1. Autor: Jesús Samper

2. Grados minutos y
segundos
Radianes
Reglas de conversión entre grados y radianes

3. Las unidades de medida de
ángulos más conocidas son los
grados, minutos ygrados, minutos y segundossegundos.
Este tipo de medidas está
basada en la división en partes
iguales de una circunferencia.
Las equivalencias son las
siguientes:
360º = un giro completo
alrededor de una
circunferencia
180º = 1/2 vuelta alrededor de
una circunferencia
90º = 1/4 de vuelta
1º = 1/360 de vuelta, etc.
Grados, minutos y segundos
1 grado = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

4. También se puede definir otra unidad
angular, el radián, que en las aplicaciones
físicas es mucho más práctico y directo
que trabajar con grados.
Un radián es el
ángulo cuyo arco
mide lo mismo que el
radio.
Radian

5. Conversión entre grados y radianes
La medida en radianes (a) entre un
ángulo de α grados se obtiene mediante
la proporción:
°
=
3602
α
π
a
Ejemplos:
radianes
4360
2
4545
ππ
=
°
⋅°=°
°=
°
⋅= 120
2
360
3
2
3
2
π
ππ
radianes

6. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Vamos a estudiar un ángulo α. Tomamos
un punto cualquiera P. En el
consideramos:
Su abscisa x (que puede ser positiva o
negativa)
Su ordenada y (que puede ser positiva
o negativa)
Su distancia al origen r(siempre
positiva por ser una distancia)
En el triángulo OPQ: x es el
cateto contiguo, y es el
cateto opuesto y r la
hipotenusa.

7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL
ÁNGULO α

8. Razones trigonométricas de ángulos
cualesquiera
El valor de las razones
trigonométricas no depende del punto
P(x,y) elegido. Si elegimos otro punto
P‘(x‘,y‘) se tiene que:
r
y
r
y
sen
′
′
==α
r
x
r
x
′
′
==αcos
x
y
x
y
tg
′
′
==α
En virtud del teorema de Thales:
Para saber más

9. Relación entre razonesRelación entre razones
trigonométricastrigonométricas
De un ángulo
De ángulos diferentes

10. Relaciones entre las razonesRelaciones entre las razones
trigonométricas de un ángulotrigonométricas de un ángulo
Circunferencia goniométrica
sen a
cos a
1
a
Teorema fundamental de la
trigonometría
sen2
a + cos2
a = 1
Aplicando Pitágoras
Dividiendo por sen2
a o cos2
a:
1 + tg2
a = sec2
a
1 + cotg2
a = cosec2
a
Para saber más

11. Relaciones entre las razonesRelaciones entre las razones
trigonométricastrigonométricas de ángulos distintosde ángulos distintos
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que se diferencian en 180º
Ángulos opuestos

12. sen a
cos a
sen (90º-a)
cos(90º-a)
sen a = cos (90º-a)
cos a = sen (90º-a)
tg a = cotg (90º-a)
Para saber más
90º-a
a
El complementario del ángulo a es 90º-a
Las razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 90º-a son:Comprobamos que:
Compuébalo

13. a
180º-a
sen a
cos a
sen (180º-a)
cos (180º-a)
sen a = sen (180º-a)
cos a = - cos (180º-a)
tg a = - tg (180º-a)
Para saber más
El suplementario del ángulo a es el ángulo 180º-aLas razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 180º-a son:
Observamos que:
Compruébalo

14. a
180º+a
Las razones trigonométricas del ángulo a son:
sen a
cos a
Las razones trigonométricas del ángulo 180º+a son:
sen(180º+a)
cos(180º+a)
Comprobamos que:
sen a = - sen(180º+a)
cos a = -cos(180º+a)
tg a = tg(180º+a)
Para saber más
Compruébalo

15. a
-a
Las razones trigonométricas del ángulo a son:
sen acos a
Las razones trigonométricas del ángulo –a son:
cos (-a) sen (-a)
Comprobamos que:
sen a = - sen (-a)
cos a = cos (-a)
tg a = - tg (-a)
Para saber más
Compruébalo

16. R e s o lu c i ó n d e t r i á n g u lo s
r e c t á n g u lo s
T e o r e m a
d e l s e n o
T e o r e m a
d e l c o s e n o
R e s o lu c i ó n d e t r i á n g u lo s
c u a le s q u ie r a
F ó r m u la
d e H e r ó n
S = ( 1 /2 ) · la d o ·
la d o · s e n ( á n g u lo c o m p r e n d id o )
A r e a s d e t r i á n g u lo s
A p li c a c i o n e s
d e la t r i g o n o m e t r ía

17. Resolución de triángulos
rectángulos
• La suma de los dos
ángulos agudos es igual a
90º: B+C=90º
• Teorema de Pitágoras:
a2
= b2
+ c2
• Razones trigonométricas
seno, coseno y tangente:
sen B = b/a = cos C
cos B = c/a = sen C
tg B = b/c ; tg C = c/b
a
b
c
A B
C

18. Teorema de los senos (en un
triángulo cualquiera)
• El teorema del seno afirma que
en un triángulo cualquiera los
lados son proporcionales a los
senos de sus ángulos opuestos:
a/sen A = b/sen B = c/
sen C.
• Interpretación geométrica del
teorema del seno:
a/senA = b/senB = c/senC = 2R
Donde R
es el radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
2R2R
b
a
c
C A
B

19. Teorema de los cosenos (en un
triángulo cualquiera)
• El teorema del coseno
afirma que en un triángulo
cualquiera el cuadrado de
un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el
doble producto de ellos
por el coseno del ángulo
que forman.
• a2
= b2
+ c2
– 2 b c cos A
• b2
= a2
+ c2
– 2 a c cos B
• c2
= a2
+ b2
– 2 a b cos C
b
a
c
C A
B

20. Resolución de triángulos
cualesquiera
• Para resolver un triángulo
cualquiera tenemos en
cuenta las siguientes
relaciones entre sus
elementos:
• La suma de sus ángulos es
igual a 180º.
• El teorema del seno.
• El teorema del coseno.
• Según los datos del
problema podemos
considerar tres casos:
• CASO I: conocidos dos
lados y el ángulo
comprendido.
• CASO II: conocidos los
tres lados.
• CASO III: conocidos un
lado y dos ángulos.

21. b
a
C
a
C
B
CASO I: conocidos a,b y C.
CASO II: conocidos a, C
y B.
CASO III: conocidos a, b y c.
b
a c

22. Área de un triángulo
• S = (1/2) · b · a · sen C
• S = (1/2) · b · c · sen A
• S = (1/2) · a · c · sen B
• S = (a · b · c) / (4 · R) donde R es el radio de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
• Fórmula de Herón : S = √(p · (p-a) · (p-b) · (p-c)) donde p
es el semiperímetro del triángulo, p = (a+b+c)/2
A
B
C
A
B
C
• R• RR
b
a
c
b
a
c
hbhb