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Lanzamiento de un cohete
                                     Javier García Molleja
                                Ampliación de Métodos Numéricos

Índice
1. Denición del problema                                                                                    2
  1.1. Obtención de la ley de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       2
  1.2. Corrección a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    3

2. Método de resolución                                                                                      4
  2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          4
  2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       5
  2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       6

3. Seudocódigos                                                                                              6
4. Programación                                                                                              9
5. Juego de datos                                                                                            9
6. Resultados                                                                                               10
7. Discusión de resultados                                                                                  14




                                                     1
1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA                                                             Javier García Molleja


1. Denición del problema
    Antes de resolver el problema a partir del uso de métodos numéricos es necesario conocer el tratamiento
matemático que se aplica al suceso físico con el n de obtener su ecuación de movimiento. De este modo
podemos ver si el problema es convergente y está bien condicionado, pues estos requisitos son indispen-
sables para aplicar con ciertas garantías los métodos de resolución. Ambos puntos pueden responderse
satisfactoriamente, ya que partiremos de un hecho físico ampliamente estudiado [1] y utilizaremos un
modelo matemático adecuado y bien planteado.


1.1. Obtención de la ley de movimiento
    Si el cohete que utilizamos posee una masa inicial m0 , [2] que incluye tanto el material mecánico
como el combustible (para realizar un estudio más detallado usaremos para cualquier instante de tiempo
posterior la magnitud m con la que podemos recurrir a la ley de conservación de la masa, pues además
de la masa del cohete cargado tenemos la masa de los gases despedidos, así que ésta nos mostrará que
la masa que queda en el cohete disminuye), podemos averiguar que tras el despegue se irá perdiendo
progresivamente la masa correspondiente al carburante, al ritmo de q kg/s. Esta expulsión se hará con
velocidad u respecto al cohete, que por el principio de acción y reacción ascenderá. Se nos indica que no
hay resistencia del aire y que al partir de un polo los efectos de rotación son despreciables, por tanto, la
única fuerza externa que afecta a nuestro sistema de estudio será la gravedad.

    El movimiento del cohete se hará a lo largo de una recta, luego prescindiremos del carácter vectorial.
Si los cálculos se realizan en un sistema de referencia inercial con origen en el suelo y el sentido positivo
lo marca el ascenso, veremos que los gases aumentan un dm mientras transcurre el tiempo, lo que hará
que la velocidad de éstos sea v − u, donde v es la velocidad que posee el cohete y u es la velocidad de
expulsión (el signo negativo sólo indica que los gases son expulsados hacia el suelo). Por otra parte, el
cohete perderá un dm a lo largo del tiempo, mientras su velocidad aumenta a consecuencia de esto dv a
partir de la que tenía en el instante anterior, v. Durante todo el proceso se verica la ley de conservación
de la cantidad de movimiento:

                              pi =pf
                              pi =pmecanismo + pcombustible
                             mv =(m − dm)(v + dv) + dm(v − u)
                             mv =mv + m dv − v dm − dm dv + v dm − u dm
                               0 =m dv − u dm

Hemos supuesto que dm dv ≈ 0, ya que estamos realizando cálculos en los que se utilizan términos de
primer orden y un término de segundo orden posee un valor tan pequeño que apenas afecta a nuestros
cálculos. Sigamos operando con la ley de conservación, advirtiendo que dm = q dt

                                              0 =m dv − uq dt
                                                   dv
                                              0 =m     − uq
                                                    dt
                                             ma =uq

Una vez conseguida la ecuación de movimiento debemos considerar que estos cálculos se han realizado
en el caso de no existencia de gravedad, por lo que aquí se presenta que el cohete asciende más rápido
de lo normal. Por esto incluimos el sumando −mg en el segundo miembro que es la fuerza con la que
son atraidos los gases al suelo por efecto gravitatorio. Por consiguiente, trabajando en esta ecuación de


2                                                          Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                             1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA


Newton,
                                                        ma =uq − mg
                                                            qu
                                                         a=    − g.
                                                            m
   Ahora bien, sabiendo que la masa del sistema coincide con la suma de la masa del cohete y la del
combustible, y ésta a su vez con la suma de la masa que aún no se ha consumido y la que sí se ha
consumido 1
                                     m =mmecanismo + mcombustible
                                       =mmecanismo + (mcombustible interno − qt)
                                         =(mmecanismo + mcombustible interno ) − qt
                                         =m0 − qt,
entonces, sustituyendo en la ecuación de movimiento quedará que
                                                             qu
                                                      a=           − g.                                                     (1)
                                                           m0 − qt
Si como último paso identicamos la expresión con el grado de libertad del sistema (la altura h) llegaremos
a la ecuación de movimiento expresada en el problema
                                                    d2 h     qu
                                                         =         − g.
                                                    dt 2   m0 − qt

1.2. Corrección a la gravedad
   La práctica nos pide solucionar el problema en el caso de que la gravedad fuese constante y en el caso
de que dependiese de la altura. [3]
                                                                                                                 2
   Varios estudios han determinado que la gravedad en la supercie marciana es g = 3,7 m/s . Este dato
puede conocerse a partir de la ley universal de la gravitación de Newton:
                                                                   M
                                                         g = −G       ,
                                                                   r2
donde G = 6,67 · 10−11 m2 /s2 kg es la constante de gravitación de Cavendish, M = 6,4 · 1023 kg es la
masa de Marte y r = 3,394 · 106 m es el radio ecuatorial del planeta. A partir de esta fórmula podemos
crear la corrección con sólo considerar que el cohete que asciende está a una distancia h + r del centro
del planeta, por lo que si introducimos esto en la fórmula y multiplicamos y dividimos por r2 se llegará
a que
                                                       GM      r2
                                                 g =−
                                                        r2 (h + r)2
                                                       (      )2
                                                           r
                                                 g =g0
                                                         h+r
                                                           (          )2
                                                               3394
                                                 g =0,0037               ,
                                                             h + 3394
expresadas las distancias en kilómetros.
   Esto   nos hace ver que el resultado es correcto, pues al inicio toda la masa estaba en el cohete, mientras que en cualquier

instante de tiempo posterior esta masa ha disminuido.




Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                                                  3
2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN                                                                 Javier García Molleja


2. Método de resolución
    El método de integración numérica a aplicar se fundamenta en la idea de utilizar f (recordemos que
el problema a resolver es y ′ = f (x, y), con condición inicial dada y realizada la pertinente reducción de
grado) para realizar combinaciones lineales de la propia función f .[4] Así, se elegirán pares de valores para
que al combinarlos den un método de orden 2. Un pertinente desarrollo de Taylor nos permitirá llegar
a un sistema, en el cual se determinará un parámetro al exigir la condición del orden. En particular, si
repetimos el proceso llegaremos al método de RungeKutta de cuarto orden, que es muy utilizado por su
rapidez de convergencia y por su sencillez de fórmula:

                                                  h
                                    yi+1 = yi +     (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
                                                  6
donde

                                         k1 =f (xi , yi )
                                               (                       )
                                                          h       h
                                         k2 =f xi + , yi +          k1
                                                          2       2
                                               (                       )
                                                          h       h
                                         k3 =f xi + , yi +          k2
                                                          2       2
                                         k4 =f (xi + h, yi + hk3 ) .


2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta
    La resolución numérica de la ecuación de movimiento del cohete

                                            d2 h     qu
                                                 =         − g,
                                            dt 2   m0 − qt

nos permitirá conocer la altitud y la velocidad del mismo en función del tiempo: desde que despega hasta
que agota su combustible. Para aplicar el método de RungeKutta de cuarto orden es necesario que la
ecuación diferencial sea de primer orden. Esto se consigue con un pertinente cambio de variables:

                                                     h =s1
                                                    dh
                                                       =s2
                                                    dt
                                            {
                                                s′ = s2
                                                 1
                                                s′ = m0 −qt − g,
                                                 2
                                                        qu


donde las condiciones iniciales para el problema serán

                                                   s1 (0) =0
                                                   s2 (0) =0.

    Si además consideramos que la gravedad no es constante en función de la altura, el término g tendrá
el siguiente aspecto:
                                                 (           )2
                                                      3394
                                      g = 0,0037                .
                                                   s1 + 3394


4                                                               Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                                                    2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN


2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte
   Con este aspecto la ecuación diferencial puede resolverse mediante el método pedido. Pero antes se
nos plantea la posibilidad de la consideración del problema en dos casos diferenciados: si la gravedad es
constante y si la gravedad varía con la altura.

    Para el primer caso la aplicación del método es bastante sencilla, ya que la complejidad de las ope-
raciones a realizar por el ordenador es muy baja. En este caso, además, podemos obtener la solución
analítica de la ecuación de movimiento:
                                              d2 h(t)     qu
                                                      =         −g
                                               dt2      m0 − qt
                             ∫    h′ (t)                ∫ t             ∫ t
                                           d2 h(t)            qu
                                                   dt =            dt −     g dt
                                 h′ (0)     dt2          0 m0 − qt       0
                                    dh(t)                           t
                                          − v(0) = − u ln (m0 − qt)]0 − gt
                                     dt
                                                    0
                                              dh(t)
                                                    = − u (ln(m0 − qt) − ln m0 ) − gt
                                               dt
                                              dh(t)          m0 − qt
                                                    = − u ln         − gt
                                               dt              m0
                                              dh(t)          m0
                                                    =u ln         − gt,
                                               dt         m0 − qt
en donde hemos tenido que utilizar una de las condiciones de contorno para determinar la solución
analítica de la velocidad. A continuación, debemos realizar otra integración para conocer analíticamente
la altura, incorporando la segunda condición inicial cuando sea conveniente
                              ∫ h(t)             ∫ t                   ∫ t
                                     dh(t)               m0
                                           dt =u     ln         dt − g     t dt
                               h(0)   dt          0     m0 − qt          0
                                                 ∫ t
                                                         m0            t2
                                 h(t) − h(0) =u      ln         dt − g
                                                  0     m0 − qt        2
                                                   0

El primer sumando del segundo miembro puede resolverse por partes así que introduciremos las variables
                                                          m0               q
                                           α = ln               ⇒ dα =          dt
                                                        m0 − qt         m0 − qt
                                                        dβ = dt ⇒ β = t

y se realiza la siguiente operación:
                                               ∫    b                                 ∫       b
                                                                          b
                                                        α dβ = αβ]a −                             βdα,
                                                a                                         a

con lo cual tenemos que
                                                            ]t            ∫       t
                                                m0                                      qt           t2
                                  h =ut ln                        −u                          dt − g
                                               m0 − qt        0               0       m0 − qt        2
                                                                  ∫       t           qt                                     (2)
                                            m0                                        m0                 t2
                                  h =ut ln         −u                                              dt − g .
                                           m0 − qt                    0       1−          qt
                                                                                          m0
                                                                                                         2


Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                                                  5
3 SEUDOCÓDIGOS                                                                                      Javier García Molleja


    El último paso que nos queda es resolver la integral que aparece en el segundo miembro. Conoceremos
el valor de ésta si realizamos el cociente entre el numerador y el denominador, ya que poseen el mismo
grado, por lo que en realidad deberemos integrar
                                                      x          1
                                                         = −1 +     ,
                                                     1−x        1−x

donde, para el caso en el que estamos operando x =                    qt
                                                                      m0 .

                               ∫       t    qt                ∫   t          ∫   t
                                            m0                              dt
                                                     dt = −           dt +
                                   0       1−   qt
                                                m0           0          0 1 − m0
                                                                               qt

                                                                          (         )]t
                                                                  m0             qt
                                                       = − t]0 −
                                                             t
                                                                       ln 1 −
                                                                   q            m0 0
                                                                        (         )
                                                                m0            qt
                                                       =−t−          ln 1 −
                                                                 q           m0

    Obtenido esto ya podemos sustituir en los anteriores cálculos de (2)
                                               [            (         )]
                                    m0                m0           qt       t2
                         h =ut ln         − u −t −        ln 1 −         −g
                                  m0 − qt              q           m0       2
                             [                           (         )]
                                     m0           m0            qt       t2
                         h =u t ln          +t+       ln 1 −          −g .
                                   m0 − qt          q          m0        2

   A continuación, debemos realizar la resolución numérica de la práctica mediante la aplicación del
método de RungeKutta de cuarto orden. Como ya hemos convertido el problema de valores iniciales en
su problema análogo de Cauchy la implementación será sencilla.

   Una vez determinadas la soluciones analítica y numérica podemos dar valores a la primera en los
mismos puntos que el método RungeKutta, de esta manera podríamos conocer el error cometido a la
hora de resolver la sesión utilizando un programa informático sometido a la restricción de la representación
numérica y a los errores intrínsecos del método.

2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte
   En este apartado volveremos a aplicar lo que hemos visto en el anterior, con la única mención de que
ahora la gravedad no es constante, sino que disminuye con la altura.

    La ecuación de segundo orden con condiciones iniciales se convierte de igual modo en un problema
de Cauchy, en donde ahora aparece la variable s1 en el sustraendo del segundo miembro. La aplicación
del método de RungeKutta será análoga al caso anterior, aunque puede ser que los cálculos se retrasen
ahora un poco más por existir más operaciones a realizar, pero con un buen ordenador este incremento
de tiempo nos será inapreciable.


3. Seudocódigos
    Vamos a escribir primero el seudocódigo del progrma que nos permite conocer los valores de la altura
y la velocidad de nuestro cohete cuando la gravedad es constante. En el programa también se obtendrán
las soluciones analíticas respectivas y analizaremos el error que se comete al realizar los cálculos de un
modo u otro.


6                                                                            Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                               3   SEUDOCÓDIGOS


PROGRAMA Cohete
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, t
REAL*8::q, u m0, g
REAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2)
ENTERO::i, N

IMPRIMIR*,Extremos de intervalo
LEER*,a,b
IMPRIMIR*,Condiciones iniciales
LEER*,alpha1, alpha2
IMPRIMIR*,Número de pasos
LEER*,N

h = (b - a)/N
t = a
S(1) = alpha1
S(2) = alpha2
q = 600
u = 2
m0 = 198000
g = 0.0037

HACER i=1,N
k1 = f(t, S)
k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1)
k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2)
k4 = f(t + h, S + h*k3)
S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
t = t + h
IMPRIMIR*,A los , t, segundos
LLAMAR Espacio
LLAMAR Velocidad
FIN HACER

CONTIENE

SUBRUTINA Espacio
REAL*8::espa
espa = u*(t*LOG(m0/(m0 - qt)) + t + (m0/q)*LOG(1 - ((q*t)/m0))) - g*(t**2)/2
IMPRIMIR*,el espacio numérico es, S(1), y el analítico, espa
IMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(1)-espa)/espa)*100,%.
FIN SUBRUTINA Espacio

SUBRUTINA Velocidad
REAL*8::v
v = u*LOG(m0/(m0 - qt)) - g*t
IMPRIMIR*,La velocidad numérica es , S(2), y la analítica, v
IMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(2)- v)/v)*100,%.
IMPRIMIR*,--------------

Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                       7
3 SEUDOCÓDIGOS                                                                   Javier García Molleja


FIN SUBRUTINA Velocidad

FUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res)
REAL*8::t
REAL*8::S(2), res(2)
res(1) = S(2)
res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - g
FIN FUNCIÓN f
FIN PROGRAMA Cohete
    Ahora escribiremos el seudocódigo correspondiente al programa que calcula el espacio y la velocidad
del cohete cuando la gravedad disminuye con la altura.
PROGRAMA Cohete_gravedad
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, t
REAL*8::q, u m0, g
REAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2)
ENTERO::i, N

IMPRIMIR*,Extremos de intervalo
LEER*,a,b
IMPRIMIR*,Condiciones iniciales
LEER*,alpha1, alpha2
IMPRIMIR*,Número de pasos
LEER*,N

h = (b - a)/N
t = a
S(1) = alpha1
S(2) = alpha2
q = 600
u = 2
m0 = 198000
g = 0.0037

HACER i=1,N
k1 = f(t, S)
k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1)
k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2)
k4 = f(t + h, S + h*k3)
S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
t = t + h
IMPRIMIR*,En el segundo,t,la nave ha ascendido,S(1),km, con una velocidad,S(2),km/s.
FIN HACER

CONTIENE

FUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res)
REAL*8::t
REAL*8::S(2), res(2)

8                                                       Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                             5 JUEGO DE DATOS


res(1) = S(2)
res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - g*(3394.0/(S(1) + 3394.0))**2
FIN FUNCIÓN f
FIN PROGRAMA Cohete_gravedad


4. Programación
    La redacción de la práctica se hará mediante el lenguaje FORTRAN 90 [5] cuyos cheros creados
listos para compilar se presentarán en soporte magnético adjuntados al presente trabajo.


5. Juego de datos
    Los datos necesarios para realizar la sesión han sido dados, por lo que se implementarán en la ejecución
del programa informático para conocer la altura y la velocidad del cohete en función del tiempo.

  1. Las condiciones iniciales quedan marcadas entre el despegue y el agotamiento del combustible.
     Conocemos por tanto que el despegue se efectúa en t = 0, mientras que el combustible se agotará
     dependiendo de la velocidad con que se consuma. Si para este caso q = 600 kg/s y la masa inicial
     del combustible es de 96000 kg tenemos que éste se acabará transcurridos t = mc = 160 s.
                                                                                  q

  2. Las condiciones iniciales (t = 0) para este problema de segundo orden deben ser dos, las cuales
     también son datos que conocemos:

                                                      h =0
                                                     dh
                                                        =0
                                                     dt

  3. El número de pasos necesarios para resolver el problema no nos han sido referidos, por lo que se
     probarán diferentes casos para conocer la precisión del método numérico y observar si la acumulación
     de errores de redondeo afecta en demasía a la práctica. Para evitar de algún modo esto podríamos
     declarar en la creación del programa informático que las variables que utilicemos posean una doble
     precisión.

  4. La velocidad de consumo del carburante es q = 600 kg/s.

  5. La velocidad con la que sale el combustible es u = 2 km/s.

  6. La masa inicial del cohete cargado es m0 = 198000 kg.

  7. La gravedad marciana tomará dos expresiones según lo que nos han pedido:
                                                                 2
                               Si es constante g = 0,0037 km/s
                                                           (          )2
                                                               3394          2
                                    Si no lo es g = 0,0037               km/s .
                                                             h + 3394

  8. La solución analítica puede hacerse también por medio de un progrma informático. La comparación
     con los datos numéricos se hará mediante el cálculo del error relativo porcentual, no siendo admisible
     errores superiores al 10%.


Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                              9
6 RESULTADOS                                                                       Javier García Molleja


6. Resultados
    Tras haber creado y compilado los programas debemos introducir por pantalla los valores indicados
en la sección anterior, de esta manera conocemos la altura y la velocidad del cohete mediante un cálculo
analítico y numérico para el caso de gravedad constante. Mostraremos una tabla en la que se dan los
valores en intervalos de cinco segundos, o sea, indicamos 32 pasos cuando el programa nos lo pida. Este
número es bastante acorde con los experimentos, pues un número mayor o menor de pasos dará un
resultado que apenas diferirá de lo obtenido y el resto se halla fácilmente por interpolación. Además,
con una gran cantidad de pasos los errores de redondeo comenzarían a ser excesivos y la lectura de ellos
puede ser engorrosa. En el caso de escoger pocos pasos se tendrá la sensación de que el error cometido es
grande, ya que al método no le ha dado tiempo para aproximar la solución.

        Tiempo (s)                                   Altura (km)
                              Numérica                 Analítica                Error(%)
             5         2.989311048028569E-2     2.989311497355729E-2     1.503112539141104E-5
            10           0.121138444019721        0.121138453221779      7.596314367720458E-6
            15           0.276140135748067        0.276140149891802      5.121940764873798E-6
            20           0.497378652012070        0.497378671349445      3.887857712535787E-6
            25           0.787414484447101        0.787414509251008      3.150044350318511E-6
            30           1.14889208633556         1.14889211690215       2.660527334632260E-6
            35           1.58454407144801         1.58454410809887       2.313022103603447E-6
            40           2.09719569761741         2.09719574070233       2.054406574709904E-6
            45           2.68976965959949         2.68976970949947       1.855176934929504E-6
            50           3.36529121835761         3.36529127548830       1.697644689494252E-6
            55           4.12689369681917         4.12689376163465       1.570563351664466E-6
            60           4.97782437542960         4.97782444842667       1.466445258700152E-6
            65           5.92145082453469         5.92145090625809       1.380124597586639E-6
            70           6.96126771481506         6.96126780586283       1.307919436403273E-6
            75           8.10090415175597         8.10090425278588       1.247143676161605E-6
            80           9.34413158554704         9.34413169728398       1.195798092347658E-6
            85           10.6948723539770         10.6948724772213       1.152367996221438E-6
            90           12.1572089229401         12.1572090585772       1.115692090054926E-6
            95           13.7353938972531         13.7353940462644       1.084871333785316E-6
            100          15.4338608837638         15.4338610472400       1.059204817173701E-6
            105          17.2572362994362         17.2572364785917       1.038147034079225E-6
            110          19.2103522294561         19.2103524256463       1.021273558531070E-6
            115          21.2982604547371         21.2982606694789       1.008259395079060E-6
            120          23.5262477848747         23.5262480198639       9.988616344858986E-7
            125          25.8998528520389         25.8998531092005       9.929075429324373E-7
            130          28.4248845440729         28.4248848255607       9.902863984604620E-7
            135          31.1074422818153         31.1074425900720       9.909420762458226E-7
            140          33.9539383772339         33.95399387150325      9.948729763401329E-7
            145          36.9711227463391         36.9711231168369       1.002127429641460E-6
            150          40.1661102953087         40.1661107021134       1.012805931546525E-6
            155          43.5464113513711         43.5464117986208       1.027064343394998E-6
            160          47.1199655737467         47.1199660662051       1.045116137186130E-6

   Hemos visto que los resultados obtenidos analítica y numéricamente no son muy dispares, pues el
porcentaje de error relativo es inferior al 10%. Esto nos asegura que el método ha sido bien implementado
y que ha sido correcta la elección de variables con doble precisión, pues de no haber sido así no nos


10                                                       Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                                6 RESULTADOS


hubiésemos percatado a simple vista en qué cifra decimal empiezan a discrepar los resultados.

    Del mismo modo también presentaremos la tabla de valores para la velocidad, pues por falta de espacio
hemos tenido que dividir la tabla correspondiente al caso de gravedad constante en dos. La presentación
será la misma: en intervalos de cinco segundos se indicarán la velocidad obtenida numéricamente y la cal-
culada mediante métodos analíticos, comparados estos resultados mediante un error relativo porcentual.

        Tiempo (s)                                 Velocidad (km/s)
                               Numérica                Analítica               Error (%)
             5          1.203494426981436E-2    1.203494425598883E-2     1.148782160434254E-7
            10          2.454331735108788E-2    2.454331732233150E-2     1.171658067863203E-7
            15          3.754003129792256E-2    3.754003125302201E-2     1.196071155464940E-7
            20          5.104071400269476E-2    5.104071394031612E-2     1.222134883358836E-7
            25          6.506175575961329E-2    6.506175567828909E-2     1.249953932666673E-7
            30          7.962035967701080E-2    7.962035957512226E-2     1.279679466608732E-7
            35          9.473459632653689E-2    9.473459620229646E-2     1.311457782955766E-7
            40            0.110423463063878       0.110423462915309      1.345444398306204E-7
            45            0.126706948508547       0.126706948333459      1.381830954209769E-7
            50            0.143606102730711       0.143606102526673      1.420817504494223E-7
            55            0.161143113762134       0.161143113526442      1.462629082710688E-7
            60            0.179341391127607       0.179341390857247      1.507513346576257E-7
            65            0.198225657184355       0.198225656875964      1.555754611586602E-7
            70            0.217822047161949       0.217822046811765      1.607660661553797E-7
            75            0.238158218916576       0.238158218520381      1.663581956507150E-7
            80            0.259263473554100       0.259263473107152      1.723912899121323E-7
            85            0.281168888239641       0.281168887736603      1.789095332281962E-7
            90            0.303907462701641       0.303907462136486      1.859626126826121E-7
            95            0.327514281160654       0.327514280526563      1.936070461881396E-7
            100           0.352026691673668       0.327514280526563      2.019068969456946E-7
            105           0.377484505191111       0.377484504394865      2.109349165118938E-7
            110           0.403930216985168       0.403930216093394      2.207742018056232E-7
            115           0.431409253536002       0.431409252537204      2.315199248658633E-7
            120           0.459970248471026       0.459970247352004      2.432814328037973E-7
            125           0.489665351758984       0.489665350504537      2.561845419375906E-7
            130           0.520550577087131       0.520550575679692      2.703750836031631E-7
            135           0.552686193223488       0.552686191642684      2.860220501602159E-7
            140           0.586137166221505       0.586137164443618      3.033227735306523E-7
            145           0.620973660605043       0.620973658602352      3.225082249954625E-7
            150           0.657271609233020       0.657271606972993      3.438498259256014E-7
            155           0.695113363456510       0.695113360900798      3.676684675150828E-7
            160           0.734588437528529       0.734588434841714      3.943451850455403E-7

    Vemos que la práctica también ha tenido éxito en este apartado, ya que ambos resultados apenas
dieren y están muy por debajo de la tolerancia exigida para aceptarlos. Aquí vuelve a asegurarse la
declaración de variables del programa como doble precisión. También se admite que la implementación
del método RungeKutta ha sido satisfactoria, amén de la correcta resolución analítica.

    A continuación, expresaremos la altitud y celeridad del cohete cuando la gravedad disminuye con la
altura. Como la resolución analítica no existe (o es harto complicada) no sabremos a ciencia cierta si
los resultados son los correctos o no, aunque podemos ayudarnos en cierta manera en que el problema


Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                          11
6 RESULTADOS                                                                       Javier García Molleja


está bien planteado. Por este motivo conocemos que pequeñas variaciones en los datos de partida darán
resultados levemente dispares.




                     Tiempo (s)         Altura (km)             Velocidad (km/s)
                         5         2.989324451254652E-2      1.203505254598128E-2
                         10          0.121140620104505       2.454419203647860E-2
                         15          0.276151246152678       3.754301230798288E-2
                         20          0.497414048012360       5.104784949856673E-2
                         25          0.787501585278369       6.507582936485583E-2
                         30          1.14907412616504        7.964491847400441E-2
                         35          1.58488398833578        9.477397966018650E-2
                         40          2.09778016857438          0.110482832181680
                         45          2.69071328600002          0.126792317067663
                         50          3.36674086612209          0.143724368204395
                         55          4.12903299594790          0.161302089779730
                         60          4.98087838364572          0.179549840784348
                         65          5.92569085998013          0.198493327359424
                         70          6.96701636294211          0.218159703885678
                         75          8.10854045176778          0.238577683830321
                         80          9.35409640196533          0.259777661509260
                         85          10.7076739391554          0.281791846085509
                         90          12.1734286765994          0.304654409315326
                         95          13.7556923293884          0.328401648776267
                        100          15.4589837875745          0.353072168572318
                        105          17.2880211412441          0.378707079818128
                        110          19.2477347629264          0.405350223566371
                        115          21.3432815670895          0.433048419270900
                        120          23.5800605831770          0.461851742387598
                        125          25.9637299981195          0.491813835322306
                        130          28.5002258470688          0.522992256662707
                        135          31.1957825579017          0.555448874505800
                        140          34.0569555866603          0.589250310749300
                        145          37.0906464185343          0.624468444497316
                        150          40.3041302535232          0.661180984293881
                        155          43.7050867491054          0.699472120813363
                        160          47.3016342560792          0.739433273996642




    Se observa que las soluciones obtenidas no dieren mucho de las anteriores, por lo que podemos asegu-
rar que los resultados son correctos. Además, como progresivamente se debilita la atracción gravitatoria
la altura y velocidad en este caso deben ser mayores, tal y como hemos visto en los resultados.


12                                                       Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                                          6 RESULTADOS



                                                Representación de la altura
                  50

                  45

                  40

                  35

                  30
         h (km)




                  25

                  20

                  15

                  10

                   5

                   0
                       0         20       40        60       80       100      120       140      160
                                                            t (s)


                           Figura 1: Representación de la altura del cohete respecto del tiempo




Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                             13
7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS                                                                  Javier García Molleja



                                               Representación de la velocidad
                   0.8


                   0.7


                   0.6


                   0.5
        v (km/s)




                   0.4


                   0.3


                   0.2


                   0.1


                    0
                         0      20        40       60        80        100      120      140       160
                                                            t (s)


                         Figura 2: Representación de la velocidad del cohete respecto del tiempo


7. Discusión de resultados
    El problema que hemos resuelto no tiene relevancia inmediata, pero puede ser de gran importancia
para futuras expediciones tripuladas a Marte. Con este tratamiento podemos extrapolar el método de
resolución a las misiones astronáuticas que parten de la Tierra, pero con el inconveniente de que los des-
pegues no se realizan en los polos, por lo que el efecto Coriolis sería más acusado como consecuencia de
la rotación terrestre. También deberíamos admitir que nuestra atmósfera es más densa que la marciana,
haciendo que los efectos de rozamiento con el aire fueran considerados.

    Sin embargo, para nuestro problema, la nave despegaría posiblemente de vastita borealis, [6] es decir,
el polo norte de Marte. En este lugar el terreno es menos accidentado y un amartizaje sin problemas
sería sencillo, aunque podría ser que el punto de estudio estuviese bastante alejado de la nave. Durante
la época de invierno aparece hielo en esta región, con la posibilidad de la existencia de agua congelada,
sustancia apreciada para un consecuente regreso a la Tierra, puesto que como carburante se utiliza el
oxígeno líquido. Además, tras un adecuado tratamiento podría incluso llegar a beberse, primer paso para
crear las primeras colonias permanentes en el planeta rojo.

   Como vemos en los resultados obtenidos, la nave partiría del polo e iría ascendiendo conforme el
aumento de velocidad y la inevitable pérdida de combustible. Según nuestros cálculos el combustible se


14                                                                  Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
Javier García Molleja                                                 7   DISCUSIÓN DE RESULTADOS


acabará transcurridos 160 s, por lo que la altura y la velocidad en ese instante sería (para el caso de
que la gravedad no fuese constante) 47,3016342560792 km y 0,739433273996642 km/s, respectivamente.
Estos valores inducen a calcular la velocidad de escape del planeta marciano, pudiendo así comprobar si
ha habido suciente combustible como para que la nave entre en órbita:

                                       √
                                           2GM
                                ve =           = 5,015473993090612 km/s.
                                             r


    Este resultado se consiguió utilizando los datos referidos en un apartado anterior y nos hace ver que el
cohete no alcanza suciente velocidad como para acabar de abandonar el campo gravitatorio del planeta,
lo que plantea un fracaso en la misión.

    Si los astronautas sobreviven a la colisión tras el proceso de subida y caida libre (o en el mejor de
los casos, el ordenador indicó que no podía despegar la nave por falta de combustible) sería necesaria
una misión de rescate. Suponiendo que el cohete MIR tuviese ya pocas reservas alimenticias es inviable
que partiese desde la Tierra una nave de salvamento, denomidada HERMES, pues es necesario que ésta
parta en la ventana espacial que tiene lugar cada dos años entre los dos planetas, momento en la que la
distancia que los separa es mínima.

    Otra posible ruta de escape viene inspirada en las misiones APOLLO : el viaje hacia Marte se haría
en una nave espacial, de la que se desprendería, llegado el momento, un módulo que amartizaría (en
este caso el cohete de la práctica), continuando la nave en la órbita marciana durante la estancia de los
astronautas en el suelo. Llegado el mensaje de socorro los tripulantes enviarían un módulo de salvamento,
llamado DEDALUS, para salvar a sus compañeros.

    También es viable que el cohete de la práctica estuviese equipado con unos motores auxiliares que
le permitiesen moverse por el eje horizontal, de este modo si consigue generar la fuerza de empuje en
este eje como para que igualase (en módulo) a la fuerza gravitatoria que tira de la nave hacia el suelo
podría entrar en órbita. Modicando ésta podría ganar la suciente energía y llegar hasta la nave principal.

   Aparte de todas estas suposiciones es necesario indicar que la sesión ha sido ampliamente provechosa,
ya que nos ha permitido observar la viabilidad de resolver numéricamente una ecuación en derivadas or-
dinarias, comparando los resultados obtenidos con los cálculos analíticos, si era posible. La modicación
pertinente del método de RungeKutta para adaptarlo a la resolución del sistema planteado ha servido
para analizar aún más si cabe las posibilidades del método.

    Además, la sesión sirve para familiarizarse con problemas físicos reales y las posibles variantes que se
pueden dar, y en cada caso, tener idea de la manera de resolución. También la aparición de un fallo en
los datos permite una reexión para ver soluciones, pues es posible que existan errores de este tipo en la
vida real (recordemos la colisión de un satélite en Marte hace varios años al haber un malentendido en el
tipo de unidades que se estaban manejando).

   Finalmente, haber trabajado en esta sesión ha tenido resultados favorables de cara al conocimiento de
casos reales y la aplicación sobre ellos de métodos numéricos, con el inestimable refuerzo de conocimientos
previamente adquiridos y la ejercitación de la mente para nuevos problemas que pueden plantearse en un
futuro cercano.


Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)                                                             15
REFERENCIAS                                                                          Javier García Molleja


Referencias
[1] E. Casado Revuelta, M. A. Hernández Aláez, P. Rodríguez García: Apuntes de Física General ; 2001,
    Universidad de Córdoba
[2] M. Sáez Cano, J. M. Alcaraz Pelegrina: Apuntes de Mecánica y Ondas ; 2002, Universidad de Córdoba

[3] P. A. Tipler: Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1 ; 6.a edición, Editorial Reverté
[4] Grupo SiGNum: Ampliación de Métodos Numéricos ; 2005, Universidad de Córdoba

[5] J. L. Cruz Soto: Apuntes de Programación Cientíca ; 2003, Universidad de Córdoba
[6] Varios autores: Gran Enciclopedia Larousse ; 1996, Editorial Planeta




16                                                         Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)

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Simulación del lanzamiento de un cohete bajo campo gravitatorio no constante

  • 1. Lanzamiento de un cohete Javier García Molleja Ampliación de Métodos Numéricos Índice 1. Denición del problema 2 1.1. Obtención de la ley de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Corrección a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Método de resolución 4 2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Seudocódigos 6 4. Programación 9 5. Juego de datos 9 6. Resultados 10 7. Discusión de resultados 14 1
  • 2. 1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Javier García Molleja 1. Denición del problema Antes de resolver el problema a partir del uso de métodos numéricos es necesario conocer el tratamiento matemático que se aplica al suceso físico con el n de obtener su ecuación de movimiento. De este modo podemos ver si el problema es convergente y está bien condicionado, pues estos requisitos son indispen- sables para aplicar con ciertas garantías los métodos de resolución. Ambos puntos pueden responderse satisfactoriamente, ya que partiremos de un hecho físico ampliamente estudiado [1] y utilizaremos un modelo matemático adecuado y bien planteado. 1.1. Obtención de la ley de movimiento Si el cohete que utilizamos posee una masa inicial m0 , [2] que incluye tanto el material mecánico como el combustible (para realizar un estudio más detallado usaremos para cualquier instante de tiempo posterior la magnitud m con la que podemos recurrir a la ley de conservación de la masa, pues además de la masa del cohete cargado tenemos la masa de los gases despedidos, así que ésta nos mostrará que la masa que queda en el cohete disminuye), podemos averiguar que tras el despegue se irá perdiendo progresivamente la masa correspondiente al carburante, al ritmo de q kg/s. Esta expulsión se hará con velocidad u respecto al cohete, que por el principio de acción y reacción ascenderá. Se nos indica que no hay resistencia del aire y que al partir de un polo los efectos de rotación son despreciables, por tanto, la única fuerza externa que afecta a nuestro sistema de estudio será la gravedad. El movimiento del cohete se hará a lo largo de una recta, luego prescindiremos del carácter vectorial. Si los cálculos se realizan en un sistema de referencia inercial con origen en el suelo y el sentido positivo lo marca el ascenso, veremos que los gases aumentan un dm mientras transcurre el tiempo, lo que hará que la velocidad de éstos sea v − u, donde v es la velocidad que posee el cohete y u es la velocidad de expulsión (el signo negativo sólo indica que los gases son expulsados hacia el suelo). Por otra parte, el cohete perderá un dm a lo largo del tiempo, mientras su velocidad aumenta a consecuencia de esto dv a partir de la que tenía en el instante anterior, v. Durante todo el proceso se verica la ley de conservación de la cantidad de movimiento: pi =pf pi =pmecanismo + pcombustible mv =(m − dm)(v + dv) + dm(v − u) mv =mv + m dv − v dm − dm dv + v dm − u dm 0 =m dv − u dm Hemos supuesto que dm dv ≈ 0, ya que estamos realizando cálculos en los que se utilizan términos de primer orden y un término de segundo orden posee un valor tan pequeño que apenas afecta a nuestros cálculos. Sigamos operando con la ley de conservación, advirtiendo que dm = q dt 0 =m dv − uq dt dv 0 =m − uq dt ma =uq Una vez conseguida la ecuación de movimiento debemos considerar que estos cálculos se han realizado en el caso de no existencia de gravedad, por lo que aquí se presenta que el cohete asciende más rápido de lo normal. Por esto incluimos el sumando −mg en el segundo miembro que es la fuerza con la que son atraidos los gases al suelo por efecto gravitatorio. Por consiguiente, trabajando en esta ecuación de 2 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 3. Javier García Molleja 1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Newton, ma =uq − mg qu a= − g. m Ahora bien, sabiendo que la masa del sistema coincide con la suma de la masa del cohete y la del combustible, y ésta a su vez con la suma de la masa que aún no se ha consumido y la que sí se ha consumido 1 m =mmecanismo + mcombustible =mmecanismo + (mcombustible interno − qt) =(mmecanismo + mcombustible interno ) − qt =m0 − qt, entonces, sustituyendo en la ecuación de movimiento quedará que qu a= − g. (1) m0 − qt Si como último paso identicamos la expresión con el grado de libertad del sistema (la altura h) llegaremos a la ecuación de movimiento expresada en el problema d2 h qu = − g. dt 2 m0 − qt 1.2. Corrección a la gravedad La práctica nos pide solucionar el problema en el caso de que la gravedad fuese constante y en el caso de que dependiese de la altura. [3] 2 Varios estudios han determinado que la gravedad en la supercie marciana es g = 3,7 m/s . Este dato puede conocerse a partir de la ley universal de la gravitación de Newton: M g = −G , r2 donde G = 6,67 · 10−11 m2 /s2 kg es la constante de gravitación de Cavendish, M = 6,4 · 1023 kg es la masa de Marte y r = 3,394 · 106 m es el radio ecuatorial del planeta. A partir de esta fórmula podemos crear la corrección con sólo considerar que el cohete que asciende está a una distancia h + r del centro del planeta, por lo que si introducimos esto en la fórmula y multiplicamos y dividimos por r2 se llegará a que GM r2 g =− r2 (h + r)2 ( )2 r g =g0 h+r ( )2 3394 g =0,0037 , h + 3394 expresadas las distancias en kilómetros. Esto nos hace ver que el resultado es correcto, pues al inicio toda la masa estaba en el cohete, mientras que en cualquier instante de tiempo posterior esta masa ha disminuido. Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 3
  • 4. 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN Javier García Molleja 2. Método de resolución El método de integración numérica a aplicar se fundamenta en la idea de utilizar f (recordemos que el problema a resolver es y ′ = f (x, y), con condición inicial dada y realizada la pertinente reducción de grado) para realizar combinaciones lineales de la propia función f .[4] Así, se elegirán pares de valores para que al combinarlos den un método de orden 2. Un pertinente desarrollo de Taylor nos permitirá llegar a un sistema, en el cual se determinará un parámetro al exigir la condición del orden. En particular, si repetimos el proceso llegaremos al método de RungeKutta de cuarto orden, que es muy utilizado por su rapidez de convergencia y por su sencillez de fórmula: h yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6 donde k1 =f (xi , yi ) ( ) h h k2 =f xi + , yi + k1 2 2 ( ) h h k3 =f xi + , yi + k2 2 2 k4 =f (xi + h, yi + hk3 ) . 2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta La resolución numérica de la ecuación de movimiento del cohete d2 h qu = − g, dt 2 m0 − qt nos permitirá conocer la altitud y la velocidad del mismo en función del tiempo: desde que despega hasta que agota su combustible. Para aplicar el método de RungeKutta de cuarto orden es necesario que la ecuación diferencial sea de primer orden. Esto se consigue con un pertinente cambio de variables: h =s1 dh =s2 dt { s′ = s2 1 s′ = m0 −qt − g, 2 qu donde las condiciones iniciales para el problema serán s1 (0) =0 s2 (0) =0. Si además consideramos que la gravedad no es constante en función de la altura, el término g tendrá el siguiente aspecto: ( )2 3394 g = 0,0037 . s1 + 3394 4 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 5. Javier García Molleja 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN 2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte Con este aspecto la ecuación diferencial puede resolverse mediante el método pedido. Pero antes se nos plantea la posibilidad de la consideración del problema en dos casos diferenciados: si la gravedad es constante y si la gravedad varía con la altura. Para el primer caso la aplicación del método es bastante sencilla, ya que la complejidad de las ope- raciones a realizar por el ordenador es muy baja. En este caso, además, podemos obtener la solución analítica de la ecuación de movimiento: d2 h(t) qu = −g dt2 m0 − qt ∫ h′ (t) ∫ t ∫ t d2 h(t) qu dt = dt − g dt h′ (0) dt2 0 m0 − qt 0 dh(t) t − v(0) = − u ln (m0 − qt)]0 − gt dt 0 dh(t) = − u (ln(m0 − qt) − ln m0 ) − gt dt dh(t) m0 − qt = − u ln − gt dt m0 dh(t) m0 =u ln − gt, dt m0 − qt en donde hemos tenido que utilizar una de las condiciones de contorno para determinar la solución analítica de la velocidad. A continuación, debemos realizar otra integración para conocer analíticamente la altura, incorporando la segunda condición inicial cuando sea conveniente ∫ h(t) ∫ t ∫ t dh(t) m0 dt =u ln dt − g t dt h(0) dt 0 m0 − qt 0 ∫ t m0 t2 h(t) − h(0) =u ln dt − g 0 m0 − qt 2 0 El primer sumando del segundo miembro puede resolverse por partes así que introduciremos las variables m0 q α = ln ⇒ dα = dt m0 − qt m0 − qt dβ = dt ⇒ β = t y se realiza la siguiente operación: ∫ b ∫ b b α dβ = αβ]a − βdα, a a con lo cual tenemos que ]t ∫ t m0 qt t2 h =ut ln −u dt − g m0 − qt 0 0 m0 − qt 2 ∫ t qt (2) m0 m0 t2 h =ut ln −u dt − g . m0 − qt 0 1− qt m0 2 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 5
  • 6. 3 SEUDOCÓDIGOS Javier García Molleja El último paso que nos queda es resolver la integral que aparece en el segundo miembro. Conoceremos el valor de ésta si realizamos el cociente entre el numerador y el denominador, ya que poseen el mismo grado, por lo que en realidad deberemos integrar x 1 = −1 + , 1−x 1−x donde, para el caso en el que estamos operando x = qt m0 . ∫ t qt ∫ t ∫ t m0 dt dt = − dt + 0 1− qt m0 0 0 1 − m0 qt ( )]t m0 qt = − t]0 − t ln 1 − q m0 0 ( ) m0 qt =−t− ln 1 − q m0 Obtenido esto ya podemos sustituir en los anteriores cálculos de (2) [ ( )] m0 m0 qt t2 h =ut ln − u −t − ln 1 − −g m0 − qt q m0 2 [ ( )] m0 m0 qt t2 h =u t ln +t+ ln 1 − −g . m0 − qt q m0 2 A continuación, debemos realizar la resolución numérica de la práctica mediante la aplicación del método de RungeKutta de cuarto orden. Como ya hemos convertido el problema de valores iniciales en su problema análogo de Cauchy la implementación será sencilla. Una vez determinadas la soluciones analítica y numérica podemos dar valores a la primera en los mismos puntos que el método RungeKutta, de esta manera podríamos conocer el error cometido a la hora de resolver la sesión utilizando un programa informático sometido a la restricción de la representación numérica y a los errores intrínsecos del método. 2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte En este apartado volveremos a aplicar lo que hemos visto en el anterior, con la única mención de que ahora la gravedad no es constante, sino que disminuye con la altura. La ecuación de segundo orden con condiciones iniciales se convierte de igual modo en un problema de Cauchy, en donde ahora aparece la variable s1 en el sustraendo del segundo miembro. La aplicación del método de RungeKutta será análoga al caso anterior, aunque puede ser que los cálculos se retrasen ahora un poco más por existir más operaciones a realizar, pero con un buen ordenador este incremento de tiempo nos será inapreciable. 3. Seudocódigos Vamos a escribir primero el seudocódigo del progrma que nos permite conocer los valores de la altura y la velocidad de nuestro cohete cuando la gravedad es constante. En el programa también se obtendrán las soluciones analíticas respectivas y analizaremos el error que se comete al realizar los cálculos de un modo u otro. 6 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 7. Javier García Molleja 3 SEUDOCÓDIGOS PROGRAMA Cohete SIN CRITERIO IMPLÍCITO REAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, t REAL*8::q, u m0, g REAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2) ENTERO::i, N IMPRIMIR*,Extremos de intervalo LEER*,a,b IMPRIMIR*,Condiciones iniciales LEER*,alpha1, alpha2 IMPRIMIR*,Número de pasos LEER*,N h = (b - a)/N t = a S(1) = alpha1 S(2) = alpha2 q = 600 u = 2 m0 = 198000 g = 0.0037 HACER i=1,N k1 = f(t, S) k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1) k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2) k4 = f(t + h, S + h*k3) S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) t = t + h IMPRIMIR*,A los , t, segundos LLAMAR Espacio LLAMAR Velocidad FIN HACER CONTIENE SUBRUTINA Espacio REAL*8::espa espa = u*(t*LOG(m0/(m0 - qt)) + t + (m0/q)*LOG(1 - ((q*t)/m0))) - g*(t**2)/2 IMPRIMIR*,el espacio numérico es, S(1), y el analítico, espa IMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(1)-espa)/espa)*100,%. FIN SUBRUTINA Espacio SUBRUTINA Velocidad REAL*8::v v = u*LOG(m0/(m0 - qt)) - g*t IMPRIMIR*,La velocidad numérica es , S(2), y la analítica, v IMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(2)- v)/v)*100,%. IMPRIMIR*,-------------- Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 7
  • 8. 3 SEUDOCÓDIGOS Javier García Molleja FIN SUBRUTINA Velocidad FUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res) REAL*8::t REAL*8::S(2), res(2) res(1) = S(2) res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - g FIN FUNCIÓN f FIN PROGRAMA Cohete Ahora escribiremos el seudocódigo correspondiente al programa que calcula el espacio y la velocidad del cohete cuando la gravedad disminuye con la altura. PROGRAMA Cohete_gravedad SIN CRITERIO IMPLÍCITO REAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, t REAL*8::q, u m0, g REAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2) ENTERO::i, N IMPRIMIR*,Extremos de intervalo LEER*,a,b IMPRIMIR*,Condiciones iniciales LEER*,alpha1, alpha2 IMPRIMIR*,Número de pasos LEER*,N h = (b - a)/N t = a S(1) = alpha1 S(2) = alpha2 q = 600 u = 2 m0 = 198000 g = 0.0037 HACER i=1,N k1 = f(t, S) k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1) k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2) k4 = f(t + h, S + h*k3) S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) t = t + h IMPRIMIR*,En el segundo,t,la nave ha ascendido,S(1),km, con una velocidad,S(2),km/s. FIN HACER CONTIENE FUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res) REAL*8::t REAL*8::S(2), res(2) 8 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 9. Javier García Molleja 5 JUEGO DE DATOS res(1) = S(2) res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - g*(3394.0/(S(1) + 3394.0))**2 FIN FUNCIÓN f FIN PROGRAMA Cohete_gravedad 4. Programación La redacción de la práctica se hará mediante el lenguaje FORTRAN 90 [5] cuyos cheros creados listos para compilar se presentarán en soporte magnético adjuntados al presente trabajo. 5. Juego de datos Los datos necesarios para realizar la sesión han sido dados, por lo que se implementarán en la ejecución del programa informático para conocer la altura y la velocidad del cohete en función del tiempo. 1. Las condiciones iniciales quedan marcadas entre el despegue y el agotamiento del combustible. Conocemos por tanto que el despegue se efectúa en t = 0, mientras que el combustible se agotará dependiendo de la velocidad con que se consuma. Si para este caso q = 600 kg/s y la masa inicial del combustible es de 96000 kg tenemos que éste se acabará transcurridos t = mc = 160 s. q 2. Las condiciones iniciales (t = 0) para este problema de segundo orden deben ser dos, las cuales también son datos que conocemos: h =0 dh =0 dt 3. El número de pasos necesarios para resolver el problema no nos han sido referidos, por lo que se probarán diferentes casos para conocer la precisión del método numérico y observar si la acumulación de errores de redondeo afecta en demasía a la práctica. Para evitar de algún modo esto podríamos declarar en la creación del programa informático que las variables que utilicemos posean una doble precisión. 4. La velocidad de consumo del carburante es q = 600 kg/s. 5. La velocidad con la que sale el combustible es u = 2 km/s. 6. La masa inicial del cohete cargado es m0 = 198000 kg. 7. La gravedad marciana tomará dos expresiones según lo que nos han pedido: 2 Si es constante g = 0,0037 km/s ( )2 3394 2 Si no lo es g = 0,0037 km/s . h + 3394 8. La solución analítica puede hacerse también por medio de un progrma informático. La comparación con los datos numéricos se hará mediante el cálculo del error relativo porcentual, no siendo admisible errores superiores al 10%. Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 9
  • 10. 6 RESULTADOS Javier García Molleja 6. Resultados Tras haber creado y compilado los programas debemos introducir por pantalla los valores indicados en la sección anterior, de esta manera conocemos la altura y la velocidad del cohete mediante un cálculo analítico y numérico para el caso de gravedad constante. Mostraremos una tabla en la que se dan los valores en intervalos de cinco segundos, o sea, indicamos 32 pasos cuando el programa nos lo pida. Este número es bastante acorde con los experimentos, pues un número mayor o menor de pasos dará un resultado que apenas diferirá de lo obtenido y el resto se halla fácilmente por interpolación. Además, con una gran cantidad de pasos los errores de redondeo comenzarían a ser excesivos y la lectura de ellos puede ser engorrosa. En el caso de escoger pocos pasos se tendrá la sensación de que el error cometido es grande, ya que al método no le ha dado tiempo para aproximar la solución. Tiempo (s) Altura (km) Numérica Analítica Error(%) 5 2.989311048028569E-2 2.989311497355729E-2 1.503112539141104E-5 10 0.121138444019721 0.121138453221779 7.596314367720458E-6 15 0.276140135748067 0.276140149891802 5.121940764873798E-6 20 0.497378652012070 0.497378671349445 3.887857712535787E-6 25 0.787414484447101 0.787414509251008 3.150044350318511E-6 30 1.14889208633556 1.14889211690215 2.660527334632260E-6 35 1.58454407144801 1.58454410809887 2.313022103603447E-6 40 2.09719569761741 2.09719574070233 2.054406574709904E-6 45 2.68976965959949 2.68976970949947 1.855176934929504E-6 50 3.36529121835761 3.36529127548830 1.697644689494252E-6 55 4.12689369681917 4.12689376163465 1.570563351664466E-6 60 4.97782437542960 4.97782444842667 1.466445258700152E-6 65 5.92145082453469 5.92145090625809 1.380124597586639E-6 70 6.96126771481506 6.96126780586283 1.307919436403273E-6 75 8.10090415175597 8.10090425278588 1.247143676161605E-6 80 9.34413158554704 9.34413169728398 1.195798092347658E-6 85 10.6948723539770 10.6948724772213 1.152367996221438E-6 90 12.1572089229401 12.1572090585772 1.115692090054926E-6 95 13.7353938972531 13.7353940462644 1.084871333785316E-6 100 15.4338608837638 15.4338610472400 1.059204817173701E-6 105 17.2572362994362 17.2572364785917 1.038147034079225E-6 110 19.2103522294561 19.2103524256463 1.021273558531070E-6 115 21.2982604547371 21.2982606694789 1.008259395079060E-6 120 23.5262477848747 23.5262480198639 9.988616344858986E-7 125 25.8998528520389 25.8998531092005 9.929075429324373E-7 130 28.4248845440729 28.4248848255607 9.902863984604620E-7 135 31.1074422818153 31.1074425900720 9.909420762458226E-7 140 33.9539383772339 33.95399387150325 9.948729763401329E-7 145 36.9711227463391 36.9711231168369 1.002127429641460E-6 150 40.1661102953087 40.1661107021134 1.012805931546525E-6 155 43.5464113513711 43.5464117986208 1.027064343394998E-6 160 47.1199655737467 47.1199660662051 1.045116137186130E-6 Hemos visto que los resultados obtenidos analítica y numéricamente no son muy dispares, pues el porcentaje de error relativo es inferior al 10%. Esto nos asegura que el método ha sido bien implementado y que ha sido correcta la elección de variables con doble precisión, pues de no haber sido así no nos 10 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 11. Javier García Molleja 6 RESULTADOS hubiésemos percatado a simple vista en qué cifra decimal empiezan a discrepar los resultados. Del mismo modo también presentaremos la tabla de valores para la velocidad, pues por falta de espacio hemos tenido que dividir la tabla correspondiente al caso de gravedad constante en dos. La presentación será la misma: en intervalos de cinco segundos se indicarán la velocidad obtenida numéricamente y la cal- culada mediante métodos analíticos, comparados estos resultados mediante un error relativo porcentual. Tiempo (s) Velocidad (km/s) Numérica Analítica Error (%) 5 1.203494426981436E-2 1.203494425598883E-2 1.148782160434254E-7 10 2.454331735108788E-2 2.454331732233150E-2 1.171658067863203E-7 15 3.754003129792256E-2 3.754003125302201E-2 1.196071155464940E-7 20 5.104071400269476E-2 5.104071394031612E-2 1.222134883358836E-7 25 6.506175575961329E-2 6.506175567828909E-2 1.249953932666673E-7 30 7.962035967701080E-2 7.962035957512226E-2 1.279679466608732E-7 35 9.473459632653689E-2 9.473459620229646E-2 1.311457782955766E-7 40 0.110423463063878 0.110423462915309 1.345444398306204E-7 45 0.126706948508547 0.126706948333459 1.381830954209769E-7 50 0.143606102730711 0.143606102526673 1.420817504494223E-7 55 0.161143113762134 0.161143113526442 1.462629082710688E-7 60 0.179341391127607 0.179341390857247 1.507513346576257E-7 65 0.198225657184355 0.198225656875964 1.555754611586602E-7 70 0.217822047161949 0.217822046811765 1.607660661553797E-7 75 0.238158218916576 0.238158218520381 1.663581956507150E-7 80 0.259263473554100 0.259263473107152 1.723912899121323E-7 85 0.281168888239641 0.281168887736603 1.789095332281962E-7 90 0.303907462701641 0.303907462136486 1.859626126826121E-7 95 0.327514281160654 0.327514280526563 1.936070461881396E-7 100 0.352026691673668 0.327514280526563 2.019068969456946E-7 105 0.377484505191111 0.377484504394865 2.109349165118938E-7 110 0.403930216985168 0.403930216093394 2.207742018056232E-7 115 0.431409253536002 0.431409252537204 2.315199248658633E-7 120 0.459970248471026 0.459970247352004 2.432814328037973E-7 125 0.489665351758984 0.489665350504537 2.561845419375906E-7 130 0.520550577087131 0.520550575679692 2.703750836031631E-7 135 0.552686193223488 0.552686191642684 2.860220501602159E-7 140 0.586137166221505 0.586137164443618 3.033227735306523E-7 145 0.620973660605043 0.620973658602352 3.225082249954625E-7 150 0.657271609233020 0.657271606972993 3.438498259256014E-7 155 0.695113363456510 0.695113360900798 3.676684675150828E-7 160 0.734588437528529 0.734588434841714 3.943451850455403E-7 Vemos que la práctica también ha tenido éxito en este apartado, ya que ambos resultados apenas dieren y están muy por debajo de la tolerancia exigida para aceptarlos. Aquí vuelve a asegurarse la declaración de variables del programa como doble precisión. También se admite que la implementación del método RungeKutta ha sido satisfactoria, amén de la correcta resolución analítica. A continuación, expresaremos la altitud y celeridad del cohete cuando la gravedad disminuye con la altura. Como la resolución analítica no existe (o es harto complicada) no sabremos a ciencia cierta si los resultados son los correctos o no, aunque podemos ayudarnos en cierta manera en que el problema Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 11
  • 12. 6 RESULTADOS Javier García Molleja está bien planteado. Por este motivo conocemos que pequeñas variaciones en los datos de partida darán resultados levemente dispares. Tiempo (s) Altura (km) Velocidad (km/s) 5 2.989324451254652E-2 1.203505254598128E-2 10 0.121140620104505 2.454419203647860E-2 15 0.276151246152678 3.754301230798288E-2 20 0.497414048012360 5.104784949856673E-2 25 0.787501585278369 6.507582936485583E-2 30 1.14907412616504 7.964491847400441E-2 35 1.58488398833578 9.477397966018650E-2 40 2.09778016857438 0.110482832181680 45 2.69071328600002 0.126792317067663 50 3.36674086612209 0.143724368204395 55 4.12903299594790 0.161302089779730 60 4.98087838364572 0.179549840784348 65 5.92569085998013 0.198493327359424 70 6.96701636294211 0.218159703885678 75 8.10854045176778 0.238577683830321 80 9.35409640196533 0.259777661509260 85 10.7076739391554 0.281791846085509 90 12.1734286765994 0.304654409315326 95 13.7556923293884 0.328401648776267 100 15.4589837875745 0.353072168572318 105 17.2880211412441 0.378707079818128 110 19.2477347629264 0.405350223566371 115 21.3432815670895 0.433048419270900 120 23.5800605831770 0.461851742387598 125 25.9637299981195 0.491813835322306 130 28.5002258470688 0.522992256662707 135 31.1957825579017 0.555448874505800 140 34.0569555866603 0.589250310749300 145 37.0906464185343 0.624468444497316 150 40.3041302535232 0.661180984293881 155 43.7050867491054 0.699472120813363 160 47.3016342560792 0.739433273996642 Se observa que las soluciones obtenidas no dieren mucho de las anteriores, por lo que podemos asegu- rar que los resultados son correctos. Además, como progresivamente se debilita la atracción gravitatoria la altura y velocidad en este caso deben ser mayores, tal y como hemos visto en los resultados. 12 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 13. Javier García Molleja 6 RESULTADOS Representación de la altura 50 45 40 35 30 h (km) 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t (s) Figura 1: Representación de la altura del cohete respecto del tiempo Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 13
  • 14. 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Javier García Molleja Representación de la velocidad 0.8 0.7 0.6 0.5 v (km/s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t (s) Figura 2: Representación de la velocidad del cohete respecto del tiempo 7. Discusión de resultados El problema que hemos resuelto no tiene relevancia inmediata, pero puede ser de gran importancia para futuras expediciones tripuladas a Marte. Con este tratamiento podemos extrapolar el método de resolución a las misiones astronáuticas que parten de la Tierra, pero con el inconveniente de que los des- pegues no se realizan en los polos, por lo que el efecto Coriolis sería más acusado como consecuencia de la rotación terrestre. También deberíamos admitir que nuestra atmósfera es más densa que la marciana, haciendo que los efectos de rozamiento con el aire fueran considerados. Sin embargo, para nuestro problema, la nave despegaría posiblemente de vastita borealis, [6] es decir, el polo norte de Marte. En este lugar el terreno es menos accidentado y un amartizaje sin problemas sería sencillo, aunque podría ser que el punto de estudio estuviese bastante alejado de la nave. Durante la época de invierno aparece hielo en esta región, con la posibilidad de la existencia de agua congelada, sustancia apreciada para un consecuente regreso a la Tierra, puesto que como carburante se utiliza el oxígeno líquido. Además, tras un adecuado tratamiento podría incluso llegar a beberse, primer paso para crear las primeras colonias permanentes en el planeta rojo. Como vemos en los resultados obtenidos, la nave partiría del polo e iría ascendiendo conforme el aumento de velocidad y la inevitable pérdida de combustible. Según nuestros cálculos el combustible se 14 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  • 15. Javier García Molleja 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS acabará transcurridos 160 s, por lo que la altura y la velocidad en ese instante sería (para el caso de que la gravedad no fuese constante) 47,3016342560792 km y 0,739433273996642 km/s, respectivamente. Estos valores inducen a calcular la velocidad de escape del planeta marciano, pudiendo así comprobar si ha habido suciente combustible como para que la nave entre en órbita: √ 2GM ve = = 5,015473993090612 km/s. r Este resultado se consiguió utilizando los datos referidos en un apartado anterior y nos hace ver que el cohete no alcanza suciente velocidad como para acabar de abandonar el campo gravitatorio del planeta, lo que plantea un fracaso en la misión. Si los astronautas sobreviven a la colisión tras el proceso de subida y caida libre (o en el mejor de los casos, el ordenador indicó que no podía despegar la nave por falta de combustible) sería necesaria una misión de rescate. Suponiendo que el cohete MIR tuviese ya pocas reservas alimenticias es inviable que partiese desde la Tierra una nave de salvamento, denomidada HERMES, pues es necesario que ésta parta en la ventana espacial que tiene lugar cada dos años entre los dos planetas, momento en la que la distancia que los separa es mínima. Otra posible ruta de escape viene inspirada en las misiones APOLLO : el viaje hacia Marte se haría en una nave espacial, de la que se desprendería, llegado el momento, un módulo que amartizaría (en este caso el cohete de la práctica), continuando la nave en la órbita marciana durante la estancia de los astronautas en el suelo. Llegado el mensaje de socorro los tripulantes enviarían un módulo de salvamento, llamado DEDALUS, para salvar a sus compañeros. También es viable que el cohete de la práctica estuviese equipado con unos motores auxiliares que le permitiesen moverse por el eje horizontal, de este modo si consigue generar la fuerza de empuje en este eje como para que igualase (en módulo) a la fuerza gravitatoria que tira de la nave hacia el suelo podría entrar en órbita. Modicando ésta podría ganar la suciente energía y llegar hasta la nave principal. Aparte de todas estas suposiciones es necesario indicar que la sesión ha sido ampliamente provechosa, ya que nos ha permitido observar la viabilidad de resolver numéricamente una ecuación en derivadas or- dinarias, comparando los resultados obtenidos con los cálculos analíticos, si era posible. La modicación pertinente del método de RungeKutta para adaptarlo a la resolución del sistema planteado ha servido para analizar aún más si cabe las posibilidades del método. Además, la sesión sirve para familiarizarse con problemas físicos reales y las posibles variantes que se pueden dar, y en cada caso, tener idea de la manera de resolución. También la aparición de un fallo en los datos permite una reexión para ver soluciones, pues es posible que existan errores de este tipo en la vida real (recordemos la colisión de un satélite en Marte hace varios años al haber un malentendido en el tipo de unidades que se estaban manejando). Finalmente, haber trabajado en esta sesión ha tenido resultados favorables de cara al conocimiento de casos reales y la aplicación sobre ellos de métodos numéricos, con el inestimable refuerzo de conocimientos previamente adquiridos y la ejercitación de la mente para nuevos problemas que pueden plantearse en un futuro cercano. Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 15
  • 16. REFERENCIAS Javier García Molleja Referencias [1] E. Casado Revuelta, M. A. Hernández Aláez, P. Rodríguez García: Apuntes de Física General ; 2001, Universidad de Córdoba [2] M. Sáez Cano, J. M. Alcaraz Pelegrina: Apuntes de Mecánica y Ondas ; 2002, Universidad de Córdoba [3] P. A. Tipler: Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1 ; 6.a edición, Editorial Reverté [4] Grupo SiGNum: Ampliación de Métodos Numéricos ; 2005, Universidad de Córdoba [5] J. L. Cruz Soto: Apuntes de Programación Cientíca ; 2003, Universidad de Córdoba [6] Varios autores: Gran Enciclopedia Larousse ; 1996, Editorial Planeta 16 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)