Aplicaciones de la Trigonometría a la resolución de problemas.

1. Aplicaciones de la Trigonometr´a
ı
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez
e a
Departamento de Matem´ticas
a
IES Bajo Guadalquivir
Lebrija - Sevilla
dpto mates bg@terra.es
23 de marzo de 2007
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
e a Aplicaciones de la Trigonometr´
ıa 23 de marzo de 2007 1 / 12

2. Aplicaciones de la Trigonometr´
ıa
1 Ejemplos
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
e a Aplicaciones de la Trigonometr´
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3. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
a o
de radio.
Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido
o e o
en ocho tri´ngulos is´sceles iguales.
a o
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
e a Aplicaciones de la Trigonometr´
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4. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
a o
de radio.
Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido
o e o
en ocho tri´ngulos is´sceles iguales.
a o
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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ıa 23 de marzo de 2007 3 / 12

5. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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6. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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7. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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8. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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9. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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10. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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11. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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12. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Ejemplo
Para determinar la altura de un monumento, a 50 m de distancia de su
base se dispone un teodolito, y desde el mismo se lanza una visual al
punto m´s alto del monumento, observ´ndose que forma un ´ngulo de
a a a
38 o 32 con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se
encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo,calcular la altura del
monumento.
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13. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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14. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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15. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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16. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Ejemplo
Con objeto de determinar la altura de un
´rbol situado en un lugar inaccesible, se
a
dispone un teodolito en un punto accesible y
desde el mismo se lanza una visual al punto
m´s alto del ´rbol, obteni´ndose un ´ngulo
a a e a
de inclinaci´n de 22
o o 47 . A continuaci´n, se
o
adelanta el teodolito una distancia de 10
metros en direcci´n al ´rbol y se vuelve a
o a
lanzar otra visual al mismo punto,
obteni´ndose, en este caso, un ´ngulo de
e a
31 o 19 . Calcular la altura del ´rbol,
a
considerando que el anteojo del teodolito
mide 1 50 m.
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17. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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18. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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19. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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20. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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21. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
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22. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
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23. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
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24. Estrategia de la altura
Ejemplo
Una monta˜a de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se ve
n
la cima C de la monta˜a con un ´ngulo de elevaci´n de 24o , y desde B
n a o
con 36o . ¿Cu´l es la distancia entre los dos pueblos?
a
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25. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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26. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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27. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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28. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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