1. Métodos NuméricosMétodos Numéricos
20102010

2. UN MODELO ES UNA ABSTRACCION DE LA REALIDAD QUE UTILIZA
MECANISMOS PARA EXPRESAR TODA REALIDAD.

3. MODELO MENTAL: Es el primer juego de ideas que se generan a escala
mental sobre el problema en cuestión.
MODELO VERBAL: Es cualitativo por naturaleza, las palabras se usan
para describir las reacciones del sistema frente a un estímulo.
MODELO GRAFICO: Es el conjunto de imágenes y gráficos de sirven de
apoyo y permiten ubicar las relaciones funcionales que priman en el
sistema que se desea estudiar.
MODELO FISICO: Son modelos a pequeña escala de barco, que se
desarrollan para investigar el comportamiento del sistema real.

4. MODELO MATEMATICO: Es aquel donde la relación entre las
diferentes variables en un sistema se formaliza a través de
relaciones matemáticas (normalmente ecuaciones).
MODELO ANALITICO: Se llevan a cabo cuando el modelo
diferencial tiene solución.
MODELO NUMERICO: Es una representación teórica de un
modelo, típicamente expresado en forma matemática, que
permite una mejor comprensión y estudio de su comportamiento.
MODELO COMPUTACIONAL: Se refiere a un programa de
computadora que permite que los modelos analíticos o numéricos
se puedan solucionar más rápidamente.

5. Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos
científicos, que emplea algún tipo de formulismo
matemático para expresar relaciones, proposiciones
sustantivas de hechos, variables, parámetros,
entidades y relaciones entre variables y/o entidades
operaciones, para estudiar comportamientos de
sistemas complejos ante situaciones difíciles de
observar en la realidad.

6. Ejemplo: modelo matemático

7. Modelo cuantitativo: es aquel cuyos principales símbolos representan
números.
Modelo cualitativo: aquel modelo cuyos símbolos representan en su
mayoría a Cualidades no numéricas.
Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y
probabilidades.
Modelo Determinístico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que
no contiene consideraciones probabilísticas.
Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una
situación del mundo real en términos matemáticos.
Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar
entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más
óptima.

8. COMPONENTES DE UN MODELO MATEMÁTICO
1.Variables dependientes
2. Variables independientes
3. Parámetros
4. Funciones de fuerza
5.Operadores

9. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
GRADIENTE:
Sea f(x,y,z) una función en dos variables, el gradiente de f(x,y,z)
se denota como y esta definido como:

10. Divergencia:
Sea f(x,y,z)= f(x,y,z)i + f(x,y,z)j + f(x,y,z)k la divergencia de f, denotada
por div f y esta definida como:
ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO

11. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Rotacional:
Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a
inducir rotación alrededor de un punto.
Expresión en coordenadas cartesianas:

12. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Laplaciano:
Si Ø,A , son un campo escalar y un campo vectorial
respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en
términos del operador nabla como:
El Laplaciano de una función f es:
Campo escalar
Campo vectorial

13. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Segunda ley de newton:Segunda ley de newton: la fuerza neta aplicada sobrela fuerza neta aplicada sobre
un cuerpo es proporcional a la aceleración queun cuerpo es proporcional a la aceleración que
adquiere dicho cuerpo. La constante deadquiere dicho cuerpo. La constante de
proporcionalidad es la masa del cuerpo.proporcionalidad es la masa del cuerpo.
dv Fdv F
dt mdt m

14. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de calor de Fourier:Ley de calor de Fourier: La conducción de calor es unLa conducción de calor es un
mecanismo de trasferencia de energía térmica entremecanismo de trasferencia de energía térmica entre
dos sistemas basado en el contacto directo de susdos sistemas basado en el contacto directo de sus
partículas sin flujo neto de materia y que tiende apartículas sin flujo neto de materia y que tiende a
igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entreigualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre
diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas.diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas.
q=-k dt
dx ( expresión matemática)

15. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de difusión de Fick:Ley de difusión de Fick: es una ley cuantitativa enes una ley cuantitativa en
forma de ecuación diferencial que describe diversosforma de ecuación diferencial que describe diversos
casos de difusión de materia o energía en un mediocasos de difusión de materia o energía en un medio
en el que inicialmente no existe equilibrio químico oen el que inicialmente no existe equilibrio químico o
térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick.térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick.
J=-D dc
dx ( expresión matemática)

16. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO
Factor geométricoFactor geométrico
porosidadporosidad
Velocidad de flujoVelocidad de flujo
fuentesfuentes

17. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO
La ecuación fundamental de flujo depende de:La ecuación fundamental de flujo depende de:
• Balance de masa
• Conservación del momentum ( ley de Darcy)
• Ecuación de estado

18. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de Darcy: Describe:Ley de Darcy: Describe: Expresa el flujo de fluidosExpresa el flujo de fluidos
en términos de presión y gravedad:en términos de presión y gravedad:
Limitaciones de la ley de Darcy:Limitaciones de la ley de Darcy: La constante de
proporcionalidad K no es propia ni característica
del medio poroso.
En algunas circunstancias la relación entre el Q y el
gradiente hidráulico no es lineal.
CONSERVACIÓN DEL MOMENTUMCONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

19. VELOCIDAD REAL Y VELOCIDAD DE DARCY
Caudal = sección * velocidadCaudal = sección * velocidad
L3/T=L2*L/TL3/T=L2*L/T
La velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en suLa velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en su
totalidad por la sección transversal.totalidad por la sección transversal.
La parte de la sección por la cual puede circular el fluido es la porosidad
eficaz.
velocidad lineal media= VDarcy/ Vefectiva
no sirve para calcular la distancia entre dos puntos.
velocidad real= velocidad lineal media* coeficiente
El coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso.

20. La tortuosidad: es una característica que representaLa tortuosidad: es una característica que representa
lo tortuoso de una curva, es decir, el grado delo tortuoso de una curva, es decir, el grado de
vueltas o rodeos que tiene.vueltas o rodeos que tiene.
Existen varios intentos de medir este índice,Existen varios intentos de medir este índice,
aplicables a distintos escenarios.aplicables a distintos escenarios.

21. ECUACIÓN DE ESTADO
En unEn un fluido incompresiblefluido incompresible la densidad (la densidad (ρρ) es) es
constante.constante.
En unEn un fluido lentamente compresiblefluido lentamente compresible tenemos que:tenemos que:
ρρ==ρρ (1+cp).(1+cp).
Ecuación de estado de losEcuación de estado de los fluidos compresiblesfluidos compresibles
ρρ= pM/zRT ó pM== pM/zRT ó pM= ρρzzRTRT

22. APROXIMACIONES

23. Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático esSon técnicas mediante las cuales un modelo matemático es
resuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediososresuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediosos
cálculos aritméticos”).cálculos aritméticos”).
APROXIMACION NUMERICA:APROXIMACION NUMERICA:
Se entiende por aproximación numérica a una cifra queSe entiende por aproximación numérica a una cifra que
representa un número cuyo valor exacto es x. En la medida enrepresenta un número cuyo valor exacto es x. En la medida en
que la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejorque la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejor
aproximación de ese número.aproximación de ese número.
APROXIMACIONES

24. Aproximación numérica
Cifras significativas
Numero de dijitos en la mantisa
exactitud
precisión
Convergencia
Estabilidad
Selección de alternativas
APROXIMACIONES

25. Las cifras significativas son los dígitos de un número que
consideramos no nulos, número de dígitos t, que senúmero de dígitos t, que se
pueden usar, con confianza, al medir una variable.pueden usar, con confianza, al medir una variable.
El manejo de cifras significativas permite desarrollarEl manejo de cifras significativas permite desarrollar
criterios para detectar qué tan precisos son los resultadoscriterios para detectar qué tan precisos son los resultados
obtenidos.obtenidos.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS

26. EXACTITUD Y PRECISIÓN
La precisión:La precisión: se refiere al número de cifras significativas quese refiere al número de cifras significativas que
representa una cantidad.representa una cantidad.
La exactitud:La exactitud: se refiere a la aproximación de un número o dese refiere a la aproximación de un número o de
una medida al valor numérico que se supone representa.una medida al valor numérico que se supone representa.
Exactitud bajaExactitud baja
Precisión altaPrecisión alta
Exactitud altaExactitud alta
Precisión bajaPrecisión baja
Exactitud altaExactitud alta
Precisión altaPrecisión alta

27. CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD
CONVERGENCIA:CONVERGENCIA: Se entiende por convergencia de un métodoSe entiende por convergencia de un método
numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” denumérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de
iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cadaiteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada
vez más al verdadero valor buscado.vez más al verdadero valor buscado.
ESTABILIDAD:ESTABILIDAD: Se entiende por estabilidad de un método numérico elSe entiende por estabilidad de un método numérico el
nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodosnivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos
numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es,numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es,
se alejan cada vez más del resultado deseadose alejan cada vez más del resultado deseado

28. SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS
El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues seEl uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se
requiere elegir entre:requiere elegir entre:
1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema
2. Varias herramientas tecnológicas2. Varias herramientas tecnológicas
Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona yExisten diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y
otra, que depende de:otra, que depende de:
1. El nivel de participación en el modelado matemático del problema1. El nivel de participación en el modelado matemático del problema
Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverloIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo
2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

29. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Diferencias finitas

30. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Se consideran normalmente tres formas de diferencias finitas :
1. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión
de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se
toma el limite h → 0.
2. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior
3. Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias
anteriores y posteriores. Viene dada por

31. ERRORES DE APROXIMACION
En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y el
obtenido, se le llama error de aproximación.
TIPOS DE ERROR
Existen varios tipos de error, pero los más comunes son:
a) Error por truncamiento.
b) Error por redondeo.

32. Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un
número infinito de términos.
En este caso, el error aparece al operar con representaciones
numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales,
pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos).
ERROR POR TUNCAMIENTO
ERROR POR REDONDEO

33. 1. es.wikipedia.org/wiki1. es.wikipedia.org/wiki
2. www.material_simulacion.ucv.cl/2. www.material_simulacion.ucv.cl/
3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script...3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script...
4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-
extraccion-de-petroleoextraccion-de-petroleo
5.5. SANTAFE, Elkin R. “Elementos básicos de modelamiento
matemático”. Clases-Universidad Industrial de
Santander Año-2009.

34. F i nF i n