1. Potencias y raíces
Marco teórico:
Potencias
1. Definición:
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número
que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama
exponente.
Ejemplo: en la potencia 35, la base es 3 y el exponente es 5.
De forma más matemática decimos que una potencia es toda expresión tal que:
a · a · a · ... · a = an ⇒ an;en donde a es base, n es exponente y an es la enésima potencia
n veces
2. Signo de una potencia
El signo de una potencia de base negativa y exponente par depende del uso o no de paréntesis,
si se utiliza paréntesis en la base, la potencia será de signo positivo, mientras que al no utilizar
paréntesis la potencia será de signo negativo.
Ejemplos: (-9)2 = -9 · -9 = 81 -92 = -9 · 9 = -81
Sin embargo si la base es negativa y el exponente es impar el resultado será siempre negativo,
utilicemos o no paréntesis
Ejemplos: (-2)3 = -2 · -2 · -2 = -8 -23 = -2 · 2 · 2 = -8
3. Propiedades
Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero
1) an · am = an+m ejemplo: 82 · 83 = 82+3 = 85
2) an ÷ am = an - m ejemplo: 127 ÷ 123 = 127 - 3 = 124
m n 3 2
3) (an) = (am) = an · m ejemplo: (72) = (73) = 72 · 3 = 76
4) (a · b)n = an · bn ejemplo: (3 · 5)2 = 32 · 52
2. 5) (a ÷ b)n = an ÷ bn ejemplo: (5 ÷ 2)6 = 56 ÷ 26
1 1
6) a-n = ejemplo: 2-8 =
an 28
(a) = (b) (7) = (5)
-n n -3 3
7) ejemplo:
b a 5 7
8) a0 = 1 ejemplo: 230 = 1
Raíces
4. Definición:
En la definición de potencias recordamos que 82 = 64. Esta igualdad también puede expresarse
como:
√64 = 8
expresión que debe leerse: 8 es igual a la raíz cuadrada de 64.
De igual forma, definimos la raíz n-sima de un número a al número b tal que bn = a
Y lo escribimos como:
n
b = √a con n ≠ 0
El número a se llama radicando y el número n, índice.
Además se debe precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -5 por
ejemplo no existe dentro de los reales, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o
negativo, siempre es positivo. Por idéntica razón no existe la raíz cuadrada de ningún número
negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.
3
Ejemplo: √-25 IR √-8 = -2 IR
Para una definición más completa debemos considerar un radicando con un exponente distinto
de uno, de donde se obtiene que:
m
n
b = √am ⇔ b=an con n≠0
m
n
√am = a n
5
3
Ejemplo: √45 = 4 3
3. 5. Propiedades
Considere que a, b, k, m, n son números reales distintos de cero
n m n ⋅m 3 4
1) a= a ejemplo: 7 = 3⋅ 4 7 = 12 7
n n n 5
2) a⋅ b = a⋅ b ejemplo: 3 ⋅ 5 8 = 5 3 ⋅ 8 = 5 24
n n n
3) a÷ b= a÷b ejemplo: 7
12 ÷ 7 2 = 7 12 ÷ 2 = 7 6
n n
4) a n ⋅b m = a⋅ b m
ejemplo: 4
34 ⋅ 7 5 = 3 ⋅ 7 5
4
n m n⋅ k m⋅ k
5) a = a ejemplo: 3
85 =
3⋅2 5⋅2
8
6
= 810
n m n÷ k
6) a = a m÷ k ejemplo: 9 9 ÷ 3 27 ÷ 3 3
227 = 2 = 29
n 3
7) a n
=a ejemplo: 83 = 8
( 2)
m 7
= a
n m n 5
8) a
ejemplo: 27 = 5
6. Racionalización
Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones
equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso es a lo que se
llama racionalización de raíces de los denominadores. Por ejemplo, si queremos racionalizar la
7
fracción , multiplicaremos numerador y denominador por 2 obteniendo:
2
7 2 7 2 7 2
⋅ = =
( 2) 2
2
2 2
7
De forma que obtenemos la expresión 7 2 que es equivalente a con la ventaja que la
2 2
primera es una expresión mucho más recurrente que la segunda.
4. Ejercicios
1. Resuelva
a) 03
b) 30
1
1 3
( )
c) 8 2 3 2 =
−3
d) 1 =
2
2. Descomponga las siguientes raíces cuadradas a su menor radicando entero en cada caso:
a) 8
b) 75
c) 162
d) 300
3. La expresión un tercio elevado a menos tres quintos, equivale a:
4. La expresión dos quintos elevado a menos dos séptimos, equivale a:
5. La expresión la raíz cuadrada de dieciséis medios, equivale a:
5. 6. 35 =
A) 35
B) 81
4 10
C) 3
D) 310
E) 315
7. 23 4 =
A) 8
6
B) 4
C) 12
8
12 3
D) 2
3
E) 4
8. 82 + 82 + 82 + 82
A) 88
B) 322
C) 328
D) 82
E) 28
6. 3
9. 27 =
1
6
I. 3 II. 27 3 III. 36
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
7
10. =
7
A) 7
B) 7 7
C) 14 7
D) 7 7
2
E) 7
−3 2
11. 2
2
⋅ =
3 3
A) 32
243
B) − 3
2
C) 1
2
D)
3
E) 3
2
7. 12. -62 · 3 =
A) -108
B) 108
C) -182
D) -36
E) 36
13. La expresión (512 + 511) es divisible por:
I. 3 II. 5 III. 7
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
−2
1
14.
5
( )
⋅ 0, 2 ⋅ 4 =
A) 1
B) 2
C) 5
D) 10
E) 100
1 14
15. ⋅ 4 16 =
7 4
A) 1
B) 2
C) 4
D) 7
E) 28
8. Respuestas
Preg. Alternativa
1 a) 0, b) 1, c)8, d) 8
2 a) 2 √2 , b) 5 √3 , c) 9 √2 , d) 10 √3
3 5
27
25
4 7
4
5 2 √2
6 C
7 E
8 E
9 E
10 A
11 E
12 A
13 D
14 D
15 A
9. Solucionario
1. a) 03 = Por la definición de potencia, la base cero debemos multiplicarla
por sí misma tres veces(el valor del exponente), resultando:
0·0·0=0
b) 30 = Recuerda que por propiedad de potencias todo número real
distinto de cero es igual a uno
30 = 1
1
1 3
c) 8
( )
2 32
=
Aplicando la propiedad de potencias, para resolver una potencia
elevada a otra debemos multiplicar los respectivos exponentes
entre sí, resultando
1 1
2⋅3⋅ ⋅
2 3
, multiplicando los exponentes obtenemos:
8 =
6
8 6 = 81 = 8
−3
d) 1
= Aplicando propiedades de potencia, para resolver una fracción
2 elevada a un exponente negativo, invertimos la fracción y cambiamos
el signo del exponente
−3 3
1 2
= = 23 , luego aplicando la definición de potencia multiplicamos la base por
2 1 sí misma tres veces (El valor del exponente).
2·2·2=8
n n n
2. Recordando la propiedad de raíces: a⋅ b = a ⋅ b , resulta
a) 8= descomponiendo
4⋅2 = separando raíces de igual índice
4⋅ 2 = luego, resolviendo la raíz exacta
2⋅ 2 = 2 2
10. b) 75 = descomponiendo
25 ⋅ 3 = separando raíces de igual índice
25 ⋅ 3 = luego, resolviendo la raíz exacta
5⋅ 3 = 5 3
c) 162 = descomponiendo
81 ⋅ 2 = separando raíces de igual índice
81 ⋅ 2 = luego, resolviendo la raíz exacta
9⋅ 2 = 9 2
d) 300 = descomponiendo
100 ⋅ 3 = separando raíces de igual índice
100 ⋅ 3 = luego, resolviendo la raíz exacta
10 ⋅ 3 = 10 3
1 3
3. Si un tercio es igual a y menos tres quintos es igual a − ,luego la expresión en forma
de potencia resulta 3 5
3
−
1 5 , aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente
=
3 negativo, resulta
3 3
− 3
1 5 3 5 , luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias
= = 35
3 1 de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces,
obtenemos:
3
5
35 = 33 = 5 27
11. 2 2
4. Si dos quintos es igual a y menos dos séptimos es igual a − ,luego la expresión en
forma de potencia resulta 5 7
2
−
2 7 , aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente
= negativo, resulta:
5
2 2 , luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias
−
2 7 5 7
= = de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces,
5 2 obtenemos:
2
2
5 7 5 25
=7 =7
2 2 4
5. Expresándolo en forma matemática obtenemos,
16 , dividiendo el interior de la raíz
=
2
8=
, luego descomponiendo
4⋅2 = n n n
, luego utilizando la siguiente propiedad: a⋅ b = a ⋅ b , resulta,
finalmente
4⋅ 2 = resolviendo la raíz exacta
2⋅ 2 = 2 2
6. Alternativa correcta letra C)
n m n⋅ k m⋅ k
Recordando que el índice de una raíz cuadrada es 2 y la propiedad: a = a
35 = , dado la propiedad con k = 2, resulta:
2⋅2 5⋅2
3 = , luego multiplicando índice y exponente, resulta:
4 10
3
12. 7. Alternativa correcta letra E)
23 4 = dado que 4 =2 ,
n n
23 2 = aplicando la propiedad de raíces a b= a n⋅ b , resulta:
n m n ⋅m
3
23 ⋅ 2 = aplicando la propiedad de raíces a= a y que el índice de
una raíz cuadrada es 2, luego
2⋅3 3
2 ⋅2 = multiplicando los índices
6
23 ⋅ 2 = multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la
base y sumar los exponentes)
6
24 simplificando índice y exponente por 2, resulta:
3
22 = 3 4
8. Alternativa correcta letra E)
82 + 82 + 82 + 82 = Dado que nos enfrentamos a 4 expresiones iguales, es válido
expresarlas como una multiplicación, luego
4 · 82 , observar que 4 y 8 pueden expresarse como potencias de base 2
22 · (23)2 = , luego multiplicando los exponente de “la potencia de una
potencia”
22 · 26 ,multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la
base y sumar los exponentes)
22+6 = 28
9. Alternativa correcta letra E)
3
27 = , observemos que 27 = 33 ,luego
3
33 = , utilizando la propiedad
n
a n
=a
3
33 = 3 , con lo cual I es verdadero
, además por idénticas razones III es verdadero dado que:
6
36 =3
13. 3
, si la raíz 27 =la expresamos como potencia
1
27 3 = 3 27 , nos da que II es verdadero
10. Alternativa correcta letra A)
7
= , si racionalizamos por 7 , obtenemos:
7
7 7
⋅ = , luego multiplicando
7 7
7 7 , simplificando el denominador
=
( 7)
2
7 7 , simplificando
=
7
7 7
= 7
7
11. Alternativa correcta letra E)
−3 2
2 2 aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente
⋅ =
3 3 negativo, resulta:
3 2
3 2
⋅ = desarrollando las potencias resulta:
2 3
33 22 , dividiendo las potencias de igual base (basta con conservar la base
⋅ =
23 32 y restar los exponentes)
33 - 2 · 22 - 3 , restando los exponentes ,resulta:
3 · 2-1 aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente
negativo, resulta:
3
2
14. 12. Alternativa correcta letra A)
-62 · 3 = , por prioridad de operatoria resolvemos primero la potencia,
observar que
-62 = -6 · 6 = -36
-36 · 3 = ,multiplicando
-108
13. Alternativa correcta letra D) I. 3 II. 5 III. 7
(512 + 511) = , observar que 512 = 511 · 5 ,luego
(511 · 5 + 511) = , dado que la expresión 511 se repite podemos factorizar por dicha
expresión
511 (5 + 1) = , luego sumando el paréntesis
511 · 6
Si recordamos que uno de los factores de la multiplicación es múltiplo de un número el
producto completo lo es, entonces
Dado que 6 es divisible por 3 entonces la expresión completa lo es.
Dado que 511 es divisible por 5 entonces la expresión completa lo es.
Por lo tanto, la expresión es divisible por los ítem I y II
14. Alternativa correcta letra D)
−2
1
5
( )
⋅ 0, 2 ⋅ 4 = aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente
negativo ,resulta:
2 −2
5 1
( )
⋅ 0, 2 ⋅ 4 =
1
( )
desarrollando la potencia y recordando , 2 ⋅ 4 = 2, entonces
⋅ 0que
5
25 · (0,2) · 2 , luego transformando el decimal 0,2 a fracción
2
25 ⋅ ⋅ 2 = multiplicando
10
25 ⋅ 2 ⋅ 2 multiplicando el numerador
=
10
