutnya (6) atau (7) substitusi ke (5) sehingga diperoleh PD dengan peubah dapat
dipisahkan.
6

5. c.
Persamaan diferensial ini homogen orde 2, karena
Dan untuk N(x,y) = 2xy
Misalkan y=vx maka
dy= v dx + x dv. Kemudian substitusikan ke soal
2x (vx) ( v dx + x dv) = (x2
-v2
x2
) dx
Bagi dengan x2
d. Selesaikan PD : (y2
+ xy) dx + x2
dy = 0
Jawab :
M(x,y) = y2
– xy homogen berpangkat 2
N(x,y) = x2
homogen berpangkat 2
Jadi PD tersebut di atas adalah PD homogen
Misalkan y = Vx maka dy = V dx + x dV, PD menjadi :
(V2
x2
– x Vx) dx + x2
(V dx + x dV) = 0
x2
(V2
– V) dx + x2
V dx + x3
dV = 0
x2
(V2
– V + V) dx + x3
dV = 0
x2
V2
dx + x3
dV = 0 kedua ruas dikalikan dengan 32
1
xv
0
11
2
dV
V
dx
x
sehingga CdV
V
dx
x 2
11
ln x –
V
1
= C atau ln x –
y
x
= C atau
Cx
x
y
ln

6. 3. PD Eksak, jika memenuhi turunan parsial M(x,y) terhadap y sama dengan turunan parsial
N(x,y) terhadap x, atau dapat dinyatakan dengan : ),(),( yxN
x
yxM
y
Atau jika diberikan persamaan M dx + N dy = 0 maka PD tersebut persamaan
eksak jika :
y
M
=
x
N
Contoh
1. Apakah PD (x2
– y) dx – x dy = 0 merupakan PD eksak atau bukan?
Solusi
M = (x2
– y),
N = -x,
Karena maka PD eksak
2. Diberikan PD ( 3y2
+ 8x ) dx + ( 6xy + 9y2
) dy = 0, apakah PD tersebut
eksak atau bukan ?
Jawab :
eksakPD
y
dx
dN
dy
dM
y
x
N
yxyN
y
y
M
xyM
6
6),96(
6),83(
2
2
4. PD linier jika PD (1) dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan :
)()( xQxPy
dx
dy
atau )()( yQyPx
dx
dy
Contoh
1. Apakah PD berikut : + y = 2 + 2x merupakan PD linear ?
Solusi
PD tersebut merupakan PD linear karena memenuhi )()( xQxPy
dx
dy
: dimana
P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x

7. 2. Ubah PD : 2(y – 4x2
) dx + x dy = 0 ke bentuk PD linear !
Jawab :
PD dapat diubah ke bentuk :
+ 2y = 8 x2
atau + = 8 x , bentuk umum PD linier.
dimana P(X) = dan Q(x) = 8x
contoh lain PD Linear
3. 124y
dx
dy
4. 22
3 xyx
dx
dy
5. xxy
dx
dy
64 6. 23
822 xyx
dx
dy
6.
2
2 x
exy
dx
dy
8. xy
dx
dy
63
9. y’ = x3
– 2xy,

8. 3. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek
sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan
panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial , K > 0 populasi bertambah.
K < 0 populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0132
4. Menyelesaikan Persamaan Differensial
dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0 . Dengan memisahkan peubah dan
mengintegrasikan, kita peroleh
Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0 Sehingga,
Ketika k > 0 jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika k < 0
disebut peluruhan eksponensial.
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya,
zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k
< 0
Teorema
= e
Bukti
Pertama ingat kembali bahwa jika f(x) = ln x maka f’(x)= dan khususnya, f’(1) = 1
Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat ln , diperoleh

9. Jadi . Karena g(x)= = exp x adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita
dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut
Contoh : Jamil menyimpan uang 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar 4 % . Andaikan
bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Jamil pada akhir tahun ketiga?
Penyelesaian :
A(t)= A0 = 500 = 563,75
Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan
menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang
secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.
Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan
Aadalah nilai pada saat t uang sebesar A0 rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga r
mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari A
terhadap waktu adalah rA , yakni
Persamaan diferensial ini adalah A= A0
Persamaan Differensial Linear Orde-Satu
Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial
Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dy dan seluruh
ungkapan yang melibatkan y pada satu sisi dan dx beserta seluruh ungkapan yang melibatkan x
pada sisi lainnya.
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
Dimana P(x) dan Q(x) hanyalah fungsi-fungsi x saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini
dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.

10. Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu
Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan
factor integrasi
Didapatkan
Sisi kiri adalah turunan hasil kali y . , maka persamaannya mengambil bentuk
Integrasi kedua sisi menghasilkan
Contoh : Carilah penyelesaian umum dari
Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah =
Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk
Jadi penyelesaian umumnya adalah
atau

11. Tugas Kelompok
MATEMATIKA DASAR II
“ PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1 ”
OLEH:
KELOMPOK II
JAMALUDDIN H22112011
AKMAL H22112268
MUH. IQBAL MAULANA H22112289
AHMAD JAMIL H12110290
UNIVERSITAS HASANUDDIN
2013