1. Lo s pro c e s o s de
ins tituc io nalizac ió n de l
límite : un anális is
s o c io e pis te mo ló g ic o
IPN – Cic ata
Pro g rama de Do c to rado e n Mate mátic a Educ ativa
S e minario de Inve s tig ac ió n e n ME III
Tuto ra : Dra . Gabrie la Bue ndía
Co lo quio : 1 º al 3 de julio de 2009
Ve ró nic a Mo lfino Vig o

2. Índic e te mátic o
Introducción
Capítulo I: Antecedentes y justificación
Capítulo II: Estado del arte
Capítulo III: Aspectos teóricos y metodológicos
Capítulo IV: Revisión socioepistemológica
Capítulo V: Construcción social del límite finito de
una función de variable real
Capítulo VI: Reflexiones finales

3. Intro duc c ió n
Móvil inicial de la investigación.
Tratamiento escolar tradicional: programas, libros de texto,
DME, prácticas educativas. Situación uruguaya y mundial.
Necesaria problematización:
¿cuáles son los procesos de institucionalización que condujeron
a que esta concepción esté tan arraigada en la matemática
escolar?
¿cómo y por qué hoy enseñamos el límite como lo enseñamos?
 ¿Qué es lo que no se pretende responder en la investigación?
• Dificultades de estudiantes
• Abordajes alternativos

4. Capítulo I: Ante c e de nte s y jus tific ac ió n
I.1 – Justificación
I.2 – Planteamiento del problema
I.3 – Objetivos y preguntas de investigación

5. I.1 - Jus tific ac ió n
 Comentarios en el blog → revisión de la
justificación.
 ¿Por qué investigar sobre algo en lo que ya
hay respuestas? La SE ya tiene alternativas.
 Cálculo como saber ------- cálculo escolar
conceptos y definiciones explícitos Intencionalidad didáctica
REALIDAD ACTUAL Predicción-graficación-
analiticidad
DEBER SER
¿Por qué nos
centramos en esta?

6. I.2 – Plante amie nto de l pro ble ma
Tratamiento algorítmico vs abordajes fundados en herramientas,
prácticas y argumentos propios de la génesis y evolución del concepto.
 Experiencia con estudiantes: dificultades para utilizar el concepto como
argumento en la demostración y transitar entre representación gráfica y
analítica.
 Desde el abordaje socioepistemológico, la componente epistemológica
deja de centrarse en el objeto en sí –concepto de límite– como un
concepto matemático preestablecido para focalizarse en las prácticas
sociales asociadas al mismo, en un contexto determinado.
 Análisis de los procesos de institucionalización que llevaron a que el
concepto de límite esté tan arraigado hoy como estructurador de todo
curso de cálculo.

7. !.3 – Obje tivo de
inve s tig ac ió n
 Realizar un análisis socioepistemológico
de los procesos de institucionalización
del concepto de límite, para explicitar
las razones por las que se presenta en el
ámbito escolar de la manera en que se
hace actualmente.
Se espera que ello favorezca la elaboración de una
epistemología de prácticas del mismo, con el fin de
aportar herramientas robustas para la intervención
en el DME.

8. I.3 – Pre g unta de inve s tig ac ió n :
¿Por qué enseñamos hoy al
concepto de límite de la forma
en que lo hacemos?

9. Responderla implica
Análisis de procesos de institucionalización presentes
en la evolución del concepto y en su introducción al
ámbito escolar
En particular:
 ¿qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en
particular con la definición ε-δ?
 ¿Qué conocimiento nuevo habilita a construir o resignificar cada nuevo
“episodio” en la formalización del concepto que el “episodio” anterior no
permitiera?
 ¿Esas son las mismas razones que condujeron a la definición formal en el
aula? ¿Cuáles sino?
Búsqueda de herramientas que aporta el análisis
socioepistemológico para intervenir en el DME
mediante una construcción social del concepto.

10. Hipótesis:
Formalización y generalización
como prácticas sociales que ejercen
un rol normativo sobre las
decisiones tomadas en el proceso
de institucionalización

11. Capítulo II: Es tado de l arte
II.1 – Investigaciones que enfatizan la dimensión cognitiva
II.2 – Investigaciones que enfatizan la dimensión epistemológica
II.3 – Investigaciones que enfatizan la dimensión didáctica
II.4 – Investigaciones entorno al desarrollo socio-histórico del concepto
II.5 – Estudio exploratorio con estudiantes
II.6 – Reflexiones
II.7 – Aportes desde la teoría socioepistemológica
II.8 – Consideraciones relativas a “otros” cálculos

12. Es tado de l Arte
II.1 Dimensión cognitiva. (Tall, Vinner,
Shwarzenberger, Juter, Pinto)
II.2 Dimensión epistemológica. (Cornu, Sierpinska,
Cottrill, Dubinsky, Artigue, Hitt, Páez)
II.3 Dimensión didáctica: abordajes alternativos.
(Bokhari y Yushau, Bertero y Trípoli)
II.4 Dimensión histórica. (Blázquez y Ortega, Bagni,
Bertero y Trípoli, Juter)

13. II.5 – Expe rie nc ia c o n
e s tudiante s
Actividad 1: Calcular x 2 − 5x + 6
lim x →3
x−3
Actividad 2:
Se da el bosquejo de un gráfico y se pide indicar algunos valores
funcionales y límites en puntos de discontinuidad.
Actividad 3:
Se da la expresión analítica de una función racional y se pide completar
una tabla de valores funcionales para valores cercanos a la raíz α del
denominador.Se pide cálculo de límite y valor funcional para α y para
otro valor.
Actividad 4: Contexto extramatemático.
Actividad 5: Se pide definir el límite.
Actividad 6: Se pide completar la demostración del teorema de
conservación del signo con argumentaciones.

14. II.6 – Re fle xio ne s
Constructo imagen conceptual – definición conceptual (Tall y Vinner, 1981)
explica desde el
enfoque
cognitivo
Argumentos intuitivos
de matemáticos hasta
Resultado de actividad de Newton y Leibniz
estudiantes (infinitésimos)
 Aporte principal: la definición no es única, depende del contexto socio-histórico,
y no tiene por qué coincidir con la definición formal (validada por la comunidad
matemática en determinado momento lugar).
 Críticas de Berkeley: generaron conflicto cognitivo que promovió la necesidad de
formalizar el concepto.
 El análisis socioepistemológico puede aportar herramientas para dar cuenta de
cómo, por qué y para qué coexisten estas dos definiciones en el aula,
especialmente en el caso del concepto de límite.
 Paralelismo entre dificultades de estudiantes y en desarrollo histórico (Etapa de
búsqueda de fundamentos y formalización): de tipo lógico (uso de
cuantificadores) y símbolo de pasaje al límite.

15. II.6 – Re s po ndie ndo
pre g untas
¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la
evolución e introducción al ámbito escolar del concepto?
¿Qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en
particular con la definición épsilon-delta?
Se pueden diferenciar cuatro etapas:
 Antiguos griegos: Rigurosidad en las demostraciones por exhausión. Ambiente
geométrico – estático.
 Hasta S. XVII: Métodos infinitesimales. Búsqueda de solución a problemas
prácticos sin interés en fundamentos.
 Siglos XVII y XVIII: transformación de los fundamentos con el fin de extender
los resultados obtenidos para casos particulares. La priorización de métodos
algebraicos frente a los analíticos representó un obstáculo para la
formalización y condujo a errores. (Euler, Lagrange, D’Alembert).
 Siglo XIX y principios del XX: aritmetización del análisis, con la
formalización como práctica social que regula las actividades. (Cauchy,
Weierstrass).

16. II.7 – Apo rte s
s o c io e pis te mo lo g ía
Hitt (2003):
• Infinito potencial – infinito actual
• Problemáticas que condujeron a reconstrucciones
del concepto de límite al seno de la comunidad
matemática (Zenón, Cauchy)
• Significado situacional (Cordero, 2006): predicción.
 Páez (2005): misma línea, énfasis en dimensiones
cognitiva y epistemológica.
 Navarro (2004): importancia de diferentes
representaciones, énfasis en significado situacional de
graficación.

17. II.8 – “Otro s ” c álc ulo s
 Fracaso escolar (reportado en varias líneas de investigación)
Socioepistemología propone abordaje basado en:
 Contexto del estudiante y del desarrollo del conocimiento.
 Historia de la matemática e integración al DME.
 Historia de la enseñanza del cálculo
 Distancia con abordajes tradicionales que eluden carácter
instrumental del Cálculo.
 Alternativa SE: significados situacionales: predicción,
graficación, analiticidad. (Cordero, 2006; Alanís, 1996).

18. Capítulo III: As pe c to s te ó ric o s y
me to do ló g ic o s
II.1 – Socioepistemología y prácticas sociales
II.2 – Transposición didáctica e
institucionalización
II.3 – Esquema metodológico

19. III.1 – S o c io e pis te mo lo g ía y prác tic as
s o c iale s
Socioepistemología
• Consideración del conocimiento situado, atención a
escenarios socioculturales.
• Conocimiento matemático es producto de la actividad
humana.
• Resignificación de componentes didáctica, cognitiva y
epistemológica por la social a través de la identificación y
análisis de las prácticas sociales.
Prácticas sociales Práctica de Práctica Social
Referencia Práctica de
• Generadoras de conocimiento. Act Referencia
• Norman y dan sentido a las Act Act
Act Act
prácticas de referencia Act
Práctica de
(Montiel, 2005): Referencia
Act
Act
Act

20. III.2 – Trans po s ic ió n didác tic a e
ins tituc io nalizac ió n
 Transposición didáctica (Chevallard, 1991)
Contenido Transformaciones
adaptativas Saber a
de saber enseñar
Conduce al
estudio de:
 Institucionalización (Artigue, 2002):
 Análisis de evolución de saberes matemáticos al seno de las instituciones.
 Identificación y análisis de prácticas que sustentan determinado conocimiento →
permite entender qué significa para los miembros de la institución
 Institucionalización (Cordero, 2005):
 ¿Cómo y por qué un conocimiento se torna en saber a enseñar?
 Toma “oficial” del saber por parte del estudiante y compromiso por parte del
profesor con el aprendizaje del estudiante.
 Otorga estatuto cultural a las producciones de los alumnos.

21. III.2 – Vo lvie ndo a las pre g untas …
Institucionalización en al menos dos sentidos:
 Propio de la comunidad matemática y evolución del concepto
 Designación como contenido a enseñar y arraigo en prácticas
educativas vigentes
Respondiendo a necesidades
sociales, escolares o
extraescolares…
¿CUÁLES?
Explicitar este proceso es dar cuenta de la naturaleza social del límite.
Necesario para instaurar debate en sistema educativo fuertemente signado
por tradición formalista

22. III.3 – As pe c to s
me to do ló g ic o s
Reconocimiento de un fenómeno didáctico
Revisión
socioepistemológica El papel de
las prácticas
Epistemología de prácticas Situación
Desarrollo intencional
de las prácticas + Profesor
Este esquema presupone una manera específica de + Variables externas
entender la construcción del conocimiento y los e internas
procesos de enseñanza y aprendizaje: construir
conocimiento no se refiere exclusivamente a la
adquisición de conceptos, sino también a las prácticas Diseño de aula
sociales que dieron origen y actualmente “dan vida” al
conocimiento en cuestión

23. Capítulo IV: Re vis ió n
s o c io e pis te mo ló g ic a
IV.1 – Análisis socio histórico (en construcción)
IV.2 – Análisis del discurso matemático escolar
actual
IV.2 a – Análisis de programas (en construcción)
IV.2 b – Análisis de libros de texto
IV.2 c – Análisis de prácticas educativas
(cuestionario y entrevista a docentes)

24. IV.2 b – Anális is de libro s de
te xto
Fichas comparativas y análisis conceptual, didáctico-
cognitivo y fenomenológico:
 Giovannini (1998). Matemática A para 6º año. Funciones reales.
 Belcredi et al. (2001). Introducción al análisis matemático.
 “Apuntes” Profesorado
 Límite como estructurador del cálculo
 Pocas figuras
 Énfasis en algoritmia (libros de Educación Secundaria)
 Énfasis en formalización y generalización (Profesorado)
 Sin consideración de contextos extramatemáticos
 Libro de texto de antaño (en construcción)

25. IV.2 c – Anális is de prác tic as
e duc ativas
Objetivos cuestionario:
 Rol que el profesor le asigna al límite y a su definición
 ¿Cuán arraigado está el concepto como estructurador del Cálculo?
 ¿Existe brecha para introducir alternativas?
 Influencias de currículum y tradición en prácticas educativas
Resultados:
 Rol central del límite en los cursos. (Si bien algunos piensan que
podría omitirse, pero exigencias externas no lo avalarían)
 Todos proponen presentar la definición Epsilon-delta
 Incidencia de exigencia del currículum para el tratamiento del tema
(demostraciones de teoremas y estructura formal tradicional)

26. Capítulo V: Co ns truc c ió n s o c ial de l límite finito de una func ió n
de variable re al
Ambiente en
Etapa Período Características que se Móviles Prácticas
principales desarrolla el asociadas
concepto
Geométrico- Determinación de Validación y
Ia Grecia Antigua Rigurosidad en estático. En áreas y volúmenes formalización de
demostraciones. demostraciones de cuerpos y resultados
por exhausión. figuras concretas.
Predicción (no
Renacimiento Métodos Geométrico – Estudio del necesariamente
Ib hasta S. XVII infinitesimales. dinámico movimiento. vinculada al
Trabajo intuitivo con Resolución de concepto de
poca fundamentación. problemas límite).
concretos.
2ª mitad S. Transformación de Búsqueda de
II XVII y S. XVIII fundamentos del Analítico fundamentación
análisis infinitesimal rigurosa?
III S. XIX y Aritmetización del Algebraico – Formalización
principios S. XX análisis analítico
Generalización del Extensión de un
IV S. XX concepto a otros concepto a otros
contextos conceptos?

27. Capítulo VI: Re fle xio ne s “finale s ”
Procesos de institucionalización en la construcción del
concepto como saber matemático:
 Primer etapa: resolución de problemas “prácticos” con métodos
infinitesimales. Culmina con Newton y Leibniz cuando
determinan que todos ellos se pueden reducir a sólo dos
problemas.
 Segunda etapa: necesidad de generalizar resultados a más
funciones → revisión de fundamentos.
 Definición de D’Alembert: más intuitiva pero origina creencia de
que el límite no es alcanzado.
 Tercer etapa: aritmetización del análisis, necesidad de utilizar
concepto de límite para estructurar Cálculo… ¿móviles?
 Evolución concepto de función
 Nuevos problemas matemáticos y físicos
 Evolución y extensión de enseñanza de matemática (difusión)
 Argumentación (vuelta a nuestra hipótesis: formalización y
generalización)

28. Capítulo VI: Re fle xio ne s
“finale s ”
Procesos de institucionalización en la construcción
del concepto como saber a enseñar:
 Se constató fuerte arraigo de límite como estructurador del
Cálculo en DME.
 Influencia de la tradición y de exigencias de los programas

29. Pro ye c c io ne s y tare as
pe ndie nte s
Completar análisis sociohistórico y de
programas.
Completar la socioepistemología de prácticas
(construcción social) relativa al concepto de
límite.
Completar respuesta a pregunta inicial.

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