O documento discute problemas de otimização em matemática, especificamente como encontrar a melhor solução para um problema, seja maximizando ou minimizando uma função. Apresenta exemplos de como resolver problemas de otimização envolvendo equações lineares do primeiro grau para determinar o lucro ou custo máximo/mínimo.

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Curso de Engenharia - UNIVESP
Disciplina Matemática
Bimestre 1
Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 17 e 18
Resumo da aula:
Todo problema que pode ser equacionado na forma matemática busca encontrar uma solução.
Ou seja, procura-se pelo número, ou números, que satisfaçam determinadas condições.
Seguindo esse raciocínio poderíamos pensar que basta encontrar uma solução para equação que
qualquer problema em matemática está resolvido. Mas não é isso que acontece.
Muitas vezes, um problema encontra duas ou mais soluções possíveis e, dependendo do caso,
uma delas pode não ser apropriada para resolver a equação.
Assim, às vezes o que importa é não somente encontrar a solução de um problema, mas sim
encontrar a melhor forma de resolvê-lo.
Os problemas de otimização são um exemplo disso. Nesses casos, o importante é procurar a
melhor solução para resolver o problema: o menor custo, o maior rendimento, o melhor caminho,
o que leva o menor tempo, etc.
Existem alguns métodos para resolver problemas de otimização. O mais simples é a partir do
equacionamento de problemas lineares, ou seja, que envolvem somente equação do primeiro
grau (que, no plano cartesiano são representadas como uma reta).
Nessa aula, esse tema é tratado com maiores detalhes e é demonstrado como resolver alguns
desses problemas.
Joel Vieira de Lima Júnior.
02/10/2014.

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Exercícios das vídeoaulas 17 e 18 – Matemática
Texto A
Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução
possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se
limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi
visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e
desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o
desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de
equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas
formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos
explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a
ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que
registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados,
até chegar à solução.
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PROBLEMA (problema 3 da aula)
Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e
III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:
Produtos >>
Materiais
Estoque B A
10 3 1 I
12 2 2 II
4 1 0 III
Lucro Total 6 reais 4 reais Lucro unitário >>
L
(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do
material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2
unidades de II e 1 unidade de III)
Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o
Lucro Total seja máximo
ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO
1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?

3. Quantidade de unidades a serem produzidas de dois produtos para ter um lucro máximo. Ou seja, a busca é
do lucro máximo.
2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às
3
condições da produção?
3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?
Lucro total = 4a + 6b
4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10
5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12
(material II) e y ≤4 (material III)
6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem
simultaneamente todas as condições do enunciado.
7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par
(x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da
região V; por exemplo, no ponto (6; 0).
8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no
plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.
9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0;
10/3).
10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta
4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo
Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L =
4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y
no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da
região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal
ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de
L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do
enunciado.
Respostas sintetizadas no gráfico a seguir:

4. 4
Texto B
Problemas que envolvem a determinação do valor mínimo de uma função podem ser resolvidos
de maneira análoga ao de valor máximo, com a permuta de desigualdades do tipo ax + by < c por
outras do tipo ax + by > c. Para praticar mais um pouco a solução de problemas lineares de
otimização, vamos agora tratar de um problema de minimização. O roteiro será mais simplificado,
nos exercícios que seguem, mas a ideia é basicamente a mesma dos problemas já resolvidos até
este ponto.
Uma informação complementar, apenas para ativar a curiosidade: problemas de máximos e de
mínimos relacionam-se intimamente com frequência. A busca do máximo lucro pode estar
associada ao mínimo custo, por exemplo.
Uma ideia interessante é pensar nessa dualidade, ao enfrentar problemas concretos.
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PROBLEMA (problema 4 da aula)

5. 5
Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente pelo menos as quantidades
de vitaminas B1 e B2 indicadas na tabela abaixo. Por razões de saúde, a dieta deve incluir
apenas os alimentos I e II, acondicionados em pacotes de 100g.
Determine o número de pacotes de cada tipo de alimento que deve ser ingerido de modo que as
prescrições médicas sejam cumpridas e o custo da alimentação seja o menor possível.
alimento I
pacote de 100g tem:
alimento II
pacote de 100g tem:
prescrição médica
(mínimo diário)
4,00 mg 0,50 mg 1,00 mg vitamina B1
6,00 mg 1,20 mg 0,60 mg vitamina B2
Custo Total: C 4,00 reais 6,00 reais preço do pacote
Roteiro para a Resolução
1. Devemos determinar o número x de pacotes do alimento I e o número y de pacotes do
alimento II a serem consumidos de modo a o custo total C da alimentação ser mínimo,
satisfeitas as condições da dieta. Expresse o custo C em função de x e y.
2. Expresse as condições impostas pela dieta em termos de x e y.
3. Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem a desigualdade 2x + y ≥ 8,
os que satisfazem a desigualdade 6x + 12y ≥ 60, e a região de viabilidade para o
problema

6. 6
4. Determine o ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2.
(2, 4)
5. Calcule o custo da dieta em um ponto qualquer da região de viabilidade, por exemplo, o
ponto (10; 0). Mostre que o custo mantém esse valor constante ao longo de uma reta.
Represente essa reta no plano cartesiano.
C = 6x + 4y  C = 60
6. Calcule o custo da alimentação no ponto (8;0), mostre que ele é constante ao longo de
uma reta paralela à do custo C = 60, mas que se situa abaixo dessa reta.
(0, 8)  C = 6.0 + 4.8  C = 32
7. Mostre que a reta que corresponde ao custo mínimo é a que passa pelo ponto mais
baixo da região de viabilidade, ou seja, pelo ponto de interseção das retas
correspondentes a B1 e B2, calculado anteriormente. O valor mínimo do custo é o valor
de C = 6x + 4y nesse ponto. Determine tal valor.
(2, 4) C = 6.2 + 4.4  C = 28
Gráfico que responde às questões anteriores:

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