Problemas

1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA EN LA INGENIERÍA I
PROBLEMAS TEMA 1.: ÁLGEBRA VECTORIAL Y
TEORÍA DE CAMPOS.
Cuestiones:
1. Indicar de la siguiente relación cuáles son magnitudes escalares y cuáles
vectoriales: masa, fuerza, velocidad, potencia, trabajo y aceleración.
2. Las componentes de un vector, ¿dependen del sistema de coordenadas
elegido?, ¿y el módulo?
3. ¿Puede un vector con módulo cero tener una componente distinta de cero?
4. ¿Qué operación hay que hacer a un vector para normalizarlo?
a) Dividir cada una de sus componentes entre el módulo
b) Multiplicarlo por el vector opuesto
c) Multiplicarlo por el vector unitario
d) Sumarle el vector opuesto
5. Indica la afirmación correcta sobre el resultado de multiplicar un vector por -
2
a) El módulo resultante es negativo
b) La dirección resultante es perpendicular al vector original
c) Se mantiene el sentido del vector original
d) El módulo se multiplica por 2
6. El módulo del vector resultante de sumar dos vectores de módulo 4 cm y 3
cm respectivamente vale
a) 7 cm
b) 1 cm
c) 5 cm
d) No tengo datos suficientes para saber el resultado
7. ¿Es posible sumar (o restar) dos vectores de diferente módulo y que el
resultado sea el vector nulo? ¿y tres vectores?
8. Si 1 2V V V= + , ¿es necesariamente V mayor que 1V y/o 2V ? Explique la
respuesta
9. El producto escalar de dos vectores perpendiculares entre si es
a) Cero
b) Uno
c) Infinito
d) Proporcional al seno del ángulo que forman ambos vectores

2. 10. Sea el vector x y za a i a j a k= + + , definido en la base cartesiana, demostrar
que
2 2 2
x y za a a a k= + +
11. Demostrar que si )(ta es un vector variable en el tiempo: 





=
dt
ad
a
adt
ad
··
1
.
12. Demostrar, utilizando las propiedades del producto escalar, que en cualquier
triángulo ABC se cumple la relación:
2 2 2 ˆ- 2 · cosAC BA BC BA BC B= +
13. ¿Qué ángulo deben formar dos vectores del mismo módulo para que la suma
de los vectores tenga también el mismo módulo?
14. Explicar razonadamente si se pueden cortar dos superficies equiescalares.
15. Explicar razonadamente si se pueden cortar dos líneas de campo.
16. Demostrar, aplicando las propiedades matemáticas de la integral, que para
un campo conservativo la circulación no depende de la trayectoria sino
únicamente de los puntos inicial y final.
17. Justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) En una suma o resta todos los sumandos deben tener las mismas
dimensiones
b) En un producto o cociente todos los factores deben tener las mismas
dimensiones
c) Al sumar dos vectores, el módulo del vector resultante es siempre
mayor que los módulos de cada uno de los dos vectores que se
suman
d) El producto escalar de dos vectores por un tercer vector es un vector
perpendicular al tercero
e) La potencia vectorial de un vector es el vector nulo
f) El gradiente de un campo escalar representa la dirección de máxima
variación del campo
g) El vector gradiente de un campo escalar es paralelo a las superficies
equiescalares de dicho campo
h) Si la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva
cerrada es cero, dicho campo vectorial es conservativo
i) Todo campo irrotacional es conservativo y viceversa
j) La divergencia de un campo solenoidal es nula
18. (MH*) Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares
Problemas:
1. Se tienen dos fuerzas en el plano XY coplanarias y concurrentes cuyos
módulos son F1= 5kp y F2= 7kp, que forman respectivamente los siguientes
ángulos con el eje 0X, 60º y -30º respectivamente. Determinar:
a) La fuerza resultante.
b) Su módulo.

3. c) Ángulo que la resultante forma con el eje 0X.
Solución: a) ( )kpjiF 83.056.8 += , b) F= 8.6 kp, c) φ= 5º 32’
2. Descomponer la fuerza de 200N actuando sobre el pasador inclinado en
componentes:
a) En las direcciones x e y.
b) En las direcciones x’ e y’
Solución: a) Fx= 153.2 N, Fy= 128.6 N; b) Fx’= 68.4 N, Fy’= 187.9 N
3. Determinar la magnitud y dirección de AF de manera que la fuerza resultante
esté dirigida en la dirección del eje x positivo y que tenga una magnitud 1250
N.
Solución: 54,3º 686AF Nθ = =
4. Una placa está colgada sujeta por una cuerda AB. Si la fuerza en la cuerda es
F=340 N, expresar esta fuerza dirigida desde A hacia B en coordenadas
cartesianas. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?.
Solución: 160 180 240F i j k= − − + y 17l m=

4. 5. Dados los vectores a (1,-1, 2) y b (-1, 3, 4). Calcular:
a) El producto escalar de ambos vectores.
b) El ángulo que forman.
c) La proyección de b sobre el vector a .
Solución: a) 4, b) 71º19’, c) 1.63
6. Dados los vectores kjia 286 −−= y kjb 36 +−= , calcule su producto
escalar y vectorial, así como el ángulo que forman entre ellos.
Solución: a) 42; b) kji 361836 −−− ; c) 52.13º
7. Dados los vectores (2, 1, -3) y (1, 0, -2), hállese un vector unitario que sea
perpendicular a ambos.
Solución: ( )kji 41.041.082.0 −+−
8. Si el producto vectorial de dos vectores es kjiba 263 +−=× y sus módulos
son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.
Solución: 7.94
9. Dados los vectores a (2, -1, 0); b (3, -2, 1) y c (0, -2, 1). Calcular:
a) ( ) cba ⋅+
b) ( ) cba ×−
c) ( ) cba ⋅×
d) ( ) cba ⋅⋅
e) ( ) cba ×× .
Solución: a) 7; b) ( )kji 2++− ; c) 3; d) ( )kj 816 +− ; e) ( )kji 24 ++− .
10. Dados los vectores a (1, 3, -2) y b (1, -1, 0). Calcular:
a) Su producto vectorial.
b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.
Solución: a) ( )kji 422 −−− ; b) 4.90.
11. Dado el vector ( )jtsenitAa ωω += cos donde A y ω son constantes y t es la
variable escalar independiente, se pide:
a) Hallar su módulo.
b) La derivada del vector a respecto al tiempo
c) El módulo del vector calculado en el apartado b.
d) Demostrar que a y
dt
ad
son perpendiculares.
Solución: a) A; b) ( )jtitsenA ωωω cos+− ; c) A.ω

5. 12. Dado el campo escalar U= 3x2
y – y3
z2
, calcular su gradiente en el punto P (1,
-2, 1).
Solución: ( )kji 16912 −−−
13. Calcular el gradiente de la función U=x2
y+zx+y3
en el punto (2,2,5)
Solución: ( )kji 21613 ++
14. A partir del punto P (-1, 3, 2); ¿Hacia qué dirección hay que dirigirse para
que aumente lo más rápidamente posible la función: φ= (x + y)2
+ z2
– xy +
2z?
Solución: En la dirección del vector (1, 5, 6)
15. Encontrar un vector perpendicular a la superficie
2
3 12xyz = en (1,1,2)
Solución: ( )kji ++
3
1
16. Dados el campo escalar
2 2 2
V x y z= + + y el campo vectorial
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2F x y z i x y z j x y z k= + + + + + + + + . Hallar:
a) grad V
b) ( )div grad V
c) div F
d) rot F
Solución: a) ( )2 2 2xi yj zk+ + ; b) 6; c) ( )2 2 2
6 6 6x y z+ + ;
d) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3y z i x z j x y k − − − + − 
17. Dado el campo vectorial ( )2
F x i y z j xyk= + + + , calcular su circulación a
lo largo de la curva de la figura. Verifique que se cumple el Teorema de
Stokes
Solución: 0
18. Dado el campo vectorial
2
F xyi y j= + y el recinto cerrado de la figura,
calcular la circulación de F alrededor del recinto cerrado
x
y
z
1=y 2=y
3=x

6. Solución: 4/3
19. Dado el campo vectorial kzixF 2
23 += , calcular su circulación a lo largo de
una hélice de eje 0Z, paso P y radio R, entre los puntos A(R, 0, 0) y B(R, 0,
P). Recuerde que las ecuaciones paramétricas de una elipse son:
x= R·cosα; y= R·senα; Z= Pα/2π
Solución: 2P3
/3
20. Dado el vector (t, 1, t2
), hallar la circulación del mismo a lo largo de la curva
de ecuaciones paramétricas:
x= 2t2
y= et
z= (1/3) t3
entre los puntos t0= 0 y t1= 1
Solución: γ= e + 8/15
21. Sea un campo vectorial 4 2A xi j = −  . Determine:
a) Si es conservativo y si es así calcule el potencial del que deriva.
b) La circulación del campo entre los puntos A y C a lo largo del camino
indicado en la figura.
c) La circulación del campo entre los puntos A y C a partir de los
potenciales en A y C.
Solución: b) Up= U0 –2x2
+2y; c) 12
22. Dado el campo vectorial: kxzjxi)zxy(F 223
32 +++= se pide:
a) Compruebe si es irrotacional
b) El potencial del cual deriva
c) La circulación entre los puntos A(1, -2, 1) y B(3, 1, 4)
Solución: b) Up= U0 – x2
y – xz3
; c) 202
( )0,0,0
( )0,2,2
x
y
y
x
B (1, 2)
A (1, 0)
C (3, 2)
( )0,2,0

7. 23. Dado el campo vectorial: j
2
i
x
y-3x
A 2
22
x
y
+





= , comprobar que deriva de
una función potencial φ y hallar dicha función.
Solución: φ= -3x - (y2
/x) + K
24. Dado el campo vectorial:
2
2
2
2
y
A xzi yz j x k
 
= + + + 
 
, comprobar que
deriva de una función potencial φ y hallar dicha función.
Solución: φ= -x2
z-y2
/2 + K
25. Sea una función potencial dada por U (x,y,z) =3x2
y - 4xz – 5y2
, encuentre
las componentes del campo vectorial asociado a la misma en el punto
(+1,0,+2)
Solución: ( )8 3 4i j k+ −
26. Dado el campo vectorial ( )2
F x i y z j xyk= + + + , calcular su flujo a través
de la superficie de la figura.
Solución: 27/4
27. Dado el campo vectorial: k)x(zE 22
+= , calcular el flujo del mismo a
través del cubo limitado por los planos x= 0, x= 1, y= 0, y= 1, z=0, z=1.
Solución: φ= 1
28. Dado el campo vectorial: ( )1A x i xy k= − + , calcular el flujo del mismo a
través del cubo limitado por los planos x= 0, x= 1, y= 0, y= 1, z=0, z=1.
Solución: φ= 1
29. Sea el campo vectorial dado por 2 · 3 · ·F y i yz j y k= + + , verifique que se
cumple el Teorema de Gauss a través del cubo de lado unidad y vértices en
los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1).
30. (MH*) Sea un campo vectorial con simetría esférica dado en coordenadas
esféricas por 2 r
k
A u
r
= :
a) Compruebe si es conservativo
x
y
z
1=y 2=y
3=x

8. b) Determine el potencial del cual deriva
Solución: φ= K/r+ φ0
31. (MH*) Sea un campo vectorial con simetría cilíndrica dado en coordenadas
cilíndricas por ρ
k
A u
ρ
= :
c) Compruebe si es conservativo
d) Determine el potencial del cual deriva
Solución: φ= -K·ln(ρ)+ φ0