Traitement du signal
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Jamila BAKKOURY
généralités - signaux et systèmes
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Plan
• Introduction
• Généralités
• Signaux
• Systèmes
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Introduction
Exemples naturels :
•Notre environnement peut être caractérisé par de nombreuses
grandeurs physiques dont les...
Introduction
Exemples naturels :
Discussion de la notion de signal : échange entre production de
parole par le canal vocal...
Introduction
Exemples naturels :
•Le corps humain est un outil de traitement du signal :
- À partir d’indices représentat...
Exemples
•Un thermomètre transforme la température en grandeur très
facilement mesurable.
•Un microphone transforme les fa...
Exemples d’informations
• sons :
Téléphonie : bande passante : 300 Hz - 3400 Hz
Radiodiffusion : bande passante : 40 Hz - ...
• Données :
Informations de type textes, caractères, symboles, …
représentées par des codes (ex : alphabet ASCII) ; ou des...
• Signaux analogiques = signaux de type continu.
– Variations de grandeurs physiques pouvant prendre
n’importe quelle vale...
• signaux discrets, i.e. ne pouvant prendre qu’un nombre fini de
valeurs.
– Par exemple, les données manipulées par un ord...
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modem
Vers le réseau
téléphonique
t
s(t)
+V
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-V
0 1 0 1 1 0 1 0
1 unité d’information
binaire = 1 bit
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Exemple...
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Principe de la numérisation :
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Exemples de signaux
Données analogiques-données
numériques
• Les données numériques sont définies par un codage.
• Pour les caractères alpha-n...
Information analogique
Source Transducteur
(Capteur)
Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
Canal
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Exemple...
Information analogique
Source Transducteur
(capteur)
Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
Canal
Son
Lumière
Tempér...
Information analogique
Source Transducteur
(capteur)
Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
CanalMicrophone
Photodio...
Information analogique
Source Transducteur
Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
CanalPré-ampli.
(C.A.N)
(codage)
(...
Information analogique
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Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
Canal
Ligne bifilaire
câ...
Information analogique
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Transducteur
Emetteur
Récepteur
Destinataire
Canal
Ampli. réception
f...
Information analogique
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(capteur)
Transducteur
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Destinataire
Canal
Haut-parleur
Visua...
Exemple d’une chaîne de
transmission numérique
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Source
analogique
Conversion A/N
Codage source
Cryptage
Codage cana...
Généralités
• Définitions
– Signal : entité (courant électrique, onde acoustique, onde lumineuse,
suite de nombres) engend...
• Remarques
– On s’intéresse à la notion de signal qui est la mesure, dans le temps, d’une
grandeur physique porteuse d’in...
• Remarques
– Un signal expérimental s(t) est généralement un signal électrique
délivré par un capteur ou un appareil de m...
• Remarques
– Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction ou
une distribution réelle ou complexe qui ...
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Généralités
Théorie du signal : théorie permettant d’effectuer une modélisation
(description mathématique) et une analyse des signaux ...
Théorie de la communication : traitement du signal et de l’information
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Généralités
Exemples d’application du TS :
• système d’émission chargé de créer ou d’élaborer le signal afin d’y
incorporer l’informat...
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Généralités
Exemples d’application
•ex 1 : s(t) est un signal BF a transmettre.
Il sera modulé pour l’adapter au support de transmissi...
Ex1 (suite)
Le spectre du signal modulé se trouve décalé en fréquence et centré sur la
fréquence du signal sinusoïdal modu...
Ex1 (suite)
Le signal reçu est enfin démodulé : il subit un changement de fréquence et un
filtrage.
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Généralités
Exemples d’application
•ex 2 : les signaux transmis occupent le même domaine de fréquence et sont
émis en même temps.
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Ex2 (suite)
• Les spectres des signaux ainsi modulés sont alors correctement séparés
sur l’axe des fréquences.
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Généralités
Ex2 (suite) : application de la modulation - principe du multiplexage
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Généralités
Ex3 :
message numérique modulant un signal
porteur sinusoïdal
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Généralités
Rapport
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Bande passante
• Largeur de bande (bandwith)
– C'est l'intervalle de fréquences pour lequel les signaux subissent ...
Bruit
• Pour caractériser l’effet du bruit sur un signal, on utilise le rapport
signal sur bruit (SNR : Signal to Noise Ra...
• Les signaux numériques sont sensibles au bruit, mais moins que les signaux
analogiques.
• La qualité d’un signal numériq...
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Généralités
Ex4 : détection d’un message numérique a partir d’un signal reçu bruité
erreurs
Classification des signaux
Classification temporelle ou phénoménologique :
•Signal déterministe (certain) : son évolution ...
Classification temporelle ou phénoménologique :
•Signal aléatoire (probabiliste ou stochastique) : son évolution temporel ...
Classification temporelle ou phénoménologique :
•Signaux périodiques : s(t) est périodique de période T0 si, s(t + T0) =s(...
Classification morphologique :
•Les signaux analogiques
l'amplitude et le temps sont continus
•Les signaux échantillonnés
...
Classification des signaux
Classification morphologique :
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Classification dimensionnelle
• Signal monodimensionnel 1D : Fonction d’un unique paramètre pas
forcément le temps.
• Sign...
Classification dimensionnelle
• Signal tridimensionnel 3D : dépendant de trois paramètres (vidéos, films)
Ex : niveau de l...
Classification énergétique :
• puissance instantanée d’un signal s(t) :
où (t) est le complexe conjugué de s(t). Si la fon...
• puissance moyenne fournie par un signal s(t) sur un intervalle [t1,t2],
(W: watts) :
• valeur efficace d’un signal s(t) ...
• valeur moyenne totale du signal s(t) :
Pour un signal périodique de période T0, la valeur moyenne totale est calculée
su...
• énergie totale dissipée par un signal s(t) :
• puissance moyenne totale fournie par un signal s(t) :
Pour un signal péri...
Classification énergétique :
•Signal à énergie totale finie
(ou convergente) :
Sa puissance moyenne totale est nulle (cas ...
Classification fréquentielle ou spectrale
• spectre d’un signal : représentation de son amplitude, de sa phase, de son
éne...
Classification fréquentielle ou spectrale
• En fonction de la largeur de bande, différents types de signaux se
distinguent...
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Classification des signaux
Classification fréquentielle
Remarque :
• En fonction du domaine de fréquences dans lequel se situe le signal, on
peut éta...
Signaux
Impulsion (ou distribution) de Dirac :
• Définition : δ(t) est définie comme la distribution qui fait correspondre...
Signaux
• Représentation physique : la distribution de Dirac sert à représenter une
action s’exerçant durant un temps très...
Signaux
• Propriété de localisation :
• Représentation graphique : la représentation graphique conventionnelle
d’une impul...
Signaux
• Echelon de Heaviside (ou échelon unitaire) : défini (sans rigueur mathématique)
comme la primitive de l’impulsio...
Signaux
• Rampe unitaire :
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Signaux
• Impulsion ou signal rectangulaire (ou signal porte) : signal rectangulaire,
noté rect(t) ou Π(t) :
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Signaux
• Impulsion ou signal triangulaire : tri(t) ou Λ(t)
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Signaux
• Impulsion exponentielle :
Remarque : l’impulsion exponentielle permet d’amortir n’importe quel signal.
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Signaux
• signal sinus cardinal :
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Signaux
• Peigne de Dirac : δT0(t) ou PgnT0(t) est une suite périodique d’impulsions de
Dirac régulièrement espacées de pé...
Signaux
• Signaux rectangulaires périodiques :
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• Système : ensemble isolé de dispositifs établissent un lien de cause à effet
entre des signaux d’entrée (excitations : c...
Systèmes
• Système stationnaire ou invariant : les caractéristiques du système
n’évoluent pas au cours du temps. Une expér...
Systèmes
• Système continu ou analogique : opèrent sur des signaux analogiques et
produisent des signaux analogiques.
• sy...
• Réponse impulsionnelle (ou percusionnelle) : une impulsion, à l’entrée
d’un système causal, linéaire, continu et invaria...
Systèmes
• Réponse indicielle, notée γ(t), est la réponse d’un système à un échelon
unitaire.
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  1. 1. Traitement du signal Page 1SEER1-TS Jamila BAKKOURY
  2. 2. généralités - signaux et systèmes SEER1-TS 2
  3. 3. Plan • Introduction • Généralités • Signaux • Systèmes 3SEER1-TS
  4. 4. Introduction Exemples naturels : •Notre environnement peut être caractérisé par de nombreuses grandeurs physiques dont les variations sont perceptibles ou non par nos sens : lumière, son, … •Nos organes des sens sont des dispositifs biologiques qui transforment les excitations perçues en variations de grandeurs physiques ou chimiques internes à l’organisme et exploitables par le système nerveux : ce sont des capteurs. Page 4SEER1-TS
  5. 5. Introduction Exemples naturels : Discussion de la notion de signal : échange entre production de parole par le canal vocal et reconnaissance de la parole via l'audition. Match de tennis : suivi visuel et estimation de la trajectoire de la balle pour agir avec les meilleurs gestes. Page 5SEER1-TS
  6. 6. Introduction Exemples naturels : •Le corps humain est un outil de traitement du signal : - À partir d’indices représentatifs des phénomènes physiques qui nous entourent ( lumière ; vibrations de l'air ; température…) - Nous construisons une représentation de notre environnement. - Elle nous donne matière a réfléchir et prendre des décisions pour interagir avec cet environnement. Page 6SEER1-TS
  7. 7. Exemples •Un thermomètre transforme la température en grandeur très facilement mesurable. •Un microphone transforme les faibles variations de pression de l’air en un signal électrique qui peut être facilement amplifié et transmis à distance. •La majorité des capteurs fournit des signaux électriques, courant ou tension variables, dont le traitement et la transmission sont aisés. Introduction SEER1-TS Page 7
  8. 8. Exemples d’informations • sons : Téléphonie : bande passante : 300 Hz - 3400 Hz Radiodiffusion : bande passante : 40 Hz - 15 000 Hz Son hi-fi (CD audio, DVD ... ) : 16 Hz - 20 kHz • Images : o images fixes (télécopie, photographies) o images animées (télévision ou visiophone) intérêt des techniques numériques (codage, compression) 8SEER1-TS
  9. 9. • Données : Informations de type textes, caractères, symboles, … représentées par des codes (ex : alphabet ASCII) ; ou des codes orientés transmissions : diminuer les coûts et les temps de transmission, rendre l’information confidentielle… 9 Exemples d’informations SEER1-TS
  10. 10. • Signaux analogiques = signaux de type continu. – Variations de grandeurs physiques pouvant prendre n’importe quelle valeur de façon continue entre deux intervalles de temps. Typiquement, la voix et le son. – Caractéristiques : fréquence (nombre d’oscillations par seconde, exprimé en hertz) et amplitude (taille des oscillations) – Ex. : 10 Réseau Telecom t s(t) signal analogique SEER1-TS Exemples de signaux
  11. 11. • signaux discrets, i.e. ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs. – Par exemple, les données manipulées par un ordinateur sont des informations codées par des « 0 » et des « 1 » (bits). – Les 0 et 1 sont codés (matérialisés) par un signal physique (par exemple 0 par une tension positive +V et 1 par une tension négative –V) 11SEER1-TS Exemples de signaux
  12. 12. 12 modem Vers le réseau téléphonique t s(t) +V 0 -V 0 1 0 1 1 0 1 0 1 unité d’information binaire = 1 bit SEER1-TS Exemples de signaux
  13. 13. 13 Principe de la numérisation : SEER1-TS Exemples de signaux
  14. 14. Données analogiques-données numériques • Les données numériques sont définies par un codage. • Pour les caractères alpha-numériques, le plus utilisé est le code ASCII. • Pour traiter des données de nature analogique par un ordinateur, il faut les numériser. Ex: sur un CD audio, le son est « enregistré » sous forme de données numériques, remises sous forme analogique avant la restitution au haut-parleur. 14SEER1-TS
  15. 15. Information analogique Source Transducteur (Capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire Canal 15SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  16. 16. Information analogique Source Transducteur (capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire Canal Son Lumière Température ... 16SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  17. 17. Information analogique Source Transducteur (capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire CanalMicrophone Photodiode Thermocouple ... 17SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  18. 18. Information analogique Source Transducteur Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire CanalPré-ampli. (C.A.N) (codage) (modulation) (filtrage) Amplification (de puissance) 18SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  19. 19. Information analogique Source Transducteur (capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire Canal Ligne bifilaire câble coaxial fibre optique espace libre … SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  20. 20. Information analogique Source Transducteur (capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire Canal Ampli. réception filtrage (démodulation) (décodage) (C. N.A) Amplification 20SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  21. 21. Information analogique Source Transducteur (capteur) Transducteur Emetteur Récepteur Destinataire Canal Haut-parleur Visualisation Asservissement Commande de procédé ... 21SEER1-TS Exemple d’une chaîne de transmission
  22. 22. Exemple d’une chaîne de transmission numérique Page 22 Source analogique Conversion A/N Codage source Cryptage Codage canal Source numérique canal Décodage canal Décryptage Décodage source Conversion N/A Destinataire analogique Destinataire numérique bruit Exemple : Traitement & transmission SEER1-TS
  23. 23. Généralités • Définitions – Signal : entité (courant électrique, onde acoustique, onde lumineuse, suite de nombres) engendrée par un phénomène physique et véhiculant une information (musique, parole, son, image, température). – Système : ensemble isolé de dispositifs établissent un lien de cause à effet entre des signaux d’entrée (excitations : commandes, consignes, perturbations) et des signaux de sortie (réponses ou mesures). – Bruit : phénomène perturbateur gênant, la transmission, la perception ou l’interprétation d’un signal. 23SEER1-TS
  24. 24. • Remarques – On s’intéresse à la notion de signal qui est la mesure, dans le temps, d’une grandeur physique porteuse d’information : – Mesure : l’observation se fait au moyen d’un capteur – Temps : on s’intéresse à des phénomènes variables dans le temps – Grandeur physique : il s’agit de signaux réels a variations bornées, a énergie ou puissance finie. – Information : par nature, l’information a un caractère aléatoire (imprévisible). Le signaux porteurs d’informations sont donc naturellement de type aléatoire. 24SEER1-TS Généralités
  25. 25. • Remarques – Un signal expérimental s(t) est généralement un signal électrique délivré par un capteur ou un appareil de mesure et représente donc une tension ou un courant en fonction du temps. Il peut être de tout autre nature mais doit être physiquement réalisable et répondre à un ensemble de contraintes : 25SEER1-TS Généralités
  26. 26. • Remarques – Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction ou une distribution réelle ou complexe qui permettent son étude de façon plus aisée. Ainsi les modèles utilisés possèdent des caractéristiques différentes des signaux expérimentaux : 26SEER1-TS Généralités
  27. 27. 27SEER1-TS Généralités
  28. 28. Théorie du signal : théorie permettant d’effectuer une modélisation (description mathématique) et une analyse des signaux et des systèmes. Traitement du signal : a pour objectifs la réalisation (transformation, création, synthèse) et l’analyse des signaux porteurs d'informations. Discipline technique basée sur la théorie du signal Elle utilise diverses ressources : l’´électronique, de l’informatique, physique appliquée… Domaines applications • télécommunications, • reconnaissance de la parole, synthèse du son • aide à la décision (au diagnostic), • analyse d’images (médicales, satellitaires…) 28SEER1-TS Généralités
  29. 29. Théorie de la communication : traitement du signal et de l’information 29SEER1-TS Généralités
  30. 30. Exemples d’application du TS : • système d’émission chargé de créer ou d’élaborer le signal afin d’y incorporer l’information (codage, échantillonnage, modulation), • système de réception chargé d’interpréter le signal afin d’en extraire l’information (mesure, détection, filtrage, décodage, démodulation, estimation). • Compression de la parole en téléphonie mobile… • Compression des images JPEG, MPEG… 30SEER1-TS Généralités
  31. 31. 31SEER1-TS Généralités
  32. 32. Exemples d’application •ex 1 : s(t) est un signal BF a transmettre. Il sera modulé pour l’adapter au support de transmission. 32SEER1-TS Généralités
  33. 33. Ex1 (suite) Le spectre du signal modulé se trouve décalé en fréquence et centré sur la fréquence du signal sinusoïdal modulant. 33SEER1-TS Généralités spectre du signal modulant spectre du signal modulé
  34. 34. Ex1 (suite) Le signal reçu est enfin démodulé : il subit un changement de fréquence et un filtrage. 34SEER1-TS Généralités
  35. 35. Exemples d’application •ex 2 : les signaux transmis occupent le même domaine de fréquence et sont émis en même temps. 35SEER1-TS Généralités
  36. 36. Ex2 (suite) • Les spectres des signaux ainsi modulés sont alors correctement séparés sur l’axe des fréquences. 36SEER1-TS Généralités
  37. 37. SEER1-TS Page 37 Généralités Ex2 (suite) : application de la modulation - principe du multiplexage
  38. 38. Page 38SEER1-TS Généralités Ex3 : message numérique modulant un signal porteur sinusoïdal
  39. 39. Page 39SEER1-TS Généralités Rapport
  40. 40. Page 40 Bande passante • Largeur de bande (bandwith) – C'est l'intervalle de fréquences pour lequel les signaux subissent un affaiblissement inférieur ou égal à 3db. les signaux sont alors correctement reçus. BP = [Fmin , Fmax] – Exemple : Le réseau téléphonique a une BP= [300 Hz,3400 Hz] l’oreille humaine est sensible dans la bande [20 Hz, 20000 Hz] Généralités
  41. 41. Bruit • Pour caractériser l’effet du bruit sur un signal, on utilise le rapport signal sur bruit (SNR : Signal to Noise Ratio). bruit signal f N S SNR < 0 dB bruit signal f S N SNR > 0 dB SNR dB( ) =10.log S N      ÷=10.log puissancedusignal puissance du bruit      ÷ • Le bruit a un effet très néfaste sur la qualité des signaux analogiques. • Exemple voix/son : SNR requis 45 – 50 dB. Page 41 Généralités
  42. 42. • Les signaux numériques sont sensibles au bruit, mais moins que les signaux analogiques. • La qualité d’un signal numérique ne se mesure pas à la distorsion du signal, mais à la capacité d’un récepteur de détecter correctement l’état binaire transmis. Bruit Page 42 Caractéristiques du support de transmission
  43. 43. Page 43SEER1-TS Généralités Ex4 : détection d’un message numérique a partir d’un signal reçu bruité erreurs
  44. 44. Classification des signaux Classification temporelle ou phénoménologique : •Signal déterministe (certain) : son évolution temporel peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. 44SEER1-TS
  45. 45. Classification temporelle ou phénoménologique : •Signal aléatoire (probabiliste ou stochastique) : son évolution temporel est imprévisible. Il est caractérisé par des observations statistiques en utilisant des outils probabilistes. Signal aléatoire non stationnaire •Un signal aléatoire est stationnaire si ses caractéristiques statistiques sont invariantes dans le temps. En pratique, on peut considérer qu’un signal est stationnaire pendant une durée finie. 45SEER1-TS Classification des signaux
  46. 46. Classification temporelle ou phénoménologique : •Signaux périodiques : s(t) est périodique de période T0 si, s(t + T0) =s(t) pour tout t . •quasi-périodiques : somme de sinusoïdes dont le rapport des périodes n’est pas rationnel. •Signaux transitoires : existence éphémère (observés sur une durée finie). •signaux pseudo-aléatoires : o Représentation mathématique o Comportement aléatoire o Simulation de fonctionnement réel dans les systèmes de traitement périodique apériodique transitoire 46SEER1-TS Classification des signaux
  47. 47. Classification morphologique : •Les signaux analogiques l'amplitude et le temps sont continus •Les signaux échantillonnés l'amplitude est continue et le temps discret •Les signaux quantifiés l'amplitude est discrète et le temps continu •Les signaux numériques l'amplitude et le temps sont discrets Classification des signaux SEER1-TS 47
  48. 48. Classification des signaux Classification morphologique : SEER1-TS 48
  49. 49. Classification dimensionnelle • Signal monodimensionnel 1D : Fonction d’un unique paramètre pas forcément le temps. • Signal bidimensionnelle 2D : dépendant de deux paramètres. Ex : niveau de luminosité L(x, y) des pixels d’une image statique noir et blanc en fonction de leurs coordonnées x et y. 49SEER1-TS Classification des signaux
  50. 50. Classification dimensionnelle • Signal tridimensionnel 3D : dépendant de trois paramètres (vidéos, films) Ex : niveau de luminosité L(x, y, t) des pixels des images d’un film noir et blanc en fonction de leurs coordonnées x et y et du temps t. o 50SEER1-TS Classification des signaux
  51. 51. Classification énergétique : • puissance instantanée d’un signal s(t) : où (t) est le complexe conjugué de s(t). Si la fonction s(t) est une fonction réelle alors |s(t)|2 = s2 (t). • énergie dissipée par un signal s(t) sur un intervalle [t1, t2] (J : Joules) : s 51SEER1-TS Classification des signaux
  52. 52. • puissance moyenne fournie par un signal s(t) sur un intervalle [t1,t2], (W: watts) : • valeur efficace d’un signal s(t) sur un intervalle [t1, t2] : • moyenne du signal s(t) sur un intervalle [t1, t2] : 52SEER1-TS Classification des signaux
  53. 53. • valeur moyenne totale du signal s(t) : Pour un signal périodique de période T0, la valeur moyenne totale est calculée sur une période : 53SEER1-TS Classification des signaux
  54. 54. • énergie totale dissipée par un signal s(t) : • puissance moyenne totale fournie par un signal s(t) : Pour un signal périodique de période T0, la puissance moyenne totale est calculée sur une période : 54SEER1-TS Classification des signaux
  55. 55. Classification énergétique : •Signal à énergie totale finie (ou convergente) : Sa puissance moyenne totale est nulle (cas des signaux transitoires, des signaux physiques ou physiquement réalisables). •Signal à puissance moyenne totale finie (ou bornée) : Son énergie totale est infinie (cas des signaux périodiques, des signaux physiquement irréalisables comme les modèles mathématiques). 55SEER1-TS Classification des signaux
  56. 56. Classification fréquentielle ou spectrale • spectre d’un signal : représentation de son amplitude, de sa phase, de son énergie ou de sa puissance en fonction de sa fréquence f ou de sa longueur d’onde λ (λ = c/f, avec c = 300 000 km/s). • largeur de bande (ou largeur spectrale) : o domaine des fréquences occupé par le spectre d’un signal. o différence entre les fréquences maximum et minimum de ce spectre. • Exemples o En téléphonie la voix a une BP= [300 Hz,3400 Hz] o L’oreille humaine est sensible dans la bande [20 Hz, 20000 Hz] 56SEER1-TS Classification des signaux
  57. 57. Classification fréquentielle ou spectrale • En fonction de la largeur de bande, différents types de signaux se distinguent : o les signaux à bande étroite dont la largeur de bande est relativement petite, o les signaux à bande large dont la largeur de bande est relativement grande voire infinie, o les signaux de basses fréquences (BF) dont la largeur de bande est centrée sur des fréquences relativement faibles, o les signaux de hautes fréquences (HF) dont la largeur de bande est centrée sur des fréquences relativement importantes. 57SEER1-TS Classification des signaux
  58. 58. 58SEER1-TS Classification des signaux
  59. 59. Classification fréquentielle Remarque : • En fonction du domaine de fréquences dans lequel se situe le signal, on peut établir une autre classification spectrale : • TBF, BF, HF, VHF,UHF,… • IR (infrarouge), UV(ultra violet),…. 59SEER1-TS Classification des signaux
  60. 60. Signaux Impulsion (ou distribution) de Dirac : • Définition : δ(t) est définie comme la distribution qui fait correspondre à toute fonction f(t) continue à l’origine sa valeur à l’origine : L’aire de δ(t) est toujours égale à l’unité. D’une manière plus générale, pour toute fonction f(t) continue en t = t0 : 60SEER1-TS
  61. 61. Signaux • Représentation physique : la distribution de Dirac sert à représenter une action s’exerçant durant un temps très court. Elle est représentée par la limite d’une impulsion rectangulaire de durée T et d’amplitude 1/T lorsque T → 0, l’aire de cette impulsion étant bien égale à 1. 61SEER1-TS
  62. 62. Signaux • Propriété de localisation : • Représentation graphique : la représentation graphique conventionnelle d’une impulsion de Dirac de poids f (t0) en t0 est une flèche verticale placée en t = t0 de longueur proportionnelle à f (t0). 62SEER1-TS
  63. 63. Signaux • Echelon de Heaviside (ou échelon unitaire) : défini (sans rigueur mathématique) comme la primitive de l’impulsion de Dirac : La dérivée de Γ(t) est nulle sur R∗ et est égale au pic de Dirac de poids 1 en t = 0 : Γ(t) permet de rendre causal n’importe quel signal. 63SEER1-TS
  64. 64. Signaux • Rampe unitaire : 64SEER1-TS
  65. 65. Signaux • Impulsion ou signal rectangulaire (ou signal porte) : signal rectangulaire, noté rect(t) ou Π(t) : 65SEER1-TS
  66. 66. Signaux • Impulsion ou signal triangulaire : tri(t) ou Λ(t) 66SEER1-TS
  67. 67. Signaux • Impulsion exponentielle : Remarque : l’impulsion exponentielle permet d’amortir n’importe quel signal. 67SEER1-TS
  68. 68. Signaux • signal sinus cardinal : 68SEER1-TS
  69. 69. Signaux • Peigne de Dirac : δT0(t) ou PgnT0(t) est une suite périodique d’impulsions de Dirac régulièrement espacées de période T0 69SEER1-TS
  70. 70. Signaux • Signaux rectangulaires périodiques : 70SEER1-TS
  71. 71. • Système : ensemble isolé de dispositifs établissent un lien de cause à effet entre des signaux d’entrée (excitations : commandes, consignes, perturbations) et des signaux de sortie (réponses ou mesures). • Pour analyser un système donné, il est nécessaire de le représenter par un modèle mathématique ; en générale u tel modèle est un opérateur fonctionnel (ou transformation) S qui agit sur un signal d’entrée x et le transforme en un signal de sortie y. Cette opération est représentée par y=S(x) 71SEER1-TS Systèmes
  72. 72. Systèmes • Système stationnaire ou invariant : les caractéristiques du système n’évoluent pas au cours du temps. Une expérience (mesure) donnera les mêmes résultats. • Système linéaire et système non linéaire : un système linéaire vérifie le principe de superposition, à savoir, la réponse d’une somme d’excitations est égale à la somme des réponses des excitations correspondantes : s[a. x1 +b.x2]= a.s[x1] + b .s[x2] ; a et b sont deux constantes. x1,x2 deux entrées ou excitations, S l’opérateur fonctionnel caractérisant le système. • Système mono-variable et système multi-variable : un système est mono- variable (S.I.S.O.) s’il possède une seule entrée et une seule sortie. Dans les autres cas il est dit multi-variable (M.I.M.O., M.I.S.O., S.I.M.O.). 72SEER1-TS
  73. 73. Systèmes • Système continu ou analogique : opèrent sur des signaux analogiques et produisent des signaux analogiques. • système échantillonné ou numérique : agissent sur des signaux numériques et produisent des signaux numériques. • systèmes hybrides : convertisseurs analogique –numérique. • Système causal : un système est causal si sa réponse ne précède jamais l’excitation qui lui correspond. La réponse à un instant t0 ne dépend pas de l’excitation à un instant t > t0. Remarque : la condition de causalité est nécessaire pour que le système soit physiquement réalisable. • Système déterministe et système stochastique : un système est déterministe si pour chaque excitation ne correspond qu’une seule réponse. Il est stochastique dans le cas contraire. 73SEER1-TS
  74. 74. • Réponse impulsionnelle (ou percusionnelle) : une impulsion, à l’entrée d’un système causal, linéaire, continu et invariant donne en sortie un signal de durée finie appelé réponse impulsionnelle. • La réponse impulsionnelle, notée h(t) est donc la réponse d’un système à une impulsion de Dirac. 74SEER1-TS Systèmes
  75. 75. Systèmes • Réponse indicielle, notée γ(t), est la réponse d’un système à un échelon unitaire. 75SEER1-TS

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