Presentación de un tema de Álgebra: Matrices y determinantes

1. M.Sc. Joselo Soriano

2. Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números en
filas y columnas
Forma General de una Matriz:
Una matriz [A] es del orden mxn, donde m son las
filas y n son las columnas, entonces la matriz [A]
está dada de la siguiente forma:

3. De manera general: A(mxn)
Ej.: Sea la matriz:

4. Clases de Matrices:
1) Matriz Cuadrada: Es cuando el número de filas es
igual al número de columnas.
Ej.:

5. 2. Matriz Columna:
Es cuando tiene una columna (n = 1)
Ej.:

6. 3. Matriz Fila:
Es cuando tiene una fila o renglón (m = 1)
Ej.:

7. 4. Matriz Rectangular:
Es cuando el número de filas es diferente al número de
columnas.
Ej.:

8. Igualdad de Matrices
Dos matrices son iguales si y solo si cada elemento de
una de ellas es igual al elemento correspondiente de la
otra
Simbólicamente:

9. Ej. de igualdad de matrices:

10. Otro tipo de matrices:
Matriz Diagonal:
Es una matriz cuadrada que tiene la característica de que
los elementos que están sobre y bajo la diagonal
principal son ceros.
Ej.:

11. Matriz Identidad:
Es la matriz diagonal donde todos los elementos de la
diagonal principal son iguales a 1, se lo representa con
la letra I
Ej.:

12. Matriz Transpuesta:
Es la matriz que se obtiene intercambiando las filas por
las columnas o viceversa de una matriz dada. Se
representa de la siguiente manera:
Sea A una matriz cualquiera
→ At : se lee, transpuesta de la matriz A, o A
transpuesta

13. Ej.:
Dada la siguiente matriz determinar su transpuesta:

14. Matriz Nula:
Es la matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Se
lo simboliza con la letra griega
Ej.:

15. Operaciones con matrices:
1. Suma y Diferencia de Matrices:
Para sumar o restar dos o más matrices,
primeramente deben ser de igual tamaño y luego
procedemos a realizar la suma (o resta) con los
elementos correspondientes.
De manera general:

16. Propiedades de la suma de matrices:
a) Propiedad conmutativa: El orden de las matrices
en la suma no altera el resultado, es decir:
Sean A y B dos matrices
A + B = B + A
b) Propiedad asociativa: Las matrices pueden
agruparse en parejas en cualquier orden y sustituirse
por su suma, así:
Sean A, B y C tres matrices
A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

17. c) Propiedad modulativa: Toda matriz sumada a la
matriz nula da como resultado la misma matriz, así:
Sean A una matriz cualquiera y Φ la matriz nula
→ A + Φ = Φ + A = A
d) Propiedad invertiva: Toda matriz tiene su
opuesto que al sumarlos se obtiene la matriz nula,
así:
Sean A una matriz cualquiera y - A la matriz
opuesta
→ A + (-A) = Φ

18. e) La transpuesta de la suma o resta de matrices: Es
igual a la suma o resta de las transpuestas de las
matrices dadas, así:
Sean A y B dos matrices
→ (A ± B)t = At ± Bt

19. 2. El producto de un escalar por una matriz:
Es igual al producto del escalar por todos los elementos
de la matriz dada, es decir:
Sea k un escalar cualquiera y A una matriz
cualquiera
→ k.(A) = (k.A)

20. 3. El producto de dos matrices:
Supóngase que A es una matriz de orden mxp, y que B es
una matriz de orden pxn. Entonces el producto de A y B,
denotado por A.B es la matriz mxn, para la que el
elemento del i-ésimo renglón (fila) y la j-ésima columna
es la suma de los productos formados mediante la
multiplicación de cada elemento del renglón i-ésimo de
A por el correspondiente elemento de la columna j-ésima
de B.
Por lo tanto : (mxp).(pxn) = (mxn). Esto significa que la
condición necesaria y suficiente para multiplicar dos
matrices es que el número de columnas de A
es igual al número de filas de B

21. Propiedades del producto de matrices:
 Propiedad Asociativa:
A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C
 Propiedad Distributiva:
A x (B + C) = A x B + A x C
 Propiedad Modulativa:
A x I = I x A = A (donde I es la matriz identidad)
 La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la misma
matriz, así:
(At)t = A

22. Nota:
El producto matricial A x A se puede escribir: A2
Ejercicios de Aplicación:
Ponga mucha atención a los ejercicios que se resolverán
en la pizarra y transcríbalos a su cuaderno.

23. Determinantes
Definición: Si la matriz es cuadrada, se le puede asignar
un número al que se le llama determinante de una
matriz.
A un determinante se lo representa: Det. A, o también:
(no es valor absoluto), en ambos casos se lee:
determinante de A
El orden está definido sólo en matrices, por lo tanto el
orden del determinante, es el orden de la matriz.

24. Determinante de 2do Orden:
Es de la forma:

25. Determinante de 3er orden:
Es de la forma:

26. Formas de evaluar un determinante de 3er
orden:
1. Método de Sarrus: Consiste en aumentar 2 filas o 2
columnas, así:

27. 2. Método de cofactores (o por menores):
Consiste en tomar los términos de cualquier fila o
columna que serán los cofactores, y se va
eliminando la fila y columna de cada término,
formándose de esta manera determinantes de
2do orden, el cual se resuelve y se multiplica por
su correspondiente cofactor.
Hay que considerar que el patrón de signos de
números (aij) es:
+ - +
- + -
+ - +

28. Otra forma de expresar esto es diciendo que el signo que
le corresponde a
De manera general el desarrollo es:

29. Este es el desarrollo en términos de la 1ra
fila. El mismo valor se obtiene si se
desarrolla con respecto a cualquier otra fila
o columna.

30. 3. Método de Triangulación o de Estrella:
Sea el siguiente determinante:

31.  Ejercicios de Aplicación:
Ponga mucha atención a los ejercicios que se desarrollarán
en la pizarra, luego transcríbalos a su cuaderno.