Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
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Les mod`eles de circuits ´etudi´es jusqu’ici supposent des composants id´eaux,
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Ces (macro-)mod`eles plus complexes peuvent aider `a am´eliorer un design
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Fonction de sensibilit´e
En plus des non-id´ealit´es des composants (r´esistance des ...
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Sensibilit´e des cellules de Sallen-Key
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Un exemple suppl´ementaire :
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Sensibilit´e du filtre `a variables d’´etat du second ordre
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Tension d’offset
Si on r...
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Taux de r´ejection du m...
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R´eponse transitoire : ...
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ELE2611 Classe 6 - Sensibilité, Amplificateurs opérationnels non idéaux

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ELE2611 Classe 6 - Sensibilité, Amplificateurs opérationnels non idéaux

  1. 1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 6 - Sensibilit´e aux variations des composants et Amplificateurs op´erationnels non id´eaux Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/35
  2. 2. Introduction Motivation pour ce cours Les mod`eles de circuits ´etudi´es jusqu’ici supposent des composants id´eaux, i.e., dont le comportement suit parfaitement certaines lois math´ematiques ´el´ementaires (imp´edances R, Ls, 1/Cs, A.O. id´eaux `a gain et bande passante infinis, etc.). Ces mod`eles sont ad´equats pour un premier design : ils fournissent l’intuition n´ecessaire et sont suffisamment simples pour mener `a bien les calculs permettant de pr´edire le comportement g´en´eral d’un circuit. Mais un circuit ainsi con¸cu doit ensuite ˆetre simul´e avec des mod`eles plus r´ealistes (ex : via SPICE), puis test´e physiquement au laboratoire, afin d’´evaluer l’impact de l’utilisation de composants non id´eaux. On peut raffiner les mod`eles de composants, en les consid´erants commes des assemblages d’´el´ements id´eaux. Par exemple, vous avez ´etudi´e dans ELE1600A l’impact de r´esistance du fil d’une bobine et de la r´esistance de fuite d’un condensateur sur le facteur de qualit´e d’un circuit RLC. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/35
  3. 3. Introduction Motivation pour ce cours (suite) Ces (macro-)mod`eles plus complexes peuvent aider `a am´eliorer un design pour contrer l’effet des non-id´ealit´es. Des compromis sont `a faire entre la fid´elit´e des mod`eles utilis´es et la complexit´e des calculs ou l’intuition que les r´esultats procurent. Une ´etude par simulation peut utiliser des mod`eles de composants particuli`erement complexes mais qui ne permettront typiquement que la v´erification d’un design. Dans ce cours, nous introduisons des mod`eles plus r´ealistes d’AO. Ceux-cis permettent d’´etudier analytiquement l’impact des non-id´ealit´es des AO dans des circuits relativement simples, et fournissent de l’intuition pour les circuits plus complexes (qu’on simulera). Dans un premier temps, nous allons d’abord discuter comment pr´edire les changements de comportement d’un design donn´e pour de petites variations des valeurs des composants. En effet, en pratique les composants utilis´es dans la r´ealisation d’un circuit n’ont pas exactement les valeurs issues des calculs, et ces valeurs peuvent aussi changer au cours du temps (temp´erature, vieillissement, . . . ). En g´en´eral, plusieurs circuits peuvent r´ealiser une mˆeme fonction, et les circuits peu sensibles aux variations sont pr´ef´erables (p. ex., leur fabrication a un meilleur rendement). Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/35
  4. 4. Introduction Plan pour ce cours Calculs de sensibilit´e Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Autres non id´ealit´es et limitations Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/35
  5. 5. Introduction Calculs de sensibilit´e Outline Calculs de sensibilit´e Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Autres non id´ealit´es et limitations Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/35
  6. 6. Introduction Calculs de sensibilit´e Fonction de sensibilit´e En plus des non-id´ealit´es des composants (r´esistance des bobines, courant de fuite condensateurs, gain et bande passante finis des AOs, etc.), les tol´erances sur les valeurs de ces composants et leur variation au cours du temps font qu’un circuit r´eel aura une r´eponse diff´erente de celle pr´edite par l’analyse math´ematique. Etant donn´e un param`etre y (ex : Q ou ω0 d’un filtre d’ordre 2) et une variable x (ex : R, C), on d´efinit la sensibilit´e de y par rapport `a x par Sy x = ∂y/y ∂x/x = x y ∂y ∂x . Pour de petites variations, Sy x donne la variation relative de y pour un variation relative de x : ∆y y ≈ Sy x ∆x x Ainsi, une variation relative de 1% de la variable x donne une variation relative de Sy x % pour y. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/35
  7. 7. Introduction Calculs de sensibilit´e Propri´et´es de la fonction de sensibilit´e Exercice : v´erifier les propri´et´es suivantes Sy 1/x = S1/y x = −Sy x (1) Sy1 y2 x = Sy1 x + Sy2 x (2) Sy1/y2 x = Sy1 x − Sy2 x (3) Sxn x = n (4) Sy x1 = Sy x2 Sx2 x1 (5) Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/35
  8. 8. Introduction Calculs de sensibilit´e Sensibilit´e des cellules de Sallen-Key On a vu au cours 4 (diapositive 7), pour un passe-bas de Sallen-Key ω0 = 1 √ R1C1R2C2 , 1 Q = (1 − K) R1C1 R2C2 + R1C2 R2C1 + R2C2 R1C1 . Puisque ω0 = R −1/2 1 C −1/2 1 R −1/2 2 C −1/2 2 , on obtient par (2) et (4) Sω0 Ri = Sω0 Ci = −1 2 . Pour le facteur de qualit´e SQ K = −S 1/Q K = K 1/Q R1C1 R2C2 = KQ R1C1 R2C2 . Configuration composants ´egaux : K = 3 − 1/Q ⇒ SQ K = 3Q − 1 (tr`es mauvais pour Q mˆeme mod´er´e . . . ) Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/35
  9. 9. Introduction Calculs de sensibilit´e Sensibilit´e des cellules de Sallen-Key (suite) Un exemple suppl´ementaire : SQ R1 = −S 1/Q R1 = −QR1 1 2 √ R1 (1 − K) C1 R2C2 + C2 R2C1 − 1 2R 3/2 1 R2C2 C1 = −Q 1 2Q − R2C2 R1C1 = Q R2C2 R1C1 − 1 2 . Configuration gain unitaire : SQ R1 = 1 m+1 − 1 2 (avec m = R1/R2) Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/35
  10. 10. Introduction Calculs de sensibilit´e Sensibilit´e du filtre `a variables d’´etat du second ordre On a vu au cours 4 (diapositive 18), pour un filtre universel `a variable d’´etat ω0 = 1 RC , Q = 1 3 1 + R2 R1 Ainsi Sω0 C = Sω0 R = −1 SQ R1 = R1 Q 1 3 −R2 R2 1 = −R2 R1 + R2 SQ R2 = S (R1+R2)/R1 R2 = R2 R1+R2 R1 1 R1 = R2 R1 + R2 Ces sensibilit´es sont assez faibles, quelle que soit la valeur de Q, ce qui est un avantage des filtres `a variable d’´etat. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/35
  11. 11. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Outline Calculs de sensibilit´e Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Autres non id´ealit´es et limitations Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/35
  12. 12. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Gain fini en boucle ouverte Le mod`ele du court-circuit virtuel (i− = i+ = vd = 0, −Vsat ≤ vo ≤ Vsat ) est tr`es pratique pour analyser rapidement les circuits contenant des A.O. id´eaux en r´egime lin´eaire. Mais est-il suffisamment pr´ecis ? Nous ´etudions d’abord l’impact du gain fini en boucle ouverte. On rappelle qu’en pratique et mˆeme `a basses fr´equences ce gain n’est pas connu pr´ecis´ement et varie selon l’AO, au cours du temps, et en fonction de l’environnement. Exemple : r´eanalysons l’amplificateur non inverseur avec un mod`ele ou le gain de l’A.O. en boucle ouverte est A < ∞ vn = 1 1 + R2/R1 vout vout = A vin − 1 1 + R2/R1 vout vout vin = 1 + R2 R1 1 1 + (1 + R2/R1)/A = + + - = +vin vout R2 R1 A vd vd vp vn Ex : pour R2 R1 = 10 A 10 100 104 106 1 1+(1+10)/A 0.48 0.9 0.998 1 − 10−5 Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/35
  13. 13. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Remarque sur l’effet de la r´etroaction (n´egative) Les A.O. sont souvent utilis´es pour impl´ementer des boucles de r´etroaction G(s) K(s) + - u y Y (s) = G(s)(U(s) K(s)Y (s)) H(s) = Y (s) U(s) = G(s) 1 + G(s)K(s) = 1 K(s) L(s) 1 + L(s) A vin=vp vout R1/(R1+R2) - + vn vd K = 1 1 + R2 R1 , L = A 1 1 + R2 R1 Amplificateur non inverseur: L(s) = G(s)K(s) : gain de boucle, quantit´e fondamentale. Pour les fr´equences ou L 1, on a H(s) ≈ 1 K(s) , ne d´epend que du syst`eme en r´etroaction. Ainsi, la r´etroaction permet d’obtenir un amplificateur avec gain connu pr´ecis´ement 1 K = 1 + R2 R1 `a partir d’un AO de gain en boucle ouverte A mal connu, tant que A · K = A 1+ R2 R1 1. La r´etroaction permet entre autre d’obtenir des syst`emes robustes aux incertitudes sur les composants (ici l’AO). Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/35
  14. 14. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Comportement fr´equentiel du gain en boucle ouverte L’hypoth`ese A 1 n’est vraie qu’aux basses fr´equences, et limite l’utilisation d’un A.O. dans la plage de fr´equences o`u elle est v´erif´ee. Les A.O. courants sont con¸cus pour que leur gain en boucle ouverte ait une r´eponse fr´equentielle approximativement du premier ordre A(s) = A0 1 + s/ωb = ωt s + ωb A(j2πf ) = A0 1 + jf /fb = ft jf + fb fb : bande-passante en boucle ouverte ft = A0fb fb : fr´equence de transition ou produit gain par largeur de bande (d´enot´e GBP ou GBW : Gain-Bandwith Product) |A(j2πfb)|dB = A0|dB − 3 dB |A(j2πft )|dB ≈ 0dB Figure 6 V f – Frequency – Hz 1M100k10k1k OM ±4 ±2 0 100 Figure 8642 20 10 0 VCC± – Su AV f – Frequency – Hz 10M1M10k1001 –10 0 10 20 70 80 90 100 110 OPEN-LOOP LARGE-SIGNAL DIFFERENTIAL VOLTAGE AMPLIFICATION vs FREQUENCY VO = ±10 V RL = 2 kΩ TA = 25°C AVD–Open-LoopSignalDifferential VoltageAmplification–dB 10 1k 100k 60 50 30 40 VCC+ = 15 V VCC– = –15 V LM741 (general purpose op-amp) : A0 ≈ 200 V/mV, fb ≈ 5 Hz, ft ≈ 1 MHz Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/35
  15. 15. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Mod`ele int´egrateur de l’AO A(s) = A0 1 + s/ωb = ωt s + ωb ⇒ |A(jω)| ≈ ωt ω = A0ωb ω pour ω ωb Aux pulsations ω ωb, l’AO se comporte comme un int´egrateur ωt /s. Comme ωt ωb, on a |A(jωt )| ≈ 1, d’o`u le nom de fr´equence de transition pour ft . |A(jω)| diminue de 20 dB/dec entre ωb et ωt . On n’utilise pas l’A.O. au-del`a de ft , d’autant plus que A(s) diminue alors encore plus rapidement. Notons Si ω ωb ⇒ |A(jω)| × ω ≈ A0 × ωb ou |A(j2πf )| × f ≈ A0fb = ft = GBP. Aux fr´equences f fb, le produit |A(j2πf )| × f est donc approximativement constant et ´egal au GBP. En pratique, A0 et fb varient selon l’A.O., mais on peut r´ealiser un GBP = ft relativement stable. Les fiches de sp´ecifications fournissent donc le GPB (ou GBW), et celui-ci permet de d´eduire |A(jω)| pour une valeur de ω ωb donn´ee. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/35
  16. 16. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Exemple Pour le LM741, qui a un fr´equence de transition ou GBP de ft = 1 MHz, quelle est le gain en boucle ouverte `a 100 Hz ? `a 10 kHz ? `a 100 kHz ? Conclusion : si un tel A.O. est utilis´e pour la synth`ese de filtres au-del`a des basses fr´equences audio, et au vu des r´esultats de la diapositive 12, on doit en g´en´eral ´evaluer l’impact du gain fini avec soin. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/35
  17. 17. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Exemple Pour le LM741, qui a un fr´equence de transition ou GBP de ft = 1 MHz, quelle est le gain en boucle ouverte `a 100 Hz ? |(A(j2πf )| = 106/100 = 10000 `a 10 kHz ? |(A(j2πf )| = 106/104 = 100 `a 100 kHz ? |(A(j2πf )| = 106/105 = 10 Conclusion : si un tel A.O. est utilis´e pour la synth`ese de filtres au-del`a des basses fr´equences audio, et au vu des r´esultats de la diapositive 12, on doit en g´en´eral ´evaluer l’impact du gain fini avec soin. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/35
  18. 18. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Effet sur la r´etroaction A(s) vin=vp vout K(s) - + vn vd Vout(s) Vin(s) = 1 K(s) 1 1 + 1/L(s) = Hid´eal(s) 1 1 + 1/L(s) L(s) = A(s)K(s) Exemple : 1/K(s) = 1 + R2/R1 pour l’amplificateur non inverseur. 1/K(s) est la fonction de transfert obtenue avec le mod`ele id´eal de l’A.O. (court-circuit virtuel). La fonction de transfert id´eale n’est r´ealis´ee que dans la plage de fr´equences telle que |L(jω)| 1, i.e., |A(jω)| 1/|K(jω)|. Par exemple, pour le montage amplificateur non inverseur d’amplification k = 1/K = 10, on doit prendre |A(jω)| 10. Pour le LM741, cela veut dire f . Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/35
  19. 19. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Effet sur la r´etroaction A(s) vin=vp vout K(s) - + vn vd Vout(s) Vin(s) = 1 K(s) 1 1 + 1/L(s) = Hid´eal(s) 1 1 + 1/L(s) L(s) = A(s)K(s) Exemple : 1/K(s) = 1 + R2/R1 pour l’amplificateur non inverseur. 1/K(s) est la fonction de transfert obtenue avec le mod`ele id´eal de l’A.O. (court-circuit virtuel). La fonction de transfert id´eale n’est r´ealis´ee que dans la plage de fr´equences telle que |L(jω)| 1, i.e., |A(jω)| 1/|K(jω)|. Par exemple, pour le montage amplificateur non inverseur d’amplification k = 1/K = 10, on doit prendre |A(jω)| 10. Pour le LM741, cela veut dire f ft 10 = 106 10 = 100 kHz. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/35
  20. 20. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Compromis gain - bande passante pour un amplificateur non inverseur Consid´erons encore la fonction de transfert en boucle ferm´ee de l’amplificateur non-inverseur : H(s) = 1 K(s) 1 1 + 1/(A(s)K(s)) = k 1 1 + k 1+s/ωb A0 , k = 1 + R2 R1 H(s) = k 1 1 + k A0 + s/(ωbA0/k) ≈ k 1 1 + s/ωB , avec k A0 En fermant la boucle : Le gain passe de A0 `a k, i.e., le gain est divis´e par m = A0/k La fr´equence de coupure ou bande passante passe de ωb `a ωB = ωbA0/k, i.e., est la bande passante est multipli´ee par m = A0/k Le produit gain par bande passante est conserv´e kωB = A0ωb = ωt Ainsi, on sacrifie du gain en ´echange de bande passante ωB est aussi (approximativement) la fr´equence `a laquelle |L(jω)| = 1 Ex : Un LM741 avec ft = 106 configur´e pour k = 1000 aura une bande passante fB = ft /103 = 1 kHz. Pour k = 10, on aura fB = 100 kHz. Le suiveur (k = 1) a aussi la plus grande bande passante, fB = ft . Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/35
  21. 21. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande R´eponse fr´equentielle de l’amplificateur non inverseur fb fB ft A0 k |H(j2⇡f)| (dB) f A0: gain en boucle ouverte fb: bande passante en boucle ouverte k: gain en boucle fermée fB: bande passante en boucle fermée ft: fréquence de transition et GBP Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/35
  22. 22. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Compromis gain - bande passante pour un amplificateur inverseur Exercice : Refaire l’analyse pr´ec´edente mais pour l’amplificateur inverseur. En particulier, montrer qu’il y a un compromis gain - bande passante similaire `a faire (la bande passante est encore d´efinie par la fr´equence de coupure `a −3 dB). Que vaut la bande passante pour la configuration o`u le gain vaut −1 ? Comparer `a la bande passante du montage suiveur. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/35
  23. 23. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Effet du GBP fini sur un circuit int´egrateur vi − v− R = (v− − vo)Cs, vo = −A(s)v− - + = +vi vo C R vo vi = − A(s) A(s)RCs + 1 + RCs vo vi = −1 s/ω0 1 1 + 1 A(s) s/ω0 1+s/ω0 , ω0 = 1 RC Gain de boucle : L(s) = A(s) s/ω0 1 + s/ω0 Avec A(s) = A0/(1 + s/ωb), on obtient H(s) = − A0 A0 s ω0 + 1 + s ω0 1 + s ωb Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/35
  24. 24. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Effet du GBP fini sur un circuit int´egrateur (suite) Avec A(s) = A0/(1 + s/ωb), on obtient H(s) = − A0 A0 s ω0 + 1 + s ω0 1 + s ωb La r´eponse de l’“int´egrateur” non id´eal devient d’ordre 2 Le gain statique est maintenant fini ´egal `a −A0 Aux basses et hautes fr´equences, le d´ephasage est tr`es diff´erent du 90◦ de l’int´egrateur inverseur id´eal. Avec L(s) = A(s) s/ω0 1+s/ω0 , aux basses fr´equences L(s) ≈ s/(ω0/A0), et aux hautes fr´equences L(s) ≈ A(s). Donc pour |L(jω)| 1 et un comportement proche de l’id´eal, il faut ω0 A0 ω ωt , avec ω0 = 1/RC. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/35
  25. 25. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Exemple de compensation passive d’un int´egrateur On peut essayer de retrouver la fonction de transfert d’un int´egrateur id´eal tout en utilisant un A.O. avec ωt < ∞ en modifiant le circuit A(s) - + = + R-Rc Rc C Vi Vo Exercice : Montrer qu’avec l’approximation A(s) = ωt /s et le choix Rc = 1/(Cωt ), on obtient bien la fonction de transfert V0(s)/Vi (s) = −1/RCs (on effectue une annulation pˆole-z´ero dans la fonction de transfert). Toutefois, notez que la valeur ωt n’est pas connue `a priori tr`es pr´ecis´ement. Il existe des techniques de compensation passives et actives pour contrer les effets des non-id´ealit´es des A.O. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/35
  26. 26. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Effet du GBP fini sur les filtres Avec un mod`ele d’A.O. du premier ordre, l’ordre des fonctions de transfert des filtres actifs augmente de 1 pour chaque A.O. pr´esent, ce qui devient rapidement complexe `a analyser. L’effet des GBP finis est de cr´eer de nouveaux pˆoles et de changer la position des pˆoles des fonctions de transfert des filtres analys´es aux cours 4. Dans certains cas, le circuit peut devenir instable. En pratique : soit on choisit un A.O. avec un GBP au moins un ordre de magnitude plus grand que le produit Q × f0 de l’´etage d’ordre 2 que l’on veut r´ealiser (prendre GBP f−3dB pour un ´etage d’ordre 1), soit on fait les ajustements n´ecessaires par simulation et des techniques de compensation passive et active. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/35
  27. 27. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Outline Calculs de sensibilit´e Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Gain fini en boucle ouverte et produit gain par largeur de bande Autres non id´ealit´es et limitations Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/35
  28. 28. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Quelques charact´eristiques d’un AO Fairchild Semiconductor LM741 T = 25 ◦ C VCC = ±15V sauf mention contraire On va discuter quelques-unes de ces caract´eristiques, une `a la fois LM741 Electrical Characteristics (VCC = 15V, VEE = - 15V. TA = 25 °C, unless otherwise specified) Parameter Symbol Conditions LM741 Unit Min. Typ. Max. Input Offset Voltage VIO RS≤10KΩ - 2.0 6.0 mV RS≤50Ω - - - Input Offset Voltage Adjustment Range VIO(R) VCC = ±20V - ±15 - mV Input Offset Current IIO - - 20 200 nA Input Bias Current IBIAS - - 80 500 nA Input Resistance RI VCC =±20V 0.3 2.0 - MΩ Input Voltage Range VI(R) - ±12 ±13 - V Large Signal Voltage Gain GV RL≥2KΩ VCC =±20V, VO(P-P) =±15V - - - V/mV VCC =±15V, VO(P-P) =±10V 20 200 - Output Short Circuit Current ISC - - 25 - mA Output Voltage Swing VO(P-P) VCC = ±20V RL≥10KΩ - - - V RL≥10KΩ - - - VCC = ±15V RL≥10KΩ ±12 ±14 - RL≥10KΩ ±10 ±13 - Common Mode Rejection Ratio CMRR RS≤10KΩ, VCM = ±12V 70 90 - dB RS≤50Ω, VCM = ±12V - - - Power Supply Rejection Ratio PSRR VCC = ±15V to VCC = ±15V RS≤50Ω - - - dB VCC = ±15V to VCC = ±15V RS≤10KΩ 77 96 - Transient Rise Time tR Unity Gain - 0.3 - µs Response Overshoot OS - 10 - % Bandwidth BW - - - - MHz Slew Rate SR Unity Gain - 0.5 - V/µs Supply Current ICC RL= ∞Ω - 1.5 2.8 mA Power Consumption PC VCC = ±20V - - - mW VCC = ±15V - 50 85 Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/35
  29. 29. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Imp´edances d’entr´ee et de sortie d’un A.O. Zd : imp´edance d’entr´ee diff´erentielle Zc : imp´edance d’entr´ee en mode commun, mesur´ee par rapport `a la masse si on relie les entr´ees de l’A.O. Zo : imp´edance de sortie. 2 Zc 2 Zc Zd = + Zo + - VP VN Vd A(s) Vd Vo IN IP Typiquement Rd ≈ 105 − 108 Ω Ro ≈ 75 − 200 Ω |Zc | |Zd | LM741 Typical Performance Characteristics Figure 1. Output Resistance vs Frequency Figure 2. Input Resistance and Input Capacitance vs Frequency Fairchild Semiconductor LM741. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/35
  30. 30. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Courants de polarisation non nuls IP IN - + Ind´ependamment de l’imp´edance d’entr´ee d’un l’AO consid´er´ee id´eale ou non, il y a toujours de petits courants dits de polarisation qui passent par les bornes d’entr´ee IP et IN peuvent ˆetre > 0 ou < 0 selon le design de l’AO Les sp´ecifications donnent Courant de polarisation moyen : IB = IP +iN 2 Courant d’offset : IOS = IP − IN Normalement IB ≈ IP ≈ IN IOS Pour un AO `a base de transistors bipolaires, |IB | ∼ 100 nA, |IOS | ∼ 10 nA Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/35
  31. 31. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Effets des courants de polarisation non nuls Supposons qu’apr`es avoir ´eteint les sources, on a le circuit suivant (ex : ampli inverseur ou non inverseur) : IN + VN R1 + VN − Vo R2 = 0 VN = VP = −RP IP Vo = − 1 + R2 R1 RP IP + R2IN = 1 + R2 R1 [((R1 R2) − RP )IB − ((R1 R2) + RP )IOS /2] - + R1 R2 RP RP à ajuster IP IN Vo A.O. idéal sauf pour IP et IN Cette tension de sortie `a vide peut ˆetre consid´er´ee comme un “bruit statique”, que l’on peut r´eduire en prenant RP = (R1 R2), ce qui donne Vo = −R2IOS , et en prenant la r´esistance R2 la plus petite possible permise (mais cela augmente la puissance dissip´ee dans le circuit). Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/35
  32. 32. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Tension d’offset Si on relie les deux entr´ees d’un A.O., on n’obtient pas exactement vo = A(vP − vN ) = 0 en g´en´eral. On peut mod´eliser ce ph´enom`eme par une tension d’offset (ou de d´ecalage) VOS , constante, qui peut ˆetre positive ou n´egative selon l’A.O., g´en´eralement de l’ordre du µV → mV . vo = A(vP − vN + VOS ). On peut tenir compte de cet offset dans un circuit en ajoutant une petite source de tension `a l’une des entr´ees de l’AO. - + R1 R2 Vo +VOS VOS Par exemple, dans le circuit ci-dessus (ex : amplificateur avec sa source de signal ´eteinte), VOS cr´ee une erreur vo = Eo = (1 + R2/R1)VOS constante `a la sortie (“bruit statique”), qui augmente avec le facteur d’amplification. Pour un montage int´egrateur, l’AO est amen´e `a saturer. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/35
  33. 33. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Taux de r´ejection du mode commun TRMC ou CMRR pour Common-Mode Rejection Ratio. Un A.O. est aussi sensible au mode commun vCM = (vP + vN )/2 de ses tensions d’entr´ee vo = A(vP − vN ) + aCM vCM = A vP − vN + vCM CMRR , avec CMRR = A/aCM . L’effet du mode commun peut ˆetre vu comme une tension d’offset vCM CMRR , qui d´epend du mode commun. N.B. : en g´en´eral, vP ≈ vN et donc vCM ≈ vP . Donc ce mode commun ne pose pas de probl`eme pour l’amplificateur inverseur, pour lequel vP = 0. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/35
  34. 34. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations R´eponse transitoire : temps de mont´ee Le gain d’un A.O. est approximativement A(s) = A0/(1 + s/ωb), i.e., avec un pˆole `a −ωb. Grˆace `a la r´etroaction n´egative, on peut d´eplacer le pˆole `a gauche. Le montage suiveur r´ealise approximativement la fonction de transfert H(s) = A(s) 1 + A(s) ≈ 1 1 + s/ωt , dont le pˆole est `a −ωt = − 1 τ . Appliquer un petit ´echelon de tension 0 → Vm sur un A.O. mont´e en suiveur r´esulte donc en une r´eponse vo(t) = Vm(1 − e−t/τ ). L’A.O. met approximativement 4τ seconds pour atteindre 98% de Vm. Pour un LM741, on a τ = 1/(2π × 106 ) ≈ 159 ns. On d´efinit aussi le temps de mont´ee tR (rise time, 10% → 90%), approximativement 2.2τ. Exercice : trouver tR pour un amplificateur non-inverseur de gain 100, avec ft = 1 MHz pour l’AO. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/35
  35. 35. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations R´eponse transitoire : vitesse de balayage Quand on augmente suffisamment la taille de l’´echelon Vm dans l’exp´erience pr´ec´edente ( 80 mV pour le LM741), on observe `a la sortie une rampe au lieu d’une exponentielle, ce qui est dˆu `a des effets nonlin´eaires dans le circuit de l’AO. La pente de cette rampe est appel´ee vitesse de balayage (SR : Slew Rate), et est exprim´ee en V /µs. SR est la limite sup´erieure sur le taux de variation de la tension de sortie : par d´efinition |dvo dt | ≤ SR. Ex 1 : pour la r´eponse `a l’´echelon de la diapositive 32, la pente initiale (la plus forte) est Vm τ . La r´eponse obtenue est bien la r´eponse exponentielle d’un syst`eme lin´eaire d’ordre 1 tant que Vm τ ≤ SR. Pour le 741, on obtient Vm ≤ 159 × 10−9 × 0.5 × 10−6 = 79.5 mV. Ex 2 : Soit un signal vi = Vm sin ωt `a l’entr´ee d’un circuit suiveur. Trouvez la fr´equence maximale impos´ee par le SR telle que le signal de sortie reste bien sinuso¨ıdal. C’est-`a-dire qu’au-del`a de cette fr´equence le SR cr´ee de la distorsion et le circuit suiveur ne se comporte plus comme un circuit lin´eaire, car un signal sinus¨ıdal `a l’entr´ee ne produit pas un signal sinuso¨ıdal `a la sortie. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/35
  36. 36. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Limites d’amplitude sur les signaux de sortie Dans la feuille de sp´ecifications de la diapositive 26 “Output voltage swing” d´efinit les tensions de saturation de la sortie de l’AO. “Output short circuit current” est une limite sur le courant que le terminal de sortie de l’AO peut fournir (pour la branche de r´etroaction et la charge). Il faut donc faire attention en pratique `a mettre une imp´edance suffisamment grande en sortie d’un AO si on travaille avec des grandes tensions de sortie, sans quoi le courant va de toute fa¸con saturer au maximum autoris´e. Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/35
  37. 37. Introduction Non-id´ealit´es de l’amplificateur op´erationnel Autres non id´ealit´es et limitations Conclusion Nous avons discut´e quelques caract´eristiques des AO r´eels qui n´etaient pas prises en compte par le mod`ele du court-circuit virtuel utilis´e jusqu’ici. Plus les mod`eles sont r´ealistes, plus la pr´ecision de l’analyse math´ematique augmente, mais aussi sa complexit´e. A un certain point, on doit avoir recours `a la simulation, qui n’offre toutefois pas les avantages de l’analyse math´ematique en termes de conception. Elle est surtout utile pour valider des concepts, voir les ajuster l´eg`erement avant impl´ementation. Quelques sujets importants non abord´es : Stabilit´e des circuits utilisant la r´etroaction n´egative. Sujet ´etudi´e en profondeur en automatique (ELE2200, ELE3201) et ´electronique (ex : sp´ecifications de marges de gain et de phase d’un AO). Bruit : VOS et VCM peuvent ˆetre consi´er´es comme une forme de bruit statique (DC), mais il y a beaucoup d’autres sources de bruit externes et internes dans les circuits ´electroniques. Ces bruits peuvent ˆetre repr´esent´es par des signaux constants, p´eriodiques (ex : 60 Hz), intermittents, ou al´eatoires (surtout pour le bruit interne), plus ou moins bien caract´eris´es. Ils imposent des limites sur la taille des signaux qui peuvent ˆetre manipul´es par un circuit. Ce sujet est tr`es important pour la conception de circuits performants (audio, communications, etc.). Version du 3 novembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/35

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