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Jonathan T. Quartuccio | / – Física II - Notas de aula 1
Jonathan T. Quartuccio | – Física II - Notas de aula 2
Física II
Notas de Aula
Jonathan Tejeda Quartuccio
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 3
Para Stephanie
Agora e pra sempre...
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 4
CONTEÚDO
Aula 01 – Gravitação Universal
Aula 02 – Equilíbrio e Elasticidade
Aula 03 – Fluídos
Aula 04 – Osciladores I
Aula 05 – Osciladores II
Aula 06 – Ondas I
Aula 07 – Ondas II
Aula 08 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica
Aula 09 – Lei Geral dos Gases
Aula 10 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 5
AULA 01 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Corpos em queda próximos a superfície da Terra sentem uma atração dada por:
Onde é a aceleração da gravidade. Esse valor é ligeiramente constante quando próximo da
Terra. Mas vamos supor que tenhamos corpos distantes, e que estejam se atraindo (como a
Terra e a Lua, por exemplo). Nesse caso, não será mais constante e a força entre eles é dada
pela Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton:
Onde e são as massas dos corpos, é a distância entre eles e é a constante da
gravitação, cujo valor é . Se estivermos na superfície da Terra,
teremos?
Nesse caso é a massa da Terra e é seu raio.
Vamos supor que exista um objeto muito longe da Terra (tão longe que ). O trabalho
para trazer esse objeto para nós é dado por:
Esse valor, nós chamamos de energia potencial gravitacional. Note que .
Sabemos que , ou seja, a energia mecânica é a soma da cinética com a potencial.
Vamos analisar a energia mecânica com respeito à Terra:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 6
Vamos supor agora que estamos nos afastando da Terra com certa velocidade, e estamos
alcançando a distância do “infinito”. Quando chegarmos ao “infinito” nossa velocidade terá de
ser zero, pois a energia potencial é zero (se nossa velocidade for diferente de zero, vamos
continuar aumentando cada vez mais esse espaço infinito). Então:
Como a energia se conserva:
E assim nós definimos a velocidade de escape de um objeto sujeito a um campo gravitacional:
Se o objeto escapa da atração gravitacional, se o objeto é atraido.
Temos agora um satélite em torno da Terra. A massa do satélite é e estamos supondo que
. O satélite gira em torno da Terra num movimento circular, então existe uma força
resultando apontada para o centro da trajetória. Essa força resultado (a centrípeta) e causada
pela força da gravidade. Então:
Nesse caso, é a distância da Terra ao satélite. Isolando a velocidade encontramos:
Que é a velocidade orbital.
O período será:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 7
Leis de Kepler
As leis de Kepler são as seguintes:
1) As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um de seus focos.
2) Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais.
3) Existe uma relação entre o quadrado dos períodos dos planetas e o cubo de seus raios
médios (distancias). Essa relação é constante e é dada por:
O valor é chamado de constante de Kepler.
Um corpo orbitando outro sente uma força resultante apontada para o centro da trajetória.
Essa força, chamada de centrípeta, pode ser escrita como:
Nesse caso, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta é calculada como:
Então, a força centrípeta será:
Como estamos trabalhando não com um movimento linear, mas sim circular, podemos
escrever e lembrar que , então:
Dessa maneira, a força será dada por:
Vamos multiplicar o numerador e denominador por :
Pela terceira lei de Kepler , então:
E assim, como há dois corpos envolvidos:
Um corpo com velocidade apresenta um momento linear dado por . Vamos voltar
para o caso do satélite em torno da Terra. Por mais que o movimento do satélite seja através
de um círculo, o mesmo possui uma velocidade tangencial (e nesse caso um momento linear).
Seja a distância até a Terra, o momento angular será dado por:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 8
Em qualquer instante, o momento angular permanecerá o mesmo. Então:
Ou seja, nesse caso a gravidade não realiza torque algum.
Vamos nos ficar na energia mecânica relacionado com as elipses.
Perigeu (P) é o ponto mais próximo do Sol ( ) enquanto que o apogeu (A) é o ponto mais
distante.
Sendo , temos:
E o período será:
Pela terceira Lei de Kepler:
A aceleração da gravidade
Como dissemos anteriormente, a aceleração da gravidade não é constante, ela varia com a
altura. Para um corpo na superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 9
Agora, o corpo está a uma distância da Terra, de modo que a distância total será .
Então, a aceleração da gravidade será:
Como o denominador está aumentando, o valor de tem de diminuir. Portanto, quanto mais
distante menor o valor da aceleração da gravidade. De uma maneira geral, numa altura
(distância) temos:
A aceleração da gravidade varia com a altitude e também com a aceleração angular de
maneira que:
A superposição
Sabemos que corpos com massa atraem outros corpos com massa, com uma força que é
inversamente proporcional ao quadrado das distâncias. Temos agora um conjunto de corpos
interagindo. Então:
Que pode ser escrito como:
Para uma distribuição contínua de massas:
Gravitação no Interior de uma casca Esférica
Um objeto no centro de uma casca uniforme de matéria não sentirá a atração gravitacional. A
força exercida sobre o objeto será devida á massa existente somente na parte interna dessa
casca, que está a uma distância do centro (a força resultante será nula). Então, a massa
interna será:
Onde é a massa específica da esfera.
Vamos provar que a força da gravidade diminui à medida que nos aproximamos do centro da
Terra. Vamos supor que exista um túnel que nos leve para o centro:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 10
A força da gravidade é dada por:
Vamos escrever em termos da densidade da Terra.
Mas
Logo:
Então:
Ou seja, , então se o raio diminui a força da gravidade também diminui.
A Teoria da Relatividade
Em 1905 Albert Einstein escreveu um artigo mostrando que é desnecessária à existência de
algo que os físicos de sua época acreditavam permear o universo: éter. Contudo, era preciso
abandonar a ideia de tempo absoluto. O que Einstein escreveu em seu artigo é que as leis da
física devem ser as mesmas para qualquer observador, independente de sua velocidade. Para
Einstein, todos os observadores devem medir a mesma velocidade da luz, independente se
estão se movendo no mesmo sentido ou no sentido contrario a fonte de luz. Para que todos os
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 11
observadores possam medir a mesma velocidade da luz, era preciso abandonar o conceito de
tempo absoluto.
Para analisarmos a questão do tempo, vamos imaginar novamente o trem (que foi visto na
parte anterior). Suponha que uma pessoa dentro do trem acenda uma lanterna, enquanto uma
pessoa na plataforma observa. Como o trem está em movimento, as duas pessoas medem
distâncias diferentes na qual a luz percorreu. Sabemos que a velocidade é a variação de espaço
sobre tempo, portanto se a medição da distância for diferente entre os observadores o mesmo
acontecerá com o tempo. Dessa forma, cada observador tem sua medida de tempo. Essa
publicação de Einstein deu origem ao que chamamos de relatividade restrita. O tempo não
passou ser visto como um elemento a parte do espaço, pelo contrario, tempo e espaço estão
interligados.
Um desfecho da relatividade restrita é que a energia de um corpo é diretamente proporcional
a sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Isso originou a equação mais
conhecida de todos os tempos: E= mc². Se a massa de um corpo aumenta, sua energia também
irá aumentar por isso nada poderá percorrer uma velocidade maior que a da luz. Cada vez que
um corpo aumenta sua velocidade, ele aumenta sua massa e por essa razão será preciso mais
energia para movê-lo. Se o corpo ultrapassar a velocidade da luz, sua massa será estendida ao
infinito e o corpo precisará de energia infinita para se mover, mas a energia em todo o
universo é finita.
E o que isso tem de errado com a física?
Até o tempo de Einstein, o universo era tido de acordo com o modelo newtoniano. Mas o que
Newton dizia sobre o universo? Embora Newton houvesse descoberto a gravitação e
enunciado suas leis em seu famoso livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele
desconhecia o fator que causava gravidade. Por outro lado, ele mostrou que, se de repente, o
Sol sumisse todos os planetas abandonariam suas órbitas instantaneamente e fugiriam em
direção ao espaço.
Contudo, essa observação não estava de acordo com a relatividade de Einstein. A relatividade
mostra que nada, nem mesmo a gravidade, pode ser mais rápida que a luz. Portanto, se o Sol
desaparecer iremos primeiro ficar sem o seu brilho, para depois sentirmos falta de sua
influência gravitacional. Einstein, portanto, dedicou-se a encontrar uma teoria que descrevesse
a força gravitacional.
Por alguns anos, Albert Einstein se dedicou a uma nova teoria, e a construiu. Ele tinha o tempo
como parte do universo. Espaço e tempo estavam interligados, num universo de quatro
dimensões. E tudo no universo seguia as mesmas leis da natureza. Para explicar a gravidade de
Newton, Einstein mostrou que os corpos celestes estão sobre uma espécie de tecido cósmico.
Devido ao peso dos corpos, esse tecido cósmico se curva para dentro. Basta imaginar uma
folha de borracha. Coloque sobre essa folha de borracha uma esfera de ferro, a folha irá
curvar-se devido ao peso da esfera. Se você lançar uma esfera menor de um lado a outro da
folha, a mesma irá dar voltas em torno da esfera maior. A esfera maior seria o Sol e a esfera
menor os planetas, enquanto a folha de borracha seria o tecido do espaço. Essa ideia ficou
conhecida como relatividade geral.
Quanto maior o peso de um corpo, maior a curvatura do espaço a sua volta e
consequentemente maior atração gravitacional. Karl Schwarzchild propôs, em 1916, a
existência de regiões do espaço de densidade infinita. Schwarzchild mostrou que se a matéria
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 12
for concentrada num espaço extremamente pequeno, ela criará uma região onde a gravidade
é tão grande que nem mesmo a luz conseguiria escapar. Essa matéria iria criar o chamado
buraco negro. Einstein não estava certo se isso poderia ocorrer. Mas a sua preocupação maior
no momento era outra. Ele já estava fascinado com o eletromagnetismo de Maxwell, e seu
desejo, agora, era juntar a relatividade geral com o eletromagnetismo em uma única teoria,
uma teoria que ele escreveria tudo no universo, uma teoria de tudo. Porem havia algumas
complicações. Uma delas é que a relatividade não possuía uma explicação para o surgimento
do universo. Outra complicação é que a força gravitacional parecia ser bem mais fraca que a
força eletromagnética. Quando uma teoria encontra complicações, ela precisa ser mudada. Em
seus últimos anos de vida, o criador da relatividade buscou encontrar sua teoria de tudo.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 13
AULA 02 – EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
Para um objeto estar em equilíbrio estático devemos ter:
Tomemos um objeto qualquer onde definimos o centro de massa CM.
Nesse caso, as forças produzem um torque. Ou seja, não há equilíbrio estático.
Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por exemplo), como na
figura a seguir:
No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada encostada no
chão. O atrito em P é nulo, assim:
No ponto Q, teremos:
Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 14
O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o chão. É fácil
notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito pequeno a escada vai
deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim de que a escada não deslize.
As forças que agem sobre a escada são dadas na figura:
No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a escada deslize,
temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma normal e em P, como
não há atrito, temos, também, uma normal.
Assim:
O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então:
Como as forças em y devem ser zero:
Temos que:
Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede, na escada ou
em qualquer outro lugar. Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então:
Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter:
Assim:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 15
Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique estável. Esses
valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o ângulo é muito
pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição. Suponha que temos um
determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada está na eminência do
deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir pela escada, partindo do ponto
Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai deslizar assim que o sujeito começar a
andar por ela? Ou então a escada ficará mais estável?
Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja a uma distância
d do ponto Q.
Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nossos cálculos. Então:
Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d.
Assim:
Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando , que não tínhamos
anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de deslizar, então você
pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo também aumentou. Portanto
devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de fazer essa comparação é adotar d igual
à zero. A pessoa começa a subir a escada a partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força
de atrito final é igual à força de atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta
o termo m (estamos somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância.
Se o atrito máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 16
estável. Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme.
Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o valor de
d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo. Então, chega um
momento em que . Quando isso ocorre, a escada desliza. Portanto, de uma
maneira geral, a escada não deslizará quando:
Esse é o caso quando:
Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos ver como é
possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força. Vamos enrolar uma
corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito entre elas para sustentar
nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em uma ponta da corda colocaremos
um peso de massa M e na outra um peso de massa m. As tensões na corda são dadas como
mostrado na figura:
Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se recorrermos ao
atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de modo que nenhuma bloco
irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2.
Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste:
Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá deslizar no
seguinte sentido:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 17
Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda está deslizando,
cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim, existe um atrito na direção
contrária, um atrito em cada pedacinho da corda.
Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o peso em T2.
Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores dos atritos na corda.
Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos da corda. Quando resolvemos
nossa integral e nossas derivações encontramos:
Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno da haste. Então,
temos que . Vamos supor que . Assim, temos que:
Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos aplicar uma força 40
vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o mesmo. Se dermos seis voltas,
nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um lado temos um peso igual a 10.000 kg,
do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg que manteremos o equilíbrio (na eminência
de deslizamento).
Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma força um
pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso?
De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu tento fazer isso,
eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos 10.000 kg. Em outras
palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá:
Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda em torno da
haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg. Assim, eu precisarei de 20
milhões de quilogramas.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 18
Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que o próprio peso
da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de segurarmos.
Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto P. O centro de
massa é dado por CM. Então:
Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor posição do ponto
P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P. Então:
Onde é a aceleração angular.
Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter:
A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa mesma linha
vertical que P.
Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro do objeto, ou
pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o torque é nulo.
Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das forças devem ser
zero. Perceba que:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 19
Assim, a soma das forças é zero.
Pense em um pêndulo, por exemplo:
O pêndulo está em equilíbrio estático.
O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão.
Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda.
O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então, existe uma
distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um metro. A massa do
equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras verticais em suas mãos, com um
peso de 5 kg na ponta de cada uma.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 20
A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede 10 metros de
comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima da corda e 10 kg
estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema ficará um pouco abaixo
da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio.
Elasticidade
Temos uma mola:
A mola sofre uma deformação de comprimento , de maneira que é proporcional à força:
Se dobrarmos a força iremos dobrar o comprimento. Se tivermos duas molas é série, a
deformação será maior, de forma que:
Agora, vamos tomar duas molas em paralelo:
Agora surgem duas forças de resistência oposta (se fossem três molas, seriam três forças e
assim sucessivamente). Nesse caso quanto mais molas tivermos, menor será a deformação.
Assim:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 21
Tomando um cilindro, ou pedaço de corda:
Claramente, aumentando a força aumentamos o comprimento do cilindro. Então .
Vamos tomar agora dois cilindros em paralelo.
Da mesma maneira que a mola surgem duas forças opostas. Podemos imaginar esses dois
cilindros como um único cilindro maior, de área .
Nesse caso:
Então:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 22
Onde é o módulo de Young. é a tensão (stress) e é a deformação (strain). Vamos
ver um exemplo:
Para o aço,
Nesse caso:
Para o nylon,
Se torna-se muito grande, podemos romper nosso material. Antes de o nosso material
arrebentar a força deixa de ser proporcional à deformação. Quando deixamos de aplicar a
força, o material não volta ao tamanho original (deformação permanente).
0 0.04 0.08 0.12 0.16
Strain
0
300
600
900
1200
Stress(MPa)
6Al-4V Titanium Alloy
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 23
No limite elástico ocorre a deformação permanente.
De uma maneira geral:
Se uma força é aplicada horizontalmente sobre um objeto, temos a chamada tensão de
cisalhamento:
Nesse caso:
Onde é chamado módulo de cisalhamento.
Enquanto que o módulo de Young está relacionado com o valor da alteração do comprimento
do fio, a tensão de cisalhamento relaciona a deformação. Se em um objeto existem forças
aplicadas uniformemente em todas as direções, temos a compressão uniforme ou pressão
hidrostática.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 24
AULA 03 – FLUÍDOS
Temos um fluído, que pode ser um gás ou um líquido. Esse fluído está dentro de um recipiente
e nós iremos aplicar uma força sobre um embolo de área A. Assim, definimos a pressão como:
O princípio de Pascal diz que uma força aplicada em um líquido se transmite por todos os
pontos do líquido e nas paredes do recipiente.
Ao aplicar uma força no embolo, o mesmo irá deslocar uma distância . Do outro lado, o
outro embolo também irá deslocar uma distância , só que para cima. Assim, devemos ter
pelo princípio de Pascal:
A relação nos diz que, se colocarmos um objeto de 10 kg de um lado, podemos erguer
um objeto de 1000 kg do outro lado. Esse é o funcionamento da prensa hidráulica.
O trabalho realizado nesse processo é:
Assim, o trabalho PE convertido em energia potencial gravitacional.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 25
A densidade do líquido dentro da caixa . Como o fluído está em equilíbrio:
No caso limite de :
À medida que aumentamos o valor de (ou seja, à medida que vamos “escapando” do fluido)
a pressão diminui. Quando aplicamos uma força num fluido, podemos fazer com que o volume
fique menor. Quando isso ocorre, o fluido sofre uma compressibilidade. Se o volume não
diminui, o fluido é incompressível.
Vamos integra nossa pressão:
E essa é a lei de Pascal, que pode ser escrita como: .
Num fluido, podemos imaginar que exista uma coluna desse fluido sobre um corpo. Essa
coluna possui uma área . A altura da coluna é a diferença . Em temos uma
pressão e em temos uma pressão , de maneira que . O peso dessa coluna é
dado por:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 26
No nível do mar, a pressão é igual a . Toda essa pressão atmosférica está
agindo sobre nós, porém ela é distribuída em todas as direções. Torricelli mediu a pressão
atmosférica utilizando mercúrio (760 mmHg).
Hidrostática
Temos um cilindro flutuando num líquido.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 27
O cilindro possui um comprimento L, uma densidade e uma área A. O líquido possui uma
densidade . Nosso cilindro está em equilíbrio, logo:
O valor chamado de buoyant force (empuxo). Então:
E note que esse valor é igual ao peso do fluído.
Assim, podemos compreender o princípio de Arquimedes:
“O empuxo de um objeto é igual ao peso do líquido deslocado”
Estudando o peso de uma coroa submersa, Arquimedes mostrou que:
Quando submersa:
Assim:
Como , temos:
Tomemos um iceberg:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 28
Nosso iceberg possui uma massa m e V é o volume total. Temos que , que
é menor que a água ( ). Como o iceberg está em equilíbrio a força peso
tem de ser igual ao empuxo:
Isso quer dizer que 92% do iceberg está submerso.
Voltando ao caso do cilindro, queremos saber a condição para que ele flutue. Para que isso
ocorra devemos ter:
Como :
E isso independe do tamanho do objeto. Depende apenas da densidade.
Temos um objeto flutuando onde CM é o centro de massa:
Mesmo o centro de massa estando deslocado do centro geométrico, podemos supor que o
empuxo irá agir no centro do objeto. Logo ocorrerá um torque no sentido mostrado. Não
importa onde o empuxo seja aplicado (na verdade, o empuxo é aplicado em todos os pontos)
sempre ocorrerá um torque. Quando não haverá torque. Temos um cilindro num
fluído:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 29
Nesse caso, a força peso está agindo no centro de massa do cilindro, enquanto que o empuxo
está agindo no centro de massa do líquido (em relação ao cilindro). Se eu inclinar meu cilindro
ocorrerá um torque.
Agora, vamos supor que o centro de massa do cilindro esteja fora do líquido.
Isso fará com que o cilindro vira. Por essa razão, o centro de massa de navios devem estar
abaixo da água.
Temos um balão cheio de gás. A massa total é dada por . O volume do
balão é dado por V. A densidade do gás dentro do balão é e a densidade do ar (fora do
balão) é .
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 30
Para o balão subir devemos ter:
Logo:
Algo não muito intuitivo acontece agora. Temos uma maçã presa á uma corda e um balão
dentro de uma caixa:
Claramente, se eu cortar as cordas a maçã irá cair e o balão irá subir. Agora, vamos imaginar
que essa caixa esteja no espaço e não existem as cordas, portanto, a maçã e o balão estarão
flutuando. Vamos supor que um astronauta esteja junto nessa caixa.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 31
Vou colocar uma turbina na minha caixa e criarei uma aceleração no sentido contrário ao
movimento (criarei uma “falsa” gravidade).
Ou seja, a maçã e o astronauta irão “cair” enquanto que o balão irá subir (análogo ao
movimento na superfície da Terra). Agora, ao invés de acelerar para cima vou aceleração para
o lado. O que será que irá ocorrer?
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 32
Enquanto que a maçã e o astronauta vão no sentido de , o balão vai no sentido da
aceleração. Pense por um instante nisso!
Equação de Bernoulli
Agora vamos fazer uma relação com a energia cinética e a energia potencial. Temos um fluído
incompressível passando pelo seguinte trajeto:
Nesse caso é a velocidade do líquido (fluído). Note que é maior que pois a área é
menor que . Se o líquido não estiver se movendo, teremos e . Então:
Temos que nada mais é do que energia por volume e é a energia potencial
gravitacional por volume. Se o líquido estiver se movendo teremos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 33
O que nos fornece:
Pois m/V = .
Então, a equação de Bernoulli é dada por:
Vamos manter o valor da altura constante:
A mesma quantidade de fluído que passa por um ponto é igual a quantidade que passa por
qualquer outro ponto. De forma geral . Como é maior que então tem que
ser menor que . A vazão (quantidade de fluído que passa por um ponto) é dada por:
A razão de vazão é:
O volume pode ser dado pela vazão multiplicada pelo tempo:
Temos um sifão. Existe, inicialmente, ar dentro do tubo. Podemos colocar a boca em e
sugar a água. Note que as pressões são iguais. Portanto:
Como as pressões são iguais elas não aparecem na equação. Sendo :
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 34
Temos um funil com uma bolinha de isopor dentro (faça essa experiência). Se eu soprar o funil
de maneira a fazer a bolinha subir, eu não conseguirei:
Na região em azul a área por onde meu sopro passa é menor (área entre o funil e a bolinha).
Como a área nesse ponto é pequena a velocidade é grande. Velocidades grandes implicam
pressões menores, portanto, nesse ponto a pressão é pequena e minha bolinha não sobe. Se
eu inverter o funil para baixo e soprar, a bolinha não irá cair (devido à baixa pressão sobre ela).
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 35
Uma asa de avião possui a seguinte forma:
O formato da asa do avião faz com que a pressão em cima da asa seja menor que a pressão em
baixo. Logo a força é menor que . Da mesma maneira a velocidade é maior que a
velocidade .
Viscosidade e Turbulência
Viscosidade é equivalente ao atrito. Se não houver viscosidade não haverá dissipação de
energia. A trajetória de um pequeno elemento do fluído é chamado de corrente.
Se as linhas de corrente se fecham, temos um fluxo rotacional chamado vórtice.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 36
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 37
AULA 04 – OSCILADORES I
Nessa aula trataremos de oscilações e movimentos periódicos. De uma maneira geral, nosso
cotidiano está repleto de movimentos periódicos. Um prato girando numa mesa, um relógio,
uma roda, enquanto tomamos um suco, etc., tudo está envolvido com movimentos periódicos.
Temos uma mola:
Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua posição de equilíbrio
(comprimento inicial).
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola.
Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com isso, temos a Lei
de Hooke:
Onde K é a constante da mola.
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos que essa força é
uma força restauradora.
Como é possível medir a constante da mola?
Podemos usar a gravidade.
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar diferentes
pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. Fazendo isso e
obtendo os resultados em um gráfico:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 38
Assim, temos que:
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, a mola voltará
ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei de Hooke.
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se comporte de
acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu tamanho original.
Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou seja, existe um limite para a
deformação.
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em que a força
aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a mola, ela tomará
um comprimento maior do que tinha anteriormente.
Há outras maneiras de medir o valor de K.
Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito.
Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0).
O período de oscilação é dado por:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 39
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e x = 0).
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei de Hooke está
presente.
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema:
Dividindo tudo por m:
E assim obtemos uma equação diferencial.
Um objeto que oscila descreve um movimento dado como:
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com um senóide ou
cossenóide.
Assim:
Vamos substituir essa equação na equação diferencial.
Eu tenho que:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 40
Assim:
Portanto:
O que nos dá:
Exemplo:
Assim:
“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, tem de
ser zero.
Com isso, temos as possíveis respostas:
Para a velocidade:
Se , o .
Assim:
Se escolhêssemos o , teríamos:
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do movimento.
A oscilação é independente da amplitude.
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. Faremos isso
experimentalmente.
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude.
Tomando uma massa diferente:
Vamos medir 10 períodos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 41
Fazendo uma previsão:
Fazendo A = 35 cm.
Tomemos um pêndulo.
Decompondo a tensão T em y e x.
Em x:
Em y:
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que iremos fazer é
uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os chamados “aproximação por
pequenos ângulos”. Ou seja,
Assim:
Essa é a nossa primeira consequência.
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do que x = 0 para
y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que:
Ou seja, a aceleração em y é quase zero.
Portanto, na equação II:
Substituindo em I:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 42
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples.
Com isso:
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a corda pela
metade o mesmo deve ocorrer com o período.
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo.
Mola:
Pêndulo:
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa.
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AULA 05 – OSCILADORES II
Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da gravidade,
simplesmente:
O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido contrário à trajetória.
Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou seja, y = 0). Nesse
ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero. Qualquer outro ponto acima me
dá .
Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y.
Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo. Se eu faço um
trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo.
Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a gravidade faz um
trabalho positivo.
Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à zero em
qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 44
Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho continuará sendo
positivo.
Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero (onde a altura é
zero).
Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever:
Em um gráfico:
Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando e meu trabalho
é positivo.
Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da energia potencial.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 45
Agora usaremos uma mola, de comprimento l.
Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força elástica. Eu
posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B.
Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola.
Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial igual à zero.
Fazendo um gráfico.
Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia potencial.
Portanto, temos uma força restauradora.
As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o objeto a
diminuir sua energia potencial.
Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós podemos encontrar a
força? E a resposta é sim.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 46
Utilizaremos nossa mola:
Mas a força da mola é negativa, então:
Com isso, temos:
Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia potencial estão em
função de nossas três coordenadas. Assim:
Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por .
Voltemos à situação próximo a Terra.
Agora não estamos mais próximos da Terra:
Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós podemos encontrar
as três componentes da força.
Vamos supor que eu tenha uma superfície curva.
Há pontos em que . São eles: a, b, c, d, e.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 47
Isso significa que:
Nesses pontos o objeto está parado.
Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que eu coloque uma
bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola de gude vai cair para
algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de gude estiver em b, e nós
aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua energia potencial é menor. Em b,
nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e em a nós temos o equilíbrio instável.
Retornemos à mola.
Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que oscila na mola
segue um movimento harmônico simples.
Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo negativo.
E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico simples.
Temos assim:
Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 48
Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que nos dará um
bom resultado. Então:
Então:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 49
E essa equação é uma oscilação harmônica simples.
Assim:
E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo.
A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão, como é o caso do
pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num movimento circular), será que
apenas a gravidade faz trabalho?
Quando eu quase me matei com o pêndulo (em física I), eu estava crente na conservação de
energia que acabei ignorando a tensão.
É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E a normal? É
possível que ela faça trabalho?
A resposta é não!
Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que o trabalho é o
produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão nem a força normal faz
qualquer trabalho.
Na prática, um objeto que oscila sempre dissipa energia.
Temos uma força oposta ao movimento dada por , onde é uma constante de
amortecimento. No caso geral:
Sendo:
Tratamos de pêndulos simples, agora veremos um caso mais geral.
Enquanto que no pêndulo simples toda a massa está concentrada na massa m do peso do
pêndulo, no pêndulo físico (ou composto) a massa está distribuída, as vezes podendo
apresentar uma distribuição não uniforme de massa.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 50
O ponto P é onde iremos fixar nosso pêndulo. O valor de b representa a distância do ponto de
suspensão ao CM (centro de massa). Um ângulo é formado com a vertical. A força peso,
atuando sobre o centro de massa, realiza um torque em P dado por:
Partindo da definição de torque temos que , onde é o momento de inércia. Nesse
caso, o torque é de restauração, pois faz com que o pêndulo busque o equilíbrio zero ( ).
Assim, .
Então, o torque no sistema fica:
Escrevendo temos:
Usamos agora a aproximação por pequenos ângulos. Isso quer dizer que iremos fazer nosso
ângulo tender a um valor muito pequeno. Fazendo uma aproximação pequena, teremos:
E assim obtêm-se a equação do movimento harmônico simples. A frequência angular é dada
por:
Então, o período de oscilação será:
Para calcular o valor de , utilizamos o teorema dos eixos paralelos. Logo:
Como , temos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 51
Esse é o caso para uma barra, pois o momento de inércia que encontramos foi o da barra.
A medida que o ponto onde fixamos o pêndulo se aproxima do centro de massa, o valor do
período tende ao infinito. Vamos chamar de D a distância ao centro de massa, e sendo o
momento de inércia dado por:
O período será:
Teremos:
No limite de temos:
Nesse contexto chamamos k de raio de giração.
Um terceiro caso de pêndulo é o chamado pêndulo de torção. Ele é formado por um corpo
rígido suspenso por um fio que oscila em torno de um eixo comum.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 52
Quando uma pequena torção é dada ao corpo suspenso surge um torque oposto dado por:
O valor k é uma constante própria do fio. Temos então:
Note que .
O período será:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 53
AULA 06 – ONDAS I
Uma onda é uma transmissão de energia através de um meio. Essa transmissão de energia é
feita sem a transmissão de matéria. Uma onda pode ser representada por:
Uma onda pode ser tida como uma forma geral de uma oscilação, a equação é bem parecida.
Temos então:
Essa é a nossa equação de onda. Nessa equação temos que é a amplitude máxima de onda.
A posição é dada por enquanto que é o número de onda.
Vamos observar nossa onda num determinado instante. Vamos supor que esse instante seja
. Nossa equação será:
Nesse instante a posição da onda será dada por:
O valor é o comprimento de onda (distância de uma crista à crista seguinte). Então:
Temos no momento em que uma onda se forma (esse é o ângulo total percorrido pela
onda). Logo:
E assim nós temos o número de onda.
A frequência é dada por:
O período será:
No caso geral, sabemos que , logo:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 54
Vimos que uma onda, ao completar um clico, percorre uma distância angular igual a .
Portanto, vamos escrever a equação de onda para uma forma geral:
Agora, chamamos de fase.
Seja um pulso dado pela seguinte função:
Escrevemos essa função como . Agora, nosso pulso irá se deslocar para a direita:
Essa função será escrita como .
Se , então .
Se fixarmos a onda num determinado instante, teremos:
Isso é lógico, pois a onda não está se movendo (não muda de posição e nem varia de ângulo).
Vamos derivar essa parte da onda:
Então:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 55
E assim obtemos a velocidade horizontal da onda. Vamos substituir alguns valores em nossa
equação. Conhecemos e , então:
Então, podemos calcular a velocidade onda como:
Se o pulso se move para a esquerda, temos que o sinal será negativo.
Vamos ver um exemplo. Temos a seguinte onda:
A amplitude da onda é , para isso basta observar a equação de onda.
Vamos calcular o período da onda.
Para calcular o comprimento de onda é simples pois conhecemos o valor de k, então:
Calculamos a frequência:
A velocidade da onda é:
Até agora determinamos a velocidade horizontal de uma onda. Vamos determinar agora a
velocidade transversal. Para tal basta derivar a função de onda:
Para a amplitude máxima, teremos:
Podemos determinar a aceleração. Assim, vamos fazer a segunda derivada:
Na amplitude máxima teremos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 56
Vamos supor um pulso se propagando numa corda de densidade .
Podemos imaginar esse pulso como uma parte de um círculo. A velocidade do pulso (a
velocidade na onda na corda) será:
De uma maneira geral, definimos a velocidade como:
As ondas transportam energia. A potência é proporcional à amplitude.
Assim, temos:
A potência será:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 57
Sabemos que .
Se então:
A potência média será:
Equação de Onda
Temos uma onda passando por uma corda. Vamos pegar um elemento dessa corda. Existem
forças opostas agindo na corda ( e ). Essas forças são iguais à tração na corda. Pela
segunda lei de Newton, temos:
Em nossa equação temos:
Que representa a massa, enquanto que:
É a aceleração.
Onde é uma força agindo na direção . é a inclinação. Temos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 58
Se tomarmos a inclinação da corda para pequenos ângulos, de forma que , então:
Logo:
Ou
Assim:
Sendo temos:
Usando , encontramos:
Superposição de Ondas
Vamos supor duas ondas e numa mesma corda. A onda resultante é dada por:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 59
Quando não existe diferença de fase entre as ondas, temos uma interferência construtiva.
Se existe diferença de fase ( ), então temos uma interferência destrutiva.
Sejam duas ondas de mesma amplitude:
O valor de representa a diferença de fases. Lembrando que:
Temos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 60
Se então a amplitude (construtiva).
Se então a amplitude (destruiva).
Vamos supor agora duas ondas iguais se propagando em sentidos opostos numa corda:
A onda resultante será:
Com isso, temos a formação de uma onda estacionária. Chamamos de nós os pontos de
amplitude nula ( ) e antinós os pontos de amplitude máxima ( , ,
, ).
Para formar uma onda estacionária devemos ter:
Assim:
Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento por uma onda cujo
comprimento de onda satisfaz:
Onde é o número de harmônicos (ventres) da onda. O ventre é o espaço formado entre os
antinós da onda estacionária. Lembremos que:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 61
Então, a frequência será:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 62
AULA 07 – ONDAS II
Vimos que a velocidade de onda é determinado por:
Vamos estudar ondas sonoras agora. No vaso do som, temos:
Onde é a massa específica e é o módulo de elasticidade volumétrico. O valor de é
calculado como:
Onde é a variação de pressão.
(CNTP)
Bulk Modulus
(B) [Pa]
Density ()
[kg/m3
]
Water 2.2×109
1000
Methanol 8.23×108
424
Air (Adiabatic) 1.42×105
~ 1,21
Air (Constant Temp.) 1.01×105
~ 1,21
A função de deslocamento de uma onda sonora será:
Os valores de , , , , e são definidas da mesma maneira que fizemos até agora.
Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição varia senoidalmente.
Assim:
Se , temos uma expansão do ar. Se , temos a compressão do ar.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 63
Assim como as ondas transversais, as ondas sonoras também sofrem interferência. A
interferência depende da diferença de fase entre as ondas. Se as ondas forem emitidas em
fase e se propagarem na mesma direção, teremos:
é a diferença entre as distâncias percorridas pelas ondas sonoras até chegarem à um ponto
comum. Se , pra , então temos uma interferência construtiva. Para
interferências construtivas, temos:
Se , para , temos uma interferência destrutiva. Em
interferências destrutivas, temos:
Seja a potência (transferência de energia) e a área da superfície que recebe o som. A
intensidade será:
A relação entre a amplitude e a intensidade é:
Se o receptor está à uma distância da fonte, a intensidade será:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 64
A audição humana compreende uma faixa sonora entre 20 Hz e 20.000 Hz. Abaixo de 20 Hz,
temos o infrassom. Acima de 20.000 Hz temos o ultrassom. No ar, a velocidade do som é em
torno de 340 m/s.
Nossos ouvidos podem detectar sons com uma amplitude de (limiar de audibilidade)
até (limiar da dor). Quando tratamos de audição humana, é conveniente usar a escala
decibel ( ). Essa escala é definida como:
Onde .
O valor de aumenta em 10dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de
grandeza (um fator de 10).
Tratamos com ondas se propagando em cordas, e podemos imaginar isso como um
instrumento (um violão por exemplo). Agora, para o caso do som, vamos estudar ondas se
propagando em tubos. Temos um tudo com as duas extremidades abertas:
O comprimento de onda para um tubo aberto é:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 65
Onde é o número de harmônicos. Note que contamos o número de harmônicos como o
número de ventres existentes. Mas nesse caso, temos dois ventres incompletos (eles na
verdade correspondem à metade de um ventre). Sendo assim, essas duas metades dos ventres
formam um ventre. Sendo assim, na figura acima temos o harmônico fundamental ( ). Na
figura a seguir, temos o segundo harmônico ( ), pois o número de ventres (completos) é
2:
No caso seguinte, temos o terceiro harmônico:
A frequência será:
Agora, vamos tomar um tubo que tenha uma de suas extremidades fechadas. A onda dentro
dele será:
Note que no modo fundamental, não temos um ventre completo. Temos metade de um
ventre, assim, para um tubo fechado o comprimento de onda será:
Para valores de
Se os valores de forem pares, não teremos uma onda completa formada. Nesse caso, a
frequência será:
Para teremos:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 66
A jogada aqui é, como fizemos até agora, contar o número de ventres. Note que para o
harmônico fundamental ( ) temos metade de um ventre. Então, nós contamos esse
ventre como uma metade e refletimos, assim temos meio ventre mais meio ventre, o que nos
dá um ventre completo. Para o terceiro harmônico fazemos a mesma coisa. Temos um ventre
completo, em seguida temos meio ventre. Então contamos o número de ventres, refletindo a
conta quando encontramos meio ventre:
Para :
O comprimento de um instrumento musical está ligado à faixa de frequência que o
instrumento foi projetado para cobrir. Comprimentos menores produzem frequências
menores. Uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes chega aos nossos ouvidos com
um som diferente. Dizemos que cada instrumento tem seu timbre. Um dó maior de um piano
é diferente de um dó maior de uma guitarra. Abaixo temos as frequências de uma mesma nota
tocada por instrumentos diferentes:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 67
Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes, e , são detectadas
simultaneamente, temos um batimento. Temos duas ondas:
A frequência do batimento é igual à diferença na frequência dos dois sons.
Nossa onda resultante será:
Efeito Doppler
A frequência emitida por alguma fonte pode sofrer uma alteração relativa caso a fonte e/ou o
observador (detector) se movimente. De uma maneira geral, escrevemos:
Nessa equação é a frequência original; é a velocidade do som; é a velocidade do
observador e é a velocidade da fonte.
Os sinais são escolhidos para que tenda a ser maior para movimentos de aproximação e
menor para movimentos de afastamento. A regra para os sinais são:
 Se o detector se aproxima da fonte:
 Se o detector se afasta da fonte:
 Se o detector estiver parado:
 Se a fonte se aproxima do detector:
 Se a fonte se afasta do detector:
 Se a fonte estiver parada:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 68
Velocidade de Mach
Certos objetos podem apresentar velocidades maiores que a do som. Esses objetos possuem
velocidades supersônicas. O número de Mach é dado por:
Onde é a velocidade do objeto e é a velocidade do som. Temos os seguintes valores para
M:
 Se temos a velocidade subsônica.
 Se temos a velocidade sônica.
 Se o objeto alcança a velocidade transônica (Sonic-Boom).
 Se temos a velocidade supersônica.
 Se temos a velocidade hipersônica.
Quando a velocidade do objeto supera a velocidade do som, a variação brusca de pressão do
ar faz com que as moléculas de vapor d’água se condensem, formando uma nuvem (cone de
Mach). Nesse momento dois estrondos como trovão se ouve, o chamado Sonic-Boom.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 69
AULA 08 – TEMPERATURA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Todos os corpos e substâncias são formados por átomos, que por sua vez são formados por
partículas. A agitação dessas partículas ocasiona uma variação no que chamamos de
temperatura do corpo. A temperatura de um corpo é o nível de agitação de suas partículas.
Sejam três corpos A, B e C. Se A e B tiverem a mesma temperatura que o corpo C (estiverem
em equilíbrio térmico com C), então A e B terão a mesma temperatura entre si.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 70
Assim, definimos a chamada lei zero da termodinâmica.
Para medirmos a temperatura de um corpo ou substância usamos as escalas de temperatura.
Essas escalas são: Celsius (°C), Fahrenheit (°F) e Kelvin (K). Essa ultima é utilizada no sistema
internacional.
Na escala Kelvin, o ponto de fusão é 273 K e o ponto de ebulição é 373 K. Na escala Celsius, o
ponto de fusão é 0 °C e o ponto de ebulição é 100 °C. Para a escala Fahrenheit o ponto de
fusão é 32 °F e o ponto de ebulição é 212 °F. Chamamos de ponto triplo da água, a
temperatura na qual podemos ter, coexistindo, água nos três estados.
Para fazermos a conversão de temperatura, fazemos:
Assim, temos a relação de Celsius e Kelvin. Para relacionar Fahrenheit com Celsius, fazemos:
Dilatação
Quando a temperatura de um corpo aumenta ou diminui o mesmo se expande ou contrai.
Temos uma barra de comprimento que após ser aquecida (sofrer uma variação de
temperatura ) aumentou seu comprimento para .
Assim, definimos a variação de comprimento da barra como:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 71
Onde é a variação de temperatura e é o comprimento inicial da barra. O valor é
chamado de coeficiente de dilatação linear e depende do material.
Numa situação real, o corpo varia seu volume e não somente seu comprimento. Assim, temos
uma dilatação volumétrica:
Nesse caso é o coeficiente de dilatação volumétrica e seu valor é .
A temperatura de um corpo varia devido as trocas de calor com o ambiente ou com outros
corpos. O calor nada mais é do que a energia térmica em trânsito. Se há diferença de
temperatura, então há transferência de calor. O calor pode ser medido em caloria (cal), joule
(J) ou em Btu.
Quando uma substância aquece, ela diminui sua densidade. Definimos densidade como:
Porém, com a água ocorre algo diferente. Quando a água está sendo aquecida no intervalo de
0°C à 4°C ela aumenta sua densidade. Chamamos esse comportamento de anômalo. Por essa
razão a vida consegue continuar existindo num lago congelado. O gelo da superfície é menos
denso do que a água. Enquanto que na superfície podemos ter uma temperatura de -10°C, por
exemplo, abaixo do gelo a água está em estado líquido.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 72
Abaixo temos o gráfico mostrando esse comportamento da água.
Capacidade Térmica
A capacidade térmica é a relação entre a quantidade de calor fornecida ou cedida de um corpo
e a variação de temperatura do mesmo.
Onde é o calor (energia). A unidade da capacidade térmica é .
Calor Específico
O calor específico define a variação térmica de determinada substância ao receber
determinada quantidade de calor.
Assim:
Logo:
Calor de Transformação
Quando uma substância perde ou recebe calor, pode ocorrer uma mudança de fase. Num
sólido, a agitação térmica das partículas é pequena (rigidez do corpo). Num líquido, temos uma
agitação maior e no estado gasoso essa agitação é ainda maior.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 73
A quantidade de calor (energia) fornecida para que uma substância mude completamente de
fase é chamada calor de transformação ( ).
Assim:
Trabalho
Temos um recipiente com um embolo. Vamos supor que há gás dentro do recipiente. Se
aquecermos nosso gás ele ira se expandir e irá empurra o embolo para cima:
Sabemos que o trabalho é definido como:
No caso de nosso recipiente, temos:
Sabemos que , logo:
Assim:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 74
A primeira lei
A energia interna de um sistema é proporcional à temperatura ( ). A primeira lei da
termodinâmica diz que a variação da energia interna é a diferença entre a quantidade de calor
envolvida no sistema e o trabalho:
Em alguns processos envolvendo a variação de energia interna, podemos transformações onde
não ocorrem trocas de calor ( ). Nesse caso, temos um processo adiabático:
Se temos uma expansão adiabática (temperatura diminui).
Se temos uma compressão adiabática (temperatura aumenta).
Se durante um processo o volume permanece constante, então o trabalho realizado é nulo
( ).:
Se temos uma absorção de calor (aumento de temperatura).
Se temos uma liberação de calor (diminuição de temperatura).
Chamamos de processos cíclicos aqueles onde o ponto final e inicial da transformação
coincide. O estado final é igual ao inicial (curvas fechadas).
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 75
Nesse caso, a variação de energia interna é nula:
E também temos a expansão livre, na qual nenhum trabalho é realizado.
De uma forma resumida:
Transferência de calor
A mudança de temperatura, como vimos, ocorre com as trocas de calor. O calor pode ser
transferido entre corpos de três maneiras:
Condução
Na condução, a energia é transferida de um átomo para outro (ex: colher no fogo).
A taxa de condução é calculada como:
Aqui, é o tempo e é a condutibilidade térmica do material. A área do material é dada por
e é a diferença de temperatura. A resistência térmica à condução de calor é dada por:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 76
Vamos supor que o calor passe através de uma placa composta.
Aqui, é a temperatura na interface das placas. Temos então:
Convecção
Em fluídos a variação de temperatura ocasiona uma variação de densidade. Essa variação de
densidade cria um movimento no fluído (correntes de convecção).
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 77
Radiação
O calor que é transferido pelas ondas eletromagnéticas é chamado de radiação. A taxa de
radiação térmica (potência) é dada pela lei de Stefan-Boltzmann:
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann e vale . A emissividade
é dada por e seu valor está entre 0 e 1 (1 para corpo negro). A temperatura é sempre em
Kelvin.
A taxa de radiação líquida da troca de energia de um corpo de temperatura num ambiente
de temperatura é:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 78
AULA 09 – TEORIA CINÉTICA DOS GASES
Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12g de carbono 12. O valor de 1 mol é
unidades. Chamamos esse valor de número de Avogadro ( ):
O número de mols é calculado como:
Onde é o número de moléculas na amostra.
Seja a massa de nossa amostra. é a massa molar e é a massa molecular. Então:
Gás Ideal
Num gás ideal, o movimento das partículas é desordenado. As colisões entre essas partículas
são elásticas, ou seja, não perdem energia. Podemos considerar seu volume desprezível e
existem forças de interação somente entre as colisões.
Em baixas concentrações os gases obedecem à relação:
E chamamos essa equação de lei geral dos gases, onde é o número de mols e é a
constante universal dos gases que vale . Vamos reescrever nossa lei em termos
de uma constante , chamada de constante de Boltzmann.
Sendo , temos:
Então:
Onde nesse caso é o número de moléculas. Agora temos duas equações que descrevem a lei
geral dos gases. Na primeira, temos a relação com o número de mols enquanto que na
segunda temos uma relação com o número de moléculas. Para um mol de qualquer gás ideal:
Em condições normais de temperatura e pressão (CNTP):
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 79
Transformações Fundamentais
Isotérmico
Nessa transformação a temperatura constante:
Numa expansão isotérmica, o trabalho é dado por:
Se não houver variação de volume ( ) então o trabalho é zero ( ). Caso ,
temos uma expansão ( ). Se , temos uma compressão ( ).
Isobárico
Nessa transformação, a pressão é constante.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 80
Isovolumétrico
Nessa transformação, o volume é constante.
Velocidade Quadrática Média
Vamos supor várias moléculas num recipiente.
Ao colidir com a frente do recipiente, as moléculas sofrem uma mudança de momento linear.
Quando uma partícula colide com a parede do recipiente ela inverte o sentido do movimento,
então:
Vamos supor que nosso recipiente seja uma caixa de lados L.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 81
Vamos supor que seja o tempo que uma partícula colida com uma parede, percorra o
espaço L, colida com a parede oposta e retorne. A distância percorrida seria 2L.
A taxa média com a qual o momento é transferido para as paredes é:
Podemos escrever a pressão, sabendo que , como:
Onde é o número de moléculas na caixa. Como :
Mas é a massa molar do gás e é o volume:
Para qualquer molécula: .
Então, os valores médios das partículas são iguais:
O que nos fornece:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 82
Se tirarmos a raiz de teremos a chamada velocidade média quadrática ( ).
Combinando as equações:
E
Encontramos:
Energia Cinética de Translação e Livre Caminho Médio
Em física I vimos que a energia cinética de um corpo de massa e velocidade é dada por:
Mas agora, estamos tratando de partículas de maneira que:
Assim, definimos a energia cinética média como:
Sabendo que , então:
E sendo :
Uma única molécula pode percorrer um caminho livremente sem sofrer colisões com outras
moléculas. A medida que o número de moléculas vai aumentando, as colisões vão
aumentando e os caminhos livres vão diminuindo.
O movimento aleatório é denotado por , e é a distância média percorrida por uma molécula
entre duas colisões.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 83
Quanto maior o valor de , maior será o número de colisões.
Onde é o diâmetro da partícula.
Em um gás, por mais que tenhamos a as moléculas podem, e apresentam, velocidades
diferentes. Em 1852, Maxwell calculou a distribuição de velocidades das moléculas de um gás:
Onde é a probabilidade, é a massa molar, é a constante dos gases, é a velocidade
escalar da molécula e é a temperatura. O produto é a fração de moléculas cujas
velocidades estão no intervalo entorno de .
A soma de todas as possibilidades tem de ser igual a um (100%). Então, tomando todo esse
intervalo:
Se tomarmos um intervalo entre e :
A velocidade média pode ser calculada como:
Substituindo pelo valor encontrado por Maxwell e integrando:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 84
De maneira similar, podemos calcular a média das velocidades quadráticas:
Quando for máximo, encontramos a velocidade mais provável. Como nesse ponto a
inclinação da curva tangente ao gráfico é zero, então:
Calor Específico Molar
Seja um gás com volume constante. O calor específico molar é:
Na equação, é o calor cedido ou absorvido e é o número de mols. O valor de depende
se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.
Para um gás monoatômico:
Abaixo temos uma tabela com a energia interna para os diferentes tipos de moléculas de um
gás.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 85
O calor específico de um gás sobre pressão constante é:
Ou de uma maneira mais geral:
Para mols de um gás ideal:
Se houver variação de temperatura:
Um gás monoatômico, formado por átomos isolados e não moléculas, possui uma energia
interna:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 86
Podemos determinar a partir do teorema de equipartição de energia. Esse teorema diz:
“A cada grau de liberdade de uma molécula (cada forma independente de armazenar
energia) está associada uma energia de por molécula”
Se é o número de graus de liberdade:
Se , temos três graus de liberdade de translação. Se , temos três graus de
translação e dois de rotação.
Quando um gás ideal sofre uma lenta variação de volume adiabática (ou seja, ), a
pressão e o volume estão relacionados pela equação:
Onde .
Se a expansão for livre:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 87
AULA 10 – ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA
Uma xícara de café quente perde calor para o ambiente. As chances de a xícara receber calor e
esquentar ainda mais o café são muito, muito, muito pequenas. Um ovo cai no chão e se
quebra. As chances de todos os pedaços se juntarem e formar o ovo inteiro novamente são
tão pequenas quanto à xícara esquentar espontaneamente.
Processos unidirecionais são ditos irreversíveis, ou seja, não podem ser desfeitos
naturalmente. Os casos da xícara esfriando e do ovo se quebrando são processos
unidirecionais. Mesmo que um processo irreversível ocorresse espontaneamente, como o ovo
voltar a ser inteiro, ele não violaria a lei de conservação de energia. Lembre-se que essa lei diz
que num sistema fechado a energia total sempre se conserva (a quantidade de calor perdida é
igual a quantidade calor recebida).
Não são as variações de energia de um sistema fechado que determinam o sentido dos
processos irreversíveis. O sentido é determinado pela variação de entropia ( ).
O postulado da entropia diz que:
“Se um processo irreversível ocorre em um sistema fechado, a entropia S do sistema sempre
aumenta.”
Vamos supor que um sistema possua um estado inicial e final . A variação de entropia será
dada por:
Onde é a energia absorvida ou cedida e é dado em kelvin.
Segunda Lei da Termodinâmica
O enunciado de Kelvin diz:
“É impossível realizar um processo cujo único efeito seja remover calor de um reservatório
térmico e produzir uma quantidade equivalente de trabalho.”
Ou seja, num processo .
Numa expansão isotérmica, temos . Isso não contradiz o enunciado de
Kelvin, pois o estado final do sistema em questão não é o mesmo que o inicial, pois a pressão
varia. Ou seja, a completa transformação de calor em trabalho não é o único efeito.
Outro enunciado, o de Clausius diz:
“É impossível realizar um processo cujo único efeito seja transferir calor de um corpo mais
frio para um corpo mais quente.”
Temos uma máquina térmica, onde uma quantidade de calor é fornecida para o sistema. Uma
parte desse calor é transformada em trabalho e outra parte é “perdida”.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 88
Temos um processo cíclico, com :
Mas , e . Então:
O rendimento (eficiência) é calculado como:
Ou seja, o rendimento é o trabalho executado pelo calor absorvido. Podemos calcular o
rendimento da seguinte maneira:
Ou
Em uma máquina térmica ideal, todos os processos são reversíveis e as transferências de
energia são realizadas sem as perdas causadas por atrito e turbulências. A máquina de Carnot
é uma máquina ideal. O ciclo de Carnot é dado pelo esquema:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 89
As trocas de calor são feitas isotermicamente. As mudanças de temperatura são adiabáticas.
Nenhuma máquina térmica pode ter um rendimento superior à de Carnot. Um ciclo teórico de
máximo rendimento é:
O inverso da máquina térmica é o refrigerador.
Nesse caso, uma fonte fria alimenta uma máquina juntamente com um trabalho. Para um
refrigerador temos:
Mas temos que , e . Então:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 90
O desempenho do refrigerador é:
De uma maneira geral o rendimento é:
Ou seja, é o calor absorvido pelo trabalho fornecido.
O rendimento tem de estar entre zero e infinito.
Vimos que a entropia está relacionada com a variação de energia absorvida ou cedida pelo
sistema:
Se o processo isotérmico for reversível, teremos:
Quando um gás ideal passa por um processo reversível (um caso especial):
Mas e :
Como o gás é ideal, então e dividindo tudo por :
E fazendo a integral de até :
Seja o seguinte processo cíclico:
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 91
Qualquer processo cíclico pode ser substituído por inúmeros subciclos de Carnot:
A entropia de um sistema termicamente isolado nunca pode decrescer: não se altera quando o
processo é reversível mas aumenta quando o processo é irreversível!
Visão estatística da Entropia
A entropia de um sistema pode ser definida em termos das possíveis distribuições de suas
moléculas. As distribuições possíveis são chamadas de microestado. O número de
microestados de uma configuração é a multiplicidade da configuração.
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 92
Temos uma caixa com dois lados ( e ) e moléculas que podem ser distribuídas em
ambos os lados.
Assim, definimos a multiplicidade como:
Todos os microestados são igualmente prováveis. Se for muito grande, as moléculas estarão
quase na configuração .
A entropia se relaciona com através da equação:
Onde é a constante de Boltzmann.

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  • 1. Jonathan T. Quartuccio | / – Física II - Notas de aula 1
  • 2. Jonathan T. Quartuccio | – Física II - Notas de aula 2 Física II Notas de Aula Jonathan Tejeda Quartuccio
  • 3. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 3 Para Stephanie Agora e pra sempre...
  • 4. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 4 CONTEÚDO Aula 01 – Gravitação Universal Aula 02 – Equilíbrio e Elasticidade Aula 03 – Fluídos Aula 04 – Osciladores I Aula 05 – Osciladores II Aula 06 – Ondas I Aula 07 – Ondas II Aula 08 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica Aula 09 – Lei Geral dos Gases Aula 10 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
  • 5. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 5 AULA 01 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Corpos em queda próximos a superfície da Terra sentem uma atração dada por: Onde é a aceleração da gravidade. Esse valor é ligeiramente constante quando próximo da Terra. Mas vamos supor que tenhamos corpos distantes, e que estejam se atraindo (como a Terra e a Lua, por exemplo). Nesse caso, não será mais constante e a força entre eles é dada pela Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton: Onde e são as massas dos corpos, é a distância entre eles e é a constante da gravitação, cujo valor é . Se estivermos na superfície da Terra, teremos? Nesse caso é a massa da Terra e é seu raio. Vamos supor que exista um objeto muito longe da Terra (tão longe que ). O trabalho para trazer esse objeto para nós é dado por: Esse valor, nós chamamos de energia potencial gravitacional. Note que . Sabemos que , ou seja, a energia mecânica é a soma da cinética com a potencial. Vamos analisar a energia mecânica com respeito à Terra:
  • 6. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 6 Vamos supor agora que estamos nos afastando da Terra com certa velocidade, e estamos alcançando a distância do “infinito”. Quando chegarmos ao “infinito” nossa velocidade terá de ser zero, pois a energia potencial é zero (se nossa velocidade for diferente de zero, vamos continuar aumentando cada vez mais esse espaço infinito). Então: Como a energia se conserva: E assim nós definimos a velocidade de escape de um objeto sujeito a um campo gravitacional: Se o objeto escapa da atração gravitacional, se o objeto é atraido. Temos agora um satélite em torno da Terra. A massa do satélite é e estamos supondo que . O satélite gira em torno da Terra num movimento circular, então existe uma força resultando apontada para o centro da trajetória. Essa força resultado (a centrípeta) e causada pela força da gravidade. Então: Nesse caso, é a distância da Terra ao satélite. Isolando a velocidade encontramos: Que é a velocidade orbital. O período será:
  • 7. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 7 Leis de Kepler As leis de Kepler são as seguintes: 1) As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um de seus focos. 2) Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais. 3) Existe uma relação entre o quadrado dos períodos dos planetas e o cubo de seus raios médios (distancias). Essa relação é constante e é dada por: O valor é chamado de constante de Kepler. Um corpo orbitando outro sente uma força resultante apontada para o centro da trajetória. Essa força, chamada de centrípeta, pode ser escrita como: Nesse caso, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta é calculada como: Então, a força centrípeta será: Como estamos trabalhando não com um movimento linear, mas sim circular, podemos escrever e lembrar que , então: Dessa maneira, a força será dada por: Vamos multiplicar o numerador e denominador por : Pela terceira lei de Kepler , então: E assim, como há dois corpos envolvidos: Um corpo com velocidade apresenta um momento linear dado por . Vamos voltar para o caso do satélite em torno da Terra. Por mais que o movimento do satélite seja através de um círculo, o mesmo possui uma velocidade tangencial (e nesse caso um momento linear). Seja a distância até a Terra, o momento angular será dado por:
  • 8. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 8 Em qualquer instante, o momento angular permanecerá o mesmo. Então: Ou seja, nesse caso a gravidade não realiza torque algum. Vamos nos ficar na energia mecânica relacionado com as elipses. Perigeu (P) é o ponto mais próximo do Sol ( ) enquanto que o apogeu (A) é o ponto mais distante. Sendo , temos: E o período será: Pela terceira Lei de Kepler: A aceleração da gravidade Como dissemos anteriormente, a aceleração da gravidade não é constante, ela varia com a altura. Para um corpo na superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale:
  • 9. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 9 Agora, o corpo está a uma distância da Terra, de modo que a distância total será . Então, a aceleração da gravidade será: Como o denominador está aumentando, o valor de tem de diminuir. Portanto, quanto mais distante menor o valor da aceleração da gravidade. De uma maneira geral, numa altura (distância) temos: A aceleração da gravidade varia com a altitude e também com a aceleração angular de maneira que: A superposição Sabemos que corpos com massa atraem outros corpos com massa, com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado das distâncias. Temos agora um conjunto de corpos interagindo. Então: Que pode ser escrito como: Para uma distribuição contínua de massas: Gravitação no Interior de uma casca Esférica Um objeto no centro de uma casca uniforme de matéria não sentirá a atração gravitacional. A força exercida sobre o objeto será devida á massa existente somente na parte interna dessa casca, que está a uma distância do centro (a força resultante será nula). Então, a massa interna será: Onde é a massa específica da esfera. Vamos provar que a força da gravidade diminui à medida que nos aproximamos do centro da Terra. Vamos supor que exista um túnel que nos leve para o centro:
  • 10. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 10 A força da gravidade é dada por: Vamos escrever em termos da densidade da Terra. Mas Logo: Então: Ou seja, , então se o raio diminui a força da gravidade também diminui. A Teoria da Relatividade Em 1905 Albert Einstein escreveu um artigo mostrando que é desnecessária à existência de algo que os físicos de sua época acreditavam permear o universo: éter. Contudo, era preciso abandonar a ideia de tempo absoluto. O que Einstein escreveu em seu artigo é que as leis da física devem ser as mesmas para qualquer observador, independente de sua velocidade. Para Einstein, todos os observadores devem medir a mesma velocidade da luz, independente se estão se movendo no mesmo sentido ou no sentido contrario a fonte de luz. Para que todos os
  • 11. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 11 observadores possam medir a mesma velocidade da luz, era preciso abandonar o conceito de tempo absoluto. Para analisarmos a questão do tempo, vamos imaginar novamente o trem (que foi visto na parte anterior). Suponha que uma pessoa dentro do trem acenda uma lanterna, enquanto uma pessoa na plataforma observa. Como o trem está em movimento, as duas pessoas medem distâncias diferentes na qual a luz percorreu. Sabemos que a velocidade é a variação de espaço sobre tempo, portanto se a medição da distância for diferente entre os observadores o mesmo acontecerá com o tempo. Dessa forma, cada observador tem sua medida de tempo. Essa publicação de Einstein deu origem ao que chamamos de relatividade restrita. O tempo não passou ser visto como um elemento a parte do espaço, pelo contrario, tempo e espaço estão interligados. Um desfecho da relatividade restrita é que a energia de um corpo é diretamente proporcional a sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Isso originou a equação mais conhecida de todos os tempos: E= mc². Se a massa de um corpo aumenta, sua energia também irá aumentar por isso nada poderá percorrer uma velocidade maior que a da luz. Cada vez que um corpo aumenta sua velocidade, ele aumenta sua massa e por essa razão será preciso mais energia para movê-lo. Se o corpo ultrapassar a velocidade da luz, sua massa será estendida ao infinito e o corpo precisará de energia infinita para se mover, mas a energia em todo o universo é finita. E o que isso tem de errado com a física? Até o tempo de Einstein, o universo era tido de acordo com o modelo newtoniano. Mas o que Newton dizia sobre o universo? Embora Newton houvesse descoberto a gravitação e enunciado suas leis em seu famoso livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele desconhecia o fator que causava gravidade. Por outro lado, ele mostrou que, se de repente, o Sol sumisse todos os planetas abandonariam suas órbitas instantaneamente e fugiriam em direção ao espaço. Contudo, essa observação não estava de acordo com a relatividade de Einstein. A relatividade mostra que nada, nem mesmo a gravidade, pode ser mais rápida que a luz. Portanto, se o Sol desaparecer iremos primeiro ficar sem o seu brilho, para depois sentirmos falta de sua influência gravitacional. Einstein, portanto, dedicou-se a encontrar uma teoria que descrevesse a força gravitacional. Por alguns anos, Albert Einstein se dedicou a uma nova teoria, e a construiu. Ele tinha o tempo como parte do universo. Espaço e tempo estavam interligados, num universo de quatro dimensões. E tudo no universo seguia as mesmas leis da natureza. Para explicar a gravidade de Newton, Einstein mostrou que os corpos celestes estão sobre uma espécie de tecido cósmico. Devido ao peso dos corpos, esse tecido cósmico se curva para dentro. Basta imaginar uma folha de borracha. Coloque sobre essa folha de borracha uma esfera de ferro, a folha irá curvar-se devido ao peso da esfera. Se você lançar uma esfera menor de um lado a outro da folha, a mesma irá dar voltas em torno da esfera maior. A esfera maior seria o Sol e a esfera menor os planetas, enquanto a folha de borracha seria o tecido do espaço. Essa ideia ficou conhecida como relatividade geral. Quanto maior o peso de um corpo, maior a curvatura do espaço a sua volta e consequentemente maior atração gravitacional. Karl Schwarzchild propôs, em 1916, a existência de regiões do espaço de densidade infinita. Schwarzchild mostrou que se a matéria
  • 12. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 12 for concentrada num espaço extremamente pequeno, ela criará uma região onde a gravidade é tão grande que nem mesmo a luz conseguiria escapar. Essa matéria iria criar o chamado buraco negro. Einstein não estava certo se isso poderia ocorrer. Mas a sua preocupação maior no momento era outra. Ele já estava fascinado com o eletromagnetismo de Maxwell, e seu desejo, agora, era juntar a relatividade geral com o eletromagnetismo em uma única teoria, uma teoria que ele escreveria tudo no universo, uma teoria de tudo. Porem havia algumas complicações. Uma delas é que a relatividade não possuía uma explicação para o surgimento do universo. Outra complicação é que a força gravitacional parecia ser bem mais fraca que a força eletromagnética. Quando uma teoria encontra complicações, ela precisa ser mudada. Em seus últimos anos de vida, o criador da relatividade buscou encontrar sua teoria de tudo.
  • 13. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 13 AULA 02 – EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE Para um objeto estar em equilíbrio estático devemos ter: Tomemos um objeto qualquer onde definimos o centro de massa CM. Nesse caso, as forças produzem um torque. Ou seja, não há equilíbrio estático. Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por exemplo), como na figura a seguir: No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada encostada no chão. O atrito em P é nulo, assim: No ponto Q, teremos: Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento.
  • 14. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 14 O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o chão. É fácil notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito pequeno a escada vai deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim de que a escada não deslize. As forças que agem sobre a escada são dadas na figura: No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a escada deslize, temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma normal e em P, como não há atrito, temos, também, uma normal. Assim: O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então: Como as forças em y devem ser zero: Temos que: Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede, na escada ou em qualquer outro lugar. Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então: Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter: Assim:
  • 15. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 15 Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique estável. Esses valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o ângulo é muito pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição. Suponha que temos um determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada está na eminência do deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir pela escada, partindo do ponto Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai deslizar assim que o sujeito começar a andar por ela? Ou então a escada ficará mais estável? Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja a uma distância d do ponto Q. Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nossos cálculos. Então: Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d. Assim: Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando , que não tínhamos anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de deslizar, então você pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo também aumentou. Portanto devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de fazer essa comparação é adotar d igual à zero. A pessoa começa a subir a escada a partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força de atrito final é igual à força de atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta o termo m (estamos somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância. Se o atrito máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais
  • 16. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 16 estável. Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme. Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o valor de d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo. Então, chega um momento em que . Quando isso ocorre, a escada desliza. Portanto, de uma maneira geral, a escada não deslizará quando: Esse é o caso quando: Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos ver como é possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força. Vamos enrolar uma corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito entre elas para sustentar nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em uma ponta da corda colocaremos um peso de massa M e na outra um peso de massa m. As tensões na corda são dadas como mostrado na figura: Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se recorrermos ao atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de modo que nenhuma bloco irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2. Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste: Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá deslizar no seguinte sentido:
  • 17. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 17 Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda está deslizando, cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim, existe um atrito na direção contrária, um atrito em cada pedacinho da corda. Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o peso em T2. Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores dos atritos na corda. Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos da corda. Quando resolvemos nossa integral e nossas derivações encontramos: Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno da haste. Então, temos que . Vamos supor que . Assim, temos que: Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos aplicar uma força 40 vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o mesmo. Se dermos seis voltas, nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um lado temos um peso igual a 10.000 kg, do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg que manteremos o equilíbrio (na eminência de deslizamento). Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma força um pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso? De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu tento fazer isso, eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos 10.000 kg. Em outras palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá: Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda em torno da haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg. Assim, eu precisarei de 20 milhões de quilogramas.
  • 18. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 18 Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que o próprio peso da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de segurarmos. Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto P. O centro de massa é dado por CM. Então: Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor posição do ponto P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P. Então: Onde é a aceleração angular. Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter: A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa mesma linha vertical que P. Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro do objeto, ou pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o torque é nulo. Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das forças devem ser zero. Perceba que:
  • 19. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 19 Assim, a soma das forças é zero. Pense em um pêndulo, por exemplo: O pêndulo está em equilíbrio estático. O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão. Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda. O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então, existe uma distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um metro. A massa do equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras verticais em suas mãos, com um peso de 5 kg na ponta de cada uma.
  • 20. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 20 A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede 10 metros de comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima da corda e 10 kg estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema ficará um pouco abaixo da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio. Elasticidade Temos uma mola: A mola sofre uma deformação de comprimento , de maneira que é proporcional à força: Se dobrarmos a força iremos dobrar o comprimento. Se tivermos duas molas é série, a deformação será maior, de forma que: Agora, vamos tomar duas molas em paralelo: Agora surgem duas forças de resistência oposta (se fossem três molas, seriam três forças e assim sucessivamente). Nesse caso quanto mais molas tivermos, menor será a deformação. Assim:
  • 21. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 21 Tomando um cilindro, ou pedaço de corda: Claramente, aumentando a força aumentamos o comprimento do cilindro. Então . Vamos tomar agora dois cilindros em paralelo. Da mesma maneira que a mola surgem duas forças opostas. Podemos imaginar esses dois cilindros como um único cilindro maior, de área . Nesse caso: Então:
  • 22. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 22 Onde é o módulo de Young. é a tensão (stress) e é a deformação (strain). Vamos ver um exemplo: Para o aço, Nesse caso: Para o nylon, Se torna-se muito grande, podemos romper nosso material. Antes de o nosso material arrebentar a força deixa de ser proporcional à deformação. Quando deixamos de aplicar a força, o material não volta ao tamanho original (deformação permanente). 0 0.04 0.08 0.12 0.16 Strain 0 300 600 900 1200 Stress(MPa) 6Al-4V Titanium Alloy
  • 23. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 23 No limite elástico ocorre a deformação permanente. De uma maneira geral: Se uma força é aplicada horizontalmente sobre um objeto, temos a chamada tensão de cisalhamento: Nesse caso: Onde é chamado módulo de cisalhamento. Enquanto que o módulo de Young está relacionado com o valor da alteração do comprimento do fio, a tensão de cisalhamento relaciona a deformação. Se em um objeto existem forças aplicadas uniformemente em todas as direções, temos a compressão uniforme ou pressão hidrostática.
  • 24. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 24 AULA 03 – FLUÍDOS Temos um fluído, que pode ser um gás ou um líquido. Esse fluído está dentro de um recipiente e nós iremos aplicar uma força sobre um embolo de área A. Assim, definimos a pressão como: O princípio de Pascal diz que uma força aplicada em um líquido se transmite por todos os pontos do líquido e nas paredes do recipiente. Ao aplicar uma força no embolo, o mesmo irá deslocar uma distância . Do outro lado, o outro embolo também irá deslocar uma distância , só que para cima. Assim, devemos ter pelo princípio de Pascal: A relação nos diz que, se colocarmos um objeto de 10 kg de um lado, podemos erguer um objeto de 1000 kg do outro lado. Esse é o funcionamento da prensa hidráulica. O trabalho realizado nesse processo é: Assim, o trabalho PE convertido em energia potencial gravitacional.
  • 25. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 25 A densidade do líquido dentro da caixa . Como o fluído está em equilíbrio: No caso limite de : À medida que aumentamos o valor de (ou seja, à medida que vamos “escapando” do fluido) a pressão diminui. Quando aplicamos uma força num fluido, podemos fazer com que o volume fique menor. Quando isso ocorre, o fluido sofre uma compressibilidade. Se o volume não diminui, o fluido é incompressível. Vamos integra nossa pressão: E essa é a lei de Pascal, que pode ser escrita como: . Num fluido, podemos imaginar que exista uma coluna desse fluido sobre um corpo. Essa coluna possui uma área . A altura da coluna é a diferença . Em temos uma pressão e em temos uma pressão , de maneira que . O peso dessa coluna é dado por:
  • 26. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 26 No nível do mar, a pressão é igual a . Toda essa pressão atmosférica está agindo sobre nós, porém ela é distribuída em todas as direções. Torricelli mediu a pressão atmosférica utilizando mercúrio (760 mmHg). Hidrostática Temos um cilindro flutuando num líquido.
  • 27. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 27 O cilindro possui um comprimento L, uma densidade e uma área A. O líquido possui uma densidade . Nosso cilindro está em equilíbrio, logo: O valor chamado de buoyant force (empuxo). Então: E note que esse valor é igual ao peso do fluído. Assim, podemos compreender o princípio de Arquimedes: “O empuxo de um objeto é igual ao peso do líquido deslocado” Estudando o peso de uma coroa submersa, Arquimedes mostrou que: Quando submersa: Assim: Como , temos: Tomemos um iceberg:
  • 28. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 28 Nosso iceberg possui uma massa m e V é o volume total. Temos que , que é menor que a água ( ). Como o iceberg está em equilíbrio a força peso tem de ser igual ao empuxo: Isso quer dizer que 92% do iceberg está submerso. Voltando ao caso do cilindro, queremos saber a condição para que ele flutue. Para que isso ocorra devemos ter: Como : E isso independe do tamanho do objeto. Depende apenas da densidade. Temos um objeto flutuando onde CM é o centro de massa: Mesmo o centro de massa estando deslocado do centro geométrico, podemos supor que o empuxo irá agir no centro do objeto. Logo ocorrerá um torque no sentido mostrado. Não importa onde o empuxo seja aplicado (na verdade, o empuxo é aplicado em todos os pontos) sempre ocorrerá um torque. Quando não haverá torque. Temos um cilindro num fluído:
  • 29. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 29 Nesse caso, a força peso está agindo no centro de massa do cilindro, enquanto que o empuxo está agindo no centro de massa do líquido (em relação ao cilindro). Se eu inclinar meu cilindro ocorrerá um torque. Agora, vamos supor que o centro de massa do cilindro esteja fora do líquido. Isso fará com que o cilindro vira. Por essa razão, o centro de massa de navios devem estar abaixo da água. Temos um balão cheio de gás. A massa total é dada por . O volume do balão é dado por V. A densidade do gás dentro do balão é e a densidade do ar (fora do balão) é .
  • 30. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 30 Para o balão subir devemos ter: Logo: Algo não muito intuitivo acontece agora. Temos uma maçã presa á uma corda e um balão dentro de uma caixa: Claramente, se eu cortar as cordas a maçã irá cair e o balão irá subir. Agora, vamos imaginar que essa caixa esteja no espaço e não existem as cordas, portanto, a maçã e o balão estarão flutuando. Vamos supor que um astronauta esteja junto nessa caixa.
  • 31. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 31 Vou colocar uma turbina na minha caixa e criarei uma aceleração no sentido contrário ao movimento (criarei uma “falsa” gravidade). Ou seja, a maçã e o astronauta irão “cair” enquanto que o balão irá subir (análogo ao movimento na superfície da Terra). Agora, ao invés de acelerar para cima vou aceleração para o lado. O que será que irá ocorrer?
  • 32. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 32 Enquanto que a maçã e o astronauta vão no sentido de , o balão vai no sentido da aceleração. Pense por um instante nisso! Equação de Bernoulli Agora vamos fazer uma relação com a energia cinética e a energia potencial. Temos um fluído incompressível passando pelo seguinte trajeto: Nesse caso é a velocidade do líquido (fluído). Note que é maior que pois a área é menor que . Se o líquido não estiver se movendo, teremos e . Então: Temos que nada mais é do que energia por volume e é a energia potencial gravitacional por volume. Se o líquido estiver se movendo teremos:
  • 33. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 33 O que nos fornece: Pois m/V = . Então, a equação de Bernoulli é dada por: Vamos manter o valor da altura constante: A mesma quantidade de fluído que passa por um ponto é igual a quantidade que passa por qualquer outro ponto. De forma geral . Como é maior que então tem que ser menor que . A vazão (quantidade de fluído que passa por um ponto) é dada por: A razão de vazão é: O volume pode ser dado pela vazão multiplicada pelo tempo: Temos um sifão. Existe, inicialmente, ar dentro do tubo. Podemos colocar a boca em e sugar a água. Note que as pressões são iguais. Portanto: Como as pressões são iguais elas não aparecem na equação. Sendo :
  • 34. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 34 Temos um funil com uma bolinha de isopor dentro (faça essa experiência). Se eu soprar o funil de maneira a fazer a bolinha subir, eu não conseguirei: Na região em azul a área por onde meu sopro passa é menor (área entre o funil e a bolinha). Como a área nesse ponto é pequena a velocidade é grande. Velocidades grandes implicam pressões menores, portanto, nesse ponto a pressão é pequena e minha bolinha não sobe. Se eu inverter o funil para baixo e soprar, a bolinha não irá cair (devido à baixa pressão sobre ela).
  • 35. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 35 Uma asa de avião possui a seguinte forma: O formato da asa do avião faz com que a pressão em cima da asa seja menor que a pressão em baixo. Logo a força é menor que . Da mesma maneira a velocidade é maior que a velocidade . Viscosidade e Turbulência Viscosidade é equivalente ao atrito. Se não houver viscosidade não haverá dissipação de energia. A trajetória de um pequeno elemento do fluído é chamado de corrente. Se as linhas de corrente se fecham, temos um fluxo rotacional chamado vórtice.
  • 36. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 36
  • 37. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 37 AULA 04 – OSCILADORES I Nessa aula trataremos de oscilações e movimentos periódicos. De uma maneira geral, nosso cotidiano está repleto de movimentos periódicos. Um prato girando numa mesa, um relógio, uma roda, enquanto tomamos um suco, etc., tudo está envolvido com movimentos periódicos. Temos uma mola: Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua posição de equilíbrio (comprimento inicial). Há uma relação dessa força com a deformação x da mola. Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com isso, temos a Lei de Hooke: Onde K é a constante da mola. O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos que essa força é uma força restauradora. Como é possível medir a constante da mola? Podemos usar a gravidade. Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico:
  • 38. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 38 Assim, temos que: Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei de Hooke. Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou seja, existe um limite para a deformação. Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente. Há outras maneiras de medir o valor de K. Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito. Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0). O período de oscilação é dado por:
  • 39. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 39 O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e x = 0). Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei de Hooke está presente. Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema: Dividindo tudo por m: E assim obtemos uma equação diferencial. Um objeto que oscila descreve um movimento dado como: Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com um senóide ou cossenóide. Assim: Vamos substituir essa equação na equação diferencial. Eu tenho que:
  • 40. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 40 Assim: Portanto: O que nos dá: Exemplo: Assim: “A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, tem de ser zero. Com isso, temos as possíveis respostas: Para a velocidade: Se , o . Assim: Se escolhêssemos o , teríamos: O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do movimento. A oscilação é independente da amplitude. Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. Faremos isso experimentalmente. Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude. Tomando uma massa diferente: Vamos medir 10 períodos:
  • 41. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 41 Fazendo uma previsão: Fazendo A = 35 cm. Tomemos um pêndulo. Decompondo a tensão T em y e x. Em x: Em y: Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os chamados “aproximação por pequenos ângulos”. Ou seja, Assim: Essa é a nossa primeira consequência. A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que: Ou seja, a aceleração em y é quase zero. Portanto, na equação II: Substituindo em I:
  • 42. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 42 Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples. Com isso: Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período. Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo. Mola: Pêndulo: Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa.
  • 43. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 43 AULA 05 – OSCILADORES II Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional. Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da gravidade, simplesmente: O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido contrário à trajetória. Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou seja, y = 0). Nesse ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero. Qualquer outro ponto acima me dá . Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y. Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo. Se eu faço um trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo. Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a gravidade faz um trabalho positivo. Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à zero em qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo.
  • 44. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 44 Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho continuará sendo positivo. Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero (onde a altura é zero). Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra. Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever: Em um gráfico: Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando e meu trabalho é positivo. Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da energia potencial.
  • 45. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 45 Agora usaremos uma mola, de comprimento l. Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força elástica. Eu posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B. Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola. Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial igual à zero. Fazendo um gráfico. Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia potencial. Portanto, temos uma força restauradora. As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o objeto a diminuir sua energia potencial. Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós podemos encontrar a força? E a resposta é sim.
  • 46. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 46 Utilizaremos nossa mola: Mas a força da mola é negativa, então: Com isso, temos: Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia potencial estão em função de nossas três coordenadas. Assim: Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por . Voltemos à situação próximo a Terra. Agora não estamos mais próximos da Terra: Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós podemos encontrar as três componentes da força. Vamos supor que eu tenha uma superfície curva. Há pontos em que . São eles: a, b, c, d, e.
  • 47. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 47 Isso significa que: Nesses pontos o objeto está parado. Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que eu coloque uma bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola de gude vai cair para algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de gude estiver em b, e nós aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua energia potencial é menor. Em b, nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e em a nós temos o equilíbrio instável. Retornemos à mola. Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que oscila na mola segue um movimento harmônico simples. Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo negativo. E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico simples. Temos assim: Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita.
  • 48. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 48 Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que nos dará um bom resultado. Então: Então:
  • 49. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 49 E essa equação é uma oscilação harmônica simples. Assim: E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo. A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão, como é o caso do pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num movimento circular), será que apenas a gravidade faz trabalho? Quando eu quase me matei com o pêndulo (em física I), eu estava crente na conservação de energia que acabei ignorando a tensão. É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E a normal? É possível que ela faça trabalho? A resposta é não! Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que o trabalho é o produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão nem a força normal faz qualquer trabalho. Na prática, um objeto que oscila sempre dissipa energia. Temos uma força oposta ao movimento dada por , onde é uma constante de amortecimento. No caso geral: Sendo: Tratamos de pêndulos simples, agora veremos um caso mais geral. Enquanto que no pêndulo simples toda a massa está concentrada na massa m do peso do pêndulo, no pêndulo físico (ou composto) a massa está distribuída, as vezes podendo apresentar uma distribuição não uniforme de massa.
  • 50. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 50 O ponto P é onde iremos fixar nosso pêndulo. O valor de b representa a distância do ponto de suspensão ao CM (centro de massa). Um ângulo é formado com a vertical. A força peso, atuando sobre o centro de massa, realiza um torque em P dado por: Partindo da definição de torque temos que , onde é o momento de inércia. Nesse caso, o torque é de restauração, pois faz com que o pêndulo busque o equilíbrio zero ( ). Assim, . Então, o torque no sistema fica: Escrevendo temos: Usamos agora a aproximação por pequenos ângulos. Isso quer dizer que iremos fazer nosso ângulo tender a um valor muito pequeno. Fazendo uma aproximação pequena, teremos: E assim obtêm-se a equação do movimento harmônico simples. A frequência angular é dada por: Então, o período de oscilação será: Para calcular o valor de , utilizamos o teorema dos eixos paralelos. Logo: Como , temos:
  • 51. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 51 Esse é o caso para uma barra, pois o momento de inércia que encontramos foi o da barra. A medida que o ponto onde fixamos o pêndulo se aproxima do centro de massa, o valor do período tende ao infinito. Vamos chamar de D a distância ao centro de massa, e sendo o momento de inércia dado por: O período será: Teremos: No limite de temos: Nesse contexto chamamos k de raio de giração. Um terceiro caso de pêndulo é o chamado pêndulo de torção. Ele é formado por um corpo rígido suspenso por um fio que oscila em torno de um eixo comum.
  • 52. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 52 Quando uma pequena torção é dada ao corpo suspenso surge um torque oposto dado por: O valor k é uma constante própria do fio. Temos então: Note que . O período será:
  • 53. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 53 AULA 06 – ONDAS I Uma onda é uma transmissão de energia através de um meio. Essa transmissão de energia é feita sem a transmissão de matéria. Uma onda pode ser representada por: Uma onda pode ser tida como uma forma geral de uma oscilação, a equação é bem parecida. Temos então: Essa é a nossa equação de onda. Nessa equação temos que é a amplitude máxima de onda. A posição é dada por enquanto que é o número de onda. Vamos observar nossa onda num determinado instante. Vamos supor que esse instante seja . Nossa equação será: Nesse instante a posição da onda será dada por: O valor é o comprimento de onda (distância de uma crista à crista seguinte). Então: Temos no momento em que uma onda se forma (esse é o ângulo total percorrido pela onda). Logo: E assim nós temos o número de onda. A frequência é dada por: O período será: No caso geral, sabemos que , logo:
  • 54. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 54 Vimos que uma onda, ao completar um clico, percorre uma distância angular igual a . Portanto, vamos escrever a equação de onda para uma forma geral: Agora, chamamos de fase. Seja um pulso dado pela seguinte função: Escrevemos essa função como . Agora, nosso pulso irá se deslocar para a direita: Essa função será escrita como . Se , então . Se fixarmos a onda num determinado instante, teremos: Isso é lógico, pois a onda não está se movendo (não muda de posição e nem varia de ângulo). Vamos derivar essa parte da onda: Então:
  • 55. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 55 E assim obtemos a velocidade horizontal da onda. Vamos substituir alguns valores em nossa equação. Conhecemos e , então: Então, podemos calcular a velocidade onda como: Se o pulso se move para a esquerda, temos que o sinal será negativo. Vamos ver um exemplo. Temos a seguinte onda: A amplitude da onda é , para isso basta observar a equação de onda. Vamos calcular o período da onda. Para calcular o comprimento de onda é simples pois conhecemos o valor de k, então: Calculamos a frequência: A velocidade da onda é: Até agora determinamos a velocidade horizontal de uma onda. Vamos determinar agora a velocidade transversal. Para tal basta derivar a função de onda: Para a amplitude máxima, teremos: Podemos determinar a aceleração. Assim, vamos fazer a segunda derivada: Na amplitude máxima teremos:
  • 56. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 56 Vamos supor um pulso se propagando numa corda de densidade . Podemos imaginar esse pulso como uma parte de um círculo. A velocidade do pulso (a velocidade na onda na corda) será: De uma maneira geral, definimos a velocidade como: As ondas transportam energia. A potência é proporcional à amplitude. Assim, temos: A potência será:
  • 57. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 57 Sabemos que . Se então: A potência média será: Equação de Onda Temos uma onda passando por uma corda. Vamos pegar um elemento dessa corda. Existem forças opostas agindo na corda ( e ). Essas forças são iguais à tração na corda. Pela segunda lei de Newton, temos: Em nossa equação temos: Que representa a massa, enquanto que: É a aceleração. Onde é uma força agindo na direção . é a inclinação. Temos:
  • 58. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 58 Se tomarmos a inclinação da corda para pequenos ângulos, de forma que , então: Logo: Ou Assim: Sendo temos: Usando , encontramos: Superposição de Ondas Vamos supor duas ondas e numa mesma corda. A onda resultante é dada por:
  • 59. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 59 Quando não existe diferença de fase entre as ondas, temos uma interferência construtiva. Se existe diferença de fase ( ), então temos uma interferência destrutiva. Sejam duas ondas de mesma amplitude: O valor de representa a diferença de fases. Lembrando que: Temos:
  • 60. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 60 Se então a amplitude (construtiva). Se então a amplitude (destruiva). Vamos supor agora duas ondas iguais se propagando em sentidos opostos numa corda: A onda resultante será: Com isso, temos a formação de uma onda estacionária. Chamamos de nós os pontos de amplitude nula ( ) e antinós os pontos de amplitude máxima ( , , , ). Para formar uma onda estacionária devemos ter: Assim: Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento por uma onda cujo comprimento de onda satisfaz: Onde é o número de harmônicos (ventres) da onda. O ventre é o espaço formado entre os antinós da onda estacionária. Lembremos que:
  • 61. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 61 Então, a frequência será:
  • 62. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 62 AULA 07 – ONDAS II Vimos que a velocidade de onda é determinado por: Vamos estudar ondas sonoras agora. No vaso do som, temos: Onde é a massa específica e é o módulo de elasticidade volumétrico. O valor de é calculado como: Onde é a variação de pressão. (CNTP) Bulk Modulus (B) [Pa] Density () [kg/m3 ] Water 2.2×109 1000 Methanol 8.23×108 424 Air (Adiabatic) 1.42×105 ~ 1,21 Air (Constant Temp.) 1.01×105 ~ 1,21 A função de deslocamento de uma onda sonora será: Os valores de , , , , e são definidas da mesma maneira que fizemos até agora. Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição varia senoidalmente. Assim: Se , temos uma expansão do ar. Se , temos a compressão do ar.
  • 63. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 63 Assim como as ondas transversais, as ondas sonoras também sofrem interferência. A interferência depende da diferença de fase entre as ondas. Se as ondas forem emitidas em fase e se propagarem na mesma direção, teremos: é a diferença entre as distâncias percorridas pelas ondas sonoras até chegarem à um ponto comum. Se , pra , então temos uma interferência construtiva. Para interferências construtivas, temos: Se , para , temos uma interferência destrutiva. Em interferências destrutivas, temos: Seja a potência (transferência de energia) e a área da superfície que recebe o som. A intensidade será: A relação entre a amplitude e a intensidade é: Se o receptor está à uma distância da fonte, a intensidade será:
  • 64. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 64 A audição humana compreende uma faixa sonora entre 20 Hz e 20.000 Hz. Abaixo de 20 Hz, temos o infrassom. Acima de 20.000 Hz temos o ultrassom. No ar, a velocidade do som é em torno de 340 m/s. Nossos ouvidos podem detectar sons com uma amplitude de (limiar de audibilidade) até (limiar da dor). Quando tratamos de audição humana, é conveniente usar a escala decibel ( ). Essa escala é definida como: Onde . O valor de aumenta em 10dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza (um fator de 10). Tratamos com ondas se propagando em cordas, e podemos imaginar isso como um instrumento (um violão por exemplo). Agora, para o caso do som, vamos estudar ondas se propagando em tubos. Temos um tudo com as duas extremidades abertas: O comprimento de onda para um tubo aberto é:
  • 65. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 65 Onde é o número de harmônicos. Note que contamos o número de harmônicos como o número de ventres existentes. Mas nesse caso, temos dois ventres incompletos (eles na verdade correspondem à metade de um ventre). Sendo assim, essas duas metades dos ventres formam um ventre. Sendo assim, na figura acima temos o harmônico fundamental ( ). Na figura a seguir, temos o segundo harmônico ( ), pois o número de ventres (completos) é 2: No caso seguinte, temos o terceiro harmônico: A frequência será: Agora, vamos tomar um tubo que tenha uma de suas extremidades fechadas. A onda dentro dele será: Note que no modo fundamental, não temos um ventre completo. Temos metade de um ventre, assim, para um tubo fechado o comprimento de onda será: Para valores de Se os valores de forem pares, não teremos uma onda completa formada. Nesse caso, a frequência será: Para teremos:
  • 66. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 66 A jogada aqui é, como fizemos até agora, contar o número de ventres. Note que para o harmônico fundamental ( ) temos metade de um ventre. Então, nós contamos esse ventre como uma metade e refletimos, assim temos meio ventre mais meio ventre, o que nos dá um ventre completo. Para o terceiro harmônico fazemos a mesma coisa. Temos um ventre completo, em seguida temos meio ventre. Então contamos o número de ventres, refletindo a conta quando encontramos meio ventre: Para : O comprimento de um instrumento musical está ligado à faixa de frequência que o instrumento foi projetado para cobrir. Comprimentos menores produzem frequências menores. Uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes chega aos nossos ouvidos com um som diferente. Dizemos que cada instrumento tem seu timbre. Um dó maior de um piano é diferente de um dó maior de uma guitarra. Abaixo temos as frequências de uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes:
  • 67. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 67 Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes, e , são detectadas simultaneamente, temos um batimento. Temos duas ondas: A frequência do batimento é igual à diferença na frequência dos dois sons. Nossa onda resultante será: Efeito Doppler A frequência emitida por alguma fonte pode sofrer uma alteração relativa caso a fonte e/ou o observador (detector) se movimente. De uma maneira geral, escrevemos: Nessa equação é a frequência original; é a velocidade do som; é a velocidade do observador e é a velocidade da fonte. Os sinais são escolhidos para que tenda a ser maior para movimentos de aproximação e menor para movimentos de afastamento. A regra para os sinais são:  Se o detector se aproxima da fonte:  Se o detector se afasta da fonte:  Se o detector estiver parado:  Se a fonte se aproxima do detector:  Se a fonte se afasta do detector:  Se a fonte estiver parada:
  • 68. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 68 Velocidade de Mach Certos objetos podem apresentar velocidades maiores que a do som. Esses objetos possuem velocidades supersônicas. O número de Mach é dado por: Onde é a velocidade do objeto e é a velocidade do som. Temos os seguintes valores para M:  Se temos a velocidade subsônica.  Se temos a velocidade sônica.  Se o objeto alcança a velocidade transônica (Sonic-Boom).  Se temos a velocidade supersônica.  Se temos a velocidade hipersônica. Quando a velocidade do objeto supera a velocidade do som, a variação brusca de pressão do ar faz com que as moléculas de vapor d’água se condensem, formando uma nuvem (cone de Mach). Nesse momento dois estrondos como trovão se ouve, o chamado Sonic-Boom.
  • 69. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 69 AULA 08 – TEMPERATURA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Todos os corpos e substâncias são formados por átomos, que por sua vez são formados por partículas. A agitação dessas partículas ocasiona uma variação no que chamamos de temperatura do corpo. A temperatura de um corpo é o nível de agitação de suas partículas. Sejam três corpos A, B e C. Se A e B tiverem a mesma temperatura que o corpo C (estiverem em equilíbrio térmico com C), então A e B terão a mesma temperatura entre si.
  • 70. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 70 Assim, definimos a chamada lei zero da termodinâmica. Para medirmos a temperatura de um corpo ou substância usamos as escalas de temperatura. Essas escalas são: Celsius (°C), Fahrenheit (°F) e Kelvin (K). Essa ultima é utilizada no sistema internacional. Na escala Kelvin, o ponto de fusão é 273 K e o ponto de ebulição é 373 K. Na escala Celsius, o ponto de fusão é 0 °C e o ponto de ebulição é 100 °C. Para a escala Fahrenheit o ponto de fusão é 32 °F e o ponto de ebulição é 212 °F. Chamamos de ponto triplo da água, a temperatura na qual podemos ter, coexistindo, água nos três estados. Para fazermos a conversão de temperatura, fazemos: Assim, temos a relação de Celsius e Kelvin. Para relacionar Fahrenheit com Celsius, fazemos: Dilatação Quando a temperatura de um corpo aumenta ou diminui o mesmo se expande ou contrai. Temos uma barra de comprimento que após ser aquecida (sofrer uma variação de temperatura ) aumentou seu comprimento para . Assim, definimos a variação de comprimento da barra como:
  • 71. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 71 Onde é a variação de temperatura e é o comprimento inicial da barra. O valor é chamado de coeficiente de dilatação linear e depende do material. Numa situação real, o corpo varia seu volume e não somente seu comprimento. Assim, temos uma dilatação volumétrica: Nesse caso é o coeficiente de dilatação volumétrica e seu valor é . A temperatura de um corpo varia devido as trocas de calor com o ambiente ou com outros corpos. O calor nada mais é do que a energia térmica em trânsito. Se há diferença de temperatura, então há transferência de calor. O calor pode ser medido em caloria (cal), joule (J) ou em Btu. Quando uma substância aquece, ela diminui sua densidade. Definimos densidade como: Porém, com a água ocorre algo diferente. Quando a água está sendo aquecida no intervalo de 0°C à 4°C ela aumenta sua densidade. Chamamos esse comportamento de anômalo. Por essa razão a vida consegue continuar existindo num lago congelado. O gelo da superfície é menos denso do que a água. Enquanto que na superfície podemos ter uma temperatura de -10°C, por exemplo, abaixo do gelo a água está em estado líquido.
  • 72. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 72 Abaixo temos o gráfico mostrando esse comportamento da água. Capacidade Térmica A capacidade térmica é a relação entre a quantidade de calor fornecida ou cedida de um corpo e a variação de temperatura do mesmo. Onde é o calor (energia). A unidade da capacidade térmica é . Calor Específico O calor específico define a variação térmica de determinada substância ao receber determinada quantidade de calor. Assim: Logo: Calor de Transformação Quando uma substância perde ou recebe calor, pode ocorrer uma mudança de fase. Num sólido, a agitação térmica das partículas é pequena (rigidez do corpo). Num líquido, temos uma agitação maior e no estado gasoso essa agitação é ainda maior.
  • 73. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 73 A quantidade de calor (energia) fornecida para que uma substância mude completamente de fase é chamada calor de transformação ( ). Assim: Trabalho Temos um recipiente com um embolo. Vamos supor que há gás dentro do recipiente. Se aquecermos nosso gás ele ira se expandir e irá empurra o embolo para cima: Sabemos que o trabalho é definido como: No caso de nosso recipiente, temos: Sabemos que , logo: Assim:
  • 74. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 74 A primeira lei A energia interna de um sistema é proporcional à temperatura ( ). A primeira lei da termodinâmica diz que a variação da energia interna é a diferença entre a quantidade de calor envolvida no sistema e o trabalho: Em alguns processos envolvendo a variação de energia interna, podemos transformações onde não ocorrem trocas de calor ( ). Nesse caso, temos um processo adiabático: Se temos uma expansão adiabática (temperatura diminui). Se temos uma compressão adiabática (temperatura aumenta). Se durante um processo o volume permanece constante, então o trabalho realizado é nulo ( ).: Se temos uma absorção de calor (aumento de temperatura). Se temos uma liberação de calor (diminuição de temperatura). Chamamos de processos cíclicos aqueles onde o ponto final e inicial da transformação coincide. O estado final é igual ao inicial (curvas fechadas).
  • 75. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 75 Nesse caso, a variação de energia interna é nula: E também temos a expansão livre, na qual nenhum trabalho é realizado. De uma forma resumida: Transferência de calor A mudança de temperatura, como vimos, ocorre com as trocas de calor. O calor pode ser transferido entre corpos de três maneiras: Condução Na condução, a energia é transferida de um átomo para outro (ex: colher no fogo). A taxa de condução é calculada como: Aqui, é o tempo e é a condutibilidade térmica do material. A área do material é dada por e é a diferença de temperatura. A resistência térmica à condução de calor é dada por:
  • 76. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 76 Vamos supor que o calor passe através de uma placa composta. Aqui, é a temperatura na interface das placas. Temos então: Convecção Em fluídos a variação de temperatura ocasiona uma variação de densidade. Essa variação de densidade cria um movimento no fluído (correntes de convecção).
  • 77. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 77 Radiação O calor que é transferido pelas ondas eletromagnéticas é chamado de radiação. A taxa de radiação térmica (potência) é dada pela lei de Stefan-Boltzmann: Onde é a constante de Stefan-Boltzmann e vale . A emissividade é dada por e seu valor está entre 0 e 1 (1 para corpo negro). A temperatura é sempre em Kelvin. A taxa de radiação líquida da troca de energia de um corpo de temperatura num ambiente de temperatura é:
  • 78. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 78 AULA 09 – TEORIA CINÉTICA DOS GASES Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12g de carbono 12. O valor de 1 mol é unidades. Chamamos esse valor de número de Avogadro ( ): O número de mols é calculado como: Onde é o número de moléculas na amostra. Seja a massa de nossa amostra. é a massa molar e é a massa molecular. Então: Gás Ideal Num gás ideal, o movimento das partículas é desordenado. As colisões entre essas partículas são elásticas, ou seja, não perdem energia. Podemos considerar seu volume desprezível e existem forças de interação somente entre as colisões. Em baixas concentrações os gases obedecem à relação: E chamamos essa equação de lei geral dos gases, onde é o número de mols e é a constante universal dos gases que vale . Vamos reescrever nossa lei em termos de uma constante , chamada de constante de Boltzmann. Sendo , temos: Então: Onde nesse caso é o número de moléculas. Agora temos duas equações que descrevem a lei geral dos gases. Na primeira, temos a relação com o número de mols enquanto que na segunda temos uma relação com o número de moléculas. Para um mol de qualquer gás ideal: Em condições normais de temperatura e pressão (CNTP):
  • 79. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 79 Transformações Fundamentais Isotérmico Nessa transformação a temperatura constante: Numa expansão isotérmica, o trabalho é dado por: Se não houver variação de volume ( ) então o trabalho é zero ( ). Caso , temos uma expansão ( ). Se , temos uma compressão ( ). Isobárico Nessa transformação, a pressão é constante.
  • 80. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 80 Isovolumétrico Nessa transformação, o volume é constante. Velocidade Quadrática Média Vamos supor várias moléculas num recipiente. Ao colidir com a frente do recipiente, as moléculas sofrem uma mudança de momento linear. Quando uma partícula colide com a parede do recipiente ela inverte o sentido do movimento, então: Vamos supor que nosso recipiente seja uma caixa de lados L.
  • 81. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 81 Vamos supor que seja o tempo que uma partícula colida com uma parede, percorra o espaço L, colida com a parede oposta e retorne. A distância percorrida seria 2L. A taxa média com a qual o momento é transferido para as paredes é: Podemos escrever a pressão, sabendo que , como: Onde é o número de moléculas na caixa. Como : Mas é a massa molar do gás e é o volume: Para qualquer molécula: . Então, os valores médios das partículas são iguais: O que nos fornece:
  • 82. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 82 Se tirarmos a raiz de teremos a chamada velocidade média quadrática ( ). Combinando as equações: E Encontramos: Energia Cinética de Translação e Livre Caminho Médio Em física I vimos que a energia cinética de um corpo de massa e velocidade é dada por: Mas agora, estamos tratando de partículas de maneira que: Assim, definimos a energia cinética média como: Sabendo que , então: E sendo : Uma única molécula pode percorrer um caminho livremente sem sofrer colisões com outras moléculas. A medida que o número de moléculas vai aumentando, as colisões vão aumentando e os caminhos livres vão diminuindo. O movimento aleatório é denotado por , e é a distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões.
  • 83. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 83 Quanto maior o valor de , maior será o número de colisões. Onde é o diâmetro da partícula. Em um gás, por mais que tenhamos a as moléculas podem, e apresentam, velocidades diferentes. Em 1852, Maxwell calculou a distribuição de velocidades das moléculas de um gás: Onde é a probabilidade, é a massa molar, é a constante dos gases, é a velocidade escalar da molécula e é a temperatura. O produto é a fração de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entorno de . A soma de todas as possibilidades tem de ser igual a um (100%). Então, tomando todo esse intervalo: Se tomarmos um intervalo entre e : A velocidade média pode ser calculada como: Substituindo pelo valor encontrado por Maxwell e integrando:
  • 84. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 84 De maneira similar, podemos calcular a média das velocidades quadráticas: Quando for máximo, encontramos a velocidade mais provável. Como nesse ponto a inclinação da curva tangente ao gráfico é zero, então: Calor Específico Molar Seja um gás com volume constante. O calor específico molar é: Na equação, é o calor cedido ou absorvido e é o número de mols. O valor de depende se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. Para um gás monoatômico: Abaixo temos uma tabela com a energia interna para os diferentes tipos de moléculas de um gás.
  • 85. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 85 O calor específico de um gás sobre pressão constante é: Ou de uma maneira mais geral: Para mols de um gás ideal: Se houver variação de temperatura: Um gás monoatômico, formado por átomos isolados e não moléculas, possui uma energia interna:
  • 86. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 86 Podemos determinar a partir do teorema de equipartição de energia. Esse teorema diz: “A cada grau de liberdade de uma molécula (cada forma independente de armazenar energia) está associada uma energia de por molécula” Se é o número de graus de liberdade: Se , temos três graus de liberdade de translação. Se , temos três graus de translação e dois de rotação. Quando um gás ideal sofre uma lenta variação de volume adiabática (ou seja, ), a pressão e o volume estão relacionados pela equação: Onde . Se a expansão for livre:
  • 87. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 87 AULA 10 – ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA Uma xícara de café quente perde calor para o ambiente. As chances de a xícara receber calor e esquentar ainda mais o café são muito, muito, muito pequenas. Um ovo cai no chão e se quebra. As chances de todos os pedaços se juntarem e formar o ovo inteiro novamente são tão pequenas quanto à xícara esquentar espontaneamente. Processos unidirecionais são ditos irreversíveis, ou seja, não podem ser desfeitos naturalmente. Os casos da xícara esfriando e do ovo se quebrando são processos unidirecionais. Mesmo que um processo irreversível ocorresse espontaneamente, como o ovo voltar a ser inteiro, ele não violaria a lei de conservação de energia. Lembre-se que essa lei diz que num sistema fechado a energia total sempre se conserva (a quantidade de calor perdida é igual a quantidade calor recebida). Não são as variações de energia de um sistema fechado que determinam o sentido dos processos irreversíveis. O sentido é determinado pela variação de entropia ( ). O postulado da entropia diz que: “Se um processo irreversível ocorre em um sistema fechado, a entropia S do sistema sempre aumenta.” Vamos supor que um sistema possua um estado inicial e final . A variação de entropia será dada por: Onde é a energia absorvida ou cedida e é dado em kelvin. Segunda Lei da Termodinâmica O enunciado de Kelvin diz: “É impossível realizar um processo cujo único efeito seja remover calor de um reservatório térmico e produzir uma quantidade equivalente de trabalho.” Ou seja, num processo . Numa expansão isotérmica, temos . Isso não contradiz o enunciado de Kelvin, pois o estado final do sistema em questão não é o mesmo que o inicial, pois a pressão varia. Ou seja, a completa transformação de calor em trabalho não é o único efeito. Outro enunciado, o de Clausius diz: “É impossível realizar um processo cujo único efeito seja transferir calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente.” Temos uma máquina térmica, onde uma quantidade de calor é fornecida para o sistema. Uma parte desse calor é transformada em trabalho e outra parte é “perdida”.
  • 88. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 88 Temos um processo cíclico, com : Mas , e . Então: O rendimento (eficiência) é calculado como: Ou seja, o rendimento é o trabalho executado pelo calor absorvido. Podemos calcular o rendimento da seguinte maneira: Ou Em uma máquina térmica ideal, todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por atrito e turbulências. A máquina de Carnot é uma máquina ideal. O ciclo de Carnot é dado pelo esquema:
  • 89. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 89 As trocas de calor são feitas isotermicamente. As mudanças de temperatura são adiabáticas. Nenhuma máquina térmica pode ter um rendimento superior à de Carnot. Um ciclo teórico de máximo rendimento é: O inverso da máquina térmica é o refrigerador. Nesse caso, uma fonte fria alimenta uma máquina juntamente com um trabalho. Para um refrigerador temos: Mas temos que , e . Então:
  • 90. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 90 O desempenho do refrigerador é: De uma maneira geral o rendimento é: Ou seja, é o calor absorvido pelo trabalho fornecido. O rendimento tem de estar entre zero e infinito. Vimos que a entropia está relacionada com a variação de energia absorvida ou cedida pelo sistema: Se o processo isotérmico for reversível, teremos: Quando um gás ideal passa por um processo reversível (um caso especial): Mas e : Como o gás é ideal, então e dividindo tudo por : E fazendo a integral de até : Seja o seguinte processo cíclico:
  • 91. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 91 Qualquer processo cíclico pode ser substituído por inúmeros subciclos de Carnot: A entropia de um sistema termicamente isolado nunca pode decrescer: não se altera quando o processo é reversível mas aumenta quando o processo é irreversível! Visão estatística da Entropia A entropia de um sistema pode ser definida em termos das possíveis distribuições de suas moléculas. As distribuições possíveis são chamadas de microestado. O número de microestados de uma configuração é a multiplicidade da configuração.
  • 92. Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 92 Temos uma caixa com dois lados ( e ) e moléculas que podem ser distribuídas em ambos os lados. Assim, definimos a multiplicidade como: Todos os microestados são igualmente prováveis. Se for muito grande, as moléculas estarão quase na configuração . A entropia se relaciona com através da equação: Onde é a constante de Boltzmann.