1. DINÁMICA
CAPÍTULO X
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA:
TRABAJO Y ENERGÍA
MSc. Andrés Velástegui Montoya
Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT)
andvelastegui@gmail.com
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2. El trabajo de una fuerza
 Una fuerza F efectúa trabajo sobre una partícula sólo cuando
ésta experimenta un desplazamiento en la dirección de la
fuerza.
 Considere la fuerza F que actúa sobre la partícula en la figura.
Si la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria s desde la
posición r hasta una nueva posición r', el desplazamiento es
entonces dr = r' - r.
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3. El trabajo de una fuerza
 Entonces el trabajo dU que es realizado por F es una cantidad escalar,
definida mediante
 Por definición del producto punto, esta ecuación también puede ser
escrita como
 Este resultado puede ser interpretado de dos maneras: como el producto
de F y la componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, es
decir, ds cos θ, o como el producto de ds y la componente de la fuerza
en la dirección del desplazamiento, es decir, Fcos θ.
 Si 0º < θ < 90º  El trabajo es positivo
 Si 90º < θ < 180º  El trabajo es negativo
 dU = 0 si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (cos 90º = 0)
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4. El trabajo de una fuerza
 La unidad básica para el trabajo en el SI se llama joule (J);
1 joule de trabajo es realizado cuando una fuerza de 1
Newton se mueve 1 metro a lo largo de su línea de acción
(1 J = 1 N • m).
 El trabajo es un escalar.
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5. El trabajo de una fuerza
Trabajo de una fuerza variable
 Si la componente de trabajo de la fuerza, F cos θ, es
graficada contra s, en esta ecuación la integral puede ser
interpretada como el área bajo la curva desde la posición
s1 hasta la posición s2.
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6. El trabajo de una fuerza
Trabajo de una fuerza constante que se mueve a lo largo
de una línea recta
 El trabajo realizado por Fc cuando la partícula es
desplazada de s1 a s2 es

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7. El trabajo de una fuerza
Trabajo de un peso
 El trabajo realizado es igual a la magnitud del peso de la partícula
multiplicado por su desplazamiento vertical. En el caso mostrado en
la figura el trabajo es negativo, ya que W está dirigido hacia abajo y
Δy está dirigido hacia arriba. Sin embargo, observe que si la partícula
es desplazada hacia abajo (-Δy), el trabajo del peso es positivo.
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8. El trabajo de una fuerza
Trabajo de la fuerza de un resorte
 La magnitud de la fuerza desarrollada en un resorte elástico lineal
cuando el resorte es desplazado una distancia s desde su posición no
alargada es Fs = ks, donde k es la rigidez del resorte.
 Si el resorte es alargado o comprimido desde una posición s1 hasta
otra posición s2, el trabajo realizado sobre el resorte por Fs es
positivo, ya que en cada caso la fuerza y el desplazamiento tienen la
misma dirección.
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9. El trabajo de una fuerza
Trabajo de la fuerza de un resorte
 Un error en signo puede ser eliminado si se observa
simplemente la dirección de la fuerza del resorte que está
actuando sobre la partícula y se compara con la dirección
del desplazamiento de ésta. Si ambos tienen la misma
dirección, resulta un trabajo positivo: si las direcciones
son opuestas entre sí, el trabajo es negativo.
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10. Ejercicio
 El bloque de 10 kg mostrado en la figura descansa sobre el plano inclinado
liso. Si inicialmente el resorte está estirado 0.5 m, determine el trabajo total
realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando una fuerza
horizontal P = 400 N lo empuja hacia arriba por el plano s = 2 m.
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11. Principio del trabajo y la energía
 La energía cinética inicial de la partícula más el trabajo
realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la
partícula, al moverse ésta desde su posición inicial hasta
su posición final, es igual a la energía cinética final de la
partícula.
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12. Principio del trabajo y la energía
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
 El principio del trabajo y la energía se usa para resolver
problemas cinéticos que implican velocidad, fuerza y
desplazamiento, ya que esos términos aparecen en la ecuación.
Para las aplicaciones, se sugiere usar el siguiente
procedimiento.
Trabajo (Diagrama de cuerpo libre)
 Establezca el sistema coordenado inercial y dibuje un diagrama
de cuerpo libre de la partícula para tomar en cuenta todas las
fuerzas que trabajan sobre ésta cuando se mueve a lo largo de
su trayectoria.
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13. Principio del trabajo y la energía
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Principio del trabajo y la energía
 Aplique el principio del trabajo y la energía, T1 + ∑U1-2 = T2.
 La energía cinética presente en los puntos inicial y final es
siempre positiva, ya que implica el cuadrado de la velocidad (T
= ½ mv2).
 Una fuerza efectúa trabajo cuando se mueve por un
desplazamiento en la dirección de la fuerza.
 El trabajo es positivo cuando la componente de la fuerza tiene
la misma dirección que su desplazamiento; de otra manera es
negativo.
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14. Principio del trabajo y la energía
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Principio del trabajo y la energía
 Las fuerzas que son funciones del desplazamiento deben ser
integradas para obtener el trabajo. Gráficamente, el trabajo es
igual al área bajo la curva fuerza - desplazamiento.
 El trabajo de un peso es el producto de la magnitud del peso y
el desplazamiento vertical, Uw = Wy. El trabajo es positivo
cuando el peso se mueve hacia abajo.
 El trabajo de un resorte es de la forma Us = ½ ks2, donde k es la
rigidez del resorte y s el elongamiento o compresión del
mismo.
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15. Principio del trabajo y la energía
para un sistema de partículas
 El principio del trabajo y la energía puede ser ampliado para
incluir un sistema de n partículas aisladas dentro de una región
cerrada.
 Esta ecuación establece que la energía cinética inicial (∑T1) del
sistema, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas
e internas que actúan sobre las partículas del sistema (∑U1-2),
es igual a la energía cinética final (∑T2) del sistema.
 Para mantener este balance de energía, debe tomarse en cuenta
estrictamente el trabajo realizado por todas las fuerzas.
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16. Principio del trabajo y la energía
para un sistema de partículas
 Hay dos importantes excepciones a esta regla que a menudo ocurren en




la práctica.
Si las partículas están contenidas dentro de los límites de un cuerpo
rígido en traslación, todas las fuerzas internas sufren el mismo
desplazamiento, y por tanto el trabajo interno será cero.
Las partículas conectadas mediante cables inextensibles forman un
sistema que tiene fuerzas internas que son desplazadas una cantidad
igual.
En este caso, las partículas adyacentes ejercen fuerzas internas iguales
pero opuestas que tienen componentes que sufren el mismo
desplazamiento, y por tanto el trabajo de esas fuerzas se cancela.
Se aplicará el principio del trabajo y la energía a la solución de
problemas sólo cuando no tengan que tomarse en cuenta esas pérdidas
de energía.
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17. Principio del trabajo y la energía
para un sistema de partículas
Trabajo de fricción causado por deslizamiento
 Considere un bloque que se traslada una distancia s sobre
una superficie rugosa. Si la fuerza aplicada P equilibra
justamente la fuerza de fricción resultante µkN; entonces,
por equilibrio, se mantiene una velocidad constante v, y
esperaríamos aplicar la ecuación como sigue:
 Realmente esta ecuación es satisfecha si P = µkN; el
movimiento deslizante generará calor, una forma de
energía que parece no tomarse en cuenta en la ecuación
trabajo-energía.
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18. Principio del trabajo y la energía
para un sistema de partículas
Trabajo de fricción causado por deslizamiento
 En cualquier instante, la resultante F de todas estas
fuerzas de fricción permanece esencialmente constante,
esto es, µkN; sin embargo, debido a las muchas
deformaciones localizadas, el desplazamiento real s' de
µkN no es el mismo desplazamiento s que el de la fuerza
aplicada P. En lugar de eso, s' será menor que s (s' < s), y
por tanto el trabajo externo realizado por la fuerza externa
de fricción será µkNs' y no µkNs. La cantidad restante de
trabajo, µkN(s - s'), se manifiesta como un incremento de
energía interna, la cual de hecho causa una elevación de
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temperatura en el bloque.

19. Ejercicio
 El automóvil de 3500 lb mostrado en la figura viaja hacia abajo por el
camino inclinado 10 con una rapidez de 20 pies/s. Si el conductor acciona
los frenos, ocasionando que las ruedas se traben, determine qué tan lejos s
resbalan las ruedas sobre el camino. El coeficiente de fricción cinética entre
las ruedas y el camino es µk = 0.5.
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20. Ejercicio
 La plataforma P, mostrada en la figura, tiene masa insignificante y está
unida de manera que las cuerdas de 0.4 m de longitud mantienen
comprimido 0.6 m a un resorte de 1 m de longitud cuando no hay nada
sobre la plataforma. Si se coloca un bloque de 2 kg sobre la plataforma y se
libera del reposo después que ésta es empujada hacia abajo 0.1 m, determine
la altura h máxima que el bloque se levanta en el aire, medida desde el
suelo.
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21. Ejercicio
 Los bloques A y B mostrados tienen masa de 10 y 100 kg respectivamente.
Determine la distancia que B recorre desde el punto donde es liberado del
reposo hasta el punto en que su rapidez es de 2 m/s.
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22. Tarea
 (64) Cuando el conductor acciona los frenos de una camioneta ligera que
viaja a 40 km/h, ésta resbala 3 m antes de detenerse. ¿Qué distancia
resbalará la camioneta si está viajando a 80 km/h cuando se accionan los
frenos?
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23. Tarea
 (65) Determine la velocidad del bloque A de 20 kg después de liberarlo del
reposo y que se mueve 2 m hacia abajo por el plano. El bloque B tiene masa
de 10 kg y el coeficiente de fricción cinética entre el plano y el bloque A es
µk = 0.2. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
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24. Tarea
 (66) El bloque A pesa 60 lb y el bloque B 10 lb. Determine la rapidez del
bloque A después de que se mueve 5 pies hacia abajo por el plano, partiendo
del reposo. Desprecie la fricción y la masa de cuerda y poleas.
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25. Tarea
 (67) Los dos bloques A y B tienen pesos WA = 60 lb y WB = 10 lb. Si el
coeficiente de fricción cinética entre el plano inclinado y el bloque A es
µk = 0.2. determine la rapidez de A después que se ha movido 3 pies
hacia abajo por el plano inclinado partiendo del reposo. Desprecie la
masa de cuerda y poleas.
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26. Tarea
 (68) Los paquetes, que tienen un peso de 50 Ib, son entregados a la canaleta
a VA = 3 pies/s usando una banda transportadora. Determine su rapidez
cuando llegan a los puntos B, C y D. Calcule también la fuerza normal de la
canaleta sobre los paquetes en B y C. Desprecie la fricción y el tamaño de
los paquetes.
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27. Tarea
 (69) El bloque A pesa 60 lb y el bloque B 10 lb. Determine la distancia que
A debe descender desde el reposo antes de obtener una rapidez de 8 pies/s.
¿Cuál es la tensión en la cuerda que soporta al bloque A? Desprecie la masa
de cuerda y poleas.
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28. Tarea
 (70) El bloque de 25 lb tiene rapidez inicial v0 = 10 pies s cuando está a la
mitad del camino entre A y B. Después de golpear al resorte B, rebota y se
desliza por el plano horizontal hacia el resorte A, etc. Si el coeficiente de
fricción cinética entre el plano y el bloque es (µk = 0.4, determine la
distancia total recorrida por el bloque antes de detenerse.
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