Segura 2009 -- dualidad en la teoría de consumidor
Segura 2004 -- leontief gams
1. El Modelo de Insumo-Producto de Leontief
como un Modelo de Equilibrio General:
Formalización & una Aplicación Básica
Instructor:
Eco. Juan Carlos Segura M.Sc.
jcsegura@lasalle.edu.co – juan.segura@escuelaing.edu.co
URL http://microeconomica.googlepages.com
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2. El Modelo de I-O de Leontief, como uno de Equilibrio General
Un Modelo de Equilibrio General Computable reúne un conjunto de ecuaciones de
comportamiento y de identidades que describen la conducta económica de los agentes
identificados y las restricciones tecnológicas e institucionales que enfrentan. La descripción de los
agentes es derivada de soluciones a problemas explícitos de optimización restringida que, se
supone, identifican el comportamiento de un agente representativo de cada componente de la
economía modelo: un hogar típico de características socioeconómicas o demográficas dadas; un
productor característico en un sector industrial dado; un importador/exportador típico. La
economía modelo, según el esquema de insumo-producto, que se presenta en lo que sigue
incorpora:
• Productores en cada una de las n industrias,
• Oferentes de cada uno de los m tipos de insumos (inputs) primarios, y
• Un único consumidor del producto final.
No hay comercio con el exterior. Existe un mapeo, una relación uno a uno, entre industrias y
bienes: la industria j produce únicamente el bien j y es el único productor de dicho bien.
Desde el punto de vista del Modelaje de Equilibrio General moderno, el modelo de insumo-
producto se construye suponiendo que los productores de la j-ésima industria son tomadores de
precios y que escogen insumos producidos (Xij) y factores primarios (Fkj) a fin de hacer mínima su
función de costes, Cj:
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3. n m
[E1.1.] C j = ∑ Pi X ij + ∑ Wk Fkj
i =1 k =1 j=1,…,n
sujetos a una función de producción de coeficientes fijos:
X
X F F
[E1.2.] X j = min 1j ,..., nj , ij ,..., mj j=1,…,n
A1j
A nj L ij L mj
El supuesto de competencia perfecta, pero más aún, el de rendimientos constantes a escala, permite
describir una situación en la que los productores no obtienen beneficios puros, es decir:
n m
[E1.3.] Pj X j = ∑ Pi X ij + ∑ Wk Fkj = C j
i =1 k =1 j=1,…,n
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4. La Figura a continuación ilustra los isocostos y las isocuantas para el caso de dos insumos producidos, X1j y X2j. Los
productores minimizadores de costes harán uso de la mínima cantidad posible de insumos en presencia de precios
positivos. Las funciones de demanda son independientes de los precios relativos de los insumos. Según se observa en
la ilustración sólo son óptimos los vértices de las isocuantas, sin importar cual sea la pendiente de los isocostos.
Resulta igualmente evidente la condición de rendimientos constantes a escala asumida en las funciones de
producción.
B
P1 X 1j + P2 X 2j = 2C J
A Xj = 2Xj
D2
Xj = Xj
D1
A B
16/03/2012 P1 X 1j + P2 X 2j = C J 4
5. La senda de expansión de la producción es la línea recta que, partiendo del origen, une
los vértices de las isocuantas. La escala de producción asociada a isocuantas sucesivas
corta la senda siendo proporcional a sus distancias respecto del origen.
La derivación de una relación entre producción y precios de los insumos supone utilizar
las ecuaciones [E1.1.] y [E1.2.] para eliminar las demandas por insumos del RHS de la
ecuación [E1.3.] lo cual da:
n m
[E1.4.] Pj X j = ∑ Pi A ij X j + ∑ Wk L kjX j j=1,…,n
i =1 k =1
al dividir por Xj se llega a una siguiente ecuación de precios. La eliminación de las Xj es
consecuencia de la condición de rendimientos constantes a escala (RCE) de acuerdo con
la cual, los costos unitarios son independientes de la escala de producción:
n m
Pj = ∑ Pi A ij + ∑ Wk L kj j=1,…,n
i =1 k =1
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6. En esta sencilla versión del modelo de Leontief, se describe el
lado de la producción de una economía
La economía modelo contiene n productores cada uno de los
cuales produce un único bien que puede ser utilizado por otras
industrias como input intermedio, o bien, absorbido por la
demanda final.
Los productores utilizan insumos intermedios y factores primarios
en sus procesos productivos.
El supuesto tecnológico subyacente consiste en que inputs
intermedios y factores se requieren en proporciones fijas. La
demanda final es exógena.
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7. Empezamos por establecer las ecuaciones de demanda por inputs intermedios:
[E1.5.] Xij = A i j X j i,j=1,…,n
[E1.6.] Fkj = L kjX j k=1,…,m; j=1,…,n
Xij: Nivel de insumo intermedio i utilizado por la industria j
Fkj: Nivel de Factor k utilizado por la industria j
Aij, Lkj: Coeficientes Técnicos que muestran las cantidades de insumo intermedio i y de
factor primario k requeridas por unidad de producción en la industria j
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8. Las ofertas de factores se pueden expresar como:
n
[E1.7.] Xi = ∑ X ij + Yi i=1,…,n
j=i
n
[E1.8.] Fk = ∑ Fkj k=1,…,m
j= i
Donde, como es usual:
Yi : Demanda Final por el bien i
Fki : Oferta o Empleo total del factor k
No hay demanda final por factores.
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9. Aún cuando los precios juegan un papel mínimo en el modelo, —no tienen efecto sobre
la demanda final—, es posible estableceruna ecuación de precios a la cual asociar la
producción; los precios se pueden obtener al asumir que son equivalentes a los costos
unitarios de producción, dados RCE:
n m
[E1.9.] Pj = ∑ Pi A ij + ∑ Wk L kj k=1,…,m; j=1,…,n
i =1 k =1
donde Pi y Wk son los precios de las mercancías finales y de los factores,
respectivamente.
En resumen, el sistema de ecuaciones [E1.5]-[E1.9] consta de (n2 + nm + 2n + m)
ecuaciones sobre las (n2 + nm + 3n + 2m) variables que se listan a continuación:
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10. Variable Descripción Orden
Xij Cantidad del bien i i,j=1,…,n
utilizado por la
industria j
Fkj Cantidad de factor k k=1,…,m
utilizado en la j=1,…,n
producción de la
industria j
Xj Producto Sectorial j=1,…,n
(Oferta Total)
Yj Demanda Final por el j=1,…,n
bien j
Pj Precio del Bien j j=1,…,n
Fk Oferta-Empleo Total k=1,…,m
del Factor k
Wk Precio del factor k k=1,…,m
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11. El cierre del modelo implica escoger variables exógenas tales que permitan
calcular:
• las ofertas de bienes y el empleo de factores primarios compatibles con el vector
Y de la demanda final, y
• un vector de precios de bienes compatible con un vector W dado de precios de
los factores primarios.
Al comparar el número de ecuaciones con el número de variables se observa que
se requieren (n+m) variables exógenas. A la luz de lo que se quiere calcular es
claro que las variables exógenas deben ser los n componentes del vector de
demanda final (Y) y los m componentes del vector de precios de los factores (W).
El modelo no incluye aspectos teóricos sobre la determinación de la demanda final
o los precios de los factores (son exógenos). Al fijar W en forma exógena se
asumen ofertas de factores perfectamente elásticas; no hay restricciones a la
oferta.
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12. La solución del modelo es sencilla. Primero se eliminan las demandas por inputs, Xij y Fkj
sustituyendo las ecuaciones [E1.5] y [E1.6] en las expresiones [E1.7] y [E1.8], es decir:
n
[E1.10] Xi = ∑ A ij X j + Yi
j =1
n
[E1.11] Fk = ∑ LkjX j
j =1
El modelo se condensa en tres bloques de ecuaciones {[E1.9], [E1.10] y [E1.11]} con
(2n+m) ecuaciones [1] sobre (3n+2m) variables[2]. Por ejemplo, en un modelo con
ocho industrias y cuatro factores primarios se tendrían en consideración 20 ecuaciones
en 32 [3] variables. El sistema, escrito en forma matricial, toma la siguiente forma:
[1] Pj = n ecuaciones; Xi = n ecuaciones, y Fk = m ecuaciones, en total, 2n+m
ecuaciones.
[2] Xi = n variables; Yj = n variables; Pi = n variables; Fk = m variables, y Wk = m
variables, en total, 3n+2m.
[3] Las doce variables adicionales son los ocho elementos del vector exógeno de
demanda final (Yi) y los cuatro exógenos del vector de precios de los factores (Wk)
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13. [E1.10’] X = AX + Y
[E1.11’] F = LX
[E1.9’] P' = P' A + W' L
De E1.10’ se obtienen las demandas por insumos intermedios:
X − AX = Y
(I − A)X = Y
[E1.12] X = (I − A)−1 Y
El ij-ésimo de la matriz inversa de Leontief, (I-A)-1 muestra la cantidad del bien i
requerido en forma directa e indirecta para generar una unidad de producto del bien j
con destino a la demanda final. Los requerimientos directos son capturados por los
coeficientes técnicos de la matriz A. Al hablar de requerimientos indirectos nos
referimos a la circunstancia según la cual insumos requeridos en forma directa en la
producción del bien j pueden requerir insumos del bien i, por ejemplo.
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14. Los niveles de empleo de factores, F, se obtienen de la sustitución de la ecuación [E1.12]
en [E1.10’], o sea:
[E1.13] F = L(I − A)−1 Y
El elemento kj de la matriz L(I-A)-1 muestra los uso directos e indirectos del factor k en la
satisfacción de una unidad de demanda final por el bien j.
La solución para el vector de precios es, a partir de la ecuación [E1.9’],
[E1.14] P' = W' L(I − A) −1
Esta ecuación muestra que los precios de los bienes son sumas ponderadas de los
precios de los factores donde los ponderadores contabilizan los requerimientos directos
e indirectos de los factores en la producción de los bienes.
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15. Finalmente, para comprobar que el modelo conforma la identidad del ingreso nacional,
se premultiplica [E1.13] por W’ y se posmultiplica [E1.14] por Y con lo cual:
[E1.15] W' F = W' L(I − A)−1 = P' Y
La parte izquierda de esta expresión es una medida de la producción nacional del lado del
ingreso; la parte derecha de la identidad es el ingreso nacional medido desde el lado del
gasto. El modelo se resume en tres bloques de ecuaciones que se resuelven en forma
simultanea para los datos tomados para el año base (ver Tabla I-O en el siguiente slide):
[E1.12] X = (I − A)−1 Y Demanda por bienes finales
[E1.16] [E1.13] F = L(I − A)−1 Y Demanda por factores
[E1.14] P' = W' (I − A)−1 Precios de los Bienes
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16. Una Aplicación Computable
Se ilustra la implementación numérica de un modelos sencillo de I-O a partir de una
agregación a ocho sectores de la Matriz de Contabilidad Social (SAM) del Distrito
Capital para 1994 que incluye 22 sectores. Los sectores resultantes de la agregación
son los siguientes:
• Agropecuario+Minería,
• Servicios Públicos,
• Bienes de Consumo,
• Bienes de Capital,
• Construcción,
• Comercio,
• Servicios Privados, y
• Servicios del Gobierno
Con esta definición se construye la matriz Xij de demandas por inputs intermedios;
las sumas verticales y horizontales dan los vectores de producción por industria Xj y
de oferta de bienes Xi, respectivamente.
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17. La matriz Fkj de demandas por factores primarias incluye tres factores de producción:
Trabajo (cuenta “Remuneración a Asalariados” en la SAM), Capital (“Consumo de
Capital Fijo”) y una mezcla contable de estos dos últimos, representada por la cuenta
“Excedente Bruto de Explotación”.
Las sumas horizontales de los elementos de esta matriz dan la oferta/utilización de los
factores Fk, las sumas verticales dan el consumo de factores por parte de la industria j, Fj.
En equilibrio se supone que los precios de los bienes y de los factores son iguales a uno:
se supone que en la SAM se registran los valores (precios por cantidades) de las
transacciones en el año base.
La base de información (benchmark) se presenta en la siguiente tabla. Los datos vienen en
miles de millones de pesos.
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19. En esta tabla balanceada, el vector de Ventas Totales (ventas intermedias más
demanda final) iguala al de Producción (consumo intermedio más factores de
producción más impuestos).
La demanda final se ha supuesto exógena, al igual que el vector de precios de los
factores, W.
La solución del modelo debe proporcionar, además de una réplica de la información
contenida en la tabla, un vector de precios P compatible con el vector W dado.
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20. El modelo se resume en tres bloques de ecuaciones que se resuelven en forma
simultanea para los datos tomados para el año base:
[E1.12] X = (I − A)−1 Y Demanda por bienes finales
[E1.16] [E1.13] F = L(I − A)−1 Y Demanda por factores
[E1.14] P' = W' (I − A)−1 Precios de los Bienes
Note que se trata de un sistema cuadrado; se tienen 20 variables endógenas (X, F, P)
en 20 ecuaciones.
Juega un papel clave en el modelo la matriz de Leontief, (I-A)-1, que, según se ha
dicho, expresa los requerimientos directos e indirectos del bien i necesarios para
ofrecer una unidad del bien j con destino a la demanda final. A partir de la matriz Xij,
se presentan a continuación las matrices A, y (I-A)-1:
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22. Dado un vector de demanda final, Y la solución de la ecuación [E1.12] de oferta de bienes es:
[E1.12] X = (I − A)−1 Y Oferta Total de Bienes
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN Y X
AGROMIN 1,03 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 106,65 169,73
SERVPUB 0,03 1,06 0,03 0,03 0,01 0,01 0,01 0,02 301,64 640,52
BSCONSM 0,15 0,02 1,20 0,13 0,18 0,03 0,03 0,10 5475,98 7747,82
BSKPTAL 0,00 0,01 0,01 1,08 0,03 0,00 0,00 0,01 348,99 556,08
CONSTRC 0,00 0,02 0,00 0,00 1,00 0,00 0,01 0,01 x 2860,17 = 2980,54
COMERCE 0,01 0,01 0,03 0,04 0,03 1,02 0,02 0,02 3068,98 3585,22
SSPRIVS 0,08 0,12 0,12 0,11 0,10 0,11 1,43 0,15 3982,22 7674,60
SSGOVRN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,02 3954,73 4095,23
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23. Del lado de los niveles de empleo de factores, la matriz L de coeficientes técnicos de
los factores, multiplicada por la Matriz de Leontief, es decir, L(I-A)-1 proporciona los
usos directos e indirectos del factor k necesarios para satisfacer una unidad de la
demanda final del bien j:
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN
FCTRAS 0,23 0,17 0,15 0,19 0,15 0,35 0,27 0,50
Lkj = FCTEBE 0,52 0,62 0,54 0,48 0,52 0,48 0,32 0,23
FCTCCF 0,01 0,04 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01
FCTTAX 0,02 -0,01 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,02
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN
FCTRAS 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,59
-1
L(I-A) = FCTEBE 0,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38
FCTCCF 0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,01
FCTTAX 0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03
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24. Esta última matriz, multiplicada por el vector de demanda final proporciona la solución
para la ecuación [E1.13] de empleo de factores:
[E1.13] F = L(I − A)−1 Y Demanda por factores
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN Y F
FCTRAS 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,59 106,65 7228,92
FCTEBE 0,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38 x 301,64 = 11672,50
FCTCCF 0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,01 5475,98 461,78
FCTTAX 0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03 348,99 736,17
2860,17
3068,98
3982,22
3954,73
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25. Finalmente, el vector de precios P se obtiene de premultiplicar la matriz L(I-A)-1 ya
calculada, por un vector de precios de los factores W:
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN
1 1 1 1 x 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,59
0,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38 =
0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,01
0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03
P' = 1 1 1 1 1 1 1 1
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26. Las soluciones, —X, F, P—, son consistentes con los vectores observados del
benchmark; los precios resultantes de los bienes, P, satisfacen los supuestos
iniciales. La comprobación de la igualdad del ingreso nacional es rutinaria:
W' F = W' L(I − A)−1 = P' Y
Valor Agregado Valor de la Demanda Final
W' F P' Y
1 1 1 1 x 7228,92 = 1 1 1 1 1 1 1 1 x 106,65
11672,50 301,64
461,78 5475,98
736,17 348,99 = 20099,37
2860,17
3068,98
3982,22
3954,73
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27. Un Ejercicio de Simulación
Suponga que nos interesa como ejercicio de planeación simular cambios en la
demanda final por servicios del gobierno (SSGOVRN); suponga que interesa saber
qué sucede si aumentamos/reducimos las compras del gobierno en un 10%
En el equilibrio base ó benchmark, los servicios del gobierno suman 3954.7 miles de
millones de pesos.
Un primer cambio supone un aumento de los servicios del gobierno hasta 4350.17
miles de millones
Un segundo cambio supone disminuir las compras del gobierno hasta 3559.23
Como resultados, en el primer caso, la demanda final aumenta en 1.97% (20494.8
miles de millones), en el segundo caso disminuye en la misma proporción (19703.9
miles de millones). Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
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28. Tabla 3
Cambios en X, F, P
dados cambios en la Demanda Final por
Servicios del Gobierno (Y.SSGOVRN)
Variables BASE +10% GOV -10% GOV +10% GOV -10% GOV
∆% ∆%
Y .AGROMIN 107 107 107 - -
Y .SERVPUB 302 302 302 - -
Y .BSCONSM 5.476 5.476 5.476 - -
Y .BSKPTAL 349 349 349 - -
Y .CONSTRC 2.860 2.860 2.860 - -
Y .COMERCE 3.069 3.069 3.069 - -
Y .SSPRIVS 3.982 3.982 3.982 - -
Y .SSGOVRN 3.955 4.350 3.559 10,0 - 10,0
X .AGROMIN 170 170 169 0,1 - 0,1
X .SERVPUB 641 648 633 1,2 - 1,2
X .BSCONSM 7.748 7.786 7.709 0,5 - 0,5
X .BSKPTAL 556 559 553 0,5 - 0,5
X .CONSTRC 2.981 2.986 2.975 0,2 - 0,2
X .COMERCE 3.585 3.595 3.576 0,3 - 0,3
X .SSPRIVS 7.675 7.735 7.615 0,8 - 0,8
X .SSGOVRN 4.095 4.500 3.691 9,9 - 9,9
F .FCTRAS 7.229 7.460 6.998 3,2 - 3,2
F .FCTEBE 11.672 11.821 11.524 1,3 - 1,3
F .FCTCCF 462 467 457 1,1 - 1,1
F .FCTTAX 736 747 726 1,4 - 1,4
P.AGROMIN 1 1 1 - -
P.SERVPUB 1 1 1 - -
P.BSCONSM 1 1 1 - -
P.BSKPTAL 1 1 1 - -
P.CONSTRC 1 1 1 - -
P.COMERCE 1 1 1 - -
P.SSPRIVS 1 1 1 - -
P.SSGOVRN 1 1 1 - -
W.FCTRAS 1 1 1 - -
W.FCTEBE 1 1 1 - -
W.FCTCCF 1 1 1 - -
W.FCTTAX 1 1 1 - -
16/03/2012 Cálculos: DAPD.SCEI.DU.JCS
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