1. Un estudio sobre
la iniciación al pensamiento deductivo
en la formación de profesores de matemática.
El caso de la geometría.
Mario Dalcín
Tutor: Dr. Javier Lezama
Seminario de Investigación en Matemática Educativa III
Programa de Doctorado, CICATA – IPN, México
Montevideo, junio 2009

2. ¿Cuál es el problema?
De acuerdo con los fines de la Educación Media Superior de Uruguay
ésta debe posibilitar que los estudiantes puedan:
•desarrollar las competencias para seguir aprendiendo en niveles
superiores;
•tomar decisiones en situaciones nuevas e imprevistas;
•ser capaces de enmarcar y orientar los conocimientos, producciones y
decisiones en valores universales consensuados socialmente;
•estimular y desarrollar la capacidad de crear e innovar, a los efectos de
hacerlo competente para promover sus propios aportes a la sociedad y a
la cultura.

3. ¿Cuáles son los resultados obtenidos con la actual enseñanza?
En las conclusiones de la prueba de matemática de CEPAL (1994) con un
doble objetivo:
“...identificar los conocimientos matemáticos efectivamente incorporados
por los estudiantes a lo largo de casi doce años de educación formal y
...captar la capacidad de razonamiento adquirida en tal período de
escolarización.
sólo 1 de cada 15 estudiantes alcanza el 60% del puntaje
sólo 1 de cada 5 estudiantes alcanza el 41% del puntaje
1 de cada 3 estudiantes logra menos de 5 puntos.
Dicho de otra forma, su rendimiento no le permite a ese estudiante alcanzar
el décimo del puntaje de la prueba. En este sentido, poco importa cuál sea la
orientación de los estudios en este resultado, ya que con los ejercicios de
lógica o de uso social −que sólo reclaman conocimientos aritméticos
básicos− un estudiante podría lograr 24 puntos.”

4. ¿Cuál es la situación de la enseñanza de la geometría en
la Enseñanza Media de nuestro país?
En vías de extinción… y esto hasta podría ser bueno.
¿Qué hay detrás de esto?
En Uruguay, la geometría euclidiana ha sido el lugar tradicional en el
cual iniciar a los estudiantes en el pensamiento deductivo y en la
estructura de la matemática, sirviendo la geometría euclidiana para
presentar un sistema axiomático.

5. Surge así la necesidad de pensar en alternativas donde la
enseñanza de la matemática contribuya efectivamente a los
fines que se plantea la Enseñanza Media.
Consideramos que un factor importante en esa búsqueda de
alternativas es una adecuada formación de los docentes de
matemática.
Nuestro trabajo se centra en el papel que pueda tener la
geometría euclidiana en dicha formación.

6. Preguntas generales que se plantean:
• ¿Qué puede aportar a la formación de un profesor la
enseñanza de la geometría euclidiana?
• ¿Qué tienen para aportar el aprendizaje de la geometría
euclidiana al estudiante de enseñanza media (destinatario
último de la formación que reciba el estudiante de
profesorado?
• ¿El pensamiento deductivo tiene un papel a jugar en la
formación de personas en la sociedad de hoy? ¿Qué tipo de
personas?
• ¿Para qué queremos enseñar geometría euclidiana a un
estudiante de profesorado de matemática?

7. ¿Cuál es la situación de los estudiantes?
Aproximadamente la mitad de los estudiantes que ingresan al
profesorado de matemática, donde hay un único curso de
geometría euclidiana en primer año, las pruebas que elaboran
frente a situaciones geométricas son pragmáticas (que apelan a
hacer mediciones sobre una figura o que recurren a un caso
particular donde sí justifican deductivamente para después decir
que se cumple para todos los casos).

8. Marco teórico
Kuzniak plantea tres geometrías:
Geometría I. La geometría natural.
La fuente de validación es la realidad, el mundo sensible. Hay una cierta
confusión entre el modelo y la realidad. La deducción se hace centralmente
mediante la percepción y el uso de instrumentos.
Geometría II. La geometría axiomática natural.
La fuente de validación se basa sobre lo hipotético deductivo en un sistema
axiomático lo más preciso posible. Pero dicho sistema axiomático se mantiene
lo más fiel posible a la realidad.
Geometría III. La geometría axiomática formalista.
Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonamiento lógico se
impone y los axiomas no se basan en lo sensible, en lo real.

9. Geom III
Formar
es
transitar
Geom II
hacia
arriba
Geom I

10. Geom III
Formar
es
transitar
hacia
arriba
y Geom II
hacia
abajo
Geom I

11. Geometría dinámica experimental (Acosta, 2005)
práctica geométrica que privilegia la observación y
manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de
la computadora, con la intención de emitir conjeturas
sobre las propiedades geométricas de dichos objetos,
conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la
medición y la construcción de objetos auxiliares.
La invalidación de una conjetura en geometría
experimental puede considerarse equivalente a una
demostración de su falsedad por medio de un
contraejemplo.
Las conjeturas que no sean invalidadas por la experiencia
se consideran verdaderas, en espera de una demostración
formal.

12. ¿Qué se quiere investigar?
¿Es factible involucrar –en el ámbito de la geometría euclidiana-, a
estudiantes de primer año de profesorado, en los procesos de la actividad
matemática? ¿Cuáles son los productos que se obtienen mediante esta vía?
Producto Proceso
Axiomas Axiomatizar
Definición Definir
Clasificación Clasificar
Demostración Elaborar pruebas/demostraciones de proposiciones
verdaderas y falsas
Generalización/Caso particular Generalizar/Particularizar
Teorema Conjeturar, Formular teoremas

13. ¿Es factible formar a estudiantes de primer año de
profesorado, en los procesos de la actividad matemática
haciéndoles transitar explícitamente entre la dimensión de la
geometría natural (Geom. I) y la dimensión de la geometría
axiomática natural (Geom. II)?

14. Se podría enmarcar la anterior pregunta en el contexto de
esta otra:
¿Es posible resignificar la organización axiomática de la
geometría euclidiana en la formación inicial de profesores de
matemática?

15. ¿Desde donde ver las cosas? Parte 2
Según la socioepistemología:
En vez de prestar atención a la idea matemática en el exclusivo contexto
de otras ideas matemáticas, como existentes fuera de un contexto
histórico y cultural determinados, la socioepistemología busca determinar
las prácticas sociales que se desarrollaron en ciertos escenarios
específicos y que dieron origen a dichos conceptos. La
socioepistemología deja de concebir la actividad matemática aislada, en
abstracto, para pensarla como una actividad humana más en el
conocimiento del mundo. Esto implica reconocer una concepción amplia
y cambiante de lo que es la matemática dado que en cada escenario es
algo distinto.

16. Tratando de seguir el esquema metodológico para la
investigación socioepistemológica (Seminario II),
donde una vez reconocido un fenómeno didáctico se
procedería a hacer una revisión socioepistemológica que daría
los fundamentos para formular una epistemología de
prácticas, que indagué sobre los orígenes de la geometría y
tratando de identificar distintas prácticas en la conformación
de la geometría.

17. Nuestras concepciones de la verdad altamente desarrolladas y los
criterios que una afirmación debe satisfacer para ser considerada
verdadera (coherencia interna, por ejemplo, o correspondencia con una
realidad externa) generalmente no existen en las culturas orales y, si se
explicaran a un miembro de una cultura oral probablemente resultarían
bastante inútiles. Más bien, el principio operativo entre los ágrafos es el
de la creencia sancionada (la sanción en cuestión emerge del consenso de
la comunidad). (Lindberg, 2002, p. 33)

18. En Egipto podían darse historias encontradas sin la conciencia del conflicto.
Pero entre los cosmólogos griegos, que eran más críticos, la multiplicidad de
las tesis conflictivas y usualmente dogmáticas de los distintos cosmólogos
llevó a la pregunta: ¿Cómo podemos decidir entre estas teorías encontradas?
¿Qué historia deberíamos preferir?
Popper (1999, El mundo de Parménides, p. 159)

19. Debemos destacar que el sacerdote-astrónomo babilonio no hizo esto
por medio del uso de modelos geométricos, como lo harían los
astrónomos griegos, sino simplemente a través de la utilización de
métodos numéricos que extrapolaban observaciones pasadas al futuro.
(Lindberg, 2002, p. 41)
En el mismo sentido dice Teresi (2004, p. 122)
Desde el principio los babilonios resolvieron problemas geométricos
elementales de una manera algebraica. Optaron por explicar los
movimientos de los cuerpos celestes de un modo básicamente temporal,
lo contrario de lo que hicieron los griegos, que optaron por la
explicación espacial, es decir geométrica.

20. •es concreto, aplicado a casos particulares de índole práctica
•poseían lo que llamamos técnica: reglas prácticas; pero no tenían una preocupación
teórica. Casi siempre los guía un fin utilitario, no interesan los por qué, sino los cómo.
•uso de procedimientos empíricos basados en la experiencia (poseían instrumentos de
observación), pero sus conocimientos no fueron probados o fundamentados. Las
soluciones son aproximadas. La justificación de los resultados no se obtiene por
deducción sino por la evidencia sensible.
•pensamiento mítico: explicaciones del surgimiento del mundo y de la realidad apelando
a fuerzas sobrenaturales o dioses, de forma ilógica –sin relacionar causas y efectos-;
también no poseen justificación –son acríticos- y dogmáticos –exigen credibilidad
para su admisión. El mito narra acontecimientos concretos que muestran que el
mundo es como es porque debe ser así, facilitando la defensa del orden establecido.
•es esotérico (reservado, oculto, secreto), y en consecuencia, no susceptible de ser
enseñado, es ‘revelado’, se transmite a través de la clase sacerdotal.

21. •La racionalidad: saber fundamentado, implicando la afirmación de algo
mediante la argumentación, y por ello no dogmático. Ahora la reflexión es
libre y crítica.
•Un saber metódico, sistemático, demostrable, no revelado. En Oriente el
que sabe es depositario de secretos divinos, es sacerdote, profeta, mago. Es
una novedad el pensador, el que hace profesión de pensar por sí mismo.
•Preocupación por el por qué y el cómo se originan los fenómenos, lo que
permite la especulación teórica.
•Es un conocimiento abstracto y general, en el que se supera la aplicación
al caso concreto.
•Las explicaciones recurren a la experiencia común y a la propia naturaleza,
y no a fuerzas místicas o dioses para dar cuenta de la realidad. Se excluye lo
sobrenatural y la asimilación implícita establecida por el mito entre
fenómeno físico y agente divino, rechazando el influjo astral sobre el
destino de los hombres.

22. ¿Qué veracidad tienen de los sentidos? El problema se
originó a partir de la observación de que los sentidos en
ocasiones nos ‘engañan’ –como cuando una barra recta
sumergida oblicuamente hasta la mitad en el agua, parece
quebrada-, así como la constatación de que un mismo
objeto afecta de forma distinta a personas diferentes –un
ejemplo corriente en la Antigüedad era la miel, que resulta
amarga al enfermo de ictericia-.
(Schrödinger, 1997, p. 40)

23. A Parménides (alrededor del 480 a. C.) se atribuyen los
siguientes descubrimientos astronómicos:
•Que el Lucero (Venus) del alba y el Lucero vespertino son el
mismo.
•Que la Tierra tiene forma de esfera
•Que las fases de la luna se deben a las distintas formas en
que vemos desde la Tierra su hemisferio iluminado por el Sol

24. Este parece ser el origen en el pensamiento de Parménides de que los
sentidos nos engañan:
la observación de que la Luna crece y decrece en el transcurso de lo
días es engañosa, en realidad la Luna no hace nada de eso, son
cambios aparentes, inexistentes.
La observación del cambio, del movimiento no es de confiar, puede
que los movimientos que se observan no existan, como la Luna que
siempre es un globo esférico.
Pero el descubrimiento de que la Luna no crece ni decrece se hizo a su
vez con ayuda de la observación de que la Luna siempre parece estar
mirando al Sol (Por siempre volviendo su mirada/Hacia los rayos de
Helios), lo que -por medio de la razón- significa que recibe la luz del
Sol.
La observación, entonces, puede conducir a la falsedad de la
observación: tenemos aquí prueba indirecta de la falsedad, una
reducción al absurdo.
La posición defendida por Parménides refuta la postura empirista y de
la existencia del cambio.

25. ¿Acaso Parménides y Zenón no se levantaban por la mañana, disfrutaban de
un buen desayuno y se dirigían a la plaza pública para un duro día de
filosofar? ¿Y no se daban cuenta de que esto requería que se movieran? Sin
duda.
Ambos sabían perfectamente lo que la experiencia enseña, pero la cuestión
era si la experiencia era fiable. ¿Qué hace uno si la experiencia sugiere la
realidad del cambio, mientras que la pulcra argumentación (con la debida
atención a las reglas de la lógica) enseña sin ambigüedad su imposibilidad?
Para Parménides y Zenón la respuesta era clara: el proceso racional debe
prevalecer.
(Lindberg, p. 61)

26. Protágoras (alrededor del 490 a. C.) frente a la pregunta si es la razón o los
sentidos lo que constituye la fuente de acceso a la verdad y por tanto a la
realidad propiamente dicha, no duda en afirmar que son los sentidos.
Para el sofista Protágoras las percepciones de los sentidos son lo único
realmente existente, el único material a partir del cual se construye nuestra
imagen del mundo.
Su sentencia “el hombre es la medida de todas las cosas” es extendida por
algunos comentaristas más allá de su teoría sensorial pudiendo abarcar una
postura frente a la vida social y política: que los asuntos humanos fueran
ordenados por leyes generadas por el mismo hombre y no derivadas de algún
tipo de tradición o superstición. En este sentido se expresa ante la religión:
“Con respecto a los dioses, no puedo saber si existen o no existen; tampoco
puedo saber cómo es su figura, pues muchas cosas dificultan un
conocimiento seguro al respecto: la oscuridad del tema y la brevedad de la
vida humana.”

27. Demórito (alrededor del 460 a.C.)
¿Cuál es la relación entre intelecto y sentidos?
“De manera ostensible hay color, dulzor, amargura,
verdaderamente sólo hay átomos y el vacío”, mientras que los
sentidos responden: “Pobre intelecto, ¿esperas acaso vencernos
mientras de nosotros tomas prestada tu evidencia? Tu victoria
es tu derrota”.
“Demócrito sostenía que la pura construcción intelectual (que
en su imagen del mundo había suplantado el mundo efectivo de
luz y color, de sonido y fragancia, dulzura, amargura y belleza)
no estaba basada realmente sino en las percepciones sensibles
ostensiblemente expulsadas de la primera.”
(Schrödinger, 1997, pp. 50-51)

28. … para Platón, los entes matemáticos no coincidían con los números y con las
figuras geométricas ideales, sino que ocupan una posición ‘intermedia’ entre el
mundo ideal y el mundo sensible.
Aristóteles en la Metafísica dice:
Platón afirma que, junto a los seres sensibles y a las formas [= ideas], existen
los entes matemáticos intermedios, que difieren de los seres sensibles porque
son eternos e inmóviles, y de las formas porque hay muchos semejantes,
mientras que cada una de las formas es solamente una.
…Los entes matemáticos poseen, a la vez, una característica fundamental de
las ideas y una característica típica de las cosas sensibles. Además de ser
‘intermedios’… son también ‘intermediarios’ entre las realidades inteligibles y
las sensibles: son los instrumentos mediante los cuales las ideas pueden estar
presentes en las cosas y las cosas pueden participar de ellas, ‘imitarlas’.
(Reale, 2001, Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta, p. 208)

29. Parece que la contribución de Platón, en esta difícil coyuntura
fue haber insistido en un concepto de geometría rigurosos,
que renuncia a la intuición, y que en ese sentido es muy
moderno, y haber evitado la crisis por medio de una
construcción otnológica: la geometría euclídea, como
‘geometría del ángulo recto’, es la geometría ontológicamente
verdadera.
Desde esa perspectiva es verosímil que el responsable del
fracaso de los primeros ensayos antieuclídeos, hasta su
renacimiento en los siglos XVIII y XIX, fuera Platón. Así
pues, en justicia habría que llamar a la geometría euclídea
‘geometría platónica’.
(Hösle en Reale, Raíces culturales y espirituales de Europa, pág. 65).

30. 3. Qué hacer para construir evidencias de lo que me
pregunto?
Ahora, a partir de las Geometrías I, II, III que plantea Kuzniak,
podemos analizar:
• Cuáles son las concepciones y prácticas de los profesores,
• Cuáles son las concepciones y prácticas de los estudiantes,
• Analizar los libros de texto de geometría más usados…
• Abordar lo histórico-epistemológico para ver las
concepciones de egipcios, Tales, Euclides, Hilbert, y hasta hoy
en día el trabajo con Geometría Dinámica.