1. РАЗДЕЛ 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГ-
НАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ.
В данном разделе рассматриваются методы и примеры решения задач о
воздействии негармонических сигналов на линейные цепи. Важность этих во-
просов для практики несомненна, т.к. сигнал, проходя через электрическую
цепь, в общем случае меняет свою форму. В одних случаях, например в усили-
теле, изменения формы должны быть минимальны. В других случаях, например
в задачах фильтрации, изменения должны быть, но вполне определенные.
Чтобы найти отклик цепи, нужно знать входной сигнал и характеристики
электрической цепи. И то, и другое можно задать во временной, либо в частот-
ной области (рис. 8.1).

K (ω),
x(t) y(t)=?
g ( t ), h ( t )

X(ω) 
Y ( ω) = ?
Рис. 2.1. Воздействие и отклик линейной электрической
цепи во временной и частотной областях
Поэтому существуют два независимых метода анализа линейных цепей при не-
гармонических воздействиях – спектральный и временной.
Спектральный метод анализа.
В спектральном методе анализа расчет спектра и временной функции от-
клика ведется по известным спектральным характеристикам воздействия и цепи
(рис. 2.2).

X(ω) 
K (ω) y(t), (ω) = ?
Y
Рис. 2.2. Спектральный метод анализа
Получим расчетные выражения спектрального метода. Временную функ-
цию воздействия можно выразить через его спектральную плотность с помо-
щью обратного преобразования Фурье (2.1)
1 ∞⋅ jωt
x (t ) = ∫ X(ω) ⋅ e dω (2.1)
2π − ∞
20

2. Это соотношение можно трактовать так: входной сигнал мы представили в
виде бесконечной суммы комплексных гармонических колебаний с комплекс-
1 
ными амплитудами X(ω)dω .
2π
Комплексная амплитуда отклика линейной цепи на одно такое колебание со-
1 . .
ставит X(ω)dω ⋅ K (ω) Поскольку для линейных цепей справедлив принцип
2π
суперпозиции, мы имеем право просуммировать отклики на каждое из гармони-
ческих колебаний и рассматривать это как отклик на наше воздействие, задан-
.
ное спектральной плотностью X(ω)
∞ 1 . . 1 ∞. ⋅
y( t ) = ∫ ( X(ω) ⋅ K (ω)dω) ⋅ e jωt = ⋅ ∫ X(ω) ⋅ K (ω) ⋅ e jωt dω . (2.3)
−∞ 2π 2π − ∞
Из (8.3) вытекает правило преобразования спектра в линейной цепи
⋅ ⋅ ⋅
Y(ω) = X(ω) ⋅ K (ω). (2.4)
Это выражение можно рассматривать как основное расчетное правило спек-
трального метода анализа. Оно напрямую может использоваться, если входной
сигнал – непериодический. В случае же периодического воздействия идея мето-
да, выраженная соотношением (8.4) сохраняется, но сами правила вычисления
y(t) несколько видоизменяются. Итак, если подаваемый на цепь сигнал – перио-
дический, то его можно представит в виде
∞
x ( t ) = ∑ A x n ⋅ cos(nΩt − φ x n ) (2.5)
n =1
Далее по известным амплитудам и фазам гармоник спектра воздействия вы-
числяют комплексные амплитуды гармоник
− jφ
A = A ⋅ e xn

xn xn (2.6)
− jφ y n
  
A y n = A x n ⋅ K (ω) = A yn ⋅ e
ω= nΩ
где
A y n = A x n ⋅ K (ω) ω= nΩ , φ y n = φ x n − ϕ k ( nΩ) (2.7)
Временную функцию отклика находят с помощью
∞
y( t ) = ∑ A y n ⋅ cos(nΩt − φy n ) (2.8)
n =1
Непосредственно применять правило расчета y(t) (2.3) трудно из-за сложно-
сти вычисления интеграла. Поэтому следует, сохранив идею спектрального ме-
тода анализа, заменить преобразование Фурье более общим преобразованием
Лапласа. Такой вариант решения иногда называют операторным методом. По-
следовательность решения задачи при этом будет следующей.
1. Найти преобразование Лапласа от функции воздействия
21

3. ∞
X(p) = ∫ x ( t ) ⋅ e − pt dt = L[ x ( t )]
0
(2.9)
Перед вычислением преобразования Лапласа временную функцию сигнала
x(t) часто представляют в виде суммы двух или большего числа слагаемых так,
что для каждого из них изображение будет записываться проще.
2. Далее найти операторную передаточную функцию цепи K(p).
Здесь есть два пути:
1) Анализ операторной схемы цепи, которую получают из обычной электри-
ческой схемы заменой ее элементов на операторные сопротивления. Оператор-
ное сопротивление резистора равно R, емкости – 1/pC, индуктивности – pL.
.
2) Переход от комплексной частотной характеристики цепи K (ω) (если она
известна) к функции K (p)

K (p) = K (ω) (2.10)
j ω= p
3. Найти изображение по Лапласу функции отклика
Y(p) = X(p) ⋅ K (p) = Α( p )/Β( p) (2.11)
4 .Последний шаг – определение оригинала (временной функции отклика) по
изображению. Здесь удобно использовать “теорему разложения”
N A ( p)
y( t ) = L −1[ Y(p)] = ∑ [ ⋅ e pt ]|p = p k , (2.12)
k =1 B' ( p)
где pk – корни уравнения B(p)=0, k=1..N, N-число корней.
Временной метод анализа.
Временной метод анализа (метод интеграла Дюамеля) позволяет определить
временную функцию отклику по известным временной функции входного сиг-
нала и одной из временных характеристик цепи – импульсной g( t ) или переход-
ной h ( t ) (рис. 2.3).
g(t),
x(t) y(t)=?
h(t)
Рис.2.3. Временной метод анализа
Для вывода основного расчетного правила временного метода обратимся к
ранее полученному выражению (2.3) и одному из свойств преобразований Фу-
рье – свойству о спектре свертки. Это свойство гласит, что свертке двух вре-
менных функций соответствует произведение спектральных функций. В (2.3)
. .
под знаком интеграла стоит произведение функций X(ω) и K (ω) . Если нам бу-
дут известны соответствующие им временные зависимости, то, пользуясь упо-
мянутым свойством преобразований Фурье, мы сможем записать отклик y( t ) в
22

4. .
виде их свертки. Временная функция, имеющая спектр X(ω) – это временная
.
функция воздействия x ( t ) . Покажем, что спектр K (ω) имеет функция g( t ) – им-
пульсная характеристика цепи. Для этого найдем спектральным методом эту
характеристику. Схема эксперимента, позволяющего найти импульсную харак-
теристику цепи, представлена на рис. 2.4.
δ(t) 
K (ω) g(t)=?
Рис. 2.4. Определение импульсной
характеристики спектральным методом
Применяя (2.3) для данного случая и помня, что спектральная плотность еди-
ничного импульса равна единице, получаем
1 ∞ ⋅
g( t ) = ⋅ ∫1 ⋅ K (ω) ⋅ e jωt dω . (2.13)
2π − ∞
.
Следовательно, действительно функция g( t ) имеет спектр K (ω) .
Пользуясь свойством преобразования Фурье о спектре свертки двух функций,
записываем:
∞ t
y( t ) = ∫ x (τ) ⋅ g( t − τ)dτ = ∫ x (τ) ⋅ g( t − τ)dτ, (2.14)
−∞ 0
Соотношение (2.14) – один из вариантов записи интеграла Дюамеля или ин-
теграла наложения. Пределы интегрирования чаще всего берут от 0 до t, так как
x(t)=0, при t<0, g(t)=0, при t<0.
Еще один вариант записи интеграла Дюамеля можно получить, если учесть
связь импульсной и переходной характери-
x(t) dh ( t )
стик цепи g( t ) = . Соответствующее вы-
dt
ражение представлено соотношением (8.15)
x0 t
y( t ) = x (0) ⋅ h ( t ) + ∫ x ' (τ) ⋅ h ( t − τ)dτ (2.15)
0 t 0
Рис. 2.5. Учет начального скачка
воздействия
23

5. В данном выражении первое слагаемое представляет собой реакцию на ска-
чок x (0) (если таковой имеет место), а второе – реакцию на область непрерыв-
ного изменения x ( t ) (рис. 2.5).
Для применения временного метода необходимо знать переходную либо им-
пульсную характеристики цепи. Если они неизвестны, то можно применить для
их определения спектральный метод. Итоговые соотношения, которые при этом
получаются, представлены выражениями (2.16), где L-1[]- символ обратного
преобразования Лапласа
g(t)=L-1[K(p)], h(t)=L-1[K(p)/p]. (2.16)
Дифференцирующие и интегрирующие цепи.
Для рассмотрения конкретных примеров по воздействию негармонических
сигналов на линейные цепи необходимо выбрать эти конкретные цепи, опреде-
лить их характеристики. Остановимся на простых цепях первого порядка, кото-
рые широко применяются в схемотехнике радиоэлектронных устройств, и
обычно называются дифференцирующими и интегрирующими. Чтобы выяс-
нить смысл этой терминологии обратимся вначале к цепям, которые в полном
смысле могут рассматриваться как дифференциатор и интегратор.
Идеальный дифференциатор – это устройство, которое преобразует вход-
ной сигнал x(t) в выходной y(t) по правилу рис. 2.6.
d dx ( t )
x(t) y( t ) = τ 0
dt dt
Рис. 2.6. Идеальный дифференциатор
Если временные функции связаны, как показано на рис. 8.6, то спектральные
. .
плотности отклика и воздействия будут связаны правилом Y(ω) = τ0 jω X(ω) .
Отсюда коэффициент передачи идеального дифференциатора

Y(ω)

K ид.диф. (ω) = = jωτ 0 (2.17)

X(ω)
Идеальный интегратор – это устройство, преобразующее сигнал x(t) по
правилу рис. 2.7.
24

6. 1 t
∫
x(t) y( t ) = ∫ x ( t )dt
τ 0 −∞
Рис.2.6. Идеальный интегратор
Соответственно спектральные плотности входного и выходного сигналов
.
идеального интегратора будут связаны правилом Y(ω) = 1 ⋅ X(ω) . Поэтому ко-
.
τ 0 jω
эффициент передачи идеального интегратора будет определяться выражением
(2.18)
⋅
 Y(ω) 1
K ид инт = = . (2.18)
⋅ jωτ 0
X(ω)
Амплитудно-частотные характеристики идеальных дифференциатора и ин-
тегратора, построенные в соответ-

K (ω) ствии с (2.17) и (2.18) приведены на
ид дифференциатор рис. 2.8.
Реальные цепи не могут обладать ха-
рактеристиками, изображенными на
рис. 2.8, так коэффициент передачи
интегратор реальных электрических цепей не
может принимать бесконечно
ω большое значение. Обратимся к про-
Рис. 8.8. АЧХ идеальных стым цепям первого порядка и пока-
дифференциатора и нтегратора жем, что они могут выполнять опе-
рации дифференцирования и инте-
грирования приближенно.
Рассмотрим RC-двухполюсник и запишем для него уравнение баланса
напряжений.
C 1
e( t ) = R ⋅ i( t ) + ⋅ ∫ i( t )dt ,
C
или, преобразуя:
e(t) i(t) R
C ⋅ e( t ) = RC ⋅ i( t ) + ∫ i( t )dt .
(2.19)
Рис. 2.9. К анализу дифференцирующих Произведение τ0=RC в (2.19) называется
и интегрирующих RC – цепей постоянной времени данной цепи.
Далее от общего случая перейдем к двум
предельным вариантам.
1) τ0 – мала . Тогда в (2.19) в правой части можно опустить первое слагаемое
и приближенно записать
25

7. de de( t )
C ⋅ e( t ) ≈ ∫ i( t )dt ; i( t ) ≈ C ⋅
; U R ( t ) ≈ RC ⋅
dt dt
Теперь преобразуем исходную цепь, выделив пару входных зажимов, к кото-
рым подключен источник (далее он будет обозначаться, как x(t)), и пару выход-
ных зажимов, с которых будет сниматься выходное напряжение U R ( t ) .
C
x(t) R y(t)
Рис. 2.10. Дифференцирующая RC – цепь
dx
y ( t ) = τ0 ⋅ (2.20)
dτ
Цепь со структурой, изображенной на рис 2.10,
обычно называют дифференцирующей, так как она в
соответствии с (2.20) приближенно осуществляет диф-
ференцирование входного сигнала.
2) τ0 – велика. При этом в правой части (8.19) можно отбросить второе слага-
емое и приближенно записать
e( t ) ≈ R ⋅ i ( t ) ;
R
1
i ( t ) ≈ ⋅ e( t ) ,
R
x(t) C y(t) 1 1
U C = ⋅ ∫ i( t )dt ≈ ⋅ ∫ e( t )dt
C RC
Рис. 2.11. Интегрирующая RC – цепь.
Теперь вновь преобразуем исходную цепь, но выходное напряжение будем
снимать с конденсатора. Цепь, изображенную на рис. 2.11 называют интегриру-
ющей, так как она в соответствии с (2.21) может приближенно интегрировать
входной сигнал.
1 t
y( t ) = ∫ x ( t )dt (2.21)
τ 0 −∞
Теперь осталось уточнить вопрос, что значит малая и большая τ0 . Для этого со-
поставим частотные характеристики идеальных и RC цепей.
Для случая дифференцирования имеем.

K ид. диф. (ω) = jω τ0
26

8.  R jωRC jωτ 0
K RC диф. (ω) = = =
1 1 + jωRC 1 + jωτ 0 . (2.22)
+R
jωС
Сравнивая оба выражения, и графики АЧХ идеального и RC – дифференциато-
ра (рис. 2.12), можем определить условие, при котором дифференцирование бу-
дет происходить без больших ошибок:
ωmax⋅τ0<<1. (2.23)
Здесь ωmax -высшая частота в спектре воздействия.
ωmax
Рис. 2.12. Амплитудно-частотные характеристики идеального
дифференциатора и RC – дифференциатора.
Для случая интегрирования соответственно имеем
 1
K ид. инт. (ω) =
jωτ 0
 1 / jω C 1 1
K RC инт (ω) = = = . (2.24)
R + 1 / jωC 1 + jωRC 1 + jωτ 0
Сравнивая эти два выражения и АЧХ идеального и RC-интегратора (рис.
2.13), находим условие достаточно точного интегрирования RС цепи
ωmin τ0 >> 1 (2.25)
В реальных чисто пассивных
цепях для дифференцирования и
интегрирования сигналов с ростом
требований к точности выполне-
ния операций амплитуда выходно-
го сигнала уменьшается. В таких
случаях удобно использовать ак-
ωmax тивные цепи. На рис 2.14 приведе-
Рис.28.13. Амплитудно-частотные характеристики на упрощенная схема активного
идеального и RC – интеграторов. интегратора на инвертирующем
операционном усилителе K.
C
R
K
27
Рис.28.14. Интегратор на операционном
усилителе.

9. Преобразование прямоугольного импульса в дифференцирующей цепи.
Обратимся к конкретным задачам по преобразованию детерминированных
сигналов в линейных цепях. Первой рассмотрим задачу о преобразовании пря-
моугольного импульса в дифференцирующей RC цепи. Будем решать задачу
x(t) спектральным методом. Форма вход-
ного воздействия представлена на
рис. 2.15.
При изложении спектрального метода
(в E том варианте, где применяется преоб-
разование Лапласа) отмечалось, что
перед определением изображения по
Лапласу от функции воздействия, ее
τи t часто преобразуют, чтобы получить
Рис. 2.15. Прямоугольный импульс, максимально простое выражение для
воздействующий на RC – цепь.
изображения. И в данном случае сле-
дует представить прямоугольный импульс в виде суммы двух скачков напряже-
ния, как показано на рис. 2.16. Аналитическая запись x(t) для такого варианта
представлена ниже
 x1( t ), 0 ≤ t < τи ,
x (t ) =  (2.26)
x1( t ) + x 2 ( t ) = x1( t ) − x1( t − τи ), t ≥ τи .
В дальнейшем аналитически будем
решать задачу для воздействия x1(t).
E Действуем по схеме, представленной
соотношениями (2.9) – (2.12).
1)Находим изображение функции
-E x1(t):
E
Рис. 2.16. Представление прямоугольного X1(p) = L[ x1( t )] = . (2.27)
p
импульса разностью двух скачков
2) Находим операторный коэффици-
ент передачи цепи
jωRC pRC
K (p) = jω= p = . (2.28)
1 + jωRC 1 + pRC
3) Находим изображение функции y1( t )
E pRC ERC A(P)
Y1(p) = ⋅ = = . (2.29)
p 1 + pRC 1 + pRC B(p)
28

10. Для применения в дальнейшем теоремы разложения нам нужно выраже-
ние производной от полинома знаменателя и корень (в данном случае он один)
этого полинома
B' (p) = RC, p1 = −1 / RC .
4) Находим временную функцию отклика цепи на воздействие x1 ( t )
ERC pt
e ] p = −1 / RC = Ee − t / RC .
y1 ( t ) = [ (2.30)
RC
Имея это решение, а также правило (2.26), связывающее x(t) и x1(t), можем за-
писать y(t)
 y1 ( t ), 0 ≤ t < τи ,
y( t ) = 
 y1 ( t ) − y1 ( t − τ и ), t ≥ τи .
(2.31)
С учетом (2.30)

 Ee − t / RC , 0 ≤ t < τ и
y( t ) =  − t / RC (2.32)
 y (e
 − e −( t −τи ) / RC , t ≥ τ и
График отклика дифференцирующей цепи на воздействие прямоугольно-
го импульса приведен на рис. 2.17 для случая RC<< τи .
y(t)
Е
τи
0 t
-Е
Рис. 2.17. Отклик дифференцирующей RC – цепи
на воздействие прямоугольного импульса (показан
пунктирной линией).
Преобразование прямоугольного импульса в интегрирующей цепи.
Воздействие то же, что и в предыдущей задаче (рис. 2.15), а исследуемая RC
– цепь на рис. 2.11.
Временная функция воздействия может быть представлена выражением
E,0 ≤ t < τи
x(t ) =  . (2.33)
0, t ≥ τи
29

11. При этом верхняя строчка может рассматриваться, как некоторая функция
x1(t) а вторая как -x2(t). Переходную характеристику интегрирующей RC-цепи
найдем с помощью (2.16), (2.10) и (2.24)
t
−
K ( p) 1 1
h ( t ) = L−1[ ] = L−1[ ⋅ ] = 1 − e τ0 . (2.34)
p 1 + pτ0 p
Теперь для определения отклика на отрезке 0 ≤ t < τи применим (2.15):
t
t − t
τ0
y1 ( t ) = x (0) ⋅ h ( t ) + ∫ x '1 (τ) ⋅ h ( t − τ)dτ = E ⋅ (1 − e ) + ∫ ( E)'⋅h ( t − τ)dτ =
0 0
t
−
τ0 (2.35)
= E (1 − e ).
Интеграл в (2.35) равен нулю, так как производная (E)’=0.
Для оставшейся части временной оси t ≥ τи отклик находится несколько бо-
лее сложным выражением, являющимся развитием (2.15), так как нужно учесть
реакцию на два скачка – в моменты t = 0 и t = τи , а также реакцию на функции
x1 ( t ) и x 2 ( t )
τи
y 2 ( t ) = x 1 (0) ⋅ h ( t ) + ∫ x 1 ' (τ) ⋅ h ( t − τ)dτ + ∆x (τ и ) ⋅ h ( t − τ) +
0
t
+ ∫ x '2 (τ) ⋅ h ( t − τ)dτ == E ⋅ (1 − e − t / τ0 ) − E ⋅ (1 − e − ( t − τ и ) / τ0 ) . (2.36)
τи
Как и при получении (2.35), интегралы, входящие в (2.36) равны нулю. На
y(t) y1(t)
E
y1(t)+y2(t)
0 τИ t
y2(t)
-E
Рис.2.19. Отклик интегрирующей RC – цепи
на воздействие прямоугольного импульса.
рис. 2.19. приведен результат решения. Он зависит от постоянной времени цепи
τ0. На приведенном рисунке постоянная времени τ0<τи .
30

12. 31