O documento discute como as crianças desenvolvem conceitos sobre o sistema de numeração antes de entrar na escola e apresenta pesquisas sobre como elas comparam e representam números. Também sugere atividades para a sala de aula que trabalhem com os problemas inerentes ao sistema numérico e aceitem diferentes conceitualizações.

1. Universidade Federal do Rio Grande
Instituto de Educação – IE
Metodologia do Ensino da Matemática
1
Lerner & Sadovsky
Ms. Danielle Cenci
15/outubro/2013
O Sistema de Numeração:
um problema didático

2. PaRa PeNsAr:
Conforme exposto pelas autoras, as crianças já
constituem noções sobre o sistema numérico,
antes mesmo de ingressar na escola.
Pensando em sala de aula, esta informação,
realmente é positiva? Porquê?

3. O Porquê da Pesquisa:
Alternativas Didáticas:
 Kamii – as regras do sistema de numeração
trabalhadas a posterior.
 Bernarz e Janvier – através de distintas
materializações e formulando situações nas
quais agrupar seja significativo, é
compreendido como um recurso mais
econômico e rápido para contar grandes
quantidades.

4. O Porquê da Pesquisa:
Lerner & Sadovsky constataram que estudos
realizados até aquele presente momento, não
consideravam que a numeração escrita existe
não só dentro da escola, mas também fora
dela. Que as crianças têm oportunidade de
elaborar conhecimentos acerca deste sistema
de representação muito antes de ingressar na
primeira série.

5. O objetivo da Pesquisa:
“Realizar um estudo que permitisse descobrir
quais os aspectos do sistema de numeração
que as crianças consideram relevantes ou de
seu interesse, quais as ideias que elaboram
acerca dos números, quais os problemas que
formulam, quais as soluções que constroem,
quais os conflitos que podem gerar entre suas
próprias conceitualizações ou entre estas e
determinadas características do objeto que
estão tentando compreender.”

6. Sistema de Numeração
“Produto cultural, objeto de uso social
cotidiano, o sistema de numeração se oferece
à indagação infantil desde as páginas dos livros,
a listagem dos preços, os calendários, as
regras, as notas da padaria, os endereços das
casas...”

7. Sistema de Numeração
Como as crianças de aproximam do
conhecimento do sistema de numeração?
O que é essencial para nós professores
contribuirmos com a construção deste
conhecimento?

8. Metodologia de Pesquisa
1ª) Uma variante do jogo de batalha. Utilizaram
um baralho de vinte cartas com números
compreendidos entre o 5 e o 31 e com um
único desenho na carta. Após cada rodada,
solicitavam que as crianças relatassem as
decisões tomadas durante o jogo.

9. Metodologia de Pesquisa
2ª) Situação problema.
Enunciado: “Pensem em um número muito alto
e escrevam-no”. Através da troca entre pares
e no grande grupo os alunos analisavam quem
havia escrito o maior número. Ocasionando
um espécie de ditado de quantidades, com a
finalidade de debater as escritas produzidas.

10. Quantidade de algarismos e
magnitude do número
Para as crianças entrevistadas (Ed. Infantil/ 1º
ano E.F.) a hipótese que prevaleceu:
“Quanto maior a quantidade de algarismos de
um número, maior é o número”.
Por exemplo:
Pablo (6 anos) afirma que 112 é maior que 89
– “Porque tem mais números”.
Depois: “Não, é maior este (89), porque 8
mais 9 é 17, então é mais”.

11. Quantidade de algarismos e
magnitude do número
Em relação a fala de Pablo:
“A generalização está longe de ser
imediata”.

12. A posição dos algarismos com
critério de comparação
Para as crianças entrevistadas (Ed. Infantil/ 1º
ano E.F.) a hipótese que prevaleceu:
“O primeiro é quem manda”.
Por exemplo:
Lucila (5 anos) afirma que 21 é maior que 12 –
“ Porque o um (no 12) é primeiro e o dois é
depois; porque (no 21) o dois é primeiro e o
um é depois”.

13. A posição dos algarismos com
critério de comparação
Em relação a fala de Lucila:
“O critério de comparação baseado na posição
dos algarismos está longe de construir-se de
uma vez só e para sempre, já que na sua
generalização também requer a superação de
alguns obstáculos”.

14. A posição dos algarismos com
critério de comparação
As crianças entrevistadas ainda não
descobriram as regras do sistema (o
agrupamento usando o recurso de base 10),
porém isto não lhes impede, em absoluto, de
elaborar hipóteses referentes às conseqüências
dessa regra – a vinculação entre a quantidade
de algarismos ou sua posição e o valor do
número - e utilizá-las como critérios válidos
de comparação de números.

15. A posição dos algarismos com
critério de comparação
Observe este exemplo, a partir da fala de
Guillermo (seis anos):
“Olha, primeiro vem o dez e segundo pulas
dez, dez, dez, assim, não? Então se conta, dez,
vinte, trinta, tiramos cinco e fica vinte e cinco
e ali (31) no trinta colocamos um, e fica trinta
e um”.

16. A posição dos algarismos com
critério de comparação
Guillermo ainda não tinha ouvido falar de
“dezenas”, porém ele sabe que o primeiro
algarismo refere-se a alguma coisa na ordem
dos “vinte”, “trinta” ou “quarenta”.
Sendo assim: Aprender o conceito de dezena
ajuda realmente a conhecer os números? Ou é
o conhecimento dos números – de sua escrita
- que ajuda a compreender o conceito de
dezena?

17. Alguns números especiais:
o papel dos “nós”
“- Como é mil e quinhentos? (pesquisador)
- 1000500 (Nádia, 6 anos)”
Outros:
Escrevem quatrocentos como 104, trezentos
como 103, seiscentos como 106.
Essas crianças pensam que a escrita dos outros
“nós” das centenas conserva características da
escrita de 100.

18. O papel da numeração falada
As crianças elaboram conceitualizações a
respeito da escrita dos números, baseando-se
nas informações que extraem da numeração
falada e em seu conhecimento da escrita
convencional dos “nós”.

19. O papel da numeração falada
Na numeração falada, a justaposição de
palavras supõe sempre uma operação
aritmética:
=> operação de multiplicação (cinco mil,
5 x 1000)
=> operação de adição (mil e cinco, 1000 + 5)
A conjunção “e” na lingüística representa
adição.

20. O papel da numeração falada
A numeração escrita é ao mesmo tempo mais
regular, mas mais hermética que a numeração
falada. Além do mais, as potências de base não
são representadas através de símbolos
particulares, mas só podem ser deduzidas a
partir da posição que ocupam os algarismos.

21. Do conflito à notação convencional
Em alguns casos, as pesquisadoras observaram
que as escritas que correspondem à
numeração falada entram em contradição com
as hipóteses vinculadas à quantidade de
algarismos das notações numéricas. Tomar
consciência deste conflito e elaborar
ferramentas para superá-lo parecem ser passos
necessários para progredir até a notação
convencional.

22. Relações entre o que as crianças
sabem e a organização posicional do
sistema de numeração
Um sistema posicional é ao mesmo tempo
muito menos transparente e muito mais
econômico que um sistema aditivo. Economia
e transparências não são variáveis
independentes: quanto mais econômico é um
sistema de numeração, menos transparente se
apresenta.
Exemplo do sistema de numeração
egípcio.

23. E por isso...
É válido o esforço da escola por explicitar tudo
aquilo que o sistema de numeração oculta?

24. Enfoque usualmente adotado para
ensinar o sistema de numeração
Trabalhar passo a passo e com perfeição;
 Administrar o conhecimento ministrando-o
em cômodas quotas anuais;
 Transmitir de uma vez só e para sempre o
saber socialmente estabelecido.

25. Sistema numérico em sala de aula
 Trabalhar a partir dos problemas inerentes à
utilização do sistema numérico;
 Correr o risco de desafiar as crianças com
problemas cuja resolução ainda não lhes foi
ensinada;
 Aceitar a coexistência de diferentes
conceitualizações a respeito do sistema;

26. Sistema numérico em sala de aula
 Investir esforços para que a diversidade
opere a favor do processo do grupo e de cada
um de seus membros;
 Valorizar a complexidade e a provisoriedade;
Incentivar a autonomia com os estudos do
sistema numérico;

27. Eixos para organizar as situações
didáticas
1) Operar
2) Ordenar
3) Produzir
4) Interpretar

28. Sugestões de atividades
Realizar ditado de números.
Ao realizar um ditado as pesquisadoras
constatam que apenas um aluno obteve a
resposta correta (635). Assim, sem identificar
os autores de cada versão, pede argumentos a
favor ou contra as diferentes escritas.
60053 653 610053 61053

29. Sugestões de atividades
Estabelecer regularidades
Descubram em que se assemelham e em que
não se assemelham os números que estão
entre o dois e os trinta e dois.
Obs.: A partir do momento que é estabelecida
uma regularidade, é possível questionar o seu
significado.

30. Sugestões de atividades
Resolvendo operações e confrontando
procedimentos
A simples operação de somar 50 + 70,
originou 3 procedimentos:
70 + 10 = 80 50 + 50 = 100 70 + 50 = 120
80 + 10 = 90 100 + 50 = 150
90 + 10 = 100
100+ 10= 110
110+ 10= 120

31. Sugestões de atividades
Refletindo acerca das operações e
descobrindo “leis”
Os empregados de uma biblioteca anotaram a
quantidade de livros:

32. Sugestões de atividades
Utilizar o recurso da calculadora
Ditar um determinado número, por exemplo,
8537 e se perguntou que ordem teria que se
dar para que o resultado fosse 8500.

33. Considerações
Não precisamos categorizar uma atividade
como “tradicional” ou “ inovadora”, mas o que
importa é que a proposta de trabalho
contemple diferentes procedimentos, admita
diferentes respostas, gere aprendizagem em
todos os alunos, favoreça o debate e a
circulação de informação, garanta a interação
com a numeração escrita, propicie uma
crescente autonomia e aproxime o uso escolar
ao uso social da notação numérica.