Teoría de códigos: polinomios. Para Álgebra en Ingeniería de Tecnologías y Servicios de la Telecomunicación

1. Teoría de Códigos:
polinomios
Javier Artiga Garijo
Sonia Escorza Santos
Dariel Figueredo Piñero
Arturo Hermosa Moreno
Andrés Tomás Campo

2. Códigos correctores de errores
• Palabras, códigos y errores
– Distancia d(a,b): Desigualdad Triangular, Teorema del
vecino más próximo, Corrección de errores
• Códigos Lineales
– Magnitudes: longitud, dimensión, distancia
mínima, generador
– Dimensión
– Peso ω(z)
o Código Lineal: Puntos Cardinales
• Códigos Cíclicos
– Ideal
– Utilidad de los códigos cíclicos
o Código Cíclico: Samoano

3. Palabras, códigos y errores
Vn = conjunto de palabras binarias de longitud n
Ej.: V = 2 Hay 2n palabras binarias de longitud n

4. Palabras, códigos y errores
Distancia d(a,b)
i. d(x,y) = 0 ↔ x = y
ii. d(x,y) = δ(x,y)
iii. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)► Desigualdad Triangular
→ distancia mínima δ = min{d(x,y) | a, b c, a ≠ b}
z
x
y

5. Palabras, códigos y errores
Teorema17.1 del Principio del vecino más próximo d ≥ 2e + 1
Dem:
en C
c = palabra −con e errores→ recibe palabra z por (iii) de δ
d(c,z) = e
c' = otra palabra
d(c,z) + d(z,c') ≥ d(c,c')
≥δ
por (iii) de d = des. triangular
≥ 2e + 1; e + d(z,c') ≥ 2e + 1 → d(z,c') ≥ e + 1 →
por definición de δ
por hipótesis
→ c es la única palabra C que está a distancia e de z

6. Palabras, códigos y errores
• Corrección de errores
Representación Gráfica

7. Códigos Lineales
• Magnitudes
Teresacto: representación de la
cuarta dimensión en un cubo
Significado
Longitud
n
Las palabras son de n bits
Dimensión
k
Hay 2k palabras disponibles
δ
Pueden corregirse hasta e
errores, siempre que δ ≥ 2e + 1.
< g(x) >
Polinomio g(x) de un código
cíclico C tal que C = < g(x) >
Distancia mínima
Generador

8. Códigos Lineales
• Dimensión
Relación: representación física

9. Códigos Lineales
• Peso ω(z) = d(z,0)
d(x,y) = d(x-y, y-y) = d(x-y, 0) = ω(x-y)
Teorema17.2: δ ≥ ωmin
c tal que ω(c*)= ωmin
δ ≤ d(c*,0) = ω(c*) = ωmin
c1,c2 están a distancia mínima
δ = d(c1-c2) = ω(c1-c2) ≥ ωmin
Dem: c*
c1-c2 c, porque es lineal

10. Código Lineal: Puntos Cardinales
Los generadores son
cualquier conjunto de
4 palabras, porque
1111
NE
1100
NNE
1110
NNW
0111
E
1001
SE
1000
NEE
1101
NWW
0111
W
0110
NW
0101
SSE
1000
SSW
0001
S
C4 = V4
N
0000
SW
0011
SEE
1000
SWW
0010
En el código C4 observamos que la detección de errores es imposible, al pertenecer todas las palabras disponibles a nuestro código.
δmin = ωmin = 1
C4 = V4
Si duplicásemos K tendríamos C8 perteneciente a V8. (código no lineal), y la detección de errores sería muy sencilla, aunque no tanto su
corrección. Las detecciones de un error siempre serían posibles, e incluso la mayoría de las de dos errores, siempre que no sean en
dígitos contiguos y equivalentes a lo que en V4 era un sólo dígito; es decir, siempre que no se dé que, por ejemplo:
a4 = (1101) = a8 = (11 11 00 11), a4 pertenece a V
a4 pertenece a C4
a8 pertenece a V
a8 pertenece a C8
↓ error ↓
a'4 = (1100) = a'8 = (11 11 00 00), a'4 pertenece a V
a'4 pertenece a C4
a'8 pertenece a V
a'8 pertenece a C8
En los demás casos (por ejemplo, si b8 = (11.00.11.00) y en la transmisión errónea obtenemos b'8 = (11.00.11.01), resulta que
podemos detectar el error, pero no dispondríamos de información suficiente para su corrección con esta longitud de palabras,
ya que no sabríamos si en el par de dígitos erróneo ha sido confundido el 0 o el 1).

11. Código Lineal: Puntos Cardinales
N 1111
NNW
0111
NNE
1110
NW
0101
NWW
0100
W 1001
SWW
0010
SW
0011
NE
1100
NEE
1101
E 0110
SEE
1000
SE
1000
SSW
0001
SSE
1000
S 0000

12. Códigos Cíclicos
Un código C de Vn es cíclico si es lineal y si corresponde a un ideal de Vn[x].
• Ideal
Sea R un anillo con un producto conmutativo. Se dice que un subconjunto S de R es un ideal si
i.
a,b s → a+b S (lineal)
ii.
r R y a S → ra S
C es ideal si
a,b C→ a+b C (lineal)
p(x)
En otras palabras,
y a(x) C → p(x)·a(x) C si a(x) C → xa(x) C
S es cerrado respecto de la suma y respecto del producto por
cualquier elemento de
La construcción de un CC de longitud n es equivalente a la construcción de ideales en Vn[x].
El ideal se denota por <f(x)> y nos referimos a él como el ideal generado por f(x).s
Un código cíclico puede tener más de un generador, pero sólo uno tendrá grado mínimo, que será el
generador canónico de C.

13. Códigos Cíclicos
• Utilidad de los códigos cíclicos
– Pueden tratarse mediante mecanismos sencillos:
registros de desplazamientos*.
n
n
*desplazamientos cíclicos: ejemplo en V6
V
V [x]
110101 1+x+x3+x5
010110 x+x3+x4
– Pueden construirse e investigarse mediante la
teoría algebraica de los anillos de polinomios.

14. Código Cíclico: Samoano
El idioma samoano (gagana Samoa) es una lengua austronesia del grupo malayo-polinesio oriental, originaria de Samoa y
hablada principalmente en ese país, en la vecina colonia estadounidense de Samoa Americana y en Nueva Zelanda.
Los fonemas samoanos son 16: 5 vocales y 10 consonantes. Se escribe con un alfabeto latino
de 16 letras, una para representar cada fonema: a, f, g, i, l, m, n, o, p, s, t, u y v.
Adicionalmente, existen las letras h, k y r para escribir préstamos de otros idiomas.
Conocemos las traducciones al castellano de algunas palabras, como
Las vocales pueden ser
agua = vai,
amor = alofa,
elefante = elefane,
estrella = fetū
breves o largas; en el
montaña = mauga
nube = ao,
paz = filamu, pilemu,
África = Aferika segundo caso se marcan con
un macrón: (ˉ).
Traducido a binario
En Z2 y en V8 podemos diseñar un código C perteneciente a V8 con K=4 y 2k=16 palabras o,
en este caso, letras.
Los generadores son las cuatro primeras letras, sin contar la a (porque a = 00000000):
f = 00000101
i = 01010101
g = 00001010
m = 10101010, a partir de las cuales generamos:
A
00000000
S
01011111
F
00000101
T
11111111
G
00001010
U
10100000
I
01010101
V
01011010
M
10101010
L
10100101
N
01010000
H
11111010
O
00001111
K
11110101
P
10101111
R
11110000