1. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
LA TEORÍA DE BLOQUES APLICADA
A LA MECÁNICA DE ROCAS
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
INGENIERO CIVIL
PRESENTA:
C. JUAN CARLOS AYES ZAMUDIO
ASESOR:
ING. MAGDALENO MARTÍNEZ GOVEA
MÉXICO D.F. MARZO DE 2011

4. ÍNDICE GENERAL
Agradecimientos i
Resumen ii
Introducción iv
Marco teórico v
Metodología xiv
Capítulo I Descripción de la geometría y estabilidad de los bloques utilizando
métodos vectoriales
1
I.1 Ecuaciones de líneas y planos 2
I.2 Descripción de un bloque 7
I.3 Ángulos en el espacio 14
I.4 Block Pyramid (BP) 15
I.5 Ecuaciones de fuerzas 17
I.6 Cálculo de las direcciones de deslizamiento 19
I.7 Ejemplos 22
Capítulo II El uso de las proyecciones hemisféricas 36
II.1 Enfoque tradicional 36
II.2 Enfoque aplicado a la teoría de bloques 50
II.3 Ejemplos 73
Capítulo III La removilidad de los bloques 88
III.1 Tipos de bloques 88
III.2 Teorema de finitud 92
III.3 El teorema de finitud aplicado en las proyecciones estereográficas 95
III.4 Teorema de la removilidad de un bloques convexo y finito 99
III.5 Aplicación del teorema de la removilidad en tres dimensiones
utilizando la proyección estereográfica
101
Capítulo IV Joint Blocks (JB) 104
IV.1 Joint Blocks en tres dimensiones 107
IV.2 Solución estereográfica para los joint blocks 108
Capítulo V Teoría de bloques para excavaciones superficiales 113
V.1 Conceptos básicos 113
V.2 Modos de falla 114
V.3 Análisis de la cuña clave 117
V.4 Diseño 118
V.5 Condiciones para la removilidad de bloques que intersecan a
superficies de excavación
119
V.6 Identificación de las potenciales cuñas claves usando la
proyección estereográfica
123
V.7 Bloques removibles con un conjunto de discontinuidades repetido 129
V.8 Bloques removibles con dos conjuntos de discontinuidades repetidos 133
V.9 Evaluación de la finitud y removilidad de los bloques utilizando
métodos vectoriales
134
V.10 Número de bloques de diferentes tipos en una excavación superficial 139
V.11 Procedimientos para el diseño de taludes en roca 139
V.12 Bloques removibles en una cara excavada, utilizando un levantamiento
geológico 152

5. Capítulo VI La teoría de bloques aplicada a cámaras subterráneas 160
VI.1 Cuñas claves en el techo, piso y paredes 161
VI.2 Bloques removibles en el techo 161
VI.3 Bloques removibles en el piso 162
VI.4 Bloques removibles en las paredes 162
VI.5 Bloques removibles en dos planos simultáneamente: bordes
cóncavos
163
VI.6 Bloques removibles simultáneamente en 3 planos: esquinas
cóncavas
168
VI.7 Ejemplo: Análisis de Cuña Clave para una Cámara Subterránea 172
Capítulo VII Teoría de bloques para túneles y lumbreras 183
VII.1 Bloques con caras curvas 186
VII.2 Sistemas de coordenadas locales para puntos en el cilindro del túnel 187
VII.3 EP para bloques curvos 189
VII.4 Teorema del eje del túnel 191
VII.5 Tipos de bloques en los túneles 191
VII.6 Número de bloques infinitos de un túnel 193
VII.7 Número de bloques removibles de un túnel 193
VII.8 La cuña clave máxima 193
VII.9 Teorema de la máxima área removible en la sección del túnel 194
VII.10 Cálculo de la cuña clave máxima utilizando métodos estereográficos 196
VII.11 Determinación del área máxima removible mediante el uso de las
proyecciones estereográficas
202
Capítulo VIII Estabilidad y cinemática de bloques removibles 220
VIII.1 Modos de deslizamiento 221
VIII.2 La fuerza de deslizamiento 226
VIII.3 Condiciones cinemáticas para desprendimiento/levantamiento y
deslizamiento
231
VIII.4 Solución vectorial para el JP correspondiente a una dirección de
deslizamiento dada
235
VIII.5 Proyección estereográfica para el JP correspondiente a una
dirección de deslizamiento dada
237
VIII.6 Encontrar la dirección de deslizamiento para un JP dado 250
Análisis de resultados xvi
Conclusiones xvii
Recomendaciones xviii
Bibliografía xix
Anexo I Ejemplos de aplicación xxi
Diseño de talud xxi
Diseño de túnel xxviii
Índice de tablas lvi
Índice de figuras lviii
Índice de ejemplos lxv

6. i
Agradecimientos
Agradezco a mis Padres por ser la luz que ha guiado mi vida, siempre buscando mi
bienestar, aunque yo me oponga. Gracias por su fuerza y amor, los cuales siempre me
guiarán y me dieron (a mi ver) el segundo regalo más grande que alguien puede dar, mi
educación. Gracias por pensar en su hijo, incluso en aquellos momentos en los que sólo
pensaba en mí, espero que estén orgullosos de su hijo, los amo.
Agradezco a mi madre María, por entregar su vida a nosotros sus hijos, por anteponer
nuestros deseos a los suyos; siempre te he agradeceré por ser tan buena con nosotros, por tu
trabajo, perseverancia y esfuerzo…
A mi padre Juan, por estar conmigo en cada paso o tropiezo que doy, por ser la guía que me
enseñó el amor y el aprecio al estudio, por su dedicación, por su esfuerzo de alimentarnos
en cada una de las facetas que hacen de una persona, un mejor ser humano…
A mis hermanos, aunque lejanos física o emocionalmente, siempre recuerdo con agrado los
momentos que hemos pasado juntos y siempre los querré.
A ti mi bebé, por ser el motor de mi vida; quizá no lo sepas pero el sólo mirarte me da
fuerzas, gracias por existir. Perdóname…
A ti Diego, me hace inmensamente feliz tu presencia en mi vida y al igual que tu hermana
los amo, más allá de lo que se puedan imaginar algún día…
A mi familia (tías, tíos y primos), que siempre ha querido lo mejor para nosotros….
A ustedes (ILI), LA…
A las personas que de alguna manera me han ayudado a ser mejor persona, mejor
estudiante, mejor profesionista, quizá nunca se dieron cuenta, pero en cada ayuda, cada
felicitación, cada regaño, hacen de mí un mejor ser humano…
Al Ingeniero Magdaleno Martínez Govea, mi asesor de tesis, por su tiempo y dedicación,
gracias…
A mis profesores, que dejaron una huella indeleble…
A mi País, por darme la oportunidad de estudiar, por brindarme las herramientas necesarias
para mejorar, día a día intento retribuírtelo…
A mi Alma Mater…

7. ii
Resumen
“Quien nada hace, no yerra y, quien no yerra, no aprende”
Fray Luca Pacioli (Paciolo di Borgo)
a Teoría de Bloques es una herramienta poderosa para valuar la estabilidad de
excavaciones subterráneas y de taludes en masas rocosas duras y fisuradas. Su
objetivo primordial es conocer el grado de estabilidad del conjunto de bloques
formados por las distintas discontinuidades presentes en el macizo rocoso, antes y después
de que un sistema de soporte (ademe) sea aplicado. El principio fundamental de la Teoría
de Bloque es que la falla del macizo rocoso se inicia por el movimiento de ciertos bloques
expuestos en una superficie de excavación. Por lo tanto, si estos bloques denominados
cuñas claves, se mantienen en su lugar, se previene el movimiento de otros bloques y por
ende se evita una posible falla en cadena.
Las posibles aplicaciones de la teoría son:
En Estabilidad de taludes:
Vertedores de presas y cimentaciones
Cortes permanentes en vías de
comunicación
Taludes naturales en zonas
residenciales
Etc.
En Obras Subterráneas:
Túneles de drenaje
Cámaras subterráneas
Túneles carreteros
Portales de minas
Etc.
Debido a la casi nula bibliografía referente al tema (a excepción de artículos diseminados
en diferentes congresos y simposios internacionales), se ha tenido que traducir gran parte
del texto original (Goodman & Shi, Block theory and its application to rock engineering,
1985), adicionalmente se ha extendido y detallado los problemas y se hizo hincapié en
llevar de la mano en el cálculo de cada uno de los ejemplos; lo anterior con el fin de
minimizar al máximo el tiempo de estudio de aquellas personas que deseen conocer y
aprender la teoría. Para conocer la validez matemática de los diferentes teoremas se remite
al lector al texto original.
Se espera que el presente trabajo, permita que aquellos lectores que no les sea posible leer
el texto original, por no tener acceso al libro o por no comprender/leer en inglés, tengan
posibilidad de adentrarse y conocer esta teoría.
Para aquellos que deseen aprender los procedimientos de las proyecciones estereográficas,
se recomienda leer (Priest, 1985), aunque en el capítulo II se presentan algunos ejemplos de
construcciones básicas mediante el uso de la proyección estereográfica, además, en el
mismo capítulo se dan a conocer expresiones que permiten dibujar y obtener de manera
rápida y precisa las representaciones ortográficas de planos, vectores y diversas relaciones
necesarias en muchos métodos empleados en la mecánica de rocas, esto mediante la ayuda
L

8. iii
de algún programa de dibujo asistido por computadora (CAD), evitando, así el uso manual
de la bien conocida estereored de ángulos iguales.
Es de importancia recalcar, que el hemisferio utilizado en la solución de los problemas a lo
largo del texto, es el superior, se hace énfasis en esto, para evitar confusión al lector con
conocimientos en las proyecciones estereográficas, ya que los dibujos parecerán invertidos,
por lo que se pide leer el capítulo referente a las construcciones geométricas.
Se utilizó con gran éxito, paquetería comercial de dibujo técnico asistido por computadora
(CAD) y hojas de cálculo, que aunque no son imprescindibles para desarrollar
numericamente los diversos teoremas, si son de gran ayuda para mejorar el tiempo de
resolución.
Finalmente, en caso de necesitar ayuda para interpretar o entender conceptos relacionados
al presente trabajo, se proporciona el siguiente correo electrónico personal del autor, para
contactarlo en caso de ser necesario. Email: jcaz15@hotmail.com

9. iv
INTRODUCCIÓN
ste trabajo tiene como objetivo principal, el proporcionar al interesado en el tema,
las herramientas básicas necesarias para aplicar la teoría de bloques, además de que
se proporciona una fuente de consulta en español sobre el tema.
La presente tesis está organizada en 8 capítulos y un anexo; los cuales se recomiendan ser
estudiados de manera secuencial, para lograr entender la teoría.
El capítulo I, presenta los bases matemáticas de la teoría de bloques, las cuales se basan
principalmente en sistemas vectoriales sencillos de resolver, por lo que se espera que el
lector no tenga problemas para comprenderlos, asimismo se presenta una sección de
ejemplos los cuales están resueltos a detalle.
El capítulo II, presenta lo relacionado a las proyecciones estereográficas, sus aplicaciones
en la teoría de bloques y ejemplos de aplicación.
El capítulo III, presenta los teoremas medulares de la teoría de bloques, así como su
aplicación utilizando métodos vectoriales y métodos estereográficos.
El capítulo IV, presenta una aplicación de la teoría de bloques, la cual es aplicable a los
problemas o trabajos de dinamiteo.
El capítulo V, presenta la aplicación formal de la teoría a excavaciones superficiales, es
decir, a taludes en roca.
El capítulo VI, presenta la aplicación de la teoría a excavaciones subterráneas,
específicamente a las cámaras subterráneas prismáticas.
El capítulo VII presenta la aplicación de la teoría a túneles y/o lumbreras.
El capítulo VIII, presenta los problemas relacionados con la estabilidad y cinemática de los
bloques removibles, así como las expresiones utilizadas para obtener las fuerzas y
direcciones de deslizamiento.
El anexo I, presenta dos ejemplos de aplicación, en los cuales se guía de manera secuencial
al lector para su fácil entendimiento.
E

10. v
MARCO TEÓRICO
La teoría es el lenguaje por medio de la cual pueden expresarse claramente lecciones de experiencia.
Cuando no hay ninguna teoría, como en las obras de tierra, no existe sabiduría
adquirida, únicamente fragmentos incompresibles.
Karl Terzaghi, 1919
SUPOSICIONES DE LA TEORÍA DE BLOQUE
La finalidad de esta teoría es producir técnicas para especificar la formación de las cuñas
críticas que intersecan a una excavación; la cual es aplicable a la ingeniería de rocas,
especialmente en excavaciones en roca dura donde el movimiento de los bloques
predefinidos precipitan la falla.
El problema tiene limitaciones en cuanto a alcances: encontrar las cuñas críticas creadas
por las intersecciones de las discontinuidades en una masa rocosa que ocurren en una
superficie definida. Aún así, el problema es suficientemente difícil, por lo que es necesario
adoptar una serie de suposiciones simplificadoras para obtener soluciones trabajables, y
éstas son:
Considerar que todas las superficies de las discontinuidades son perfectamente
planas. Esto ocurre en la mayoría de las juntas y fallas, pero no en todas y esta
suposición puede estar completamente mal aplicada en los miembros de los
plegamientos. Se asume la perfecta planicidad con el fin de describir la morfología
del bloque a través de ecuaciones con vectores lineales.
Asumir que las superficies de las discontinuidades, se extienden totalmente a través
del volumen de interés, esto es, ninguna discontinuidad se terminará dentro de la
región de un cuña clave.
Estas simplificaciones son para presuponer que todos los bloques están completamente
definidos por las superficies de discontinuidades preexistentes, de tal manera, que no se
suponen nuevas grietas en el análisis del movimiento del bloque estudiado. En vista de lo
anterior, esto limita la aplicación a un sólo tipo de modo de falla, excluyendo fallas con
nuevas grietas como en la figura i.1.

11. vi
Nuevo Fisuramiento
Figura i. 1. Creación de nuevos bloques por la introducción de nuevas fallas
Los bloques definidos por el sistema de superficies de discontinuidades se
consideran cuerpos rígidos. Esto significa que la deformación y distorsión del
bloque no serán introducidas en el análisis generado por la teoría de bloque. El
problema de la cuña clave es formulado entonces, enteramente a través de
geometría básica y manipulaciones vectoriales.
En la examinación subsecuente de la estabilidad de las cuñas claves, la cual es
encontrada a través de la teoría de bloque, se introducirá las propiedades de
resistencia para las discontinuidades. Debido al desarrollo de la resistencia
(fricción) a lo largo de las caras de las cuñas claves, se supone una deformación a lo
largo de las superficies de los bloques, lo que implica acumulación de esfuerzos y
deformaciones dentro de los bloques.
Se asume que las discontinuidades y las superficies de excavación son parámetros
de entrada para iniciar cualquier intento de análisis; si el conjunto de
discontinuidades están dispersas en torno a una tendencia central, alguna dirección
deberá ser tomada como representativa del conjunto. En la práctica esto se hace a
través de análisis estadísticos, los cuales proporcionan los puntos de mayor
concentración de un determinado conjunto de datos. Figura i.2.

12. vii
Figura i. 2. Análisis estadístico para encontrar las concentraciones de un conjunto de datos geológicos, con
los cuales puede definirse el conjunto de discontinuidades principales en un macizo rocoso.
A través de técnicas de simulación de Monte Carlo, debería ser posible examinar la
influencia de las variaciones de los diversos ángulos presentes en el conjunto y relacionar
los resultados estadísticos en términos de probabilidades.
En resumen, la teoría de bloque, se desarrollará con base en la información geométrica
derivada de la geología estructural y de cálculos relativos al equilibrio, usando simple
estática. Se asume que la discontinuidad mecánica está relevada al segundo plano en
importancia, en referencia al cálculo y descripción de los bloques claves. Solamente los
movimientos del los bloques son considerados.
COMPARACIÓN DE LA TEORÍA DE BLOQUE CON OTROS ENFOQUES
ANALÍTICOS
Un vasto número de herramientas analíticas están disponibles para cálculos ingenieriles
relacionados a excavaciones. Éstas incluyen métodos numéricos (análisis por elemento
finito, análisis por diferencias finitas y análisis por elementos discretos), técnicas usando
modelos físicos, etc. La mayoría de las decisiones ingenieriles relacionadas a las
excavaciones en roca están condicionadas de igual manera al buen criterio empírico
(experiencia), como a los juicios basados en informes técnicos.

13. viii
TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO FINITO
A través de la teoría de bloque, será posible analizar el sistema de discontinuidades, para
encontrar los bloques críticos de la masa rocosa. El análisis es tridimensional. Con la
determinación de los tipos de cuñas claves, la teoría provee una descripción de las
ubicaciones alrededor de la excavación donde la cuña clave es potencialmente peligrosa.
Un ejemplo del resultado final del análisis de un bloque para un túnel dado, se muestra en
la figura i.3 y i.41
.
Figura i. 3. Representación tridimensional de un bloque para una cámara
subterránea mediante paquetería comercial (Wedge)
Figura i. 4. Representación tridimensional de una cuña clave en un túnel
circular, mediante paquetería comercial (Workshop Pantechnica)
1
Figura i.3. Programa Wedge, Rocscience;
Figura i.4. Programa Workshop, Pantechnica. (Ph. D. John Tinucci)

14. ix
El bloque más grande; --definido por el conjunto de discontinuidades, la sección del túnel y
la dirección del mismo--; es dibujada en relación con el túnel. El siguiente paso será
proveer soporte, para prevenir el movimiento de este bloque o analizar para conocer si la
fricción disponible en las caras mantendrá al bloque en un estado seguro. Alternativamente,
la teoría puede modificar la dirección del túnel como la forma del mismo (sección
transversal), para encontrar la combinación más favorable.
Las diferencias entre la teoría de bloque y el análisis de elemento finito, son
fundamentalmente las siguientes:
El análisis de elemento finito determina deformaciones y desplazamientos a través
del modelo, mientras que la teoría de bloque no determina en ningún momento
deformaciones o desplazamientos. A lo mucho determina una lista de bloques
peligrosos o potencialmente peligrosos detrás de la superficie de excavación.
Figura i. 5. Distribución de Desplazamientos Verticales Utilizando FEM
El análisis de elemento finito determina esfuerzos y con dificultad, estos pueden
ser manipulados para encontrar regiones de potencial peligro. La teoría de bloque
inmediatamente localiza puntos o zonas peligrosas y provee un estimado de la
fuerza necesaria para prevenir la falla. La teoría de bloque no encuentra esfuerzos
dentro o entre los elementos estudiados.
El análisis de elemento finito puede ser utilizado paramétricamente; una vez que
un modelo ha sido preparado para encontrar la forma más viable de una
excavación. Pero no puede proporcionar mucha ayuda para recomendar la mejor
dirección de una excavación. La teoría de bloque, en cambio, puede manejar
ambas tareas de una muy buena manera.
El análisis de elemento finito siempre debe calcularse a partir de una malla
específica, con dirección y espaciamiento de las discontinuidades predefinidas. En
contraste la teoría de bloque proporciona un sistema de discontinuidades sin
necesidad de utilizar un mapa de discontinuidades específico. Así, en una etapa
posterior, la teoría puede ser aplicada a un punto de discontinuidad elegida
previamente (si hay información específica).En general, el análisis de elemento
finito es un procedimiento de cálculo mucho más largo que el necesitado por la
teoría de bloque y siempre necesitará una computadora. En cambio, la teoría de
bloque puede ser aplicada enteramente a través de cálculos manuales y métodos
gráficos.

15. x
TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO DISCRETO
El método de elemento discreto es un modelo numérico aproximado, el cual reduce los
grados de libertad en comparación al análisis de elemento finito; esto se logra través de la
remoción de modos de deformación en los bloques esbozados por las discontinuidades, y
como resultado final solamente quedan cuerpos rígidos.
El análisis de elemento discreto es una herramienta para la ingeniería en excavaciones que
permite el análisis de grandes movimientos de bloques en complejas secciones geológicas,
las cuales tienen varios bloques de discontinuidades. El método está restringido a 2
dimensiones, a menos que se utilicen computadoras potentes. Así como en el análisis de
elemento finito, es necesario calcular a partir de una malla predeterminada, incorporando de
una manera precisa las ubicaciones de todas las discontinuidades.
Como se mencionó anteriormente, la teoría de bloques no requiere de un premapeo de las
discontinuidades y es enteramente tridimensional. Por otro lado, no ofrece análisis donde
involucren grandes deformaciones. Además esta teoría está mejor equipada para ayudar a
elegir la dirección y forma de una excavación.
TEORÍA DE BLOQUE – JUICIO INGENIERIL
En distintas épocas, los ingenieros realizaron excavaciones en roca fracturada, muchas de
ellas se hicieron antes de tener disponibilidad de herramientas numéricas. La intuición,
experiencia y juicio fueron elementos utilizados y en ocasiones combinados con alguna
información específica acerca de las direcciones y propiedades del conjunto principal de
discontinuidades. Es de resaltar que relativamente pocas excavaciones han sido bien
documentadas en la literatura técnica, por lo que, para los recién iniciados en los
menesteres de diseño de excavaciones en roca, es difícil adquirir dicha experiencia a partir
del auto-estudio.
La realización de una excavación es totalmente tridimensional. La teoría de bloque la cual
es adecuada, precisamente, a la tridimensionalidad del problema, puede atacar el problema
de la excavación desde un mejor enfoque de lo que la intuición puede hacerlo. La
experiencia no ofrece alternativas para racionalizar un proceso, cuando se realiza el diseño
de una excavación de forma, tamaño o función, sin precedentes.
EL SISTEMA DE LA CUÑA CLAVE
El objetivo de la teoría de bloque; es encontrar y describir los bloques de roca más críticos
que rodean a la excavación (denominados “Cuñas Claves”). La intersección de numerosos
conjuntos de discontinuidades crean bloque de formas y tamaños irregulares en la masa
rocosa; por lo tanto, cuando se realiza la excavación, se forman muchos bloques nuevos por
la adición de superficies (techo, hombro, muro, talud, etc.).

16. xi
Cuña Clave
Figura i.6. Arco, donde el principio de cuña clave es aplicable
Algunos de estos bloques no serán capaces de moverse hacia el espacio libre de la
excavación, quizá debido a sus formas, tamaños u orientaciones, o quizá porque les impida
moverse otros bloques adyacentes; Sin embargo, unos pocos bloques (figura i.6) están
inmediatamente en condición de moverse, tan rápido como se forman, es decir, al mismo
instante del trabajo de excavación; de tal forma que otros bloques que anteriormente
estaban restringidos al movimiento, ahora no lo están.
La figura i.7, muestra dos arcos de cimentación de un acueducto romano que se mantiene y
soporta cargas sin pernos o tornillos. En este arco de mampostería cada bloque, es una cuña
clave, debido a que la pérdida de una sola cuña, causaría el colapso de toda la estructura.
Cuñas Claves
Figura i. 7. Arco donde cada bloque puede ser considerado como una cuña clave
Otro tipo de arco de mampostería es el bosquejado en la figura i.7a; donde el bloque
sombreado, con forma diferente al resto, está sostenido por tornillos. Mientras el bloque se
mantenga en su lugar, el arco funcionará como conjunto.

17. xii
Cuña Clave
a)
5
4
2
3
4
2
1
1
b)
4
1
1
2
2
2
2
3
Cuña Clave
c) d)
p
1234
Figura i. 8. Diversos modelos donde se aplica el concepto de cuña clave
Este modelo es el más aproximado a una excavación que el arco romano Voissor de la
figura i.7, debido a que los bloques alrededor de la excavación, no son perfectamente
similares en forma. La figura i.8b, muestra una cuña clave alrededor de una sección
transversal de un túnel, la pérdida de los bloques 1 permitirían el movimiento de los
bloques 2, estos a su vez permitirían el movimiento de los bloques 3 hasta la destrucción
de la estructura proyectada.
Los taludes en excavaciones superficiales, muestran, similarmente, dependencia en una
pequeña porción de bloques críticamente localizados figura i.8c.
La figura i.8d, muestra cuñas claves en la cimentación de una presa; el plano P debajo de la
presa parecería ser una posible superficie de deslizamiento. Sin embargo, la roca arriba de P
no podrá moverse mientras el bloque 1 se mantenga en su lugar. Aún después, la gran masa
de cimentación arriba de la superficie no podrá moverse, ni levantar la presa, pero podría
ser destruida por un acción regresiva, primero con el movimiento de 1, después de 2,
después de 3, hasta llegar a un estado de falla.

18. xiii
Todos estos ejemplos, intentan mostrar en dos dimensiones lo que en ocasiones sólo es
comprensible mediante el uso de tres dimensiones. La figura i.9, muestra un ejemplo más
realista, de una cuña clave en una cimentación y su relación con el diseño de las anclas. El
levantamiento del bloque mostrado está restringido, de las presiones posiblemente causadas
por el agua y fuerzas sísmicas, mediante las fuerzas que generan los cables anclados debajo
de la cuña clave. El bloque dibujado es el más grande en su tipo que puede caber en el
espacio de la excavación o del valle natural donde la estructura está localizada.
Figura i. 9. Ejemplo tridimensional de una cuña clave

19. xiv
METODOLOGÍA
Justificación del Tema
La elección del presente tema de investigación, se finalizó mediante un procedimiento
deductivo, es decir, de lo general a lo particular y los motivos que lo causaron fueron:
Al autor así como al asesor de tesis, vieron un campo real de aplicación así
como un tema poco trabajado, especialmente en la bibliografía disponible en
español.
Existe poca información documental o bibliografía referente al tema, además
la información disponible, se encuentra en inglés además de que es poca.
Planteamiento del Problema
Aunque el análisis de un teoría, puede brindar un sinnúmero de trabajos como el aquí
presentado, el problema a resolver se basa principalmente en la falta de un documento que
proporcione, escudriñe y plasme en idioma español, los pormenores de la teoría analizada.
Por lo anterior, el problema principal a resolver es la falta de bibliografía en español sobre
el tema en cuestión, así como un desarrollo pormenorizado de las soluciones numéricas que
involucran a la Teoría de Bloque.
Objetivos de la Investigación
Cumplir con el requisito de la parte escrita del examen profesional para obtener el
título de ingeniero civil.
Incrementar los conocimientos propios en el área específica.
Proporcionar al gremio ingenieril y/o estudiantil del área, un documento que detalle
y presente la teoría de bloques como una teoría utilizable –principalmente- en la
práctica profesional.
Tipo de Investigación
Antes de plantear las hipótesis de trabajo, se realizó una extensa revisión
documental, utilizando para ello diversas fuentes impresas.
La investigación fue en su totalidad documental.
Hipótesis de Trabajo
El empleo de la Teoría de Bloque, es una herramienta de moderadamente fácil
aplicación.
La teoría de bloque, es al día de hoy, una herramienta de gran utilidad para el
ingeniero diseñador de obras subterráneas como superficiales en roca.
La omisión en la enseñanza de la presente teoría, es por una falta de apreciación de
la Academia y no por una dificultad intrínseca del tema.

20. xv
Delimitaciones y Limitaciones
Crear un documento de fácil lectura y acceso para el ingeniero/estudiante
interesado.
Las limitaciones teóricas, se presentan en el Marco Teórico.
Técnicas de Investigación
Técnicas Documentales
Bibliográfica
Documental

21. 1
Capítulo I
Descripción de la Geometría y Estabilidad de
los Bloques Utilizando Métodos Vectoriales
"If I have seen farther than other men, it is because I have stood on the shoulders of giants."
Isaac Newton
n este capítulo se desarrollarán ecuaciones vectoriales, que permitirán encontrar
soluciones a los problemas básicos de la Teoría de Bloques. Los métodos de análisis
vectorial proveen formulaciones simples de todos los aspectos relacionados a la
morfología del bloque, incluyendo: el volumen de un joint block (JP)1
, el área de cada una
de sus caras, la posición de sus vértices y las posiciones y posturas de sus caras y bordes. El
uso de vectores, también permite llevar a cabo análisis sobre el estado cinemático y estático
de las cuñas claves.
La información fundamental requerida por la Teoría de Bloques, es la descripción de la
orientación de cada plano de discontinuidad. Las discontinuidades se agrupan en conjuntos,
cuyas orientaciones promedios (ponderados o no) están descritas por 2 parámetros; el
echado y la dirección del echado .
La figura I.1 explica estos términos y su relación con los términos geológicos denominados
rumbo (strike) y echado (dip). Un plano inclinado, interseca al plano horizontal xy a lo
largo de la línea de rumbo y se inclina en la dirección del echado, la cual es perpendicular
al rumbo del plano.
La dirección del echado es definida mediante el ángulo a partir de y hacia x. A través del
presente trabajo se adoptará la convención de que y es el norte y que x es el este, con z
hacia arriba. El echado, es medido a partir del ángulo vertical entre la dirección del
echado y el trazo de la discontinuidad en un plano horizontal.
El rumbo de un plano es la traza de la intersección de este plano con una superficie
horizontal y la mayoría de los geólogos utilizan el término para definir la orientación de un
plano. Para eliminar toda ambigüedad posible cuando se habla de rumbo es necesario
definir la dirección en que se echa un plano. Por lo tanto, un plano queda totalmente
definido si se registra con un rumbo de N 40º W y un echado de 20º SW. Si hubiera sido
reportado con un echado de 20º, no quedaría claro si se echa hacia el suroeste o al noroeste.
Los ingenieros geotecnistas, sobre todo aquellos que utilizan mucho las computadoras para
su análisis, han preferido emplear la dirección del echado más que la del rumbo como
manera para definir la orientación de los planos. Si la dirección del echado y el echado de
un plano se reportan como 240/20, no puede haber confusión sobre la orientación y la
1
En el presente trabajo, ciertos términos como Joint Block (JP) no serán traducidos, con la finalidad de evitar confusiones al lector que
esté familiarizado con la teoría o para aquel que consulte la obra en el idioma original u haga estudios adicionales en otras referencias
bibliográficas.
E

22. 2
inclinación de ese plano y esa anotación es más concisa que la de rumbo y echado, factor
importante cuando se tiene que procesar grandes cantidades de datos geológicos por
computadora.
z
y norte
x
vector echado
Línea
de
Rum
bo
= echado
Dirección del Echado
N
Echado
Dirección del Echado a
b
Figura I. 1. Términos que describen las características de un plano: echado y dirección del echado
ECUACIONES DE LÍNEAS Y PLANOS
Ecuación de una Línea
Siendo 1x el vector radio, que parte del origen al punto , ,i i iX Y Z . Una línea con
dirección 1x a través del punto 0 0 0, ,X Y Z , está definida por el conjunto de puntos a lo
largo de los vectores de una familia de vectores radio, de tal manera que:
1ox t xx (I.1)
Donde 0x es el vector radio que inicia en el origen al punto 0 0 0, ,X Y Z figura I.3. El
parámetro t toma cualquier valor negativo o positivo. La ecuación (I.1) puede ser
transformada a una forma de coordenadas cartesianas, remplazando cada vector radio, por
las coordenadas de su punta. Sustituyendo:
0 0 0 0 1 1 1 1, , , , , ,X Y Z X Y Z X Y Zx x x (I.2)
Con la ecuación 1.1, se generan 3 ecuaciones paramétricas:
0 1 0 1 0 1X t Y t Z tx x y y z z (I.3)

23. 3
sen cos
cos
sen
sen
cos
Y
Norte
X
Este
Z
n^
m
O
Figura I. 2. Sistema de coordenadas y direcciones cosenos de una normal: n, normal de la discontinuidad; m,
proyección de n en el plano OXY; , ángulo del echado; , dirección del echado (en el sentido de las
manecillas del reloj a partir del norte)
Ecuación de un Plano2
Siendo ^
pn (2)
el vector unitario, con dirección normal al plano P y x , siendo el vector
radio partiendo del origen hacia cualquier punto del plano P.
El plano P, está definido, como el conjunto de las puntas de los vectores radio x , de tal
manera que:
^
px n D (I.4)
Donde D es una constante. Como se muestra en la figura I.4. D es la longitud de una
perpendicular que parte del origen al plano. La ecuación (I.4) puede ser convertida a
coordenadas cartesianas, mediante las siguientes sustituciones:
^
, ,
, ,p
X Y Z
n A B C
x
(I.5)
Para obtener: AX BY CZ D (I.6)
Como se muestra en la figura I.2, los valores de las coordenadas normales son:
A
B
C
sen sen
sen cos
cos
(I.7)
2
El símbolo ^ sobre una letra en minúsculas siempre significa que la letra representa a un vector unitario, es decir una
dirección.

24. 4
O
Z
X
Y
xo
x
1t x
t x1
Figura I. 3. Ecuación de una línea recta
La Intersección de un Plano y una Línea
Un punto como C (figura I.4), donde una línea penetra un plano, puede ser descrito
resolviendo simultáneamente las ecuaciones (I.3) y (I.6).
Siendo 0 0 0, ,X Y Z un punto en una línea que tiene una dirección de un vector radio
1 1 1, ,X Y Z ; y sustituyendo los valores para X, Y y Z de la ecuación (I.3) en la ecuación de
un plano (I.6) y resolviendo para t.
Desarrollando matemáticamente:
0 1
0 1
0 1
X t
Y t
Z t
x x
y y
z z ;
AX BY CZ D ;
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1
Despejando a :
A X tX B X tX C X tX D
AX AtX BY BtY CZ CtZ D
AtX BtY CtZ D AX BY CtZ
t AX BY CZ D AX BY CtZ
t
0 0 1
1 1 1
D AX BY CtZ
t
AX BY CZ
(I.8)
Y el vector radio partiendo del origen al
punto de intersección de la línea y el
plano tiene su punta en el punto , ,X Y Z
dado por:
1
1
1
o o
o o
oo
X x t x
Y y t y
Z z t z
(I.9)
Y
X
Z
O
^
np
D
x
C
Figura I. 4. Ecuación de un plano

25. 5
La Intersección de Dos Planos
La intersección de 2 planos de discontinuidades, crea un borde común. Considérese los
planos 1P y 2P (figura I.5) con una línea de intersección 12I . Siendo ^
1n y ^
2n las normales
unitarias a los planos 1P y 2P .
Debido a que la línea de intersección está contenida en cada plano, y como cada plano
contiene únicamente las líneas perpendiculares a su normal, entonces 12I es perpendicular a
ambos vectores normales unitarios ( ^
1n y ^
2n ). Por definición, una línea que es perpendicular
a otros dos líneas, se puede generar por el arreglo vectorial cruz. De esta manera, la línea de
intersección entre 1P y 2P es paralela a:
^ ^
12 1 2n nI (I.10)
Para transformar esta ecuación a coordenadas cartesianas, se convertirá
^ ^
1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,n X Y Z y n X Y Z y siendo ^
x , ^
y y
^
z los vectores unitarios paralelos a los
ejes coordenadas, por lo tanto:
^ ^ ^
^ ^
1 2 1 1 1
2 2 2
x y z
n n X Y Z
X Y Z
(I.11)
1 1 1 1 1 1^ ^^
12
2 2 2 2 2 2
Y Z X Z X Y
x y z
Y Z X Z X Y
I
En forma cartesiana, tenemos:
12 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1, ,Y Z Y Z X Z X Z X Y X YI (I.12)
1n^ n2
^
2I1
p1
2
p
Figura I. 5. Línea de intersección de dos planos

26. 6
Las Esquinas de un Bloque
La figura I.6, muestra un bloque poliédrico. Las coordenadas de sus esquinas (vértices) son
cada una, soluciones simultáneas para las esquinas de 3 planos que se intersecan entre sí.
Por ejemplo, el vértice A, definido por la intersección de los
planos 1P , 2P y 3P , es determinado por el punto , ,X Y Z ; el
cual satisface al conjunto:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
A X BY C Z D
A X B Y C Z D
A X B Y C Z D
(I.13)
Descripción de un Medio-Espacio
Considérese un plano P (figura I.7). Un punto como 2C está en su
medio-espacio superior, esto es, el punto está localizado arriba del
plano P; el punto 1C está en el medio-espacio inferior, del plano
P. El determinar con certeza, cuando un punto está situado arriba
o abajo de un determinado plano, es la piedra angular de la
Teoría de Bloques.
Siendo la ecuación del plano P.
AX BY CZ D
Donde , ,A B C definen las coordenadas de la punta de un vector radio ^
pn , el cual es
perpendicular al plano P.
Se dice que un punto , ,X Y Zx pertenece al
medio-espacio inferior del plano P, si:
^
pn Dx (I.14)
Ó en forma de coordenadas cartesianas:
AX BY CZ D (I.15)
Similarmente, un punto , ,X Y Zx , se
encontrará en el medio-espacio superior, del
plano P; si:
^
pn Dx (I.16)
Ó en forma de coordenadas cartesianas:
AX BY CZ D (I.17)
D1
pn^
D
2
D
C2
1
x
x
x2
1
C
O
Plano P
Figura I. 7. Medio-espacio determinado por un plano
A
C
D
E
B
p2
2
p
p3
Figura I. 6. Esquinas de un bloque

27. 7
DESCRIPCIÓN DE UN BLOQUE
Después de lograr describir y definir matemáticamente todas las propiedades relevantes de
un bloque; ahora estamos en posición de cuantificar las características de un bloque, como
son: El número, ubicación y áreas de sus caras, la ubicación de sus esquinas y su volumen.
El volumen de un Bloque Tetraédrico
Un bloque de 4 lados puede ser idealizado como una parte de la división de un
paralelípedo, que se ha dividido en 6 partes, como se muestra en la figura I.8. Considérese
el paralelípedo dibujado en la figura I.8a, con esquinas 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,a a a a a a a ya . Primero
se puede dividir en dos prismas triangulares de igual volumen, cortando a lo largo del plano
2 3 5 6, , ,a a a a , a su vez, cada uno de estos primas puede ser dividido en tres tetraedros
iguales, como se muestra en la figura I.8b.
a3
1
a
a2
7
a
a4
6
a
a8
5
a
Área
S
h
a5
8
a
a6
4
a
a7
2
a
a1
3
a
2
a
5
a
6
a
1
a( 2
a 3
a 7
a 4
a 5
a 6
a 8
a )
Volumen = hS
1
a( 2
a 3
a 4
a 5
a 6
a )
Volumen = hS1
2
2
a( 3
a 7
a 5
a 6
a 8
a )
Volumen = hS1
2
a)
Figura I. 8. Subdivisión de un paralelípedo en seis tetraedros de igual volumen. a) Subdivisión en dos
prismas triangulares; b) División de cada primas en tres tetraedros

28. 8
1
a
a4
6
a
a2
a5
5
a
a6
4
a
a3
a3
3
a
2
a
4
a
a1
3
a
5
a
2
a
4
a
b)
2
a 3
a 4
a 5
a )(
Volumen = hS1
6
1
a( 2
a 3
a 4
a 5
a 6
a )
3
a 4
a 5
a 6
a )(
Volumen = hS1
6
1
a 2
a 3
a 4
a )(
Volumen = hS1
6
Figura I.8. (Continuación)
Esto, finalmente, lleva a tetraedros con esquinas 1 2 3 4 2 3 5 6 3 4 5 6, , , , , , , , , ,a a a a a a a a y a a a a . Por
definición, el volumen de un paralelípedo es igual al producto del área (S) de su base (por
ejemplo, el área 1 2 3 4, , ,a a a a de la figura I.8a) multiplicada por su altura (h), esto finalmente
conduce al hecho, de que cada tetraedro debe tener un volumen 1
6 S h ; lo cual se puede
expresar en forma vectorial como:
1
6
tetraédroV a b c (I.18)
Donde, como se muestra en la figura I.9, a, b, y c, son los 3 vectores límites (o bordes) que
irradian desde cualquier vértice del tetraedro.
Siendo 1 2 3 4, ,a a a y a , las 4 esquinas de un tetraedro; y tomando 1a como el vértice desde
el cual irradian los vectores a, b y c.

29. 9
1a
a4
a3
a2
c
a
b
b x c
(x ,y ,z )2 2 2
444
(x ,y ,z )
(x ,y ,z )3 3 3
111
(x ,y ,z )
Figura I. 9. Denominación de los vectores para los bordes de un tetraedro
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
4 1 4 1 4 1
, ,
, ,
, ,
X X Y Y Z Z
X X Y Y Z Z
X X Y Y Z Z
a
b
c
(I.19)
Sustituyendo (I.19) en (I.18), el volumen del tetraedro expresado en forma de coordenadas
cartesianas; se puede expresar como:
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
4 1 4 1 4 1
1
6
X X Y Y Z Z
V X X Y Y Z Z
X X Y Y Z Z
(I.20)
O alternativamente,
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
1 1
1 11 1
Det
1 16 6
1 1
X Y Z X Y Z
X Y Z X Y Z
V
X Y Z X Y Z
X Y Z X Y Z
(I.21)
X, Y, Z son las coordenadas de los vértices
El volumen, bordes y esquinas de un bloque poliédrico con n caras
La intersección de varios planos de discontinuidad crea bloques de varias formas, la
mayoría de las cuales, en general, tendrán más de 4 caras. El procedimiento para calcular el
volumen de cualquier bloque parecido, es subdividirlo en varios tetraedros y hacer uso de la
formula (I.20).
Considérese un bloque tridimensional con n caras formado por porciones de n planos.
Cada plano (i) divide el espacio entero en un medio-espacio superior, denotado por i
U , y un
medio-espacio inferior, denotado por iL . La intersección de uno o del otro de los medios-
espacios de cada plano ( 1i a n) determina las dimensiones y la morfología del bloque.
Por ejemplo, un bloque puede ser creado por 1 2 3 4 5 6, , , ,L U L L U y L . En capítulos subsecuentes
se mostrará cómo elegir cuales de las muchas combinaciones posibles de L’s y U’s definirán
los bloques críticos. Por el momento se asumirá que esto ha sido dado.

30. 10
1. Para cada plano i, 1i a n, determínese las constantes , ,i i i iA B C y D .
a. Los coeficientes ,i i iA B y C son calculados a partir del echado y de la
dirección del echado de plano i, utilizando (I.7).
A
B
C
sen sen
sen cos
cos
El ángulo del echado siempre se encuentra entre 0 y 90º, además de
que iC siempre es positivo, lo que significa que de las dos posibles
direcciones para la normal, la dirigida hacia arriba será la elegida3
.
b. El coeficiente iD debe ser ingresado. Un ejemplo de cálculo de
, ,i i i iA B C y D utilizando datos de campo se presentan posteriormente.
2. Calcúlese las coordenadas de todas las posibles esquinas del bloque. Una esquina
ijkC se calcula como el punto de intersección de los tres planos i, j y k, como se
describe en (I.13).
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
A X BY C Z D
A X B Y C Z D
A X B Y C Z D
Ahora se debe determinar cuáles de las esquinas pertenecen al bloque (e.g. son reales). El
número de esquinas calculadas en el paso 2 iguala al número de combinaciones de n
objetos tomados en 3 al mismo tiempo 3
nC , lo que es igual a !
3 ! 3!
n
n
. Para un
paralelípedo (i.e. n=6) existen por lo tanto 20 posibles esquinas; pero sólo 8 pueden ser
reales. El procedimiento para realizar esta selección, es presentado en los pasos 3 y 4.
3. Considere a la cara m. Examine a cada posible esquina ijkC por turno y manténgala
como una candidata real a ser esquina, si sus coordenadas ,ijk ijk ijkX Y y Z ,
satisfacen:
m ijk m ijk m ijk mA X B Y C Z D (I.22)a
(1.22a) es para el caso, si el bloque está definido con mU , ó
m ijk m ijk m ijk mA X B Y C Z D (I.22)b
Si el bloque está definido con iL .
3
En el caso de un plano vertical, la normal es determinada como positiva en una dirección.

31. 11
4. Repítase el paso 3 para cada cara en turno (i.e. 1m a n ). Las esquinas verdaderas
son aquellas candidatas que sobrevivan al paso 3 para cada cara.
En este punto, un ejemplo bidimensional será de gran ayuda. La figura I.10 muestra los
polígonos creados por 5 líneas, 1 5P hasta P . Por lo tanto;
!
# ! #!
n
n
, #= dimensionalidad 5
5!
10
5 2 ! 2 !
C , en este caso #, es 2 , porque es un ejemplo
bidimensional
Hay 10 intersecciones de estas líneas, etiquetadas como 15 25,C C …(el orden de los índices
no tienes importancia). Ahora considérese un bloque específico: 1 2 3 4 5, , ,U L L U y U . (En este
caso U significa el medio-plano arriba de la línea y L el medio-plano debajo de la línea.)
Considerando, primero, el medio-plano 1U , los vértices reales ijC deben satisfacer:
1 1 1ij ijA X B Y D 4
Ahora eliminando las esquinas que están fuera de
1 2 3 4 5, , ,U L L U y U (La parte con tramado en figura
I.10). Eliminando lo que está del otro medio-
plano de 1U , es decir, en 1L , se elimina a 34C .
Considerando lo que no está en el medio-plano
2L , se elimina a 35C ; siguiendo este
procedimiento se llegará a eliminar a
12 42 15,C C y C .
Así las esquinas reales, son identificadas como
41 45 25 23 13, , ,C C C C y C .
Ahora que se ha logrado identificar las coordenadas de todas las esquinas ijkC de un
bloque poliédrico. Como paso siguiente, se encontrará todas las caras reales de un poliedro.
Considérese nuevamente el ejemplo bidimensional de la figura I.10, las intersecciones de
las cinco líneas produjeron polígonos de 3, 4 y 5 caras. En tres dimensiones, los bloques
creados por intersecciones de n planos pueden tener desde 4 a n caras.
4
La ecuación original para la descripción de un medio-espacio es AX BY CZ ó D ; pero en
este caso no hay CZ , porque es un ejemplo bidimensional, y el signo es , porque es un medio-plano
superior. (El ejemplo).
C12
P1
P2
P4
P3
C13
C34
C41
C15
5
C45
C42
C25
C35
C23
Y
X0
Figura I. 10. Esquinas reales de un polígono dado

32. 12
5. Determínese cuáles caras pertenecen a un bloque dado. Una cara verdadera está
definida por cualquier subconjunto de tres o más vértices reales (esquinas del
bloque) que tienen un índice en común. Por ejemplo, la cara m (del plano m) es la
región triangular existente entre las esquinas 1 2 34 25,m m mC C y C .
6. Determínese todos los bordes de un bloque. Un borde real es una línea entre un par
de vértices reales ijkC que tienen dos índices en común. Por ejemplo, un borde es la
línea conectando las esquinas 3 4ij ijC y D . Esta línea es paralela a la línea de
intersección ijI de los planos i y j.
Los siguientes pasos dividirán, primero, al poliedro en pirámides poligonales, y después en
tetraedros mediante la subdivisión de las bases poligonales en triángulos.
7. Escoja una esquina real ijkC como un ápice (la cima de una pirámide poligonal). La
elección de una esquina es arbitraria y únicamente una esquina será seleccionada.
ijkC es el punto de intersección de los planos cara i, j y k. Excluyendo estas tres,
subdivida cada una de las otras 3n caras del
bloque en triángulos como a continuación se
indica:
Cada cara, m, es en general un polígono con t esquinas.
Las esquinas de la cara m son el subconjunto de las
esquinas reales t del poliedro que tiene m como uno de
sus índices. Ahora subdivídase la cara m en triángulos,
seleccionando una esquina y conectándola en turno
con los puntos finales de cada borde de m. (Los bordes
del polígono m son el subconjunto de todos los bordes,
encontrados en el paso 6, que tienen a m como uno de
los índices en común).
La figura I.11, ilustra el procedimiento descrito arriba.
Escogiendo a la esquina 1a como el vértice de todos
los triángulos, el polígono 1 2 3 4 5 6a a a a a a es
dividido en los triángulos
1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6, ,a a a a a a a a a y a a a .
8. Finalmente, conéctese las esquinas de cada
triangulo para todas 3n caras (excluyendo las caras i, j y k) con el ápice, esquina
ijkC . Esto crea el conjunto de tetraedros, la suma de volúmenes de la cual es el
volumen del poliedro.
2
a
1
a
3
4
a
6
a
5
a
1
a
6
a
5
a6
a
'
b
c
1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 6
a
1
a
1
a
1
a
1
a
2
a 3
a
3
a 4
a
4
a 5
a
5
a 6
a
Área 1
a( 5
a 6
a )6
a ' = b x c
Figura I. 11. Subdivisión de polígonos en triángulos

33. 13
La figura I.12 proporciona un ejemplo de los procedimientos descritos en los pasos 7 y 8.
Se subdividirá, en tetraedros, el bloque de cinco lados mostrado en la figura I.12a.
Primero, arbitrariamente se seleccionará la esquina 135C como el ápice. Esto excluye a las
caras 1 3 5,P P y P a partir de la descomposición de los triángulos. Las caras 2 4P y P
permanecen. El primero es mostrado en la figura I.12b, y se divide en los triángulos:
235 234 124, ,C C CI y 124 235 125, ,C C CII . La cara 4P ya es un triángulo 134 124 234, ,C C C . El
bloque de cinco lados es dividido en 3 tetraedros conectando estos triángulos con el ápice
135C . Estos volúmenes tetraédricos son mostrados en las figuras I.13c, (d) y (e).
234C
134C
135C
125C
235C
124CP4
P1
P2
P3
P5
234C 125C
235C
124CBorde 24 Borde 12
Borde 23
Borde25
I II
Cara 2
234C
134C
135C
124C
a)
b)
c)
234C
135C
235C
124C
d)
135C
125C
235C
124C
e)
Figura I. 12. Subdivisión del poliedro en tetraedro
LAS CARAS DE UN BLOQUE POLIÉDRICO
Las esquinas, bordes y las áreas de cada cara de un bloque general de n-caras pueden
calcularse utilizando los métodos descritos en la sección precedente. Una cara poligonal
está definida como una región planar entre todas las esquinas ijkC que comparten
cualquier índice. Cada polígono es, entonces, dividido en triángulos mediante el
procedimiento de la figura I.11.
Considérese a un triángulo con esquinas 1 2 3, ,a a a y lados 1 2a aa y 1 3a ab . El área del
triángulo es:
1
2A a b (I.23)

34. 14
De forma vectorial con 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, , , , , , ,a X Y Z a X Y Z y a X Y Z :
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
, ,
, ,
X X Y Y Z Z
X X Y Y Z Z
a
b
Lo que resulta en:
1
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11
2
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
Y Y Z Z Z Z X X X X Y Y
A
Y Y Z Z Z Z X X X X Y Y
(I.24)
ÁNGULOS EN EL ESPACIO
El ángulo entre líneas, entre planos o entre una línea y un plano será requerido de manera
rutinaria en el cálculo de la resistencia al deslizamiento de los bloques.
El ángulo entre líneas. Considérese dos vectores que se intersecan, 1 2yn n en el espacio.
1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,X Y Z X Y Zn n
El ángulo entre 1 2yn n está dado por:
1 2
1 2
.
cos
n n
n n
(I.25)
n2
1
P2
n2
Proyección de n1
a)
n2
n1
b)P1
P2
Figura I. 13. Ángulos entre líneas y planos: a) La proyección ortográfica de una
línea en un plano, b) el ángulo entre dos planos
O, en formato de coordenadas:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 21
cos
X X Y Y Z Z
X Y Z X Y Z
(I.26)
Si ^ ^
1 1 2 2n y nn n (vectores unitarios).
^^
1 2 1 2 1 2 1 2cos .n n X X Y Y Z Z (I.27)
El ángulo entre una línea y un plano. Está definido en términos del ángulo entre la línea
y su proyección ortográfica en el plano (figura I.13a). Siendo 1n un vector inclinado con
respecto al plano 2P , cuya normal es 2n . El ángulo entre 1n y su línea de proyección en
2P es el complemento del ángulo entre 1 2yn n .

35. 15
90 (I.28)
El ángulo entre dos planos. Como se muestra en la figura I.13b, el ángulo entre dos
planos 1 2P y P es el ángulo entre sus normales 1 2yn n .
1 2,n n (I.29)
BLOCK PYRAMID (BP)5
Considérese un bloque real formado con cada uno de las n diferentes caras, esto es, un
bloque rodeado por n superficies no paralelas. Recuérdese que un bloque particular es
creado por la intersección de los medios-espacios tanto superior como inferior
correspondiente a cada una de sus caras. Por ejemplo, un bloque podría estar dado por
1 2 3 4 5U U U L L .
Ahora, permitiendo que cada medio-espacio sea desplazado, de tal manera que su superficie
pase a través del origen. El conjunto de medio-espacios movidos
0 0 0 0 0
1 2 3 4 5U U U L L crearán
una pirámide, el block pyramid (BP) con ápice en el origen, como se muestra en la figura
I.14. El superíndice significa que el plano en cuestión ha sido desplazado para pasar a
través de 0,0,0 .
La importancia de esta construcción será aparente en el capítulo IV. Pero en esta sección
será apropiado el describir el BP utilizando las formulas establecidas anteriormente.
Líneas a través del origen. Todos los bordes de un block pyramid (BP) son líneas que
pasan a través del origen (i.e. , , 0,0,0o o o oX Y Zx ). Por lo tanto, las ecuaciones de los
bordes, obtenidas a partir de (I.1) y (I.3), son:
1tx x (I.30)
1
1
1
X t X
Y tY
Z t Z
(I.31)
Caras a través del origen. Cualquier plano i del block pyramid (BP), incluirá al origen.
Por lo tanto, 0iD , debido a que iD es la distancia perpendicular a partir del origen. Las
ecuaciones de un plano, (I.4) y (I.6), se simplifican a:
0ix n (I.32)
0i i iA X BY C Z (I.33)
5
Como se mencionó anteriormente, algunos términos no se traducirán, éste es uno de esos pocos casos.

36. 16
Donde , ,i i i iA B Cn es la normal al plano de discontinuidad i.
(0, 0, 0)
51e
12e
23e
45e
34e
1P
5P
4P
3P
2P
Figura I. 14. Block Pyramid (BP) 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5U U U L L
Descripción de 00
i iL y U . Cuando el plano i corta a través del origen, su medio-espacio
inferior
0
iL está determinado por (2.14), como:
0in x (I.34)
Ó 0i i iA X BY C Z (I.35)
Similarmente, el medio-espacio superior
0
iU del plano i está determinado por (1.16),
como:
0in x (I.36)
Ó 0i i iA X BY C Z (I.37)
Bordes de un block pyramid (BP). La normal al plano 1iP i a n es:
, ,i i i iA B Cn (I.38)
Siendo
0 0 0
1 2 ... nF F F el block pyramid correspondiente a un conjunto particular de
medios-espacios superiores como inferiores
00
i iL ó U , Cada par de índices de
0
F i y j i define un potencial vector de borde ijI .
ij i jI n n (I.39)
De acuerdo a la regla del producto cruz,
ji j i ijI n n I (I.40)

37. 17
Con un bloque de n caras piramidales ( n planos), el número total de posibles bordes es
igual a
2 2
2 nC n n.
De hecho, un block pyramid (BP) tiene menos bordes, los cuales se determinan de la
manera siguiente. Para ser un borde de un block pyramid
0 0 0
1 2 ... nF F F ,
, ,ij ij ij ijI X Y Z (I.41)
Debe satisfacer, para cada cara piramidal (m)
1m a n
,
0 0
0m ij m ij m ij m mA X B Y C Z cuando F U (I.42)a
0 0
0m ij m ij m ij m mA X B Y C Z cuando F U (I.42)b
Los vectores intersección ijI que satisface todas las n ecuaciones simultaneas de (I.42) son
verdaderos bordes del block pyramid (BP). No hay más de n soluciones. La secuencia de
estos bordes alrededor de la pirámide es determinada por la secuencia numérica de índices
(i, j) debido a que cada cara piramidal yace entre dos bordes que comparte un índice en
común. Por ejemplo, en la figura I.14 los bordes en orden son 12 51 45 34 23, , , yI I I I I .
ECUACIONES DE FUERZAS
El análisis vectorial facilita el análisis de estabilidad de bloque bajo el peso propio,
presiones hidrostáticas, fuerzas debido a los sistemas de contención, fuerzas de inercia,
fricción y cohesión.
Representación de una fuerza mediante un vector. Se representará, tanto la magnitud
como la dirección de una fuerza F, mediante el símbolo F . Sus componentes son sus
valores coordenados.
, ,X Y ZF (I.43)
La magnitud de F es:
2 2 2
X Y ZF (I.44)
Y la dirección de F está dada por:
^
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
X Y Z
f
X Y Z X Y Z X Y Z
(I.45)
La resultante de dos o más fuerzas. Una serie de fuerzas que se intersecan 1 2, ... nF F F
,
pueden ser reemplazadas mediante la resultante R;
1 1 1 1
, ,
n n n n
i i i i
i i i i
R X Y ZF
La figura I.15a muestra la solución gráfica para la suma en dos dimensiones.

38. 18
3F
1F 2F
4FR
1F
2F
4F 3F5F
b)a)
Figura I. 15. Fuerzas como vectores: a) la resultante de varias fuerzas, b) Equilibrio bajo varias fuerzas
El equilibrio de fuerzas. Si el sistema de n fuerzas 1 2, ... nF F F están en equilibrio, su
resultante R tiene una magnitud de cero (figura I.15b), por lo tanto:
1
0
n
i
i
F (I.46)
Ó
1
, , 0
n
i i i
i
X Y Z (I.47)
Fuerzas de fricción. La fricción provee una fuerza resistente que se opone a la dirección de
movimiento o al movimiento incipiente. Al primer término se le denominará “dirección de
deslizamiento s”. Por lo tanto, la dirección de todas las fuerzas de fricción es s . Siendo
B, un potencial bloque de roca deslizable y supóngase que , 1,...,iN i n son las magnitudes
de las fuerzas de reacción normales, de cada cara de deslizamiento , 1...iP i n de B.
Entonces la fuerza resultante de fricción es:
1
tan
n
f i i
i
N sR (I.48)
Donde i es el ángulo de fricción para la dirección de deslizamiento s en la cara i.
La Gravedad y otras fuerzas en el cuerpo. La gravedad actúa vagamente y su fuerza es
proporcional a la masa. Su dirección está dirigida verticalmente hacia abajo z . Las
fuerzas de inercia actúan en dirección opuesta a la aceleración aplicada y también son
proporcionales a la masa. Si el peso de un bloque es W, la fuerza de inercia del bloque que
es acelerado por k g a es:
I kW aF (I.49)

39. 19
Donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Si la dirección de aceleración a
es incierta, la sumatoria de IF con otras fuerzas conocidas producen un cono circular en el
espacio que contiene a todas las posibles resultantes.
Fuerza hidrostática y fuerzas cohesivas. La integración de la presión debida al agua
2
FL actuando sobre la cara de un bloque produce una fuerza en la dirección de la
normal (dirigida hacia el interior) del bloque. La cohesión 2
FL produce una resistencia
adicional al movimiento. Si la cohesión es constante sobre una cara, la fuerza total es
calculada con el área conocida de la cara. El procedimiento para calcular el área de
cualquier cara de un bloque poliédrico fue dado con anterioridad en este capítulo.
Las presiones debidas al agua en roca, producidas por estructuras hidráulicas (presas, etc.)
tienen a variar con el tiempo. Supóngase que iP representa a las caras de un bloque
poliédrico, cada una con área iA y un vector normal (dirigido hacia el interior) in . Entonces
la resultante wr de todas las fuerzas hidráulicas es:
1
n
w i i
i
S nr (I.50)
Donde iS es la integral de la presión debida al agua actuando sobre la cara i. En muchos
casos es suficientemente preciso el sustituir:
i i iS P A (I.51)
Donde iP es la presión debido al agua actuando en el centroide de la cara i.
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES DE DESLIZAMIENTO
La dirección del movimiento incipiente de un bloque es determinado por el modo de falla.
El levantamiento ó desprendimiento ocurre cuando un bloque pierde su contacto inicial
roca/roca en todas las caras para moverse hacia el espacio libre. El deslizamiento puede
ocurrir en cualquier cara o en dos caras no paralelas a lo largo de su línea de intersección.
Levantamiento o Desprendimiento. La acción de las presiones hidráulicas, del empuje
estructural o de la fuerza de inercia, puede “botar” a un bloque como se muestra en la figura
I.16. Si el bloque existe en el techo, puede caer bajo la acción única de la gravedad. En
ambos casos, la dirección del movimiento inicial del bloque coincide con la dirección r
de la fuerza resultante (R) actuando en el bloque.
s r (I.52)

40. 20
Figura I. 16. Levantamiento o desprendimiento
Deslizamiento en una cara. Un bloque puede tender a deslizarse a lo largo sólo una de sus
caras, como se muestra en la figura I.17. En este caso la dirección de deslizamiento inicial
es paralela a la dirección de la proyección ortográfica de la fuerza resultante (r) en el plano
de deslizamiento iP . Denotándose la normal al plano de deslizamiento mediante in . La
proyección de r se encuentra a lo largo de la línea de intersección del plano i y un plano
común a r y in .
s
Figura I. 17. Deslizamiento en una cara
Por lo tanto, la dirección de deslizamiento s es:
i is n nr (I.53)
Donde el símbolo significa “está en la misma dirección a”. El doble uso del producto
cruz está justificado en la figura I.18.

41. 21
R
iP
ni sxh
n x R^
=h
n^
i
Figura I. 18. Dirección de deslizamiento bajo el modo de deslizamiento en una cara
Deslizamiento en dos planos simultáneamente. Si un bloque se desliza en dos caras no
paralelas simultáneamente (figura I.19), la dirección de deslizamiento es paralela a su línea
de intersección. Siendo 1 2yn n los vectores normales a cada cara de deslizamiento
1 2P y P . La dirección de deslizamiento (s) es uno de los dos, la misma que 1 2n n o su
opuesto 1 2n n . La actual dirección de deslizamiento es aquella que tiene el menor
ángulo (i.e. menor a 90º) con r (figura I.20). Siendo signo(f) +1 si f es positivo, -1 si f es
negativo y 0 si f es cero. Entonces la dirección (s) de deslizamiento a lo largo de la
intersección de los planos i y j es:
i j i js signo n n r n n (I.54)
La dirección de deslizamiento bajo la fuerza resultante debido a la gravedad
únicamente. El análisis de la estabilidad de bloques bajo la acción única del peso propio es
examinado como un caso especial. Sin otras fuerzas, la fuerza resultante en el bloque es:
0, 0, Wr (I.55)
Donde W es el peso del bloque (W > 0).
Para el desprendimiento de un bloque, la dirección de deslizamiento debe ser, por lo tanto:
0, 0,s W (I.56)
Figura I. 20. Deslizamiento en dos caras
n2n1 x
s n2n1 x R
n1
n2
Figura I. 19. Dirección de deslizamiento para el
modo de deslizamiento en dos caras

42. 22
Para el deslizamiento en una cara iP , debemos sustituir r de (I.55) junto con,
, ,i i i in A B C
En (I.53). Obteniendo:
, , 0
0 0
i i i i i i
x y z
n A B C W B A
W
r
y 0i i i i
i i i
x y z
n r n B W AW
A B C
Por lo tanto:
2 2
, ,i i i i i is W A C B C A B (I.57)
Para deslizamiento simultáneo en los planos i y j, se sustituye en (I.54):
i j i i i
i i i
x y z
n n A B C
A B C
Dando,
, ,j i i j i j j i j i i i i j j is signo A B AB BC B C A C AC AB A B (I.58)
EJEMPLOS
Ejemplo I.1. La ecuación de un plano
Considérese un plano con echado 30º y dirección del echado 320º . El plano
pasa a través del punto 1, 2, 1 . La ecuación del plano es:
AX BY CZ D
A partir de (I.7), cos
cos
A sen sen
B sen
C
Debido a que 1, 2, 1 , se encuentra en este plano, satisface su ecuación, por lo tanto,
2A B C D
Sustituyendo los valores de A, B y C, se obtiene que 1.31068D (Recordar que D es la
longitud de una línea perpendicular al plano, nacida en el origen). Conociendo lo anterior,
se tiene que la ecuación del plano P es:
0.32139 0.38302 0.86607 1.31068X Y Z

43. 23
Ejemplo I.2. La intersección de un plano y una línea
Considérese al plano P, cuya ecuación es: 2 3 4X Y Z y una línea recta pasa a través
de 0 0 0, , 1, 1, 2X Y Z en dirección 1 1 1, , 2, 2, 3X Y Z . Resolviendo la ecuación (I.3);
0 1
0 1
0 1
1 2
1 2
2 3
X X t X X t
Y Y tY Y t Ecuación de una línea
Z Z t Z Z t
El punto de intersección de la línea en el plano, se encuentra utilizando (I.9) y sustituyendo
los siguientes valores.
0 0 1 0 0 1 0 0 1X X t X Y Y t Y Z Z t Z
(Vector radio cuya punta se encuentra en el punto descrito por , ,X Y Z y que parte desde el
origen al punto de intersección de la línea y el plano.)
Y donde:
0 1
0 1
0 1
2 1 2
3 1 2
1 2 3
4
A X X
B Y Y
C Z Z
D
0
0
0
1 2
1 2
2 3
X t
Y t
Z t
A partir de (I.8),
0 0 0
0
1 1 1
0 1
D A X BY X Z
t t
A X BY C Z
t t
; Sustituyendo,
3
1
1
X
Y
Z
Ejemplo I.3. El vector de intersección de 2 planos
Asúmase que: 1 1 1
2 2 2
: 20º, 280º
: 60º, 150º
P
P
A partir de (I.7) sus vectores unitarios normales 1 2n y n son:
1 20.336824,0.059391,0.939693 0.433013, 0.7500,0.5000n n
El vector 2112 n nI es paralelo a la línea de intersección de 1 2P y P . A partir de (I.12),
2112 0.3368 0.0594 0.9397 0.7345,0.5753,0.2269
0.43301 0.7500 0.5000
x y z
n nI
Ejemplo I.4. Un tetraedro creado por los planos 1 2 3 4, ,P P P y P
Asúmase que un tetraedro es la región común de las intersecciones de 1 2 3 4, ,L L L y U , donde
1 2 3, ,L L L son los medios-espacios debajo de los planos 1, 2, y 3; y 4U es el medio-espacio
arriba del plano 4. Estos planos están definidos por los siguientes valores:

44. 24
Plano α β
1 45 90
2 45 330
3 45 210
4 0 90
Tabla I.1.- Datos geométricos de los planos de discontinuidades
Los vectores unitarios normales a cada plano son:
1 2
3 4
0.7071,0.0000,0.7071 0.3536,0.6124,0.7071
0.3536, 0.6124,0.7071 0.0000,0.0000, 1.0000
n n
n n
Obteniendo las ecuaciones que describen un medio-espacio, utilizando (I.14) ó (I.16),
según sea el caso:
1
2
3
4
0.7071 0.0000 0.7071 0.7071
0.3536 0.6124 0.7071 0.7071
0.3536 0.6124 0.7071 0.7071
0 0 1 0
L X Y Z
L X Y Z
L X Y Z
U X Y Z
Ahora, se debe calcular las coordenadas de cada esquina ijkC del bloque (I.13). 123C es el
punto de intersección de los planos 1, 2 y 3. Este punto es encontrado mediante la solución
simultánea de:
0.7071 0.0000 0.7071 0.7071
0.3536 0.6124 0.7071 0.7071
0.3536 0.6124 0.7071 0.7071
X Y Z
X Y Z
X Y Z
Cuya solución es 1230,0,1 0,0,1C .
Similarmente, 124C es el punto de intersección de los planos 1, 2 y 4; resolviendo
simultáneamente sus correspondientes ecuaciones obtenemos;
124 0,1.73204,0C
Realizando lo mismo con las otras esquinas,
134
234
1,1.73204,0
2,0,1
C
C
En este caso particular, con únicamente 4 planos, el bloque tiene exactamente 4 esquinas,
por lo que no es necesario hacer una “prueba de selección” (como se describe en el
apartado, volumen, bordes y esquinas de bloques poliédricos con n caras, inciso 3 y 4).
El volumen del bloque puede ser calculado mediante las coordenadas de
123 124 134 234, ,C C C y C y (2.21):

45. 25
1 1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
1 1 0 0
1 1 1 1.732 01 10.3920
det
1 1 1 1.732 06 6
1 1 2 0 0
1.7320
X Y Z Z
X Y Z
V
X Y Z
X Y Z
V
Ejemplo I.5. El área de cada cara
Continúese considerando el tetraedro del ejemplo I.4. El área de la cara en el plano 1, es el
área del triángulo con esquinas ijkC que comparten el subíndice 1. Estas esquinas son
123 124 134, ,C C C . De acuerdo a (I.23). El procedimiento para realizarlo es:
De las esquinas reales, vea cuales comparten un subíndice
Acomódese en orden ascendente, por ejemplo, si se tiene 123 134 124, , ,C C C acomódelos
de la siguiente manera 123 124 134, ,C C C
.
El vector a será igual a 123 124 123 134C C y C Ca b
La resta se realizará como: 124 123 134 124C C y C Ca b , es decir (en subíndices) el
mayor menos el menor.
124 123
134 123
, ,
, ,
a a a
b b b
C C X Y Z
C C X Y Z
a
a
Calcúlese el área de cada cara mediante:
1
2 2 2 2
1
2
a a a a a a
i
b b b b b b
Y Z X Z X Y
A
Y Z X Z X Y
a b 6
Para 1A
123 124 124 123
123 134 134 123
1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 , ,
1, 1.732,0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 , ,
a a a
b b b
C C C C X Y Z
C C C C X Y Z
a
b
1
2 2 2 2
1
1
1.7320 1 1 1 1 1.73201
1.7320 1 1 1 1 1.73202
2.4494
A
A
a b
Para el área 2A de la cara en el plano 2, es el área triangular entre aquellas esquinas que
comparten el subíndice 2; es decir; 123 124 234, ,C C C .
123 124 124 123
123 234 234 123
1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1
2,0,0 0, 0, 1 2,0, 1
C C C C
C C C C
a
b
6
En realidad, está no es la nomenclatura utilizada en el texto ecuación (2.23), pero el autor cree que es más
fácil entender el concepto, de esta manera.

46. 26
1
2 2 2 2
2
2
1.7320 1 1 1 1 1.73201
0 1 2 1 2 02
2.4494
A
A
a b
El área 3A de la cara en el plano 3, es el área triangular entre 123 134 234,C C y C .
123 134 134 123
123 234 234 123
1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1
2,0,0 0, 0, 1 2,0, 1
C C C C
C C C C
a
b
1
2 2 2 2
3
3
1.7320 1 1 1 1 1.73201
0 1 2 1 2 02
2.4494
A
A
a b
Y finalmente, 4A es el área triangular bajo 124 134 234,C C y C
124 134 134 124
124 234 234 124
1, 1.732, 0 1, 1.732, 0 0, 3.4640, 0
2,0,0 1, 1.732, 0 3,1.7320,0
C C C C
C C C C
a
b
1
2 2 2 2
4
4
3.4640 0 0 0 0 3.46401
1.7320 0 3 0 3 1.73202
5.1960
A
A
a b
Figura I.21. Isométrico del bloque
Ejemplo I.6. El ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores 1 2n y n ,
1 1 1 1
2 2 2 2
, , 9, 8, 7
, , 1, 2, 1
n X Y Z
n X Y Z
EL ángulo existente entre 1 2n y n , puede calcularse mediante (I.25).

47. 27
1 2
1 2
cos
n n
n n
1 2
0.52 2 2
1
0.52 2 2
2
9, 8, 7 1, 2, 1 9 16 7 32
9 8 7 13.9284
1 2 1 2.4495
n n
n
n
32
cos 0.937932 20.2929º
2.4495 13.9284
Ejemplo I.7. El ángulo entre dos planos
Dado 1 2: 30º 320º : 50º 160ºP y P . Calcúlese el ángulo entre los dos planos.
Como se explicó en el cuerpo del texto, el ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus
normales, por lo tanto, primero se debe de obtener los vectores normales 1 2n y n .
1 20.321394, 0.383022, 0.866025 0.262003, 0.719846, 0.642788n n
Y utilizando (I.25) o (I.26), obténgase
1 2
1 2
0.321394, 0.383022, 0.866025 0.262003, 0.719846, 0.642788 0.196746
0.890737 0.99
n n
n n
0.1968
cos 0.22095
0.8907 0.99
77.24º
Ejemplo I.8. El ángulo entre un plano iP y su vector v
Dada un plano P con 30º, 320º , y un vector 1, 2, 1v .Utilizando (I.7), calcúlese
la normal n del plano P.
0.3214, 0.3830, 0.8660n
El ángulo entre n y v es calculado mediante (1.26).
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
0.3214 1 0.3830 2 0.8660 1
cos
0.3214 0.3830 0.8660 1 2 1
X X Y Y Z Z
X Y Z X Y Z
cos 0.535306
57.6353º
Sin embargo, el ángulo es el complemento del ángulo deseado, el cual es el existente
entre v y P,
90º 32.349º

48. 28
Ejemplo I.9. Encontrar el block pyramid (BP) con 4 planos
Dados 4 planos. Calcular el block pyramid (BP) creado por la intersección de los medios-
espacios 1 2 3 4, ,U L L y U .
Planos α β
1P 30 90
2P 40 320
3P 50 190
4P 10 80
Tabla I.2.- Datos geométricos de los planos
Utilizando (I.7), se calcularán los vectores unitarios de estos planos.
1 2
3 4
0.5000, 0.0000, 0.8660 0.4132, 0.4924, 0.7660
0.1330, 0.7544, 0.6428 0.17101, 0.030154, 0.9848
n n
n n
Las ecuaciones de los planos 1 2 3 4, ,P P P y P en el block pyramid (BP) son:
1
2
3
4
: 0.5 0 0.8660 0
: 0.4132 0.4924 0.7660 0
: 0.1330 0.7544 0.6428 0
: 0.1710 0.0302 0.9848 0
P X Y Z
P X Y Z
P X Y Z
P X Y Z
Los términos a la derecha del signo igual, son cero porque los planos 1 2 3 4, ,P P P y P pasan a
través del origen 0, 0, 0 .
Las ecuaciones de los medios-espacios 1 2 3 4, ,U L L y U son:
1
2
3
4
: 0.5 0 0.8660 0
: 0.4132 0.4924 0.7660 0
: 0.1330 0.7544 0.6428 0
: 0.1710 0.0302 0.9848 0
U X Y Z
L X Y Z
L X Y Z
U X Y Z
a)
b)
c)
d)
Calculando todos los vectores de intersección:
1 2 , 1,2,3,4ijI n n i j i j

49. 29
12
12
0.5 0 0.8660 0 0.7660 0.4132 0.8660 ,
0.4132 0.4924 0.7660
0.4132 0.8660 0.5 0.7660 ,
0.5 0.7660 0.4132 0.8660
0.4264, 0.7408, 0.2462
x y z
I
I
13 0.5 0 0.8660 0.6533, 0.4366, 0.3772
0.1330 0.7544 0.6428
x y z
I
14 0.5 0 0.8660 0.0262, 0.3443, 0.0151
0.1710 0.0302 0.9848
x y z
I
23 0.4132 0.4924 0.7660 0.8944, 0.1637, 0.3772
0.1330 0.7544 0.6428
x y z
I
24 0.4132 0.4924 0.7660 0.4618, 0.5379, 0.0967
0.1710 0.03015 0.9848
x y z
I
34 0.1330 0.7544 0.6428 0.7623, 0.2409, 0.1250
0.1710 0.03015 0.9848
x y z
I
Finalmente, se prueban todos los vectores de intersección,
12 13 14 23 24 34, , , , yI I I I I I , uno a uno, sustituyendo las coordenadas
, ,ij X Y ZI en las ecuaciones a), b), c) y d) simultáneamente.

50. 30
Para 12I
0.5 0.42643 0 0.74084 0.8660 0.2462 0.00006 0 0
0.41317 0.42643 0.4924 0.74084 0.7660 0.2462 0.00002 0 0
0.13302 0.42643 0.75440 0.74084 0.64278 0.2462 0.7739 0
0.17
ok cumple
ok cumple
no NO cumple
a)
b)
c)
d) 101 0.42643 0.030153 0.74084 0.98480 0.2462 0.1472 0 ok cumple
Para 12I
0.00000087 0 0
0.0000025 0 0
0.7738 0
0.1472 0
ok
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 13I
0.0000023 0 0
0.7739 0
0.00000092 0 0
0.27291 0
ok
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 13I
0.0000023 0 0
0.7739 0
0.00000092 0 0
0.27291 0
ok
no
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 14I
0.00000012 0 0
0.1472 0
0.2729 0
0.00000025 0 0
ok
ok
no
ok
a)
b)
c)
d)
Para 14I
0.00000012 0 0
0.1472 0
0.2729 0
0.00000025 0 0
ok
no
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 23I
0.7739 0
0.0000011 0 0
0.00000067 0 0
0.5294 0
ok
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 23I
0.7739 0
0.0000011 0 0
0.00000067 0 0
0.5294 0
no
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 24I
0.1472 0
0.0000033 0 0
0.5294 0
0.00000043 0 0
no
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 24I
0.1472 0
0.0000033 0 0
0.5294 0
0.00000043 0 0
no
ok
no
ok
a)
b)
c)
d)
Para 34I
0.2729 0
0.5294 0
0000013 0 0
0.00000012 0 0
no
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 34I
0.2729 0
0.5294 0
0000013 0 0
0.00000012 0 0
ok
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Como se puede observar los vectores de intersección que satisfacen simultáneamente todas
las desigualdades a), b), c) y d), son 23 24 34, yI I I .
Por lo tanto el joint pyramid (JP) creado por 1 2 3 4, ,U L L y U tiene únicamente 3 bordes y
son:

51. 31
23
24
34
, 0.8444,0.1637,0.37720
0.4618,0.53790, 0.0967
0.7623, 0.2409, 0.1250
I
I
I
Estos 3 “vectores de borde”, definen completamente el correspondiente joint pyramid.
Ejemplo I.10. Determinación de que un block pyramid (BP) está “vacío”
En los siguientes capítulos se aprenderá que un block pyramid (BP) “vacío” (i.e. sin bordes
en el espacio), significa que la intersección de esto medios-espacios, siempre crean un
bloque finito. El método de este ejemplo será utilizado frecuentemente para juzgar la
finitud de los bloques de roca.
Dados 4 planos, 1 2 3 4, ,P P P y P cuyas características son (mismos planos del ejemplo I.9):
Planos Α β
1P 30 90
2P 40 320
3P 50 190
4P 10 80
Al igual que en el ejemplo I.9, se calcula el block pyramid (BP) que se crea por
1 2 3 4, ,L L L y U ; es decir:
1 2
3 4
0.5000, 0.0000, 0.8660 0.4132, 0.4924, 0.7660
0.1330, 0.7544, 0.6428 0.17101, 0.030154, 0.9848
n n
n n
Las ecuaciones de los planos 1 2 3 4, ,P P P y P en el block pyramid (BP) son:
1
2
3
4
: 0.5 0 0.8660 0
: 0.4132 0.4924 0.7660 0
: 0.1330 0.7544 0.6428 0
: 0.1710 0.0302 0.9848 0
P X Y Z
P X Y Z
P X Y Z
P X Y Z
Las ecuaciones de medios-espacios 1 2 3 4, ,L L L y U , son:
1
2
3
4
: 0.5 0 0.8660 0
: 0.4132 0.4924 0.7660 0
: 0.1330 0.7544 0.6428 0
: 0.1710 0.0302 0.9848 0
L X Y Z
L X Y Z
L X Y Z
U X Y Z
a)
b)
c)
d)
Calculando todos los vectores de intersección. (Son los mismos del ejemplo I.9)

52. 32
1 2 , 1,2,3,4ijI n n i j i j
12
13
14
23
24
34
0.4264, 0.7408, 0.2462
0.6533, 0.4366, 0.3772
0.0262, 0.3443, 0.0151
0.8944, 0.1637, 0.3772
0.4618, 0.5379, 0.0967
0.7623, 0.2409, 0.1250
I
I
I
I
I
I
Finalmente, se prueban todos los vectores 12 13 14 23 24 34, , , , yI I I I I I , uno a uno,
sustituyendo las coordenadas de , ,ij X Y ZI en las ecuaciones a), b), c) y d)
simultáneamente.
Para 12I
0 0
0 0
0.7738 0
0.1472 0
ok
ok
no
ok
a)
b)
c)
d)
Para 12I
0 0
0 0
0.7738 0
0.1472 0
ok
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 13I
0 0
0.7739 0
0 0
0.2729 0
ok
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 13I
0 0
0.7739 0
0 0
0.2729 0
ok
no
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 14I
0 0
0.1471 0
0.2729 0
0 0
ok
ok
no
ok
a)
b)
c)
d)
Para 14I
0 0
0.1471 0
0.2729 0
0 0
ok
no
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 23I
0.7739 0
0 0
0 0
0.5294 0
no
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)
Para 23I
0.7739 0
0 0
0 0
0.5294 0
ok
ok
ok
no
a)
b)
c)
d)
Para 24I
0.1472 0
0 0
0.5294 0
0 0
no
ok
ok
ok
a)
b)
c)
d)

53. 33
24Para
0.1472 0
0 0
0.5294 0
0 0
ok
ok
no
ok
I
a)
b)
c)
d)
34Para
0.2729 0
0.5293 0
0 0
0 0
ok
no
ok
ok
I
a)
b)
c)
d)
34Para
0.2729 0
0.5293 0
0 0
0 0
no
ok
ok
ok
I
a)
b)
c)
d)
Como se aprecia, ninguno de los vectores ijI satisfacen simultáneamente las ecuaciones a), b),
c) y d). Por lo tanto, el block pyramid (BP) formado por 1 2 3 4, ,L L L y U , no tiene bordes, así, a
dicha pirámide se le denomina “Vacía o Empty”.
Ejemplo I.11. Cálculo de la resultante de fuerzas
Supóngase que hay tres fuerzas actuando en un bloque de roca,
por el peso propio 0, 0, 5
por el agua 4, 1, 0
por la inercia 2, 2, 1
w
p
e
Entonces la fuerza resultante r de las fuerzas w, p, y e, es:
6, 3, 4
r w p e
r
Ejemplo I.12. Cálculo de la dirección de deslizamiento por desprendimiento/levantamiento
Asúmase conocida la fuerza resultante que tiende a causar desprendimiento/levantamiento.
Supóngase que la resultante r es:
0, 3, 4r
Entonces a partir de (I.52):
0.52 2 2
0 3 4 5
0 3 4
, ,
5 5 5
r
s r r
r
0, 0.6, 0.8s r

54. 34
Ejemplo I.13. Cálculo de la dirección de deslizamiento para el caso de deslizamiento en una
cara
Supóngase que la resultante es:
1, 2, 1r
El plano de deslizamiento es P, con 50º, 290º .
El vector unitario del plano P es:
^
0.7198,0.2620,0.6428n
De la ecuación (I.53), sabemos que la dirección de deslizamiento del vector unitario ^
s es:
^ ^
s n nr
0.7198 0.2620 0.6428 1.0236, 1.3626, 1.7016
1 2 1
x y z
n r
1.0236 1.3626 1.7016 1.3217, 1.8828, 0.7126
0.7198 0.2620 0.6428
x y z
n nr
s es el vector unitario de n nr , por lo tanto:
1.3217 1.8828 0.7126
, ,
2.4082 2.4082 2.4082
0.5488, 0.7818, 0.2959
n n
s
n n
s
r
r
Ejemplo I.14. Cálculo de la dirección de deslizamiento para el caso de deslizamiento
simultáneo en dos caras
Supóngase que las caras donde ocurre el deslizamiento son los planos 1 2P y P . Las orientaciones
de estas caras están dadas por,
1 1 1
2 2 2
: 20º, 280º
: 60º, 150º
P
P
La fuerza resultante está dada como: 0, 1, 1r

55. 35
Los vectores unitarios de los planos 1 2P y P son:
1
2
0.3368, 0.0594, 0.9397
0.4330, 0.7500, 0.5000
n
n
De la ecuación (I.54) se sabe que el vector unitario de la dirección de deslizamiento s es:
1 2 1 2s signo n n n nr
Ys es calculado de la siguiente manera
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
0.3368 0.0594 0.9397 0.7345, 0.5753, 0.2269
0.4330 0.7500 0.5000
0.3484
1
0.7345, 0.5753, 0.2229
x y z
n n
n n
signo n n
signo n n n n
r
r
r
s es el vector unitario de: 1 2 1 2signo n n n nr ; por lo tanto:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 0.9602
0.7345 0.5753 0.2269
, ,
0.9602 0.9602 0.9602
0.7650, 0.5992, 0.2363
signo n n n n
s
signo n n n n
signo n n n n
s
s
r
r
r

56. 36
Capítulo II
El Uso de las Proyecciones Hemisféricas
La inteligencia es como un río: cuanto más profunda, menos ruidosa.
Desconocido
ENFOQUE TRADICIONAL
Introducción
a proyección hemisférica es un método gráfico; en donde los datos con una
orientación tridimensional pueden ser representados y analizados en dos
dimensiones en una hoja de papel. El método es comúnmente conocido como
proyección estereográfica, el cual literalmente significa “proyección de sólidos o dibujos
tridimensionales”. La proyección hemisférica es ampliamente utilizada en estudios de
mecánica de rocas para analizar discontinuidades; como son: fracturas, fallas y fisuras; que
ocurren en varias orientaciones dentro del macizo rocoso; tales análisis pueden incluir no
solamente la recolección y agrupamiento de datos; sino además la determinación de la
estabilidad de bloques rocosos.
Los métodos de proyección hemisférica son de gran valor en los estudios de mecánica de
rocas porque presentan los datos estructurales como una representación gráfica más allá de
la mera abstracción matemática.
El uso del análisis vectorial para describir y analizar bloques permite soluciones rápidas
para problemas reales a través del uso de computadoras, o de programas computacionales
comerciales. Un método de solución alternativo incorporando las proyecciones
estereográficas es presentado en este capítulo. Las técnicas discutidas en este capítulo
pueden ser utilizadas completamente para obtener una solución y servir como un sustituto
de la teoría previamente presentada. Aunque, estas soluciones pueden ser adoptadas como
un complemento del análisis vectorial para proveer una solución semi-gráfica. El uso de
gráficos para examinar las relaciones geométricas en las proyecciones en cualquier etapa de
cálculo ofrece una percepción más clara de las relaciones geométricas y físicas.
Aunque, la mayoría de la información esencial está disponible en la literatura, será repetida
aquí, pero la mayoría de la información es nueva. El hilo que conecta las secciones de este
capítulo es que los procedimientos de proyección estereográfica pueden ser refinados y
mejorados mediante el uso de pequeños y fáciles cálculos.
TIPOS DE PROYECCIONES
Las proyecciones pueden ser organizadas en dos grupos, paralelas y perspectivas. La bien
conocida proyección ortográfica pertenece al primer grupo, en la cual las líneas de
construcción transfieren los puntos del objeto a la superficie de proyección. La segunda
clase de técnica de proyección -en la cual la proyección estereográfica es un ejemplo-
coloca todas las líneas de construcción juntas en uno o más puntos detrás de la superficie de
proyección.
L

57. 37
PROYECCIÓN DE DISTANCIAS
ORTOGRÁFICA: Un ejemplo de la proyección ortográfica de un objeto tridimensional se
da en la figura II.1. Esta técnica es probablemente la base de la mayoría de los dibujos
ingenieriles. Las líneas y planos definiendo un objeto son transferidos al dibujo mediante
rayos dibujados perpendicularmente al plano de proyección. En la figura II.1, un bloque
poliédrico es determinado en tamaño, forma y posición por tres planos de proyección
ortográficos (vistas).
D
B
A
C
1 2
6
7
8
9
4
3
A
A
A A
SUPERFICIE "A"
B
SUPERFICIE "B"
B
B B
SUPERFICIE "C"
C
C
C
C
SUPERFICIE "D"
D
D
D
D
1 2
6, 7 5 4, 3
1, 9
6, 7 5, 2
7 8, 9
4, 3
5, 6 2
34
8, 7 9
SUPERIOR
ENFRENTE
LADO DERECHO
Figura II. 1. Proyección ortográfica de un objeto tridimensional utilizando múltiples vistas
OBLICUA: La figura II.2, muestra una técnica de proyección paralela en la cual los rayos
de construcción son oblicuos al plano de proyección. Este método prueba su utilidad
cuando se usa en conjunto con la proyección ortográfica, para proveer vistas inclinadas de
objetos.
PROYECCIóN
PLANO DE
LOS LÁPICES MUESTRAN LAS
DIRECCIONES DE PROYECCIÓN
OBLíCUA
ORTOGRÁFICA
Figura II.2. Proyección ortográfica y oblicua

58. 38
LA RED ESTEREOGRÁFICA
La red estereográfica es un nomograma que permite calcular valores angulares; constituye
un patrón de comparación, en el cual, se valoran las relaciones angulares entre planos,
entre rectas y entre planos y rectas. Los elementos geométricos susceptibles de ser
graficados en la proyección estereográfica (planos y rectas) tienen siempre, como lugar
común, el centro de la esfera. Las proyecciones estereográficas de planos o de rectas que
intersecan el hemisferio inferior de una esfera tienen como punto de vista el cenit de la
esfera y se obtienen al intersecar las rectas proyectantes con el plano de proyección ubicado
en el horizonte.
Para que la utilización de los datos geológicos resulte efectiva para un ingeniero depende de
su habilidad para comprenderlos, digerirlos e incorporarlos en su diseño.
En casos en que las características estructurales como las fallas, fisuras, etc. afectan la
estabilidad del macizo rocoso; la relación geométrica tridimensional entre las
características, el techo y las paredes de la excavación es muy importante ya que esta
relación es la que determina la posibilidad que tengan los bloques para caer o resbalar.
La mayoría de los geólogos se han familiarizado con el uso de proyecciones esféricas para
la representación y el análisis de la geología estructural, pero puede ser que muchos
ingenieros desconozcan esta técnica. Es para estos para quienes se reseñarán los principios
y usos de las proyecciones estereográficas. Además se presentará un método para la
construcción de vistas isométricas de las características estructurales. El uso del análisis
vectorial, para describir y analizar bloques, permite obtener soluciones rápidas de
problemas reales, a través del uso de las computadoras. Un método alternativo el cual
incorpora a la proyección estereográfica; se presenta en el siguiente capítulo.
Está técnica; puede ser utilizada por sí sola, para resolver completamente un problema de la
teoría de bloque, sin necesidad de incorporar al análisis vectorial. Sin embargo, es posible
utilizar ambas soluciones para proveer una solución semi-gráfica, y así ofrecer una
percepción más clara de las relaciones geométricas y físicas del problema.
Aunque el método de la proyección estereográfica puede ser tratado de la manera
convencional, como se muestra en el enfoque clásico; el método puede ser mejorado,
aplicando algunos cálculos iniciales. Así, el uso de la estereored no será requerido, aunque
se recomienda el aprender el enfoque tradicional, para tener mayor claridad y percepción.
Tipos de Proyecciones
Proyección Ortográfica
Esta técnica, es probablemente la base de la mayoría de los dibujos realizados por los
ingenieros. Las líneas y planos que definen a un objeto son transferidos al dibujo a través
de rayos dibujados perpendicularmente al plano de proyección.

59. 39
Proyección Ortográfica de Relaciones Angulares
A
A0R sen
R
B0
B
OA0 =R sen
a)
Figura II.3. Proyección ortográfica de una esfera de referencia a) Bases para la proyección
b) red de proyección de líneas de longitud y latitud
La proyección ortográfica puede se utilizada para mostrar las relaciones entre líneas y
planos en el espacio y además medir los ángulos existentes entre ellos. Imagínese una
infinidad de vectores unitarios, los cuales irradian de un punto central. El conjunto de
vectores unitarios producen una esfera y la punta de cada una de ellos, se localiza en un
punto específico en la superficie de la esfera.
La proyección ortográfica produce la vista en planta de un plano diametral de la esfera, a
través de la construcción de rayos (líneas) dirigidas perpendicularmente al plano diametral.
Así el vector unitario OA es proyectado al punto Ao. Una serie de planos inclinados con una
línea de intersección común a través del centro de la esfera crean una familia de grandes
círculos en la esfera de referencia. Esto se proyecta en el plano de proyección diametral
como una familia de curvas elípticas, como se muestra en la figura II.3.b. Estas líneas son
análogas a las líneas de longitud de un globo terráqueo. Los círculos pequeños de la esfera
de referencia que son generados a partir de una familia de conos alrededor del eje de los
grandes círculos, se proyectarán al plano diametral como líneas rectas (líneas de latitud),
como se muestra en la figura II.3.b.
La proyección ortográfica de una esfera es utilizada comúnmente en cartografía. Esta
técnica tiene la desventaja, que ángulos iguales pueden producir áreas con gran distorsión
entre si en la proyección. Además, debido al congestionamiento de las líneas de longitud
cerca de los bordes de la proyección, la medición de ángulos entre planos puede ser
inexacta. Una razón más para desechar la proyección ortográfica de la esfera para el
desarrollo de los gráficos utilizados en la Teoría de Bloque; es su falla para distinguir
puntos simétricos en los hemisferios superior e inferior. Por ejemplo, si la línea OA tiene
una inclinación α con la vertical superior o inferior, la distancia OAo a partir del centro de
la proyección a su representación gráfica, punto Ao, tendrá el mismo valor, R sen , donde
R es el radio de la esfera de referencia. Por lo tanto, una técnica de proyección perspectiva,
será requerida para diferenciar puntos simétricos en los hemisferios superior como inferior.

60. 40
Proyección de Áreas Iguales
Conocida también como proyección de Lambert o Schmidt, se produce de la manera
siguiente (observar simultáneamente el croquis anexo).
1. Un punto A sobre la superficie de la esfera se proyecta al punto B
trasladándolo en un arco centrado en el punto de contacto de la esfera y
de un plano horizontal sobre el que esta esfera descansa.
2. Se repite la operación con diversos puntos localizados por la intersección
del círculo de longitud y latitud de espaciamiento igual sobre la esfera, se
obtendrá una red de áreas iguales.
Figura II.4. Proyección de áreas iguales Figura II.5. Proyección ortográfica
Esta red tiene un diámetro más grande que la esfera y para reducir su diámetro al tamaño de
la esfera, se reduce el tamaño de cada punto en la red por 2 .
La ventaja de una proyección de áreas iguales es su homogeneidad, lo cual significa que un
ángulo producirá una proyección de área única (pero no, de forma única), esto es, el área de
su proyección es la misma en cualquier sitio de la esfera. Esta propiedad facilita las
operaciones estadísticas con línea. Sin embargo, los grandes y pequeños círculos en la
esfera, se proyectan con un radio de curvatura no circular (no cónico), lo que dificulta su
construcción geométrica.
Proyección de Ángulos Iguales ó de Wulff
La proyección C de un punto A que se encuentra sobre la superficie de la esfera se define
como el punto donde el plano horizontal que pasa por el centro de la esfera queda perforado
por una línea que va de A al cenit de la esfera. El cenit es el punto donde la esfera queda
perforada por su eje vertical.
A
B
Proyección de Área
Iguales

61. 41
O
B
F
B0
2
A0
R
A
OA = R0
tan 2
La figura II.6.a, presenta las bases de la proyección estereográfica, la cual será la técnica
utilizada para el desarrollo gráfico de la teoría de bloque. Considérese la línea OA inclinada
un ángulo α con respecto a la vertical. El punto A de esta línea, que corta a la esfera; se
proyectada a un plano horizontal (Ecuatorial) a través de la línea AF, donde el punto F, se
encuentra localizado en el nadir de la esfera.
El punto Ao, el cual representa la proyección estereográfica de la línea OA, se localiza a una
distancia tan
2
R del centro del plano de proyección. La figura II.6.b, muestra las familias
de grandes círculos y pequeños círculos que corresponden a las líneas de longitud y latitud.
Nótese, de la figura II.6.b que un ángulo dado, proyectará con diferentes áreas en diferentes
regiones de la esfera; esto es, la proyección no es homogénea. A este respecto, la calidad de
esta proyección, está en un punto intermedio entre la proyección ortográfica y la proyección
de áreas iguales.
Figura II.6. Proyección estereográfica de una esfera
de referencia a) Bases para la proyección b) Una red
de proyecciones de líneas de longitud y latitud
Comparado con la proyección ortográfica, los
métodos de proyección estereográfica y de
áreas iguales, producirán un único punto el
cual corresponde a una única dirección que
irradia del centro de la esfera. Por lo tanto no
hay confusión entre puntos simétricos que se encuentran en el hemisferio superior e
inferior.
La figura II.7, compara una proyección estereográfica con el punto focal en el cenit, y otra
proyección estereográfica con el punto focal en el nadir, sin importar que punto focal sea
escogido, el plano ecuatorial es proyectado como un círculo, al cual se denomina el círculo
de referencia. Todos los puntos en este círculo representan líneas horizontales.
0350
340
330
320
310
300
290
280
270260
250
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
9080
70
60
50
40
30
20
10

62. 42
0A
A
O A0
O
B
B0
A0
a) b)
d)c)
Dirección de
Observación
Círculo de
Referencia
Referencia
Círculo de
Norte
Norte
Dirección de
Observación
Figura II.7. Proyecciones estereográficas con el punto focal en la parte superior e inferior, de una línea y un
plano.
a.- Sección de la esfera de referencia b.- Plano de Proyección
c.- Sección de la esfera de referencia d.- Plano de Proyección
y b) dan la proyección con punto focal inferior de una línea
y d) dan la proyección con punto focal superior de una línea
Si el punto focal se encuentra en el nadir de la esfera de referencia, como se muestra en la
figura II.7.a, una línea OA que toca a la esfera en su mitad superior, se proyectará en un
punto, que se encuentra dentro del círculo de referencia. Figura II.7.b. Si la parte superior
de la esfera (cenit) es tomado como el punto focal, un punto como OB (figura II.7.c) que
toca a la esfera en su mitad inferior, se proyectará dentro del círculo de referencia, como se
muestra en la figura II.7.d.
Es de hacer notar, que en el uso de la teoría de bloque, se ha adoptado el uso de
proyecciones hemisféricas con el punto focal en el nadir, es decir, se utiliza el hemisferio
superior.
Ambos tipos de proyección (ángulos iguales y áreas iguales) se emplean para el análisis de
datos geológicos estructurales. En términos generales los geólogos prefieren la proyección
de áreas iguales ya que como lo indica su nombre, la red queda dividida en unidades de
áreas iguales, lo que permite la interpretación estadística de los datos estructurales. Los
ingenieros tienden a dar su preferencia a la proyección de ángulos iguales, ya que las
construcciones geométricas que se necesitan para dar solución a los problemas de
ingeniería son más sensibles y precisas de lograr con esta proyección que con la otra.

63. 43
Polo
Vertical
Gran Círculo
Las técnicas para el uso de estas proyecciones son idénticas y no habrá ninguna dificultad
para pasar de un sistema a otro. La única limitación que existe es que el mismo tipo de
proyección debe usarse durante todo un análisis determinado. El pretender analizar datos
originalmente marcados sobre una red de áreas iguales como si lo fueran en una red de
ángulos iguales o viceversa, resultará un completo fracaso.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UN PLANO Y SU POLO
Imagínese una esfera que se mueve libremente en el espacio y que pueda centrarse sobre un
plano inclinado como lo muestra la figura en la derecha. La intersección del plano y de la
superficie de la esfera es un gran círculo, mismo que está sombreado en la figura. Una
recta que pasa por el centro de la esfera,
perpendicularmente al plano, sale de la esfera en dos
puntos diametralmente opuestos que se llaman los
polos del gran círculo que representa el plano.
Debido a que la información que aparece tanto en la
parte superior como la inferior de la esfera es la
misma, no se necesita más que una sola hemiesfera
para la representación de los datos de geología
estructural. La figura anexa muestra el método de
construcción de la proyección estereográfica de un
gran círculo y su polo, la figura muestra la apariencia
de estas proyecciones. La inclinación y la orientación
de un plano inclinado se definen únicamente por el
gran círculo o por el polo del plano.
Figura II.7.a.- Vista lateral del concepto de polo y gran círculo
Generalmente se marcan los polos en el campo al recabarse los datos geológicos y los
grandes círculos correspondientes se usan por regla general cuando se analizan estos datos
para fines de ingeniería. Para ayudar a visualizar una proyección estereográfica de planos,
imagine un tazón (figura inferior), coloque la mano de tal manera que pase por el centro de
la hemiesfera e interseque la superficie interior del tazón. Desde este punto de vista, la
intersección de su mano con el tazón corresponde a una proyección estereográfica de su
mano.

64. 44
Cenit
Proyección
del gran círculo
Estereográfica
Gran Círculo
Polo
Gran Círculo
Figura II.7.b.- Vista lateral y en planta del concepto de polo y gran círculo
Mientras coloca la mano más inclinada, el trazo ciclográfico de su mano se acerca al centro
del tazón y comienza a parecerse a una línea recta. Y mientras su mano tiene una menor
inclinación, el trazo ciclográfico de su mano se acerca más al borde del tazón y comienza a
parecerse a un círculo.
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS GEOLÓGICOS
Un plano geológico inclinado se define por su inclinación con respecto a la horizontal,
denominado echado (dip o plunge) y por su orientación con respecto al Norte, lo que se
denomina rumbo o dirección del echado. La relación entre estos términos se ilustra en el
esquema siguiente:
N
Echado
Dirección del Echado a
b
Figura II.7.c.- Esquema ilustrativo del echado y dirección del echado
El rumbo de un plano es la traza de la intersección de este plano con una superficie
horizontal y la mayoría de los geólogos utilizan el término para definir la orientación de un
plano. Para eliminar toda ambigüedad posible cuando se habla de rumbo es necesario
definir la dirección en que se echa un plano. Por lo tanto, un plano queda totalmente
definido si se registra con un rumbo N 40º W y un echado de 20º SW. Si hubiera sido
reportado con un echado de 20º, no quedaría claro si se echa hacia el suroeste o el noroeste.

65. 45
Los geólogos utilizan varios convencionalismos para eliminar este problema al hablar de
echado y rumbo. El geólogo empleará aquella norma con la que se haya familiarizado más,
pero deberá tener en cuidado de incluir en sus notas la información suficiente para que
cualquier persona que trabaje con sus reportes sepa cual norma se ha empleado.
Los ingenieros geotécnistas, sobre todo aquellos que utilizan mucho las computadoras para
su análisis, han preferido emplear la dirección del echado más que la del rumbo como
manera para definir la orientación de los planos. Si la dirección del echado y el echado de
un plano se reportan como 240º/20º, no puede haber confusión sobre la orientación y a la
inclinación de ese plano y esa anotación es más concisa que la de rumbo y echado, factor
importante cuando se tiene que procesar grandes cantidades de datos geológicos por
computadora.
Además se muestran las normas que se utilizan en la proyección estereográfica sobre el
hemisferio de referencias inferior en relación con el echado, la dirección del echado y el
rumbo. Se notará que la dirección del echado siempre se mide en el sentido de las
manecillas del reloj a partir del norte y que la línea del rumbo se encuentra a 90º con
respecto a la dirección del echado de un plano.
EJEMPLOS DE CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
Construcción de un Gran Círculo para Representar un Plano
1) Considere un plano definido por una dirección de echado de 130º y un echado de
50º. Esto se puede anotar como 130º/50º.Como alternativa, el plano se define con
rumbo N 40º E y echado de 50º SE. El gran círculo que represente este plano se
construye de la siguiente manera:
10
20
30
40
50
60
70
80
90100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270280
290
300
310
320
330
340
350
0
W
130º
Figura II.7.d.- Obtención de un echado y rumbo determinado

66. 46
2) Se coloca un pedazo de papel de dibujo sobre la red meridiana por medio de un
alfiler de centro. Se marca el norte y el centro y la red sobre el papel de dibujo. Si se
tienen que realizar varios análisis estereográficos será útil tener a la mano una serie
de hojas de papel de dibujo en las que la circunferencia de la red, el norte y el centro
ya se encuentran marcados.
3) Se mide 130º en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte siguiendo la
circunferencia de la red y se marca este punto sobre el papel de dibujo. Como
alternativas se miden 40º y se marca la línea del rumbo, misma que se indica con
guiones en el esquema siguiente.
4) Se gira el papel de dibujo de 40º alrededor del alfiler central hasta que la marca de
130º queda sobre el eje oeste-este de la red, o sea hasta que esta marca coincida con
la marca de 90º de la red. Se cuentan 50º sobre el eje este-oeste, a partir de la
circunferencia de la red, y se traza el gran círculo de este punto.
El polo que representa el plano se localiza contando otros 90º sobre el eje oeste-este,
mientras la marca de los 130º sobre el papel de dibujo sigue alineada con este eje.
N
W
S
50°90°
Polo
EGran Círculo

67. 47
Figura II.7.e.- Obtención del polo
W
50°
90°
Polo
EGran Círculo
Figura II.7.f.- Representación del gran círculo y polo para una dirección dada
5) Se quita el papel de dibujo de la red que se colocará nuevamente con el norte a la
vertical. La proyección estereográfica del gran círculo y de su polo se verá
finalmente como lo muestra el esquema que sigue.

68. 48
Determinación de la Línea de Intersección de Dos Planos
N
W
S
E
250
130
Figura II.7.g.- Vista estereográfica de dos planos que intersecan entre sí
1) El plano definido por una dirección del echado y un echado de 130/50 ( o rumbo y
echado de N 40 E y 50 SE). Se quiere saber el buzamiento y la tendencia de la línea
de intersección de estos dos planos.
2) Vuélvase a colocar el papel de dibujo sobre la red con el alfiler de centro y mídase
250º en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte; gírese el papel de
dibujo otros 20º hasta que la marca de 250º que indica el papel coincida con la marca
de los 270º de la red.
3) Descuéntese 30 divisiones de grados a partir de la marca de 270º sobre la red hacia
adentro, rumbo al centro de la red. Trácese el gran círculo que se ubica en esta
posición. Cuéntese otros 90º sobre el eje oeste-este y márquese la posición del polo
del segundo plano. Gírese el papel de dibujo hasta que la intersección de los dos
grandes círculos, que define la línea del intersección de los dos planos, se encuentre