1. Introducción a la teoría
de la computabilidad
Lógica y Computabilidad 2009/10
Joaquín Borrego Díaz
Joaquín Borrego Díaz
Coordinador del programa de doctorado
Departamento de Ciencias de la Computación e IA
Universidad de Sevilla
sábado 21 de noviembre de 2009
2. Contenido
• Un problema
• Modelos de Computación
• Tesis de Church-Turing
• ¿Cómo resolvemos el
problema?
• Guía de viaje por la T.
Computabilidad
sábado 21 de noviembre de 2009
3. Un problema en el
trabajo
• Sr. Pérez, deseo que me programe un
verificador automático de programas
sábado 21 de noviembre de 2009
4. Escenario 1: El sr. Pérez no
ha estudiado computabilidad
• ...(Dos meses de sufrimiento después)
• Jefe, a mí no me sale
• Bueno, Sr. Pérez, no se preocupe
sábado 21 de noviembre de 2009
5. Escenario 2: El sr. Pérez ha
estudiado computabilidad
• (Unas horas después):
• Jefe, he estudiado el problema y NO se puede
resolver con un programa de ningún tipo
• Excelente análisis, Sr. Pérez
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6. Cuestiones
• ¿Existen problemas que no se pueden
resolver mediante programas?
• ¿Qué tipo de análisis ha realizado en Sr.
Pérez?
• ¿Cómo puede afirmar que no se puede
resolver en ningún tipo de lenguaje de
programación, modelo de computación
etc.?
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7. Primera cuestión
• Existen problemas que NO
se pueden resolver
algorítmicamente
• Demostrado por A. Turing
en 1936
• Matemático
• Rompió el código enigma
• Máquinas de Turing
• Test de Turing
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10. La máquina diseñada por
Turing (Bletchley Park)
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11. Modelo formal de computación:
la máquina de Turing
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12. Segunda Cuestión
• El análisis que ha realizado
el Sr. Pérez está basado en
el argumento diagonal
• Diseñado por Georg
Cantor en 1834
• para demostrar que el
cardinal de los reales es
mayor que el de los
naturales
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13. Tercera Cuestión
• Tesis de Church-Turing • Otra versión:
(versión informal):
• Todo algoritmo o
• Cualesquiera dos procedimiento efectivo
modelos de es Turing-computable
computación resuelven
los mismos problemas
• Se puede considerar un
“axioma” en Informática
• Es cierto en todos los
modelos creados
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14. ¿Cómo demostrar que un
problema es indecidible?
• Demostramos, en primer lugar, que
el problema no se puede resolver
en un modelo de computación
concreto
• Entonces, por la tesis de Church-
Turing, no es resoluble en ningún
modelo
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15. Guía de viaje por la
computabilidad
El lenguaje GOTO
Matemáticas
Definiciones por recursión
Programa Universal
Codificación de programas
El problema de la parada
El Teorema de Rice Computabilidad
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16. El lenguaje elegido:
GOTO
Modelo de computación basado en
lenguaje
Lenguaje de programación
muy simple
Usa variables como registros
Es computacionalmente completo
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18. Programa Universal en GOTO
• Entrada: datos
+Programa
• Salida: Resultado
de aplicar el
programa al dato
• ¡ES UN
ORDENADOR!
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19. Definiciones por
recursión
• Necesitamos utilizar
mecanismos de
definición por
recursión
• Potente
herramienta de
programación
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20. El problema de la parada
• Entrada: Un programa y • Se prueba usando el
un dato de entrada método diagonal
(usando el programa
• Salida: universal)
• 1 (sí) si el programa
para sobre ese dato
• 0 (no) si no para
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21. Teorema de Rice
• Método para detectar la no computabilidad
de ciertos problemas. Por ejemplo lo
aplicaremos para demostrar la indecidibilidad
de:
• Equivalencia entre programas
• Reconocer los programas que siempre
paran
• Clases de complejidad algorítmica
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22. Aplicaciones (I):
imposibilidad de la corrección parcial
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23. Aplicaciones (II):
imposibilidad de la verificación
automatizada de la equivalencia
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